平面向量基本定理及坐標表示（4題型分類）-2025年高考數(shù)學專項復習（原卷版）

專題23平面向量基本定理及坐標表示4題型分類

彩題如工總

題型4:利用向量共線求向量或點的坐標題型1:平面向量基本定理的應用

專題23平面向量基本定理及

坐標表示4題型分類

題型3:利用向量共線求參數(shù)題型2:平面向量的坐標運算

彩和祗寶庫

1.平面向量基本定理

如果ei，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)孤，九2,

使。=九01+2202.

若ei,e2不共線，我們把｛ei,02｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.

2.平面向量的正交分解

把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

3.平面向量的坐標運算

（1）向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模

設。=（為，yi）,》=（尤2，竺），貝U

〃+》=（無i+x2，yi+j2），a-B=（xi—無2，2a=（&i，2yi）,|a|=yjxi+yi.

（2）向量坐標的求法

①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.

②設A（X1，巾），8（無2，J2），則AB=（X2—XI，/一yi），|A8|=N（X2—尤產(chǎn)+①一yi）2.

4.平面向量共線的坐標表示

設。=（尤1,yi）,b—（xi,yi）,其中5W0,則a〃?0尤i"一無29=0.

5.已知產(chǎn)為線段AB的中點，若A（xi，yi）,B（x2,刃），則點尸的坐標為"^己知AABC的頂點

A（xi，%）,8（x2,刃），CS，乃），則△ABC的重心G的坐標為"半土與，'+；+「）.

彩偏題海籍

（一）

平面向量基本定理的應用

（1）應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運

算.

（2）用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量

的形式，再通過向量的運算來解決.

題型1：平面向量基本定理的應用

1-L（2024高一下?重慶北倍?階段練習）設q、e；是兩個不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向

量的一個基底的是（）

A.,+4和G—e?B.G+2/和e?+2,

C.3,—24和4e2—6elD.e2和e2+ex

1-2.（2024高三?全國?專題練習）設向量｛G?｝是平面內(nèi)一個基底，且&=e；+2e2，。=-《+62,則向量q+e?

（r

可以用另一個基底卜，葉表示，即q+e?.

1-3.（2024高三上,陜西西安,期末）在ASC中，。在上，S.BD=2DC，E在AD上，且4。=44及若

BE=xAB+yAC,貝|尤+>=.

12

1-4.（2024?湖南?模擬預測）在4ABC中，A8=C,AC=6,點〃滿足=XBC（0<AM=-b+-c,

則2的值為.

1-5.（2024高三下?河南?開學考試）已知M,N分別為平行四邊形A3CD的邊BC,CD的中點，若點尸滿足

MP

6AP+5DA=4DC>則——=.

MN

1-6.（2024?天津紅橋?一模）如圖所示，在ABC中，點。為2C邊上一點，且過點。的直線E尸

與直線AB相交于E點，與直線AC相交于尸點（E,尸交兩點不重合）.若AD=mAB+nAC，則mn=，

AE=AAB，AF=/JAC,則2+〃的最小值為.

1-7.(2024高三上?陜西西安?期末)在"1BC中，。在上，且5。=2。。,E在A。上，且AD=4AE.若

BE=xAB+yAC,則》+y=()

13313

A.—B.一cD.——

124-412

彩他題祕籍

(二)

平面向量的坐標運算

(1)利用向量的坐標運算解題，主要是利用加法、減法、數(shù)乘運算法則，然后根據(jù)“兩個向量相等當且僅當

它們的坐標對應相等”這一原則，化歸為方程(組)進行求解.

(2)向量的坐標表示使向量運算代數(shù)化，成為數(shù)與形結合的載體，可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟

知的數(shù)量運算.

題型2:平面向量的坐標運算

2-1.(2024高三?全國?對口高考)AC為平行四邊形A3C。的對角線，=(2,4),AC=(1,3),則4￡)=—.

2-2.(2024高三?全國?專題練習)已知向量a=(-2,1),6=(3,2)，c=(5,8),且c=2a+〃b，則一=.

A

2-3.(2024高三?全國?對口高考)已知點A(l,-2),若AB與a=(2,3)的夾角是180,|48|=2而，則點2坐

標為?

2-4.(2024高一下?全國,課后作業(yè))已知4(-2,4),C(-3,-4),且C"=3C4，則點M的坐標為.

彩能朋祕籍(二)

向量共線的坐標表示

平面向量共線的坐標表示問題的解題策略

(1)若。=&1,%),b=(X2,丁2),其中萬W0,則〃〃方的充要條件是%?2=%2_力.

（2）在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為Aa（/ieR）.

題型3:利用向量共線求參數(shù)

3-1.（2024?江西上饒?一模）已知向量AB=（3,〃z-3）,BC=（2,4）,若A,B,C三點共線，則，〃=.

3-2.（2024高三上?上海黃浦?開學考試）若4（1,2）、3（-3,4）、C（5,m）三點不能構成三角形,則機=.

3-3.（2024?湖南長沙?二模）已知向量AC=（l,sina-l）,BA=（3,l）,BD=（2,cos。），若2,C,。三點共線，

貝Utan（2019l-a）=.

3-4.（2024高三下?全國?開學考試）己知向量7"=（-l+a,2-a）,〃=（3-a,4+a）,若（加+九）//加，則實數(shù)a=—.

3-5.（2024高一下?山西運城?期中）3-6.（2024高三?全國?對口高考）已知向量。=（1,2）,方=（1,4）,c=（3,4）.若

a+6與c共線，貝快數(shù)2=.

3-7.（2024高三上?天津河北?期中）設。4=（一2,4）,OB=（-a,2）,OC=（b,0）,其中a>0,b>0,0為坐

標原點，若A,B,C三點共線，則2a+6=,工+1的最小值為.

題型4:利用向量共線求向量或點的坐標

4-1.（2024高三上?福建廈門?開學考試）寫出一個與向量）=（1,2）共線的向量b=.

4-2.（2024高三?全國?專題練習）在MC中，己知點0（0,0）,A（0,5）,3（4,3）,OC=-OA,OD=-OB,AD與

-42

■BC交于點則點/的坐標為.

4-3.（2024?河南鄭州?模擬預測）已知點。為坐標原點，OA=（1,1）,03=（—3,4）,點尸在線段上，且,耳=1,

則點P的坐標為.

4-4.（2024高三?全國?專題練習）己知點A（4,0）,B（4,4）,C（2,6）,。為坐標原點，則AC與02的交點P的

坐標為.

煉習與桎升

一、單選題

1.（2024?北京）已知向量編I滿足4+石=（2,3）,4—萬=（一2,1）,則g『二（）

A.-2B.-1C.0D.1

2.（2024高三上?天津武清?階段練習）在ABC中，BD=^BC,E是線段AD上的動點（與端點不重合）,

設CE=xC4+yC3,則生土土衛(wèi)的最小值是（）

xy

A.10B.4C.7D.13

3.（2024?四川成都?一模）已知平行四邊形A3CQ,若點M是邊5c的三等分點（靠近點3處），點N是邊

的中點，直線2D與MN相交于點H,則誓=（）

BD

2211

A.—B.-C.—D.一

3554

4.（2024高三上?陜西西安?階段練習）在，ABC中，點。滿足點E滿足CE=；CD+：CA,若

AC=xBE+yBC,則1+丁=（）

1111

A.——B.——C.——D.——

5432

5.（2024?全國?模擬預測）在中，點。是線段A8上靠近8的四等分點，點E是線段8上靠近。的

三等分點，則A石=（）

21155112

A.——CA+-CBB.-CA——CBC.——CA+-CBD.——CA+-CB

33266233

6.（2024高二上?甘肅蘭州?學業(yè)考試）已知向量a=（2,1）,6=（-2,4）,貝巾,卜（）

A.2B.3C.4D.5

7.（2024?廣東?模擬預測）古希臘數(shù)學家帕波斯在其著作《數(shù)學匯編》的第五卷序言中，提到了蜂巢，稱蜜

蜂將它們的蜂巢結構設計為相同并且拼接在一起的正六棱柱結構，從而儲存更多的蜂蜜，提升了空間利用

率，體現(xiàn)了動物的智慧，得到世人的認可.已知蜂巢結構的平面圖形如圖所示，則（）

53

B.一一CE+-DE

2662

2552

C.一一CE+-DED.一一CE+-DE

3663

8.（2024高三上?上海浦東新?階段練習）設。=（西,,）,6=伍,%），則亭嚀"是的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充分必要條件D.非充分非必要條件

9.（2024?四川綿陽?模擬預測）已知。為坐標原點，片尸=-2尸呂，若4（1,2）、7^（2,-1）,則與。尸共線的單

位向量為（）

A.（3,-1）B.（3,T）或（―3,4）

10.（2024高三上?四川?開學考試）設向量。8=（x+l,3）,貝與b同向”的充要條件是（）

A.x=2B.x=—2C.x=±2D.x=—

2

11.（2024?全國?模擬預測）在菱形ABC。中，M=BD,點E是線段CB上靠近B的三等分點，點尸是線段AS

上靠近B的四等分點，則。C=（）

6446

A.-AE+—DFB.-AE+-DF

515155

4444

C.-AE+—DFD.-AE+-DF

515155

12.（2024高三上?河南?專題練習）如圖，在正八邊形ABCDEFG“中，AD=xAC+yAE,則f+y2=（）

A.1B.9C.D.-

224

13.（2024?陜西西安?一模）己知向量。=（1,0）,6=（4,加），若加訓不超過3,則加的取值范圍為（）

A.[-A/3,V3]B.[-百，百]C.[-3,3]D.[-5,5]

14.（2024高三上?河北保定?期末）已知向量a=（2,-3）,。=（1,2）,c=（9,4）,若正實數(shù)機，及滿足c=ma+nb,

則工+工的值為（）

mn

7

A.

15.（湖南省長沙市第一中學2023-2024學年高一下學期第一次階段性檢測數(shù)學試題）已知向量°、方不共

線，B.c=xa+b,d=a+（2x-l）b,若c與d共線，則實數(shù)了的值為（）

1?1?1

A.1B.--C.1或--D.-1或

222

16.（2024?陜西寶雞?一模）設向量。=（2,-1）,b=（m,2）,若向量。與共線，貝Ua+b=（）

A.（-2,1）B.（-2,-1）C.（-4,2）D.（-2,T）

17.（2024?山東青島?一模）已知向量Z=（-1,2）,b=（3,m）,加3R,則“加=—6"是"〃回（；+句”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

18.（2024高三上?安徽池州,期末）已知向量。=（1,1）,6=（1,-1）,若（Xa+b）〃（a+〃6）,則下列關系一定成

立的是（）

A.入——1B.4—"=2c.4+〃=。D.入j~i—1

19.（2024高三上?江蘇常州?期末）已知扇形493的半徑為5,以。為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，

。4=（5,0）,03=（4,3）,弧的中點為C,則℃=（）

B.［半，萼）C.（4,2）D.（2"同

20.（2024高三上?北京朝陽,期末）在.ABC中，AB=AC=40，當XeR時，|A8+ZBC|的最小值為4.若

AM=MB^AP=sin20AB+cos20AC,其中共,則|幽的最大值為（）

A.2B.4C.2若D.4點

21.（2024?湖南邵陽?一模）如圖所示，四邊形ABC。是正方形，分別BC,DC的中點，若

AB=/LAM+〃AN,2,〃eR,貝口力一〃的值為（）

22.（湖南省益陽市2023-2024學年高三上學期期末數(shù)學試題）如圖所示的矩形ABCD中，E,F滿足BE=EC，

CE=2PD,G為的中點，^AG=AAB+/uAD,則由的值為（）

23.(2024?河南?模擬預測)在，ABC中，點E為AC的中點，人尸=2FB,BE與CF交于點P,且滿足BP=ABE，

則2的值為()

11-23

A.—B.-C.-D.一

3234

24.(2024?全國)已知向量Q=(2,3),。=(3,2),則|Q—切二

A.72B.2

C.5y/2D.50

25.(2024高三上?全國?競賽)平面向量4=(1,1),B=(2,3),則|a+B|=()

A.3B.5C.7D.11

26.（2024高二上?安徽?期中）如圖，在長方形ABC。中，A5=6,AD=4,點P滿足。尸二4。。，其中

0,|,則同+件的取值范圍是（）

A.[4,5]

B.[8,10]

C.[4,V17]

D.[2A/17,10]

27.(2024高三上?河南南陽?期末)下列向量中，與向量&=(1,Y)共線的是()

A.(2,8)B.(4,1)C.-D.(2,-1)

28.(2024高三上?河北保定?期末)已知命題0:4=3。2),?=(1,2),加與最共線，命題q：a=2,則P是q

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

29.(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測)在平面直角坐標系中，向量產(chǎn)A=(l,4),尸8=(2,3),PC=(x,l),若A,

B,C三點共線，則x的值為()

A.2B.3C.4D.5

30.(2024?四川巴中*一模)已知向量。4=(1,-2),OB=(2,-3),OC=(3J),若ABC三點共線，則實數(shù)/=()

A.-4B.-5C.4D.5

31.(2024?廣西?模擬預測)已知j和j是兩個正交單位向量，”=2i+3J,b=i+且卜-目=也，則后=

A.2或3B.2或4C.3或5D.3或4

32.(2024高二上,江蘇南京?期末)已知ABC的頂點在拋物線C：V=4x上，/為拋物線C的焦點，若

FA+FB+FC=0>貝1|陷+網(wǎng)+用=(

A.3B.4C.6D.8

33.(2024?云南楚雄?模擬預測)已知A,B,尸是直線/上不同的三點,點。在/外，若

OP=mAP+(m-2)OB(meR),則加=()

3

A.3B.2C.一D.

22

34.(2024高一下?江西九江?期末)已知向量。4=(3,-4),08=(6,-3),OC=(5-九-3-m).若點A,B,C能

構成三角形，則實數(shù)相應滿足的條件為()

A.m=—B.m手一C.m手一D.m手一

2234

35.（2024高三上?北京大興?期末）設向量//，若忖=1,6=（-3,4）*=而（幾＞0）,貝

36.（2024高三上?山東威海?期末）已知向量&=（2,2）,b=（l,x）,若°//人則|切=（）

A.1B.&C.6D.2

37.（2024高三上?北京?期中）已知向量Q=（sine,cose）,Z?=（3,4）,若a/必，則tan26等于（）

2462424

A.—B.—C.------D.-----

77257

38.（2024高三上?甘肅蘭州?階段練習）已知向量1=04）,b=（l,rri）,若“與b反向共線，則-2M的值

為（）

A.0B.-J13C.4A/5D.5娓

39.（2024高三上?江西贛州?階段練習）已知向量〃?=（2,4,〃=（2-4-4）,若加與“共線且同向，則實數(shù)

2的值為（）

A.2B.4C.-2D.-2或4

40.（2024高一上■遼寧沈陽?期末）已知向量q,q是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面的四組向量中，不

能作為基底的是（）

A.{w-e2}B.+e2,ex-3e21

C.{q-2e,,-3e1+6e。}D.{2q+3e?,2e]-3eJ

41.（2024?河北滄州?模擬預測）在45。中35=；87,2尸=：（班+20，點尸為45與斯的交點，

AP=AAB+juAC,貝！]幾一〃=（）

113

A.0B.-C.-D.-

424

42.（2024?全國?模擬預測）如圖，在“WC中，CM=ACB，NC=/JAC,其中。</<1,0<〃<1,若AM

3

與3N相交于點0,^BQ=-BN,則（）

A

2九N=2+〃C.5A=2+34/D.3X=2+5X//

43.（2024廣東汕頭?三模）如圖，點。、片分別AC、BC的中點，設A5=a,AC=力，/是。石的中點，則4戶=

()

11-11117D.L+L

A.-a+-b7B.——a+—bzC.—a+—b

22224242

44.（2024?山西大同?模擬預測）在aABC中，。為5C中點,M為AO中點，BM=mAB+nAC^則加+〃=

11

A.—B.-C.1D.—1

22

45.（2024?吉林長春?模擬預測）如圖，在平行四邊形ABCD中，M,N分別為BC,CO上的點，且BM=MC，

2

CN=-CD,連接AAf,BN交于■P點、,AP=APM>BP=fiPN,貝lJ4+〃=()

1819

A.—B.—C.—D.——

5755

46.（2024?湖北黃岡?模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，AB//Cr）,AB=4CD,點E在線段CB上，且

CE=2EB,設AB=a,A￡>=6,則AE=()

B.4+辦

28

c.L+力D.九+4

3443

47.（2024?安徽?二模）如圖，在,ABC中,點。為線段BC的中點，點E,尸分別是線段A。上靠近。，A

的三等分點，則A￡>=（）

4

C.-BE-CFD.——BE-CF

339

48.（2024?全國?模擬預測）如圖，平行四邊形A3CD中，AC與50相交于點。，EB=3DE,若

丸

40=XAE+〃8C（4〃eR）,則7=（）

11

A.——B.-2C.-D.2

22

49.（2024高三?全國?對口高考）已知向量￡=（指,1）,6=（0,-2）.若實數(shù)上與向量c滿足“+26=公，貝隆可

以是（）

A.（百，-1）B.（-1,-百）

C.（-73,-1）D.（-1,^/3）

50.（2024?河北?模擬預測）在正六邊形ABCDEF中，直線燈上的點M滿足40=AC+根，則加=（）

111

A.1B.—C.—D.一

234

51.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?三模）如圖，在四邊形A3CD中，ZDAB=120°,ZZMC=30。，AB=l,AC=3,AD=2,

AC=xAB+yADf則％+V=（）

A.2百B.2C.3D.6

52.（2024高一下?廣東梅州?期末）已知4（相,0）,3（0,1）,C（3,-l）,且A,5c三點共線，則，〃=（）

二、多選題

53.（2024高三上?黑龍江牡丹江?期末）已知向量<5=（2,0）,石=（1,1）,則（）

A.AH^IB.4a—3b=(5,—3)

C.a,b可以作為平面向量的一個基底D.（a-b）//b

54.（2024高一下?福建福州?期中）已知向量a,b不共線，且尸。=a-sine,其中ae（0,2;r）,QR=2a+b,

若尸、Q、R三點共線，則角a的值可以是（）

55.（2024高三下?山東濟寧?開學考試）已知。為坐標原點，向量OA=（2,3）,08=（6,-3）,P是線段的三等

分點，則尸的坐標可能為（）

56.（2024高三上?山東青島?期末）已知對任意平面向量A3=（x,y）,把AB繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)夕角得

到向量AP=（xcos0-ysin，,xsin。+jcos0）,叫做把點B繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)。角得到點P.已知平面內(nèi)

點4（2,1）,點以2+f,lT）,網(wǎng)=20，4無。4>0,點3繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)T角得到點P,則（）

A.忸尸|=2血B.AB=（-2,2）

C.B的坐標為（4,-1）D.尸的坐標為（3+6,石）

57.（2024?江蘇?一模）已知z為復數(shù)，設z,1，iz在復平面上對應的點分別為A,B,C,其中。為坐標原

點，則（）

A.|OA|=|OB|B.OA±OC

C.M=D.OB//AC

三、填空題

58.（2024高三上?貴州貴陽?階段練習）已知平面向量a,b,c,d滿足：,卜慟M6,c=ta+b（te［0,1］）,

|c-d|=JL設向量2=〃/+泌（根，〃為實數(shù)），則用+〃的取值范圍為.

59.（2024高三下?安徽?階段練習）已知正方形A8CD的邊長為2,中心為。，四個半圓的圓心均為正方形

ABCD各邊的中點（如圖），若尸在BC上，且AP=&A8+〃AD,則2+〃的最大值為.

Sjrjr

60.（2024高一下?山東苗澤?階段練習）如圖所示，向量QA與。2的夾角為?，向量。尸與。2的夾角為,

66

|OA|=|OP|=2,|OB|=4,若OP=〃IOA+〃O8,（加，neR）,貝.

o

61.（2024高三上?湖南永州?階段練習）已知平面向量a=（2,2）,6=（1,加），且慳-可=,+可，則，w=.

62.（2024高三?全國?專題練習）向量i,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若:=〃+〃］（44€尺），則

A

63.（2024?廣東深圳?一模）設點,若動點尸滿足照=2陷，且AP=lAB+^uAC,

則4+2〃的最大值為.

64.（2024?全國?模