人教版八年級數學上冊期末復習考點清單 專題04 整式的乘法與因式分解（5個考點清單+16種題型解讀）

專題04整式的乘法與因式分解（考點清單，5個考點清單+16種題型解讀）【清單01】冪的運算1.同底數冪的乘法性質(其中都是正整數).即同底數冪相乘，底數不變，指數相加.要點詮釋：（1）同底數冪是指底數相同的冪，底數可以是任意的實數，也可以是單項式、多項式.（2）三個或三個以上同底數冪相乘時，也具有這一性質，即（都是正整數）.（3）逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數冪的積，其中它們的底數與原來的底數相同，它們的指數之和等于原來的冪的指數。即（都是正整數）.2.冪的乘方法則(其中都是正整數).即冪的乘方，底數不變，指數相乘.要點詮釋：（1）公式的推廣：(，均為正整數)（2）逆用公式：，根據題目的需要常常逆用冪的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.3.積的乘方法則(其中是正整數).即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.要點詮釋：（1）公式的推廣：(為正整數).（2）逆用公式：逆用公式適當的變形可簡化運算過程，尤其是遇到底數互為倒數時，計算更簡便.如：注意事項（1）底數可以是任意實數，也可以是單項式、多項式.（2）同底數冪的乘法時，只有當底數相同時,指數才可以相加.指數為1，計算時不要遺漏.（3）冪的乘方運算時，指數相乘，而同底數冪的乘法中是指數相加.（4）積的乘方運算時須注意，積的乘方要將每一個因式(特別是系數)都要分別乘方.（5）靈活地雙向應用運算性質，使運算更加方便、簡潔.（6）帶有負號的冪的運算，要養(yǎng)成先化簡符號的習慣.【清單02】整式的乘法1.單項式乘單項式單項式與單項式相乘，把它們的系數，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數作為積的一個因式.要點詮釋：（1）單項式的乘法法則的實質是乘法的交換律和同底數冪的乘法法則的綜合應用.（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數等于各系數的積，是把各單項式的系數交換到一起進行有理數的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數冪的乘法，按照“底數不變，指數相加”進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數寫在積里作為積的一個因式.（3）運算的結果仍為單項式，也是由系數、字母、字母的指數這三部分組成.（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.2.單項式與多項式相乘的運算法則單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要點詮釋：（1）單項式與多項式相乘的計算方法，實質是利用乘法的分配律將其轉化為多個單項式乘單項式的問題.（2）單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數與原多項式的項數相同.（3）計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.（4）對混合運算，應注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結果.3.多項式與多項式相乘的運算法則多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要點詮釋：多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數應該等于兩個多項式的項數之積.多項式與多項式相乘的最后結果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：.【清單03】整式的除法1．同底數冪的除法同底數冪的除法法則：一般地，我們有（a≠0，m，n都是正整數，并且m>n）．語言敘述：同底數冪相除，底數不變，指數相減．【拓展】（1）同底數冪的除法法則的推廣：當三個或三個以上同底數冪相除時，也具有這一性質，例如：（a≠0，m，n，p都是正整數，并且m>n+p）．（2）同底數冪的除法法則的逆用：（a≠0，m，n都是正整數，并且m>n）．2．單項式除以單項式單項式除以單項式法則：一般地，單項式相除，把系數與同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式．式．【歸納】該法則包括三個方面：（1）系數相除；（2）同底數冪相除；（3）只在被除式里出現的字母，連同它的指數作為商的一個因式．【注意】可利用單項式相乘的方法來驗證結果的正確性．3．多項式除以單項式多式除以單項式法則：一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．【注意】（1）多項式除以單項式是將其化為單項式除以單項式問題來解決，在計算時多項式里的各項要包括它前面的符號．（2）多項式除以單項式，被除式里有幾項，商也應該有幾項，不要漏項．（3）多項式除以單項式是單項式乘多項式的逆運算，可用其進行檢驗．【清單04】乘法公式1.平方差公式平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差.要點詮釋：在這里，既可以是具體數字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉化為公式的標準型（2）系數變化：如（3）指數變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如2.完全平方公式完全平方公式：兩數和(差)的平方等于這兩數的平方和加上（減去）這兩數乘積的兩倍.要點詮釋：公式特點：左邊是兩數的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.以下是常見的變形：3.補充公式；；；.【清單05】因式分解1.因式分解把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.要點詮釋：（1）因式分解只針對多項式，而不是針對單項式，是對這個多項式的整體，而不是部分，因式分解的結果只能是整式的積的形式.（2）要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算.2.公因式多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.要點詮釋：（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.（3）公因式的確定分為數字系數和字母兩部分：①公因式的系數是各項系數的最大公約數.②字母是各項中相同的字母，指數取各字母指數最低的.3.提公因式法把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．要點詮釋：（1）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關鍵是準確找出多項式各項的公因式.（3）當多項式第一項的系數是負數時，通常先提出“—”號，使括號內的第一項的系數變?yōu)檎龜担瑫r多項式的各項都要變號.（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現錯誤.4.公式法——平方差公式兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的積，即：要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數（整式）的和與這兩個數（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項式或多項式.5.公式法——完全平方公式兩個數的平方和加上（減去）這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.右邊是兩數的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項式或多項式.【考點題型一】冪的運算【例1】（2023秋?永春縣期末）已知，，為正整數，且滿足，則的取值不可能是A．5 B．6 C．7 D．8【變式1-1】（2024春?港南區(qū)期末）若，則A．3 B．4 C．5 D．6【變式1-2】（2023秋?倉山區(qū)校級期末）下列運算正確的是A． B． C． D．【變式1-3】（2023秋?郾城區(qū)期末）計算：．【考點題型二】冪的運算的逆運算【例2】（2023秋?南陽期末）在數學中，我們經常會運用逆向思考的方法來解決一些問題，例如：“若，，求的值．”這道題我們可以這樣思考：逆向運用同底數冪的乘法公式，即，所以，所以．（1）若，，請你也利用逆向思考的方法求出的值；（2）下面是小豫用逆向思考的方法完成的一道作業(yè)題，請你參考小豫的方法解答下面的問題：小豫的作業(yè)計算：；解：．①小豫的求解方法逆用了冪的一條運算性質，請你用符號（字母）語言直接寫出這條性質：．②計算：．【變式2-1】（2024春?唐山期末）若，，則的值是A．24 B．10 C．3 D．2【變式2-2】（2023秋?東莞市校級期末）已知，，則值為A．9 B．20 C． D．【變式2-3】（2023秋?舒蘭市期末）當，則的值為A．4 B． C．6 D．8【變式2-4】（2023秋?金昌期末）已知，，、為正整數，求．【考點題型三】冪的運算的應用——比較大小【例3】（2023秋?鄲城縣期末）比較、、的大小A． B． C． D．【變式3-1】（2023秋?舞陽縣期末）已知，，，則，，的大小關系是A． B． C． D．【變式3-2】（2023秋?藁城區(qū)期末）比較大?。海究键c題型四】整式的乘除法【例4-1】（2023秋?南陵縣期末）計算：．【例4-2】（2023秋?廣陽區(qū)校級期末）計算的結果是．【例4-3】（2023秋?和縣期末）．【例4-4】（2023秋?雷州市期末）．【例4-5】（2023秋?漢陽區(qū)校級期末）計算：．【例4-6】（2023秋?廉江市期末）（1）已知，，求的值．（2）已知，，，求的值．【例4-7】（2023秋?于都縣期末）已知多項式．化簡多項式時，小明的結果與其他同學的不同，請你檢查小明同學的解題過程．在標出①②③④的幾項中出現錯誤的是，并寫出正確的解答過程．小明的作業(yè)：①②③④．【變式4-1】（2023秋?黔南州期末）式子化簡后的結果是A． B． C． D．【變式4-2】（2023秋?漳州期末）如果，那么、的值分別是A．， B．， C．， D．，【變式4-3】（2023秋?大連期末）下列運算正確的是A． B． C． D．【變式4-4】（2023秋?西寧期末）計算：．【變式4-5】（2023秋?松北區(qū)期末）若，，則．【變式4-6】（2023秋?雨花區(qū)期末）若，則．【考點題型五】乘法公式【例5-1】（2023秋?久治縣期末）已知，，求與的值．【例5-2】（2023秋?江陽區(qū)期末）計算：．【例5-3】（2023秋?鞍山期末）運用乘法公式計算：【變式5-1】（2024春?平南縣期末）已知，，則代數式的值為A．8 B．18 C．19 D．25【變式5-2】（2023秋?安康期末）計算：．【考點題型六】因式分解【例6-1】（2023秋?自貢期末）下列等式從左到右的變形，是因式分解的是A． B． C． D．【例6-2】（2024春?港南區(qū)期末）單項式與的公因式是A． B． C． D．【例6-3】（2023秋?乳山市期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是A． B． C． D．【例6-4】（2023秋?高青縣期末）分解因式：（1）；（2）．【變式6-1】（2023秋?濱海新區(qū)期末）把多項式分解因式時，應提取的公因式是A． B． C． D．【變式6-2】（2023秋?臨潼區(qū)期末）閱讀下列材料：數學研究發(fā)現常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如：“”，細心觀察這個式子就會發(fā)現，前兩項可以提取公因式，后兩項也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，過程為．此種因式分解的方法叫做“分組分解法”．請在這種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：（1）因式分解：；（2）因式分解：．【變式6-3】（2023秋?東城區(qū)期末）利用整式的乘法運算法則推導得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關系可得．通過觀察可把看作以為未知數，、、、為常數的二次三項式，此種因式分解是把二次三項式的二項式系數與常數項分別進行適當的分解來湊一次項的系數，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項式的二項式系數2與常數項12分別進行適當的分解，如圖2，則．根據閱讀材料解決下列問題：（1）用十字相乘法分解因式：；（2）用十字相乘法分解因式：；（3）結合本題知識，分解因式：．【考點題型七】解決不含某項問題【例7】（23-24八年級·山東聊城·期末）已知多項式M=x2?3ax+6，N=x+3，且MN=A，當多項式A中不含x的2次項時，aA．?1 B．?13 C．0【變式7-1】（2023秋?楚雄州期末）如果計算的結果不含項，那么的值為A．0 B．1 C． D．【變式7-2】（2024春?廣陵區(qū)期末）若的結果中不含項，則的值為A．0 B．2 C． D．【變式7-3】（2023秋?同心縣校級期末）如果展開式中不含項，則．【考點題型八】解決與某個字母取值無關的問題【例8】（23-24八年級·湖南常德·期中）知識回顧：八年級學習代數式求值時，遇到過這樣一類題“代數式ax?y+6+3x?5y?1的值與x的取值無關，求a的值”，通常的解題方法是：把x、y看作字母，a看作系數合并同類項，因為代數式的值與x的取值無關，所以含x項的系數為0，即原式=a+3x?6y+5，所以a+3=0，則理解應用：(1)若關于x的多項式2m2?3x?m3?5x的值與(2)已知A=2x+13x?1?x5+3y，B=2x2?3xy+4【變式8】（23-24八年級·浙江金華·期末）若代數式x5kx?3xy?k?33x2y?4A．2 B．?2 C．?4 D．4【考點題型九】解決污染問題【例9】（2023秋?重慶期末）小明計算一道題：，的地方被鋼筆水弄污了，你認為內應填寫A．1 B．2 C．3 D．4【變式9-1】（23-24八年級·貴州遵義·期末）小明作業(yè)本發(fā)下來時，不小心被同學沾了墨水：24x4yA．?18x3y2 B．18x3【變式9-2】（23-24八年級·湖北十堰·期末）右側練習本上書寫的是一個正確的因式分解.但其中部分代數式被墨水污染看不清了.（1）求被墨水污染的代數式；（2）若被污染的代數式的值不小于4，求x的取值范圍.【變式9-3】（2023秋?南昌期末）老師在黑板上書寫了一個正確的演算過程，隨后用手掌捂住了一個多項式，形式如下：（1）求所捂的多項式；（2）若，，求所捂多項式的值．【考點題型十】解決誤看問題【例10】（2023秋?瀏陽市期末）小馬和小虎兩人共同計算一道整式乘法題：，由于小馬抄錯了的符號，得到的結果為；由于小虎漏抄了第二個多項式中的系數，得到的結果為．（1）求出，的值；（2）請你計算出這道整式乘法題的正確結果．【變式10】（2023秋?西平縣期末）某同學在計算加上一個多項式時錯將加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推斷出正確的計算結果是A． B． C． D．【考點題型十一】新定義問題【例11】（2023秋?衡陽期末）對于整數、定義運算：※（其中、為常數），如3※．（1）填空：當，時，2※；（2）若1※，2※，求的值．【變式11-1】（2023秋?江漢區(qū)期末）定義一種新的運算“”，若，則．①依定義，；②若，，，，則．【變式11-2】（2023秋?攸縣期末）一般地，若且，，則叫做以為底的對數，記為，即．譬如：，則4叫做以3為底81的對數，記為（即．根據對數的定義完成下列問題：（1）計算以下各對數的值：；；．（2）由（1）中計算的結果及結合三個數4；16；64之間滿足的等量關系式，直接寫出；；滿足的等量關系式．（3）由（2）猜想一般性結論：且，，，并根據冪的運算法則：以及對數的含義證明你的猜想．【變式11-3】（2023秋?望城區(qū)期末）規(guī)定，求：（1）求；（2）若，求的值．【變式11-4】（2023秋?鯉城區(qū)期末）規(guī)定兩數、之間的一種運算，記作：如果，那么．例如：因為，所以．根據上述規(guī)定，填空：（1）；（2）若，，則的值為．【考點題型十二】規(guī)律問題【例12】（23-24八年級·福建寧德·期末）“九章興趣小組”開展研究性學習，對兩位數乘法的速算技巧進行研究．小明發(fā)現“十位相同，個位互補”的兩個兩位數相乘有速算技巧．例如：24×26=100×2×342×48=100×4×5小紅發(fā)現“十位互補，個位為5”的兩個兩位數相乘也有速算技巧．例如：45×65=100×4×6+535×75=100×3×7+5(1)請你按照小明發(fā)現的技巧，寫出計算63×67的速算過程；(2)請你用含有字母的等式表示小明所發(fā)現的速算規(guī)律，并驗證其正確性；(3)小穎發(fā)現：小紅的速算技巧可以推廣到“十位互補，個位相同”的兩個兩位數相乘．請你直接用含有字母的等式表示該規(guī)律．友情提示：如果兩個正整數和為10，則稱這兩個數互補．【變式12-1】（23-24八年級·福建寧德·期中）下圖揭示了(a+b)n（n為非負整數）的展開式的項數及各項系數的有關規(guī)律．請觀察并解決問題：今天是星期五，再過7天也是星期五，那么再過514天是星期

……(a+b)……(a+b)……a+b……a+b【變式12-2】（23-24八年級·四川成都·期中）觀察：下列等式x?1x+1=x2?1，x?1x2+x+1=【變式12-3】（23-24八年級·廣東揭陽·期中）在日歷上，我們可以發(fā)現其中某些數滿足一定的規(guī)律，如圖是2020年11月份的日歷，我們任意用一個2×2的方框框出4個數，將其中4個位置上的數交叉相乘，再用較大的數減去較小的數，你發(fā)現了什么規(guī)律？(1)圖中方框框出的四個數，按照題目所說的計算規(guī)則，結果為．(2)換一個位置試一下，是否有同樣的規(guī)律？如果有，請你利用整式的運算對你發(fā)現的規(guī)律加以證明；如果沒有，請說明理由．【考點題型十三】幾何圖形問題【例13】（2023秋?乾安縣期末）如圖，一個小長方形的長為，寬為，把6個大小相同的小長方形放入到大長方形內．（1）大長方形的寬，長（長和寬都用含，的式子來表示）．（2）求在大長方形中，陰影部分的面積（用含，的式子來表示）（3）若，大長方形面積為，大長方形內陰影部分的面積為，則．【變式13-1】（2023秋?安康期末）如圖所示的是人民公園的一塊長為米．寬為米的空地．預計在空地上建造一個網紅打卡觀景臺（陰影部分）．（1）請用、表示觀景臺的面積．（結果化為最簡）（2）如果修建觀景臺的費用為200元平方米．且已知（米，（米．那么修建觀景臺需要費用多少元？【變式13-2】（2023秋?宜州區(qū)期末）如圖，某小區(qū)有一塊長為米，寬為米的長方形地塊，角上有四個邊長為米的小正方形空地，開發(fā)商計劃將陰影部分進行綠化．（1）用含有、的式子表示綠化的總面積（結果寫成最簡形式）；（2）物業(yè)找來陽光綠化團隊完成此項綠化任務，已知該隊每小時可綠化平方米，每小時收費200元，則該物業(yè)應該支付綠化隊多少費用？（用含、的代數式表示）【考點題型十四】分類討論思想【例14】（23-24八年級上·湖北荊門·期末）若是完全平方式，則．【變式】[2024杭州濱江區(qū)模擬]若x2－4xy－y2＝0(y＞0)，則xy＝【考點題型十五】數形結合思想【例15-1】（2023秋?臨潁縣期末）實踐與探索如圖1，邊長為的大正方形有一個邊長為的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．（1）上述操作能驗證的等式是；（請選擇正確的一個）．．．（2）請應用這個公式完成下列各題：①已知，，則．②計算：．【例15-2】（2023秋?晉江市期末）【實踐探究】小青同學在學習“因式分解”時，用如圖1所示編號為①②③④的四種長方體各若干塊，進行實踐探究：（1）現取其中兩個拼成如圖2所示的大長方體，請根據體積的不同表示方法，寫出一個代數恒等式：；【問題解決】（2）若要用這四種長方體拼成一個棱長為的正方體，其中②號長方體和③號長方體各需要多少個？試通過計算說明理由；【拓展延伸】（3）如圖3，在一個棱長為的正方體中挖出一個棱長為的正方體，請根據體積的不同表示方法，直接寫出因式分解的結果，并利用此結果解決問題：已知與分別是兩個大小不同正方體的棱長，且，當為整數時，求的值．【變式15-1】[2023北京石景山區(qū)期末]著名數學家華羅庚曾用詩詞表達了“數形結合”的思想，其中談到“數缺形時少直觀，形少數時難入微”.如圖是由四個長為a，寬為b的長方形拼成的正方形，其中a＞b＞0.根據圖形寫出一個正確的等式，可以表示為??.【變式15-2】（2023秋?潮安區(qū)期末）請認真觀察圖形，解答下列問題：（1）根據圖中條件，用兩種方法表示兩個陰影圖形的面積的和（只需表示，不必化簡）（2）由（1），你能得到怎樣的等量關系？請用等式表示；（3）如果圖中的，滿足，．求：①的值；②的值．【變式15-3】（2023秋?昌吉州期末）如圖（1），大正方形的面積可以表示為，同時大正方形的面積也可以表示成兩個小正方形面積與兩個長方形的面積之和，即．同一圖形（大正方形）的面積，用兩種不同的方法求得的結果應該相等，從而驗證了完全平方公式：．把這種“同一圖形的面積，用兩種不同的方法求出的結果相等，從而構建等式，根據等式解決相關問題”的方法稱為“面積法”．（1）用上述“面積法”，通過如圖（2）中圖形的面積關系，直接寫出一個等式：．（2）如圖（3），中，，，，，是斜邊邊上的高．用上述“面積法”求的長；（3）如圖（4），等腰中，，點為底邊上任意一點，，，，垂足分別為點，，，連接，用上述“面積法”求證：．【變式15-4】（2023秋?梁山縣期末）數形結合是解決數學問題的一種重要思想方法，借助圖形的直觀性，可以幫助解數學問題．（1）請寫出圖1，圖2，圖3陰影部分的面積分別能解釋的數學公式．圖；圖；圖．其中，完全平方公式可以從“形”的角度進行探究，通過圖形的轉化可以解決很多數學問題．在圖4中，已知，，求的值．解：，，又，，．即．類比遷移：（2）若，則；（3）如圖5，點是線段上的一點，以，為邊向兩邊作正方形，設，兩正方形的面積和，陰影部分面積為．【考點題型十六】整體思想【例16】（2024春?桃源縣期末）閱讀下列材料若滿足，求的值．設，，則，，．請仿照上面的方法求解下面問題：（1）若滿足，求的值；（2）已知正方形的邊長為，，分別是、上的點，且，，長方形的面積是48，分別以、為邊作正方形．①，；（用含的式子表示）②求陰影部分的面積．【變式16-1】[2024北京海淀區(qū)一模]已知2x2＋x－1＝0，求代數式(2x＋1)2－2(x－3)的值.【變式16-2】（2023秋?謝家集區(qū)期末）將邊長為的小正方形和邊長為的大正方形按如圖所示放置，其中點在邊上．（1）若，，求的值；（2）連接，，若，，求陰影部分的面積．

專題04整式的乘法與因式分解（考點清單，5個考點清單+16種題型解讀）【清單01】冪的運算1.同底數冪的乘法性質(其中都是正整數).即同底數冪相乘，底數不變，指數相加.要點詮釋：（1）同底數冪是指底數相同的冪，底數可以是任意的實數，也可以是單項式、多項式.（2）三個或三個以上同底數冪相乘時，也具有這一性質，即（都是正整數）.（3）逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數冪的積，其中它們的底數與原來的底數相同，它們的指數之和等于原來的冪的指數。即（都是正整數）.2.冪的乘方法則(其中都是正整數).即冪的乘方，底數不變，指數相乘.要點詮釋：（1）公式的推廣：(，均為正整數)（2）逆用公式：，根據題目的需要常常逆用冪的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.3.積的乘方法則(其中是正整數).即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.要點詮釋：（1）公式的推廣：(為正整數).（2）逆用公式：逆用公式適當的變形可簡化運算過程，尤其是遇到底數互為倒數時，計算更簡便.如：注意事項（1）底數可以是任意實數，也可以是單項式、多項式.（2）同底數冪的乘法時，只有當底數相同時,指數才可以相加.指數為1，計算時不要遺漏.（3）冪的乘方運算時，指數相乘，而同底數冪的乘法中是指數相加.（4）積的乘方運算時須注意，積的乘方要將每一個因式(特別是系數)都要分別乘方.（5）靈活地雙向應用運算性質，使運算更加方便、簡潔.（6）帶有負號的冪的運算，要養(yǎng)成先化簡符號的習慣.【清單02】整式的乘法1.單項式乘單項式單項式與單項式相乘，把它們的系數，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數作為積的一個因式.要點詮釋：（1）單項式的乘法法則的實質是乘法的交換律和同底數冪的乘法法則的綜合應用.（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數等于各系數的積，是把各單項式的系數交換到一起進行有理數的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數冪的乘法，按照“底數不變，指數相加”進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數寫在積里作為積的一個因式.（3）運算的結果仍為單項式，也是由系數、字母、字母的指數這三部分組成.（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.2.單項式與多項式相乘的運算法則單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要點詮釋：（1）單項式與多項式相乘的計算方法，實質是利用乘法的分配律將其轉化為多個單項式乘單項式的問題.（2）單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數與原多項式的項數相同.（3）計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.（4）對混合運算，應注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結果.3.多項式與多項式相乘的運算法則多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要點詮釋：多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數應該等于兩個多項式的項數之積.多項式與多項式相乘的最后結果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：.【清單03】整式的除法1．同底數冪的除法同底數冪的除法法則：一般地，我們有（a≠0，m，n都是正整數，并且m>n）．語言敘述：同底數冪相除，底數不變，指數相減．【拓展】（1）同底數冪的除法法則的推廣：當三個或三個以上同底數冪相除時，也具有這一性質，例如：（a≠0，m，n，p都是正整數，并且m>n+p）．（2）同底數冪的除法法則的逆用：（a≠0，m，n都是正整數，并且m>n）．2．單項式除以單項式單項式除以單項式法則：一般地，單項式相除，把系數與同底數冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式．式．【歸納】該法則包括三個方面：（1）系數相除；（2）同底數冪相除；（3）只在被除式里出現的字母，連同它的指數作為商的一個因式．【注意】可利用單項式相乘的方法來驗證結果的正確性．3．多項式除以單項式多式除以單項式法則：一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．【注意】（1）多項式除以單項式是將其化為單項式除以單項式問題來解決，在計算時多項式里的各項要包括它前面的符號．（2）多項式除以單項式，被除式里有幾項，商也應該有幾項，不要漏項．（3）多項式除以單項式是單項式乘多項式的逆運算，可用其進行檢驗．【清單04】乘法公式1.平方差公式平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差.要點詮釋：在這里，既可以是具體數字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉化為公式的標準型（2）系數變化：如（3）指數變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如2.完全平方公式完全平方公式：兩數和(差)的平方等于這兩數的平方和加上（減去）這兩數乘積的兩倍.要點詮釋：公式特點：左邊是兩數的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.以下是常見的變形：3.補充公式；；；.【清單05】因式分解1.因式分解把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.要點詮釋：（1）因式分解只針對多項式，而不是針對單項式，是對這個多項式的整體，而不是部分，因式分解的結果只能是整式的積的形式.（2）要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算.2.公因式多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.要點詮釋：（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.（3）公因式的確定分為數字系數和字母兩部分：①公因式的系數是各項系數的最大公約數.②字母是各項中相同的字母，指數取各字母指數最低的.3.提公因式法把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．要點詮釋：（1）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關鍵是準確找出多項式各項的公因式.（3）當多項式第一項的系數是負數時，通常先提出“—”號，使括號內的第一項的系數變?yōu)檎龜?，同時多項式的各項都要變號.（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項漏掉，或認為是0而出現錯誤.4.公式法——平方差公式兩個數的平方差等于這兩個數的和與這兩個數的差的積，即：要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數（整式）的和與這兩個數（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項式或多項式.5.公式法——完全平方公式兩個數的平方和加上（減去）這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數的平方和加（或減）這兩數之積的2倍.右邊是兩數的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項式或多項式.【考點題型一】冪的運算【例1】（2023秋?永春縣期末）已知，，為正整數，且滿足，則的取值不可能是A．5 B．6 C．7 D．8【分析】將原方程化為，得到，，再根據，，為正整數，求出，的值，進而求出答案．【解答】解：根據題意得：，，，，，為正整數，當時，；當時，；當時，，不可能為8．故選：．【點評】本題考查了冪的運算，難度較大，根據，，為自然數求出，的值是解題的關鍵．【變式1-1】（2024春?港南區(qū)期末）若，則A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據同底數冪乘法的計算方法進行計算即可．【解答】解：，．故選：．【點評】本題考查同底數冪的乘法，掌握“同底數冪相乘，底數不變，指數相加”是正確解答的關鍵．【變式1-2】（2023秋?倉山區(qū)校級期末）下列運算正確的是A． B． C． D．【分析】根據同底數冪的乘法，同底數冪的除法底數不變指數相減，冪的乘方底數不變指數相乘，可得答案．【解答】解：、與不是同類項，不能合并，故不符合題意；、同底數冪的除法底數不變指數相減，故不符合題意；、同底數冪的乘法底數不變指數相加，故不符合題意；、冪的乘方底數不變指數相乘，故符合題意；故選：．【點評】本題考查了同底數冪的除法，熟記法則并根據法則計算是解題關鍵．【變式1-3】（2023秋?郾城區(qū)期末）計算：．【分析】根據積的乘方得出原式，再算乘法，算乘方，最后求出答案即可．【解答】解：．故答案為：2．【點評】本題考查了冪的乘方與積的乘方，能正確根據積的乘方進行變形是解此題的關鍵．【考點題型二】冪的運算的逆運算【例2】（2023秋?南陽期末）在數學中，我們經常會運用逆向思考的方法來解決一些問題，例如：“若，，求的值．”這道題我們可以這樣思考：逆向運用同底數冪的乘法公式，即，所以，所以．（1）若，，請你也利用逆向思考的方法求出的值；（2）下面是小豫用逆向思考的方法完成的一道作業(yè)題，請你參考小豫的方法解答下面的問題：小豫的作業(yè)計算：；解：．①小豫的求解方法逆用了冪的一條運算性質，請你用符號（字母）語言直接寫出這條性質：．②計算：．【分析】（1）逆向運用冪的乘方運算法則，同底數冪的除法運算法則，即可得出答案；（2）①逆向運算積的乘方運算法則填空即可；②逆向運算積的乘方運算法則計算即可．【解答】解：（1），．，，；（2）①小豫的求解方法逆用了積的乘方運算性質，即，故答案為：；②．【點評】本題考查了積的乘方運算，同底數冪的除法運算，熟練掌握積的乘方運算，同底數冪的除法運算法則是解題的關鍵．【變式2-1】（2024春?唐山期末）若，，則的值是A．24 B．10 C．3 D．2【分析】根據同底數冪的乘法法則解答即可．【解答】解：，，．故選：．【點評】本題主要考查了同底數冪的乘法，同底數冪相乘，底數不變，指數相加．【變式2-2】（2023秋?東莞市校級期末）已知，，則值為A．9 B．20 C． D．【分析】根據冪的乘方與積的乘方，同底數冪的乘法法則，進行計算即可解答．【解答】解：，，，故選：．【點評】本題考查了冪的乘方與積的乘方，同底數冪的乘法，熟練掌握它們的運算法則是解題的關鍵．【變式2-3】（2023秋?舒蘭市期末）當，則的值為A．4 B． C．6 D．8【分析】運用同底數冪相乘和整體思想進行求解．【解答】解：，，，故選：．【點評】此題考查了同底數冪相乘和整體思想的應用能力，關鍵是能準確理解并運用以上知識和能力．【變式2-4】（2023秋?金昌期末）已知，，、為正整數，求．【分析】首先求出，，進而利用積的乘方以及同底數冪的乘方運算法則求出即可．【解答】解：，，，，．【點評】此題主要考查了積的乘方與冪的乘方以及同底數冪的乘方運算等知識，正確掌握運算法則是解題關鍵．【考點題型三】冪的運算的應用——比較大小【例3】（2023秋?鄲城縣期末）比較、、的大小A． B． C． D．【分析】根據冪的乘方，底數不變指數相乘都轉換成指數是11的冪，再根據底數的大小進行判斷即可．【解答】解：，，，，．故選：．【點評】本題考查了冪的乘方的性質，解題的關鍵在于都轉化成以11為指數的冪的形式．【變式3-1】（2023秋?舞陽縣期末）已知，，，則，，的大小關系是A． B． C． D．【分析】根據冪的乘方、有理數的乘方、有理數的大小關系解決此題．【解答】解：，，，，，．又，．故選：．【點評】本題主要考查冪的乘方、有理數的乘方、有理數的大小比較，熟練掌握冪的乘方、有理數的乘方、有理數的大小關系是解決本題的關鍵．【變式3-2】（2023秋?藁城區(qū)期末）比較大小：．【分析】根據冪的乘方把兩個數寫成指數相同的數，再比較．【解答】解：，，而．【點評】此題主要考查學生對冪的乘方與積的乘方的理解及計算能力．【考點題型四】整式的乘除法【例4-1】（2023秋?南陵縣期末）計算：．【分析】根據冪的相關運算法則即可求解．【解答】解：原式．【點評】本題考查冪的相關運算．掌握運算法則是解題關鍵．【例4-2】（2023秋?廣陽區(qū)校級期末）計算的結果是．【分析】根據單項式乘多項式的運算法則進行運算即可．【解答】解：原式．故答案為：．【點評】本題考查單項式乘多項式，正確記憶運算法則是解題關鍵．【例4-3】（2023秋?和縣期末）．【分析】直接利用整式的除法運算法則求出即可．【解答】解：．【點評】此題主要考查了整式的除法運算，熟練掌握整式的除法運算法則是解題關鍵．【例4-4】（2023秋?雷州市期末）．【分析】先算乘方、負數的指數冪和零指數冪，再算加減即可得到結果即可．【解答】解：．【點評】本題考查了有理數的乘方、負數的指數冪和零指數冪，先算乘方、負數的指數冪和零指數冪，再算加減即可得到結果，熟練掌握相關運算是解題的關鍵．【例4-5】（2023秋?漢陽區(qū)校級期末）計算：．【分析】利用冪的乘方的法則，同底數冪的乘法的法則，同底數冪的除法的法則進行運算即可．【解答】解：．【點評】本題主要考查同底數冪的除法，同底數冪的乘法，冪的乘方，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．【例4-6】（2023秋?廉江市期末）（1）已知，，求的值．（2）已知，，，求的值．【分析】（1）利用冪的乘方的法則對所求的式子進行整理，再代入相應的值運算即可；（2）利用同底數冪的乘法的法則，同底數冪的除法的法則，冪的乘方的法則對式子進行整理，再代入相應的值運算即可．【解答】解：（1）當，時，；（2）當，，時，．【點評】本題主要考查同底數冪的除法，同底數冪的乘法，冪的乘方，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．【例4-7】（2023秋?于都縣期末）已知多項式．化簡多項式時，小明的結果與其他同學的不同，請你檢查小明同學的解題過程．在標出①②③④的幾項中出現錯誤的是，并寫出正確的解答過程．小明的作業(yè)：①②③④．【分析】根據完全平方公式進行判斷即可；根據整式的混合運算法則計算即可．【解答】解：①，故答案為：①；正確解答過程為：．【點評】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握完全平方公式、單項式乘多項式的法則是解題的關鍵．【變式4-1】（2023秋?黔南州期末）式子化簡后的結果是A． B． C． D．【分析】先根據積的乘方法則計算乘方，再根據單項式乘單項式法則進行計算即可．【解答】解：原式，故選：．【點評】本題主要考查了單項式乘單項式，解題關鍵是熟練掌握單項式乘單項式法則、冪的乘方法則和積的乘方法則．【變式4-2】（2023秋?漳州期末）如果，那么、的值分別是A．， B．， C．， D．，【分析】先將展開，然后與找準對應的系數，即可得到、的值．【解答】解：，，，，故選：．【點評】本題考查多項式乘以多項式，解題的關鍵是明確多項式乘以多項式的方法，找準對應的系數．【變式4-3】（2023秋?大連期末）下列運算正確的是A． B． C． D．【分析】根據同底數冪的乘法，同底數冪的除法，積的乘方進行計算即可．【解答】解：、，故選項錯誤，不符合題意；、，故選項正確，符合題意；、，故選項錯誤，不符合題意；、，故選項錯誤，不符合題意；故選：．【點評】本題考查整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．【變式4-4】（2023秋?西寧期末）計算：．【分析】先利用乘法的結合律，再把結果用科學記數法表示．【解答】解：．故答案為：．【點評】本題考查了有理數的計算，掌握乘法的運算法則及科學記數法是解決本題的關鍵．【變式4-5】（2023秋?松北區(qū)期末）若，，則．【分析】根據冪的乘方運算法則可得，再根據同底數冪的除法法則計算即可．【解答】解：因為，，所以．故答案為：9．【點評】本題主要考查了同底數冪的除法以及冪的乘方，熟記冪的運算法則是解答本題的關鍵．【變式4-6】（2023秋?雨花區(qū)期末）若，則．【分析】根據同底數冪的運算法則即可求出答案．【解答】解：，原式，故答案為：4．【點評】本題考查同底數冪的運算，解題的關鍵是熟練運用同底數冪的運算法則，本題屬于基礎題型．【考點題型五】乘法公式【例5-1】（2023秋?久治縣期末）已知，，求與的值．【分析】根據完全平方公式間的關系，可得答案．【解答】解：，，；．【點評】本題考查了完全平方公式，熟記法則并根據法則計算是解題關鍵．【例5-2】（2023秋?江陽區(qū)期末）計算：．【分析】根據平方差公式、完全平方公式進行計算即可．【解答】解：原式．【點評】本題考查完全平方公式、平方差公式，掌握完全平方公式、平方差公式的結構特征是正確解答的關鍵．【例5-3】（2023秋?鞍山期末）運用乘法公式計算：【分析】原式先利用平方差公式化簡，再利用完全平方公式展開即可得到結果．【解答】解：原式．【點評】此題考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵．【變式5-1】（2024春?平南縣期末）已知，，則代數式的值為A．8 B．18 C．19 D．25【分析】先根據完全平方公式得出，再求出答案即可．【解答】解：，，．故選：．【點評】本題考查了完全平方公式，能熟記公式是解此題的關鍵，注意：完全平方公式為：，．【變式5-2】（2023秋?安康期末）計算：．【分析】根據平方差公式、完全平方公式分別計算，再合并同類項即可得出結果．【解答】解：．【點評】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握平方差公式、完全平方公式是解題的關鍵．【考點題型六】因式分解【例6-1】（2023秋?自貢期末）下列等式從左到右的變形，是因式分解的是A． B． C． D．【分析】將一個多項式化為幾個整式的積的形式即為因式分解，據此逐項判斷即可．【解答】解：是整式乘法運算，則不符合題意；是單項式的變形，則不符合題意；的右邊不是積的形式，則不符合題意；符合因式分解的定義，則符合題意；故選：．【點評】本題考查因式分解的識別，熟練掌握其定義是解題的關鍵．【例6-2】（2024春?港南區(qū)期末）單項式與的公因式是A． B． C． D．【分析】根據公因式的概念分別求得系數的最大公因數，相同字母的次數的最低次數即可．【解答】解：單項式與的公因式是．故選：．【點評】本題主要考查公因式，熟練掌握如何去找公因式是解題的關鍵．【例6-3】（2023秋?乳山市期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是A． B． C． D．【分析】利用平方差公式以及完全平方公式分別將各式分解，即可作出判斷．【解答】解：．，故此選項不合題意；．無法運用完全平方公式分解因式，故此選項不合題意；．，故此選項符合題意；．無法運用完全平方公式分解因式，故此選項不合題意；故選：．【點評】此題主要考查了公式法分解因式，正確掌握乘法公式是解題關鍵．【例6-4】（2023秋?高青縣期末）分解因式：（1）；（2）．【分析】（1）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；（2）提公因式后利用平方差公式因式分解即可．【解答】解：（1）原式；（2）原式．【點評】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．【變式6-1】（2023秋?濱海新區(qū)期末）把多項式分解因式時，應提取的公因式是A． B． C． D．【分析】將原式因式分解后即可求得答案．【解答】解：，則把多項式分解因式時，應提取的公因式是，故選：．【點評】本題考查提公因式法因式分解，找到正確的公因式是解題的關鍵．【變式6-2】（2023秋?臨潼區(qū)期末）閱讀下列材料：數學研究發(fā)現常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用上述方法無法分解，如：“”，細心觀察這個式子就會發(fā)現，前兩項可以提取公因式，后兩項也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個式子的因式分解了，過程為．此種因式分解的方法叫做“分組分解法”．請在這種方法的啟發(fā)下，解決以下問題：（1）因式分解：；（2）因式分解：．【分析】（1）首先將前兩項組合提取公因式，后兩項組合提取公因式，然后提取新的公因式即可；（2）首先分別將與組合，利用完全平方公式分解因式，然后提取新的公因式即可．【解答】解：（1）；（2）．【點評】此題主要考查了分組分解法分解因式，正確分組分解是解題關鍵．【變式6-3】（2023秋?東城區(qū)期末）利用整式的乘法運算法則推導得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關系可得．通過觀察可把看作以為未知數，、、、為常數的二次三項式，此種因式分解是把二次三項式的二項式系數與常數項分別進行適當的分解來湊一次項的系數，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項式的二項式系數2與常數項12分別進行適當的分解，如圖2，則．根據閱讀材料解決下列問題：（1）用十字相乘法分解因式：；（2）用十字相乘法分解因式：；（3）結合本題知識，分解因式：．【分析】（1）（2）（3）仿照題例，找到滿足條件的、、、，分解即可．【解答】解：（1）；（2）；（3）．【點評】本題考查了整式的因式分解，看懂題例掌握“十字相乘法”是解決本題的關鍵．【考點題型七】解決不含某項問題【例7】（23-24八年級·山東聊城·期末）已知多項式M=x2?3ax+6，N=x+3，且MN=A，當多項式A中不含x的2次項時，aA．?1 B．?13 C．0【答案】D【分析】本題考查的是整式的乘法—多項式乘多項式，正確進行多項式的乘法是解答此題的關鍵．根據題意列出整式相乘的式子，再計算多項式乘多項式，最后進行合并同類項，令二次項的系數等于0即可．【詳解】解：∵MN==∴A=MN=∵多項式A中不含x的2次項時，∴3?3a=0∴a=1故選D．【變式7-1】（2023秋?楚雄州期末）如果計算的結果不含項，那么的值為A．0 B．1 C． D．【分析】先計算單項式乘以多項式，再結合項的系數為零即可得出答案．【解答】解：，又計算的結果不含項，．．故選：．【點評】本題主要考查了整式的乘法運算，熟練掌握單項式乘以多項式的法則是解題的關鍵．【變式7-2】（2024春?廣陵區(qū)期末）若的結果中不含項，則的值為A．0 B．2 C． D．【分析】先根據多項式乘以多項式法則展開，合并同類項，由題可得含的平方的項的系數為0，求出即可．【解答】解：，的結果中不含項，，解得：．故選：．【點評】本題考查了多項式乘以多項式，能熟練地運用法則進行化簡是解此題的關鍵．【變式7-3】（2023秋?同心縣校級期末）如果展開式中不含項，則．【分析】先用多項式乘多項式法則展開，再根據不含項得方程，求解即可．【解答】解：．展開式中不含項，．．故答案為：．【點評】本題考查了整式的運算，掌握多項式乘多項式法則是解決本題的關鍵．【考點題型八】解決與某個字母取值無關的問題【例8】（23-24八年級·湖南常德·期中）知識回顧：八年級學習代數式求值時，遇到過這樣一類題“代數式ax?y+6+3x?5y?1的值與x的取值無關，求a的值”，通常的解題方法是：把x、y看作字母，a看作系數合并同類項，因為代數式的值與x的取值無關，所以含x項的系數為0，即原式=a+3x?6y+5，所以a+3=0，則理解應用：(1)若關于x的多項式2m2?3x?m3?5x的值與(2)已知A=2x+13x?1?x5+3y，B=2x2?3xy+4【答案】(1)m=(2)y=【分析】（1）先去括號，然后合并同類項，結合多項式的值與x的取值無關，即可求出答案；（2）先把A進行化簡，然后計算2A?6B，結合多項式的值與x的取值無關，即可求出答案．【詳解】（1）解：2=2=(5m?3)x+2m2∵其值與x的取值無關，∴5m?3=0，

解得：m=35即：當m=35時，多項式2m（2）解：∵A=(2x+1)(3x?1)?x(5+3y)，B=2x∴2A?6B=2[(2x+1)(3x?1)?x(5+3y)]?6(2x=2(6x=12x=12xy?8x?26=4x(3y?2)?26；

∵2A?6B的值與x無關，∴3y?2=0，即y=2【點睛】本題考查了整式的加減乘混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．【變式8】（23-24八年級·浙江金華·期末）若代數式x5kx?3xy?k?33x2y?4A．2 B．?2 C．?4 D．4【答案】A【分析】本題考查整式的四則混合運算，先將題目中的式子化簡，然后根據此代數式的值與y的取值無關，可知關于y的項的系數為0，從而可以求得k的值．【詳解】解：x=5k=?3k=∵關于y的代數式：x5kx?3xy?k?3∴?3k+6=0，解得k=2，即當k=2時，代數式的值與y的取值無關．故選：A.【考點題型九】解決污染問題【例9】（2023秋?重慶期末）小明計算一道題：，的地方被鋼筆水弄污了，你認為內應填寫A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先把等式左邊的式子根據單項式與多項式相乘，先用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加，所得結果與等式右邊的式子相對照即可得出結論．【解答】解：．內應填寫1，故選：．【點評】本題考查的是單項式乘多項式，熟知單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加是解答此題的關鍵．【變式9-1】（23-24八年級·貴州遵義·期末）小明作業(yè)本發(fā)下來時，不小心被同學沾了墨水：24x4yA．?18x3y2 B．18x3【答案】B【分析】利用多項式乘單項式的運算法則計算即可求解．【詳解】解：(?4x2y2+3xy?y)?(?6x2y)=24x4y3?18x3y2+6x2y2，∴■=18x3y2．故選：B．【點睛】本題主要考查的是整式的除法和乘法，掌握法則是解題的關鍵．【變式9-2】（23-24八年級·湖北十堰·期末）右側練習本上書寫的是一個正確的因式分解.但其中部分代數式被墨水污染看不清了.（1）求被墨水污染的代數式；（2）若被污染的代數式的值不小于4，求x的取值范圍.【答案】（1）?2x?4；（2）x≤?4【分析】（1）根據題意，被墨水污染的代數式=2x+5(x－2)－(2（2）由（1）中結果列一元一次不等式，解一元一次不等式即可解題．【詳解】解：（1）由已知可得，2x+5=2x=?2x?4（2）由已知可得，?2x?4≥?2x≥解得x≤?4【點睛】本題考查整式的混合運算、解一元一次不等式等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．【變式9-3】（2023秋?南昌期末）老師在黑板上書寫了一個正確的演算過程，隨后用手掌捂住了一個多項式，形式如下：（1）求所捂的多項式；（2）若，，求所捂多項式的值．【分析】（1）設多項式為，則計算即可．（2）把，代入多項式求值即可．【解答】解：（1）設多項式為，則．（2），，原式．【點評】本題考查單項式乘多項式、多項式除以單項式的法則，解題的關鍵是利用乘法與除法是互為逆運算，把乘法轉化為除法解決問題，屬于基礎題．【考點題型十】解決誤看問題【例10】（2023秋?瀏陽市期末）小馬和小虎兩人共同計算一道整式乘法題：，由于小馬抄錯了的符號，得到的結果為；由于小虎漏抄了第二個多項式中的系數，得到的結果為．（1）求出，的值；（2）請你計算出這道整式乘法題的正確結果．【分析】（1）先根據小馬和小虎的計算結果，列出關于，的方程，求出，即可；（2）把（1）中求出的，值代入這道乘法題，利用多項式乘多項式法則進行計算即可．【解答】解：（1）小馬抄錯了的符號，得到的結果為，，，①；小虎漏抄了第二個多項式中的系數，得到的結果為，，，，②；②①得：，把代入②得，；（2）由（1）可知，這道整式乘法題為：．【點評】本題主要考查了整式的化簡求值，解題關鍵是熟練掌握去括號法則和合并同類項法則．【變式10】（2023秋?西平縣期末）某同學在計算加上一個多項式時錯將加法做成了乘法，得到的答案是，由此可以推斷出正確的計算結果是A． B． C． D．【分析】先根據題意算出這個多項式，再與相加即可．【解答】解：由題意知，這個多項式為，正確的計算結果為．故選：．【點評】本題考查整式的混合運算，熟練掌握整式的混合運算的運算法則是解答本題的關鍵．【考點題型十一】新定義問題【例11】（2023秋?衡陽期末）對于整數、定義運算：※（其中、為常數），如3※．（1）填空：當，時，2※；（2）若1※，2※，求的值．【分析】（1）根據新定義的運算方法計算即可；（2）判斷出，，可得結論．【解答】解：（1）2※，故答案為：3；（2）※，2※，，（2），整理得：，，解得：，．【點評】本題考查冪的乘方與積的乘方，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【變式11-1】（2023秋?江漢區(qū)期末）定義一種新的運算“”，若，則．①依定義，；②若，，，，則．【分析】①②根據定義的新運算列式計算即可．【解答】解：①，．故答案為：4；②設，，，則，，，，，，，，，，即．【點評】本題考查的是同底數冪的乘法，理解新定義的計算方法是解題的關鍵．【變式11-2】（2023秋?攸縣期末）一般地，若且，，則叫做以為底的對數，記為，即．譬如：，則4叫做以3為底81的對數，記為（即．根據對數的定義完成下列問題：（1）計算以下各對數的值：；；．（2）由（1）中計算的結果及結合三個數4；16；64之間滿足的等量關系式，直接寫出；；滿足的等量關系式．（3）由（2）猜想一般性結論：且，，，并根據冪的運算法則：以及對數的含義證明你的猜想．【分析】（1）根據題中給出的運算法則計算即可；（2）由（1）中的結果即可得出；；滿足的等量關系式；（3）設，，則，，分別表示出，的值，即可得出猜想．【解答】解：（1），；，；，，故答案為：2，4，6；（2），；（3），證明：設，，則，，，，，故答案為：．【點評】本題考查了同底數冪的乘法，解題思路以材料的形式給出，需要學生仔細閱讀，理解并靈活運用所給的信息．【變式11-3】（2023秋?望城區(qū)期末）規(guī)定，求：（1）求；（2）若，求的值．【分析】（1）根據定義以及同底數冪的乘法法則計算即可；（2）把64寫成底數是2的冪，再根據定義以及同底數冪的乘法法則可得關于的一元一次方程，再解方程即可．【解答】解：（1）由題意得：；（2），，，，．【點評】本題主要考查了同底數冪的乘法以及有理數的混合運算，熟記冪的運算法則是解答本題的關鍵．【變式11-4】（2023秋?鯉城區(qū)期末）規(guī)定兩數、之間的一種運算，記作：如果，那么．例如：因為，所以．根據上述規(guī)定，填空：（1）；（2）若，，則的值為．【分析】（1）把相應的值代入，結合冪的乘方的法則進行運算即可；（2）結合所給的運算，結合同底數冪的乘法的法則進行運算即可．【解答】解：（1），；故答案為：3；（2），，，，，，，．故答案為：50．【點評】本題主要考查同底數冪的乘法，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．【考點題型十二】規(guī)律問題【例12】（23-24八年級·福建寧德·期末）“九章興趣小組”開展研究性學習，對兩位數乘法的速算技巧進行研究．小明發(fā)現“十位相同，個位互補”的兩個兩位數相乘有速算技巧．例如：24×26=100×2×342×48=100×4×5小紅發(fā)現“十位互補，個位為5”的兩個兩位數相乘也有速算技巧．例如：45×65=100×4×6+535×75=100×3×7+5(1)請你按照小明發(fā)現的技巧，寫出計算63×67的速算過程；(2)請你用含有字母的等式表示小明所發(fā)現的速算規(guī)律，并驗證其正確性；(3)小穎發(fā)現：小紅的速算技巧可以推廣到“十位互補，個位相同”的兩個兩位數相乘．請你直接用含有字母的等式表示該規(guī)律．友情提示：如果兩個正整數和為10，則稱這兩個數互補．【答案】(1)4221(2)10a+b10a+c(3)10x+y【分析】（1）根據小明發(fā)現的速算規(guī)律對63×67進行計算即可得出答案；（2）設其中一個兩位數的十位數為a，個位數為b，則另一個兩位數的十位數為a，個位數為c，其中b+c=10，那么這兩個兩位數分別為10a+b，10a+c，然后將常規(guī)計算得到的結果與小明速算方法得到的結果進行比較即可得出結論；（3）仔細閱讀小紅發(fā)現的速算規(guī)律，再進行推廣，并用字母表示出來即可．【詳解】（1）63×67=100×6×7（2）小明所發(fā)現的速算規(guī)律是：10a+b10a+c=100aa+1驗證小明的速算規(guī)律：設其中一個兩位數的十位數為a，個位數為b，則另一個兩位數的十位數為a，個位數為c，其中b+c=10，∴這兩個兩位數分別為：10a+b，10a+c，常規(guī)的計算方法是：10a+b10a+c∵b+c=10，∴10a+b10a+c小明的速算方法是：100a+b10a+c∴小明的速算方法是正確的．（3）小穎發(fā)現的速算規(guī)律是：10x+y10z+y=100xz+y證明如下：設其中一個兩位數的十位數為x，個位數為y，則另一個兩位數的十位數為z，個位數為y，其中x+z=10，∴這兩個兩位數分別為：10x+y，10z+y，常規(guī)的計算方法是：10x+y∵x+z=10，∴10x+y10z+y【點睛】此題主要考查了數字變化的規(guī)律，讀懂題目中的信息，理解“十位相同，個位互補”和“十位互補，個位相同”數字的變換規(guī)律的探索過程是解答此題的關鍵．【變式12-1】（23-24八年級·福建寧德·期中）下圖揭示了(a+b)n（n為非負整數）的展開式的項數及各項系數的有關規(guī)律．請觀察并解決問題：今天是星期五，再過7天也是星期五，那么再過514天是星期

……(a+b)……(a+b)……a+b……a+b【答案】天（日）【分析】本題考查了多項式乘法的展開式，能發(fā)現a+bn展開后，各項是按a的降冪排列的，系數依次是從左到右a+b根據514=49+2【詳解】解：∵(a+b)(a+b)a+b∴a+b∴51=∴514∴假如今天是星期五，那么再過514故答案為：天．【變式12-2】（23-24八年級·四川成都·期中）觀察：下列等式x?1x+1=x2?1，x?1x2+x+1=【答案】?1【分析】本題考查了多項式乘法中的規(guī)律探索、求代數式的值，由題意得出根據x?1xn+xn?1+…+1=【詳解】解：∵x?1x+1=x2?1∴x?1x∵x?1x∴x7∴x7∴x=1，當x=1時，x2024故答案為：?1．【變式12-3】（23-24八年級·廣東揭陽·期中）在日歷上，我們可以發(fā)現其中某些數滿足一定的規(guī)律，如圖是2020年11月份的日歷，我們任意用一個2×2的方框框出4個數，將其中4個位置上的數交叉相乘，再用較大的數減去較小的數，你發(fā)現了什么規(guī)律？(1)圖中方框框出的四個數，按照題目所說的計算規(guī)則，結果為．(2)換一個位置試一下，是否有同樣的規(guī)律？如果有，請你利用整式的運算對你發(fā)現的規(guī)律加以證明；如果沒有，請說明理由．【答案】(1)7(2)有同樣的規(guī)律，證明見解析【分析】（1）按照題目要求列式計算即可；（2）設方框框出的四個數分別為a，【詳解】（1）解：10×4?3×11=40?33=7，故答案為：7；（2）有同樣的規(guī)律，證明：設方框框出的四個數分別為a，則a+1==7．【點睛】此題考查了整式混合運算的應用，熟練掌握整式的四則混合運算法則是解題的關鍵．【考點題型十三】幾何圖形問題【例13】（2023秋?乾安縣期末）如圖，一個小長方形的長為，寬為，把6個大小相同的小長方形放入到大長方形內．（1）大長方形的寬，長（長和寬都用含，的式子來表示）．（2）求在大長方形中，陰影部分的面積（用含，的式子來表示）（3）若，大長方形面積為，大長方形內陰影部分的面積為，則．【分析】（1）利用整式的加減即可求解；（2）利用多項式乘法求得大長方形的面積，再利用大長方形的面積減去6個小長方形的面積即可求解；（3）當時，分別用表示出大長方形的面積，陰影部分的面積，代入即可求解．【解答】解：（1）大長方形的寬，長，故答案為：，；（2）大長方形面積為，故陰影部分的面積；（3）當時，；；，故答案為：．【點評】此題考查了列代數式，代數式求值，整式的混合運算涉及的知識有：多項式乘以多項式法則，合并同類項法則，認真觀察圖形，弄清題意是解本題的關鍵．【變式13-1】（2023秋?安康期末）如圖所示的是人民公園的一塊長為米．寬為米的空地．預計在空地上建造一個網紅打卡觀景臺（陰影部分）．（1）請用、表示觀景臺的面積．（結果化為最簡）（2）如果修建觀景臺的費用為200元平方米．且已知（米，（米．那么修建觀景臺需要費用多少元？【分析】（1）根據面積之間的和差關系用代數式表示即可；（2）代入進行計算即可．【解答】解：（1）陰影部分的面積為：；所以觀景臺的面積為平方米；（2）當，時，原式（平方米），（元．所以修建觀景臺需要費用為29400元．【點評】本題考查多項式乘多項式，掌握圖形中各個部分面積之間的關系是正確解答的前提．【變式13-2】（2023秋?宜州區(qū)期末）如圖，某小區(qū)有一塊長為米，寬為米的長方形地塊，角上有四個邊長為米的小正方形空地，開發(fā)商計劃將陰影部分進行綠化．（1）用含有、的式子表示綠化的總面積（結果寫成最簡形式）；（2）物業(yè)找來陽光綠化團隊完成此項綠化任務，已知該隊每小時可綠化平方米，每小時收費200元，則該物業(yè)應該支付綠化隊多少費用？（用含、的代數式表示）【分析】（1）直接利用多項式乘以多項式運算法則進行計算即可得出答案；（2）先求出該隊需要多少小時綠化完，再乘以每小時的費用即可得出答案．【解答】解：（1）根據題意得：平方米，答：綠化的面積是平方米；（2）根據題意得：元，答：該物業(yè)應該支付綠化隊需要元費用．【點評】此題主要考查了多項式乘以多項式，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．【考點題型十四】分類討論思想【例14】（23-24八年級上·湖北荊門·期末）若是完全平方式，則．【答案】或【分析】本題考查了完全平方公式的運用，根據完全平方公式即可求解，掌握完全平方公式的變形是解題的關鍵．【詳解】解：∴∴，解得，或，故答案為：或【變式】[2024杭州濱江區(qū)模擬]若x2－4xy－y2＝0(y＞0)，則xy＝【答案】2＋5或2－5【考點題型十五】數形結合思想【例15-1】（2023秋?臨潁縣期末）實踐與探索如圖1，邊長為的大正方形有一個邊長為的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．（1）上述操作能驗證的等式是；（請選擇正確的一個）．．．（2）請應用這個公式完成下列各題：①已知，，則．②計算：．【分析】（1）分別表示圖1和圖2中陰影部分的面積即可得出答案；（2）①利用平方差公式將，再代入計算即可；②利用平方差公式將原式轉化為即可．【解答】解：（1）圖1中陰影部分的面積為兩個正方形的面積差，即，圖2中的陰影部分是長為，寬為的長方形，因此面積為，所以有，故答案為：；（2）①，，又，，即，故答案為：4；②，，，原式．【點評】本題考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的結構特征是正確應用的前提．【例15-2】（2023秋?晉江市期末）【實踐探究】小青同學在學習“因式分解”時，用如圖1所示編號為①②③④的四種長方體各若干塊，進行實踐探究：（1）現取其中兩個拼成如圖2所示的大長方體，請根據體積的不同表示方法，寫出一個代數恒等式：；【問題解決】（2）若要用這四種長方體拼成一個棱長為的正方體，其中②號長方體和③號長方體各需要多少個？試通過計算說明理由；【拓展延伸】（3）如圖3，在一個棱長為的正方體中挖出一個棱長為的正方體，請根據體積的不同表示方法，直接寫出因式分解的結果，并利用此結果解決問題：已知與分別是兩個