平行線解答題壓軸（原卷版）

專題02平行線解答題壓軸

1.某學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論：已知直線?！▋喝糁本€?！ā?則?！?.他們發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論

運(yùn)用很廣，請你利用這個結(jié)論解決以下問題：

已知直線點(diǎn)E在/8、。之間，點(diǎn)尸、。分別在直線/8、CD上,連接尸￡、

EQ.

(1)如圖1,運(yùn)用上述結(jié)論，探究/PE。與//PE+/CQE之間的數(shù)量關(guān)系.并說明理

由；

(2)如圖2,PF平分NBPE,QF平分/EQD,當(dāng)乙?￡。=130°時，求出/PFQ的度

數(shù)；

(3)如圖3,若點(diǎn)￡在CD的下方，PF平分NBPE,QH平分NEQD,0〃的反向延長

線交P尸于點(diǎn)R當(dāng)/尸￡0=80°時，請直接寫出NP尸。的度數(shù).

2.【問題情景】如圖1,若AB〃CD,ZAEP=45°,ZPFD=nO°.過點(diǎn)P作尸“〃49,

則/￡尸尸=

【問題遷移】如圖2,AB//CD,點(diǎn)尸在43的上方，點(diǎn)E,尸分別在48,CD上，連接

PE,PF,過尸點(diǎn)作PN〃/2,問/PEN,ZPFC,NEP尸之間的數(shù)量關(guān)系是

，請在下方說明理由;

【聯(lián)想拓展】如圖3所示，在(2)的條件下，已知NE7/=36°,/尸￡/的平分線和/

PFC的平分線交于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作GH//AB,則/EGF=

圖1圖2

3.已知：如圖，直線尸0〃〃N,點(diǎn)C是P0,之間（不在直線P。，MN上）的一個動

點(diǎn).

（1）若N1與N2都是銳角，如圖1,請直接寫出NC與Nl,N2之間的數(shù)量關(guān)系.

（2）若小明把一塊三角板（N/=30°,NC=90°）如圖2放置，點(diǎn)。，E,尸是三角

板的邊與平行線的交點(diǎn)，若N4EN=/A,求N8O尸的度數(shù).

（3）將圖2中的三角板進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)動，如圖3,直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線之間，點(diǎn)

G在線段CD上，連接EG,且有/CEG=NCEM,給出下列兩個結(jié)論：

①孕里的值不變；

ZBDF

②NGEN-N8D尸的值不變.

其中只有一個是正確的，你認(rèn)為哪個是正確的？并求出不變的值是多少.

4.對于平面內(nèi)的和/N,若存在一個常數(shù)左>0,使得NM+上NN=360°,則稱NN為

的左系補(bǔ)周角.如若NM=90°,NN=45°,則NN為的6系補(bǔ)周角.

（1）若/"=120°,則/〃的4系補(bǔ)周角的度數(shù)為0

（2）在平面內(nèi)48〃CO,點(diǎn)E是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接DE.

①如圖1,ZZ>=60°,若N3是/￡的3系補(bǔ)周角，求乙8的度數(shù).

②如圖2,N/2E和NCDE均為鈍角，點(diǎn)尸在點(diǎn)￡的右側(cè)，且滿足

NCDF=n/CDE（其中〃為常數(shù)且〃>1）,點(diǎn)尸是N/2E角平分線2G上的一個動點(diǎn),

在尸點(diǎn)運(yùn)動過程中，請你確定一個點(diǎn)尸的位置，使得/2尸。是/尸的左系補(bǔ)周角，并直

接寫出此時的左值（用含"的式子表示）.

5.如圖1,AD//BC,DE平分/ADB,ZBDC^ZBCD.

(1)求證：ZDEC+ZECD=90°；

(2)如圖2,2廠平分NNAD交CD的延長線于點(diǎn)尸，若N/2C=100°,求/尸的大小;

(3)如圖3,若〃是2c上一動點(diǎn)，K是A4延長線上一點(diǎn)，KH交BD于點(diǎn)、M,交AD

于點(diǎn)。，KG平分/BKH,交?！暧邳c(diǎn)N,交8c于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)〃在線段8c上運(yùn)動時(不

與點(diǎn)2重合)，求/BAD+/DMH的

ZDNG

6.已知：直線E尸分別交直線CD于點(diǎn)G,H,且N/G8+/O〃F=180°.

(1)如圖1,求證：AB//CD；

(2)如圖2,點(diǎn)跖N分別在射線GE,HFN,點(diǎn)、P,。分別在射線GN,HC上,連接

MP,NQ,且/MPG+/NQH=90°,分別延長MP,N。交于點(diǎn)K,求證：MK1NK；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接KT/,KH平分/MKN,且HE平分NKHD,若

ZDHG=y-ZMPG-求NKMV的度數(shù).

圖1圖2圖3

7.在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動課上，小亮同學(xué)利用一副三角尺探索與研究共直角頂點(diǎn)的兩個直角三角

形中的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.(其中N/=30°,Z5=60°,ZC=Z￡>=45°)

(1)將三角尺如圖1所示疊放在一起.

①N40D與/BOC大小關(guān)系是,依據(jù)是.

②280。與//OC的數(shù)量關(guān)系是.

(2)小亮固定其中一塊三角尺△C。。不動，繞點(diǎn)。順時針轉(zhuǎn)動另一塊三角尺，從圖2

的CM與0C重合開始，到圖3的。/與0C在一條直線上時結(jié)束，探索△NOB的一邊與

△COD的一邊平行的情況.

①求當(dāng)時，如圖4所示，N/OC的大??；

②直接寫出/NOC的其余所有可能值.

8.已知：直線￡尸分別交直線團(tuán)9,CD于點(diǎn)G,H,且乙4G〃+/￡>〃/=180°.

(1)如圖1,求證：AB//CD；

(2)如圖2,點(diǎn)跖N分別在射線GE,HF上，點(diǎn)、P,0分別在射線GN,HC上,連接

MP,NQ,且N〃PG+/NQ￥=90°,分別延長MP,N。交于點(diǎn)K,求證：MKLNK-,

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接KH,若KH平分~/MKN,且HE平分/KHD,若

ZDHG=5ZMPG,請直接寫出NKMV的度數(shù).

9.已知直線a〃b,直線c分別與直線a,6相交于點(diǎn)K,F,點(diǎn)、A,8分別在直線a,6上，

且在直線c的左側(cè)，點(diǎn)P是直線c上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)E,F重合），設(shè)NPAE=Z1,NAPB=Z

2,ZPBF=Z3.

（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在線段斯上運(yùn)動時，試探索Nl,Z2,N3之間的關(guān)系，并給出證

明;

（2）當(dāng)點(diǎn)尸在線段斯外運(yùn)動時，請你在備用圖中畫出圖形，并判斷（1）中的結(jié)論是

否還成立？若不成立，請你探索Nl,N2,N3之間的關(guān)系（不需要證明）.

10.問題情境

在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“兩條平行線。和一塊含60°角的直角三角

尺EFG（/EFG=90°,NEG尸=60°）”為主題開展數(shù)學(xué)活動.

操作發(fā)現(xiàn)

（1）如圖（1）,小明把三角尺的60°角的頂點(diǎn)G放在上，若N2=2/l,求/I的

度數(shù)；

（2）如圖（2）,小穎把三角尺的兩個銳角的頂點(diǎn)E、G分別放在N2和8上，請你探

索并說明N/EF與/尸GC之間的數(shù)量關(guān)系；

結(jié)論應(yīng)用

（3）如圖（3）,小亮把三角尺的直角頂點(diǎn)尸放在CO上，30°角的頂點(diǎn)￡落在N8

上.若NN￡G=a,則NCFG等于（用含a的式子表示）.

圖⑴圖(2)圖(3)

11.【閱讀與思考】

如圖，已知加0〃3N,ZA=64°.點(diǎn)尸是射線4W■上一動點(diǎn)（與點(diǎn)/不重合），BC、BD

分別平分N4B尸和NP3N,分別交射線⑷/于點(diǎn)C,D.

【思考與探究】

（1）①ZABN的度數(shù)是；

②,:AM//BN,：.NACB=Z；

③/CBD的度數(shù)是；

【猜想與探究】

（2）當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動時，N/P8與/AD8之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，

請寫出它們之間的關(guān)系，并說明理由；若變化，請寫出變化規(guī)律；

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到使時，//8C的度數(shù)是多少？

12.課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能.

（1）閱讀理解：如圖1,已知點(diǎn)/是8c外一點(diǎn)，連接49、AC,求/8+/8/C+NC的

度數(shù).閱讀并補(bǔ)充下面推理過程.

解：過點(diǎn)/作￡D〃2C,：.4B=,NC=,VZEAB+ZBAC+

/D/C=180°,Z.ZB+ZBAC+ZC=180°.

解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將N2/C、

/B、/C“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決.

（2）方法運(yùn)用：如圖2,已知求/5+/2CD+ND的度數(shù)；

（3）深化拓展：已知N3〃Cr>,點(diǎn)C在點(diǎn)。的右側(cè)，ZADC=50°,BE平分/ABC,

DE平分N/DC,BE,DE所在的直線交于點(diǎn)E,點(diǎn)、E在直線AB與CD之間.

①如圖3,點(diǎn)8在點(diǎn)/的左側(cè)，若N/8C=36°,求/BED的度數(shù).

②如圖4,點(diǎn)2在點(diǎn)/的右側(cè)，^.AB<CD,AD<BC.若乙45C="。,求/BED度

數(shù).（用含"的代數(shù)式表示）

圖1圖2圖3圖4

13.如圖1,AM//NC,點(diǎn)B位于4M,CN之間，/A4M為鈍角，AB1BC,垂足為點(diǎn)也

(1)若NC=40°,則；

(2)如圖2,過點(diǎn)2作交M4的延長線于點(diǎn)。，求證：N4BD=NC；

(3)如圖3,在(2)問的條件下，BE平分NDBC交AM于點(diǎn)、E,若NC=NDEB,求

NDEB的度數(shù).

14.已知：AB//CD,E、G是上的點(diǎn)，F(xiàn)、，是CD上的點(diǎn)，Z1=Z2.

(1)如圖1,求證：EF//GH；

(2)如圖2,過尸點(diǎn)作月0_LG"交G”延長線于點(diǎn)M,作/BEGNDRW■的角平分線

交于點(diǎn)N,EN交G”于點(diǎn)尸，求證：NN=45°；

(3)如圖3,在(2)的條件下，作N4G”的角平分線交CD于點(diǎn)0,若3/FEN=4/

直接寫出區(qū)姐的值.

HFM,

ZMPN

15.已知，DE■平分N4D2交射線2C于點(diǎn)E,ZBDE^ZBED.

(1)如圖1,求證：AD//BC；

(2)如圖2,點(diǎn)尸是射線。/上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸G〃5D交射線8C于點(diǎn)G,點(diǎn)N是尸G

上一點(diǎn)，連接NE,求證：/DEN=/ADE+NENG；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接DV,點(diǎn)P為AD延長線上一點(diǎn)，DM平分/BDE

交BE于點(diǎn)、M,若DN平分/PDM,DELEN,^DBC-ZDNE=ZFDN,求/EDN的度

數(shù).

Dfr-----------2FA

BECEGC

圖1圖2

BMEGC

圖3

16.將一副三角板中的兩個直角頂點(diǎn)C疊放在一起(如圖①)，其中N/=30°,NB=

60°,ZD=ZE=45°.

(1)猜想/3C。與//CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)若NBCD=4NACE,求/BCD的度數(shù)；

(3)若按住三角板4BC不動，繞頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動三角板DCE,試探究N2CD等于多少度時

CE//AB,并簡要說明理由.

備用圖10B備用圖2

17.已知：直線即分別與直線48,CD相交于點(diǎn)G,H,并且N/GE+NDLE=180°.

EEE

(1)如圖1,求證：AB//CD；

(2)如圖2,點(diǎn)M在直線48,CD之間，連接GM,HM,求證：ZM^ZAGM+Z

CHM；

(3)如圖3,在(2)的條件下，射線G8是N2GM的平分線，在Affi■的延長線上取點(diǎn)

N,連接GN,若/N=NAGM,/M=/N+L/FGN,求/M/G的度數(shù).

2

18.【探究結(jié)論】

(1)如圖1,AB//CD,￡為形內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)/￡、CE得至U//EC,則//EC、乙4、ZC

的關(guān)系是(直接寫出結(jié)論，不需要證明)：

【探究應(yīng)用】利用(1)中結(jié)論解決下面問題：

(2)如圖2,AB//CD,直線MV分別交/8、CD于點(diǎn)E、F,EGi和EG2為48￡尸內(nèi)滿

足N1=N2的兩條線，分別與NEFD的平分線交于點(diǎn)Gi和G2，求證：ZFG1E+ZG2^

180°.

(3)如圖3,已知N8〃CD,F為CD上一點(diǎn)、,ZEFD=60°,ZAEC=3ZCEF,若8°

<ZBAE<20°,NC的度數(shù)為整數(shù)，則/C的度數(shù)為.

19.已知，直線所分別與直線48、8相交于點(diǎn)G、H,并且N/GE+NDLE=180°.

(1)如圖1,求證：AB//CD.

(2)如圖2,點(diǎn)M在直線/8、CD之間，連接MG、HM,當(dāng)/4GAf=32°,AMHC=

68°時，求NGMZ的度數(shù).

(3)只保持(2)中所求/GM/的度數(shù)不變，如圖3,GP是/4GM的平分線，HQ是

NAffiD的平分線，作EW〃尸G,則NQEW的度數(shù)是否改變？若不發(fā)生改變，請求出它

的度數(shù).若發(fā)生改變，請說明理由.(本題中的角均為大于0°且小于180。的角)

20.如圖，AD//BC,/氏4。的平分線交2C于點(diǎn)G,NBCD=90°.

(1)試說明：ZBAG=ZBGA；

(2)如圖1,點(diǎn)尸在/G的反向延長線上，連接CF交4D于點(diǎn)￡,若/BAG-NF=

45°,求證：CF平分/BCD.

(3)如圖2,線段/G上有點(diǎn)尸，滿足NABP=3/PBG,過點(diǎn)C作CH〃/G.若在直線

NG上取一點(diǎn)M,使/PBM=/DCH,求4ABM的值.

ZGBM

21.如圖1,已知直線P0〃兒W,點(diǎn)/在直線尸。上，點(diǎn)C、。在直線〃N上，連接NC、

AD,NP/C=50°,NADC=30°,4E平分NP4D,CE1平分N/CD,4E1與CE相交于

E.

(1)求N/EC的度數(shù)；

(2)若將圖1中的線段ND沿兒W向右平移到小)如圖2所示位置，此時小￡平分/

AAiDi，CE平分//CDi，小￡與CE相交于E,NPAC=50°,ZAlDlC=30°,求/

4EC的度數(shù).

(3)若將圖1中的線段AD沿向左平移到小口如圖3所示位置，其他條件與(2)

相同，求此時//i￡C的度數(shù).

22.如圖1所示：點(diǎn)E為2c上一點(diǎn)，/A=ND,AB//CD.

(1)直接寫出//C3與N2ED的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,AB//CD,BG平分/4BE,BG的反向延長線與4ED尸的平分線交于/7點(diǎn)，

若比NG//D大60°,求NDE8的度數(shù)；

(3)保持(2)中所求的NDE5的度數(shù)不變，如圖3,BM平分NEBK,DN平分/CDE,

炸BP〃DN,求NP2M的度數(shù).(本題中的角均為大于0°且小于180°的角)

圖1圖2圖3

23.如圖，射線。2〃O4,/C=/OAB.

(1)求證：AB//OC；

(2)若點(diǎn)、E,F在CB上,且/FOB=/AOB,0E平分/COF.

①當(dāng)NC=110°時，求/￡08的度數(shù)；

②如果平移/比那么夕2的值是否隨之發(fā)生變化？若不變，求出這個值；若變化,

ZOBC

請說明理由.

24.已知，AB//DE,點(diǎn)C在48上方，連接2C、CD.

(1)如圖1,求證：NBCD+NCDE=NABC；

(2)如圖2,過點(diǎn)。作《廣，2C交研)的延長線于點(diǎn)尸，探究N4BC和/尸之間的數(shù)量

關(guān)系；

(3)如圖3,在(2)的條件下，NCED的平分線交CD于點(diǎn)G,連接G5并延長至點(diǎn)

H,若BH平分NABC,求NBG。-NCG/的值.

圖?

圖2圖3

25.如圖1,G,E是直線上兩點(diǎn)，點(diǎn)G在點(diǎn)E左側(cè)，過點(diǎn)G的直線GP與過點(diǎn)E的直

線EP交于點(diǎn)、P.直線PE交直線。于點(diǎn)〃，滿足點(diǎn)￡在線段P4上，ZPGB+ZP=Z

PHD.

(1)求證：AB//CD；

(2)如圖2,點(diǎn)。在直線AB,CD之間，PH平■%/QHD,GF平分/PGB,點(diǎn)、F,G,

。在同一直線上，且2/。+/尸=120°,求NQTO的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，若點(diǎn)M是直線PG上一點(diǎn)，直線Affi■交直線48于點(diǎn)N,點(diǎn)、N

在點(diǎn)8左側(cè)，請直接寫出7vB和/P7W的數(shù)量關(guān)系.(題中所有角都是大于0°且小于

180°的角)

圖1備用圖

26.已知4B〃CD,尸是截線MN上的一點(diǎn)，MN與CD、分別交于E、F.

(1)若NEFB=50。,NE。尸=35°,求/的度數(shù)；

(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在線段斯上運(yùn)動時，NCDP與/4BP的平分線交于。，問：.Q

ZDPB

是否為定值？若是定值，請求出定值；若不是，說明其范圍；

(3)①如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸在線段EE的延長線上運(yùn)動時，NCDP與N/2尸的平分線交于

Q,則*的值為___________________；

ZDPB

②當(dāng)點(diǎn)尸在直線EF上運(yùn)動時，NCDP與N4BP的〃等分線交于0,其中/。。=工/

n

CDP,N4BQ=L/ABP,設(shè)/DPB=a,求/。的度數(shù)(直接用含小a的代數(shù)式表示,

n

27.如圖，直線CD與EF相交于點(diǎn)O,ZCOE=60°,將一直角三角尺/O8的直角頂點(diǎn)與

。重合，平分NCOE.

(1)求NBOD的度數(shù)；

(2)將三角尺以每秒3°的速度繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)，同時直線斯也以每秒9°的

速度繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動時間為/秒(0W/W40).

①當(dāng)f為何值時，直線斯平分//。2；

②若直線所平分N2。。，直接寫出/的值.

28.實(shí)驗(yàn)證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡

所夾的銳角相等.如圖1,一束光線加射到平面鏡。上，被a反射后的光線為"，則入射

光線加、反射光線"與平面鏡a所夾的銳角N1=N2.

(1)如圖2,一束光線加射到平面鏡。上，被a反射到平面鏡6上，又被6反射.若被

6反射出的光線"與光線加平行，且Nl=50°,則N2=°,Z3=

o

(2)請你猜想：當(dāng)射到平面鏡。上的光線小，經(jīng)過平面鏡a、6的兩次反射后，入射光

線加與反射光線〃平行時，兩平面鏡。、6間的夾角/3的大小是否為定值？若是定值,

請求出N3,若不是定值，請說明理由.

(3)如圖3,兩面鏡子的夾角為a。(0<a<90),進(jìn)入光線與離開光線的夾角為0°

29.(1)如圖1,已知直線/1〃勿且6和A，辦分別交于4，8兩點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段N8上,

則Nl,N2,N3之間的等量關(guān)系是；如圖2,點(diǎn)/在2處北偏東40°

方向，在C處的北偏西45°方向，則NA4C=

(2)如圖3,和/5DC的平分線交于￡,BE交CD于點(diǎn)、F,Zl+Z2=90°,試

說明：AB//CD；并探究/2與/3的數(shù)量關(guān)系.

30.如圖，AB//CD,定點(diǎn)、E,尸分別在直線45,CD上,在平行線/瓦CD之間有一動點(diǎn)

P,滿足0°<ZEPF<1S0°.

(1)試問N/EP,ZEPF,NP尸C滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？

解：由于點(diǎn)尸是平行線N8,CD之間有一動點(diǎn)，因此需要對點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論:

如圖1,當(dāng)尸點(diǎn)在￡尸的左側(cè)時，ZAEP,ZEPF,/尸尸C滿足數(shù)量關(guān)系為

,如圖2,當(dāng)尸點(diǎn)在E尸的右側(cè)時，ZAEP,ZEPF,/尸F(xiàn)C滿足數(shù)量關(guān)系為

(2)如圖3,QE,QF分別平分/PE8和ZPFD,且點(diǎn)P在EF左側(cè).

①若N￡P(guān)F=60°,則.

②猜想/￡尸尸與/E0P的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

③如圖4,若N2E。與/。尸。的角平分線交于點(diǎn)Q,N2EQ與/DFQ的角平分線交

于點(diǎn)。2，/BEQ?與乙DZR的角平分線交于點(diǎn)。3；此次類推，則/E尸尸與/因2018尸

滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？(直接寫出結(jié)果)

DD

圖3圖4

31.如圖1,2C_L/F于點(diǎn)C,N/+Nl=90°.

(1)求證：AB//DE；

(2)如圖2,點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)，沿線段/尸運(yùn)動到點(diǎn)尸停止，連接尸2,PE.貝UN4BP,

ADEP,28PE三個角之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系(不考慮點(diǎn)尸與點(diǎn)),D,C重合的情

況)？并說明理由.

32.如圖，己知N2〃CD,現(xiàn)將一直角三角形尸AW放入圖中，其中/尸=90°,PM交AB

于點(diǎn)E,PN交CD于氤F

(1)當(dāng)△尸AW所放位置如圖①所示時，則NPFO與的數(shù)量關(guān)系為

(2)當(dāng)△PMN所放位置如圖②所示時，求證：ZPFD-ZAEM^90°；

(3)在(2)的條件下，若