滬科版七年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)考點清單 專題01 有理數(shù)及其運(yùn)算（9個考點清單+11種題型解讀）

專題1有理數(shù)及其運(yùn)算（9個考點清單+11種題型解讀）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點題型一】正負(fù)數(shù)的實際應(yīng)用 3【考點題型二】有理數(shù)的分類 5【考點題型三】求一個數(shù)的絕對值、相反數(shù)、倒數(shù) 7【考點題型四】絕對值得非負(fù)性 8【考點題型五】根據(jù)點在數(shù)軸上的位置判斷式子的正負(fù) 10【考點題型六】有理數(shù)的大小比較 12【考點題型七】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù) 14【考點題型八】用數(shù)軸上的點表示有理數(shù) 16【考點題型九】有理數(shù)的混合運(yùn)算 19【考點題型十】有理數(shù)的混合運(yùn)算中錯解復(fù)原問題 24【考點題型十一】有理數(shù)的混合運(yùn)算中應(yīng)用問題 29【知識點01】正數(shù)和負(fù)數(shù)正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。正數(shù)表示具有某種量的增加或上升等意義。負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上負(fù)號“-”的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)表示與正數(shù)相反意義的量，如減少、下降等。0：0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，它是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界?！局R點02】有理數(shù)的概念定義：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。有理數(shù)是可以表示為兩個整數(shù)的比的數(shù)，其中分母不為0。分類：整數(shù)：包括正整數(shù)、0和負(fù)整數(shù)。分?jǐn)?shù)：包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)。注意，有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)也可以看作分?jǐn)?shù)?！局R點03】數(shù)軸定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。點與數(shù)的對應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的每一個點都對應(yīng)一個有理數(shù)，反之亦然。正數(shù)對應(yīng)數(shù)軸原點右側(cè)的點，負(fù)數(shù)對應(yīng)數(shù)軸原點左側(cè)的點，0對應(yīng)原點。應(yīng)用：數(shù)軸可以用來比較有理數(shù)的大小，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。此外，數(shù)軸還可以用來表示有理數(shù)的加減運(yùn)算結(jié)果等?！局R點04】相反數(shù)定義：只有符號不同的兩個數(shù)叫做相反數(shù)。例如，5和-5是相反數(shù)。性質(zhì)：任何一個數(shù)都有相反數(shù)，而且只有一個。正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)。0的相反數(shù)是0。求法：求一個數(shù)的相反數(shù)，只需改變這個數(shù)前面的符號?！局R點05】絕對值定義：數(shù)軸上表示數(shù)a的點離開原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|。性質(zhì)：正數(shù)的絕對值是它本身。負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。0的絕對值是0。應(yīng)用：絕對值在有理數(shù)的運(yùn)算、比較大小等方面有重要應(yīng)用?！局R點06】有理數(shù)的大小比較利用數(shù)軸：在數(shù)軸上表示有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。利用法則：同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù)時，絕對值大的數(shù)大。正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。兩個負(fù)數(shù)比較時，絕對值大的反而小。【知識點07】有理數(shù)的運(yùn)算1．法則：（1）加法法則：①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加．②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．（2）減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘．②任何數(shù)同0相乘，都得0．（4）除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方運(yùn)算的符號法則：①負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；②正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何非零次冪都是0．(6)有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；③如有括號，先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行．要點詮釋：“奇負(fù)偶正”口訣的應(yīng)用：（1）多重負(fù)號的化簡，這里奇偶指的是“－”號的個數(shù)，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理數(shù)乘法，當(dāng)多個非零因數(shù)相乘時，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積的符號，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負(fù)；指數(shù)為偶數(shù)，則冪為正，例如：，．2．運(yùn)算律：（1）交換律:①加法交換律:a+b=b+a；②乘法交換律:ab=ba；（2）結(jié)合律:①加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法結(jié)合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac【知識點08】有理數(shù)的大小比較比較大小常用的方法有：（1）數(shù)軸比較法；（2）法則比較法：正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而??；(3)作差比較法．（4）作商比較法；（5)倒數(shù)比較法．【知識點09】科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)及精確度1.科學(xué)記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)表示成的形式（其中，是正整數(shù)），此種記法叫做科學(xué)記數(shù)法．例如：200000=．2.近似數(shù)：接近準(zhǔn)確數(shù)而不等于準(zhǔn)確數(shù)的數(shù)，叫做這個精確數(shù)的近似數(shù)或近似值.如長江的長約為6300㎞，這里的6300㎞就是近似數(shù).要點詮釋：一般采用四舍五入法取近似數(shù)，只要看要保留位數(shù)的下一位是舍還是入.3.精確度：一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就稱這個數(shù)精確到哪一位，精確到的這一位也叫做這個近似數(shù)的精確度.要點詮釋：（1）精確度是指近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度.（2）精確度有兩種形式：①精確到哪一位．②保留幾個有效數(shù)字．這兩種的形式的意義不一樣，一般來說精確到哪一位可以表示誤差絕對值的大小，例如精確到米，說明結(jié)果與實際數(shù)相差不超過米，而有效數(shù)字往往用來比較幾個近似數(shù)哪個更精確些.【考點題型一】正負(fù)數(shù)的實際應(yīng)用【例1】（24-25七年級上·全國·期末）我國是最早使用負(fù)數(shù)的國家，東漢初，我國著名的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》明確提出了“正負(fù)術(shù)”．如果盈利元記作元，那么虧損元記作（）A．元 B．元 C．元 D．元【變式1-1】（23-24七年級上·廣東中山·期末）2024年4月25日20時59分，神州十八號載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射．若火箭發(fā)射點前5秒記為秒，那么火箭發(fā)射點火后10秒應(yīng)記為（

）A．秒 B．秒 C．秒 D．秒【變式1-2】（23-24八年級上·貴州貴陽·期末）早在公元前2世紀(jì)，中國古代勞動人民就認(rèn)識到負(fù)數(shù)的存在．如果把收入8元記作元，那么支出6元記作（

）A．元 B．元 C．元 D．元【變式1-3】（23-24七年級上·河南周口·期末）我國東漢初的著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中就明確提出了“正負(fù)術(shù)”，如果收入100元記作元，那么元表示（

）A．收入20元 B．支出20元 C．收入80元 D．支出80元【變式1-4】（23-24七年級上·湖北武漢·期末）規(guī)定：表示向右移動2，記作，則表示向左移動3，記作（）A． B． C． D．【考點題型二】有理數(shù)的分類【例2】（23-24七年級上·廣西北海·期末）下列四個數(shù)中，負(fù)整數(shù)是（

）A．2 B． C．0 D．【變式2-1】（23-24六年級上·山東泰安·期末）下列說法錯誤的有（

）①是負(fù)分?jǐn)?shù)；②1.5不是整數(shù)；③非負(fù)有理數(shù)不包括0；④整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；⑤0是最小的有理數(shù)；⑥是最小的負(fù)整數(shù)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2-2】（23-24七年級上·云南文山·期末）在數(shù)，，，，，0.2，中，其中整數(shù)有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式2-3】（23-24八年級上·山西朔州·期末）下列各數(shù)：，，，0，，中，整數(shù)有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式2-4】（23-24七年級上·四川德陽·期末）在，，0，，，這6個數(shù)中，負(fù)數(shù)有幾個（

）A．1 B．2 C．3 D．4【考點題型三】求一個數(shù)的絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)【例3】（23-24七年級上·廣西欽州·期末）2024的絕對值是．【變式3-1】（23-24七年級上·湖北·期末）2024的相反數(shù)是．【變式3-2】（24-25七年級上·全國·期末）已知，則a的倒數(shù)是．【變式3-3】（23-24七年級上·山東濱州·期末）的相反數(shù)是，的倒數(shù)是．【考點題型四】絕對值得非負(fù)性【例4】（22-23六年級上·山東泰安·期末）已知，則．【變式4-1】（23-24七年級上·貴州六盤水·期末）已知與互為相反數(shù)，則．【變式4-2】（22-23七年級上·甘肅武威·期末）已知，則．【變式4-3】（23-24七年級上·吉林四平·期末）如果，那么．【考點題型五】根據(jù)點在數(shù)軸上的位置判斷式子的正負(fù)【例5】（23-24八年級上·浙江寧波·期末）實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【變式5-1】（23-24八年級下·廣東深圳·期末）有理數(shù)a、b對應(yīng)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么（

）A． B． C． D．【變式5-2】（23-24七年級上·重慶南川·期末）有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論中不正確的是（

）A． B． C． D．【變式5-3】（23-24七年級上·河南鄭州·期末）已知在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論：①，②，③，④，正確的是（

）A．②③ B．①② C．①③ D．①④【變式5-4】（23-24六年級上·山東煙臺·期末）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，則下列式子正確的是（

）A． B． C． D．【考點題型六】有理數(shù)的大小比較【例6】（23-24七年級上·新疆喀什·期末）比較大小：【變式6-1】（23-24七年級上·安徽·期末）比較大?。海ㄌ睢啊被颉啊保咀兪?-2】（23-24六年級下·上海嘉定·期末）比較大小：．（填“”，“”或“”）【變式6-3】（24-25七年級上·全國·期末）比較大?。海咀兪?-4】（23-24八年級下·黑龍江綏化·期末）比較大?。孩?/p>

②

③．【考點題型七】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)【例7】（23-24七年級上·四川達(dá)州·期末）中央電視臺2023年春節(jié)聯(lián)歡晚會在除夕夜如約與觀眾見面，整個節(jié)目呈現(xiàn)出“喜氣洋洋、歡樂吉祥”的氛圍和基調(diào)，令人耳目一新．據(jù)統(tǒng)計，春晚播出期間，通過電視、網(wǎng)絡(luò)、社交媒體等多終端多渠道，海內(nèi)外收看春晚的觀眾約為1131000000人次，將1131000000用科學(xué)記數(shù)法表示為．【變式7-1】（23-24六年級下·山東東營·期末）年高考報名人數(shù)再創(chuàng)歷史新高，達(dá)到了萬人，比去年增加了萬人．這也是新中國成立以來高考人數(shù)首次突破萬，萬用科學(xué)記數(shù)法表示為．【變式7-2】（24-25七年級上·全國·期末）麒麟9000是國內(nèi)首款搭載工藝的自主芯片，有著出色的算力和性能，它集成了153億個晶體管，153億用科學(xué)記數(shù)法可表示為．【變式7-3】（23-24七年級上·安徽合肥·期末）2022年，國家反詐中心會同有關(guān)部門全力構(gòu)筑防止群眾被騙的“防火墻”，直接推送預(yù)警指令4060余萬條．4060萬用科學(xué)記數(shù)法表示為．【變式7-4】（23-24七年級上·江蘇徐州·期末）據(jù)悉，截至2023年5月底，全國建成開通基站170萬個，移動電話用戶數(shù)達(dá)到4.28億戶，流量占移動流量比重達(dá)到．用科學(xué)記數(shù)法表示4.28億戶為戶．【考點題型八】用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)【例8】（24-25六年級上·全國·期末）已知下列有理數(shù)：，0，，，，，．(1)畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標(biāo)出這些數(shù)對應(yīng)的點．(2)用“”把這些數(shù)連接起來．【變式8-1】（23-24七年級上·山東聊城·期末）在數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點，并把它們按從小到大的順序用“”連接起來．【變式8-2】（22-23七年級上·河南鄭州·期末）已知點，，，，在數(shù)軸上分別對應(yīng)下列各數(shù)：，，，，．(1)如圖所示，在數(shù)軸上標(biāo)出表示各數(shù)的點（標(biāo)字母）；(2)用“”號把這些數(shù)連接起來．【變式8-3】（23-24七年級上·湖南懷化·期末）已知下列各數(shù)，按要求完成各題：，，0，，6，，．(1)負(fù)數(shù)集合：{

．．．．．．}；(2)用“”把它們連接起來是；(3)畫出數(shù)軸，并把已知各數(shù)表示在數(shù)軸上．【變式8-4】（23-24七年級上·四川宜賓·期末）已知下列有理數(shù)：0，．(1)計算：____________，____________；(2)這些數(shù)中，所有負(fù)數(shù)的和的絕對值是____________；(3)在數(shù)軸上描出表示0，這些數(shù)的點，并將它們用“<”連接起來．【考點題型九】有理數(shù)的混合運(yùn)算【例9】（23-24七年級上·寧夏銀川·期末）計算(1)(2)(3)(4)【變式9-1】（24-25六年級上·全國·期末）計算：(1)(2)【變式9-2】（23-24七年級上·四川內(nèi)江·期末）計算(1)；(2)．【變式9-3】（23-24七年級上·廣東·期末）計算(1)(2)【變式9-4】（23-24七年級上·寧夏銀川·期末）計算：(1)．(2)．(3)；(4)．【考點題型十】有理數(shù)的混合運(yùn)算中錯解復(fù)原問題【例10】（23-24七年級上·浙江臺州·期末）小明與小紅兩位同學(xué)計算的過程如下：小明：原式（第一步）（第二步）（第三步）小紅：原式（第一步）（第二步）（第三步）=16（第四步）(1)小明與小紅在計算中均出現(xiàn)了錯誤，請指出小紅出錯的步驟；(2)寫出正確的解答過程．【變式10-1】（23-24七年級上·江西贛州·期末）閱讀下面的解題過程：計算：．解：原式．（第①步）．（第②步）．（第③步）回答：(1)上面解題過程中，第步開始就出現(xiàn)了錯誤，錯誤的原因是；(2)請把正確的解題過程寫出來．【變式10-2】（23-24七年級上·寧夏銀川·期末）計算：下面是小穎的解答過程，請認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)：原式第一步

第二步

第三步

第四步

第五步(1)任務(wù)一：小穎的解答過程共存在兩處錯誤，分別在第________步和第________步；(2)任務(wù)二：請寫出正確的解答過程.【變式10-3】（23-24七年級上·吉林遼源·期末）小林在學(xué)習(xí)完有理數(shù)除法運(yùn)算后，對算式的計算過程如下：解：原式

①

②

③．根據(jù)小林的計算過程回答下列問題：(1)小林在進(jìn)行第②步運(yùn)算時，運(yùn)用了乘法的律；(2)小林的運(yùn)算出現(xiàn)了錯誤，錯在第（只填寫序號）步；(3)請給出正確解法．【變式10-4】（23-24七年級上·甘肅張掖·期末）計算(1)計算：下面是小穎的解答過程，請認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)：原式第一步

第二步第三步

第四步

第五步任務(wù)一：小穎的解答過程共存在兩處錯誤，分別在第______步和第______步；任務(wù)二：請寫出正確的解答過程．(2)【考點題型十一】有理數(shù)的混合運(yùn)算中應(yīng)用問題【例11】（23-24七年級上·河南鄭州·期末）中牟“最美”公交線路—“798線路”，是一趟途經(jīng)方特、綠博園、電影小鎮(zhèn)、只有河南、海昌海洋公園等多個景點的環(huán)形旅游專線，其中的11個站點如圖所示．小明從方特南門開始乘坐這輛公交車，在圖中11個公交站點提供志愿服務(wù)，到A站下車時，本次志愿者活動結(jié)束，約定向海寧皮革城方向為正，當(dāng)天的乘車記錄如下（單位：站）：，，，，，，，．

(1)請你通過計算說明A站是哪一站？(2)若相鄰兩站之間的平均距離為千米，求小明在志愿服務(wù)期間乘坐公交車行進(jìn)的路程是多少千米？【變式11-1】（23-24七年級上·貴州遵義·期末）為了增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，激發(fā)學(xué)生體育鍛煉熱情，某校七年級班學(xué)生在體育課上進(jìn)行了一次跳繩比賽．以分鐘跳個作為標(biāo)準(zhǔn)，超過的部分記為正數(shù)，不足的部分記為負(fù)數(shù)．某小組名同學(xué)分鐘跳繩個數(shù)記錄如下：，，，，，，，，，（單位：個）．(1)求這個小組分鐘每人平均跳繩的個數(shù)？(2)為增強(qiáng)學(xué)生競爭意識，及時評出優(yōu)勝小組進(jìn)行獎勵，本次活動采取積分制，每超過標(biāo)準(zhǔn)個記“”分，每不足個記“”分，剛好達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)記“”分，積分最高的小組獲得最終獎勵，求這個小組的總積分？【變式11-2】（23-24七年級上·福建福州·期末）在“國慶+中秋”的8天長假中，某風(fēng)景區(qū)10月1日的旅游人數(shù)為6萬人，后面的7天與10月1日比每天旅游人數(shù)變化如下表∶(正數(shù)表示人數(shù)增加)日期2日3日4日5日6日7日8日人數(shù)變化(單位∶萬人)(1)8天長假中游客人數(shù)最多的一天比最少的一天多幾萬人？(2)據(jù)測算，平均每位游客為風(fēng)景區(qū)帶來的旅游收入約為200元，則該風(fēng)景區(qū)在這8天假期的旅游總收入約為多少元？(結(jié)果用科學(xué)記數(shù)來表示)【變式11-3】（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·期末）六月份某天，利民生鮮超市以每千克6元的價格從批發(fā)市場購進(jìn)一批香瓜．連續(xù)銷售6天后還剩余18千克因質(zhì)量不佳無法繼續(xù)售賣（其他損耗不計）．若按平均每天出售120千克香瓜為標(biāo)準(zhǔn)，超過的數(shù)量記為“”，不足的數(shù)量記為“”，下表記錄的是該超市連續(xù)六天香瓜銷售量情況：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天銷售量（千克）(1)根據(jù)記錄可知，銷售量最多的一天比銷售量最少的一天多出售多少千克香瓜？(2)利民超市這次共購進(jìn)香瓜多少千克？(3)若利民超市以每千克12元的價格開始出售這批香瓜，銷售四天后，最后兩天決定按原售價打7.5折讓利銷售．試計算利民超市在這批香瓜銷售過程中共獲得利潤多少元？【變式11-4】（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·期末）初夏逢盛會，冰城萬象新．2024年第三十三屆哈爾濱國際經(jīng)濟(jì)貿(mào)易洽談會，吸引了眾多采購商和消費(fèi)者的目光，讓海內(nèi)外賓朋收獲頗豐，也給哈爾濱市的旅游行業(yè)帶來了新的生機(jī)，某出租車駕駛員在一條東西向的道路上連續(xù)接送5批客人，行駛路程記錄如下（規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，單位：）．第一批第二批第三批第四批第五批(1)接送完第5批客人后，該駕駛員在公司什么方向，距離公司多少千米？(2)若出租車每千米耗油升，那么在連續(xù)接送5批客人的過程中共耗油多少升？(3)若該出租車的計價標(biāo)準(zhǔn)為：行駛路程不超過收費(fèi)9元，超過的部分每千米加元收費(fèi)，在連續(xù)接送5批客人的過程中，該駕駛員一共收到車費(fèi)多少元？

專題1有理數(shù)及其運(yùn)算（9個考點清單+11種題型解讀）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點題型一】正負(fù)數(shù)的實際應(yīng)用 3【考點題型二】有理數(shù)的分類 5【考點題型三】求一個數(shù)的絕對值、相反數(shù)、倒數(shù) 7【考點題型四】絕對值得非負(fù)性 8【考點題型五】根據(jù)點在數(shù)軸上的位置判斷式子的正負(fù) 10【考點題型六】有理數(shù)的大小比較 12【考點題型七】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù) 14【考點題型八】用數(shù)軸上的點表示有理數(shù) 16【考點題型九】有理數(shù)的混合運(yùn)算 19【考點題型十】有理數(shù)的混合運(yùn)算中錯解復(fù)原問題 24【考點題型十一】有理數(shù)的混合運(yùn)算中應(yīng)用問題 29【知識點01】正數(shù)和負(fù)數(shù)正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。正數(shù)表示具有某種量的增加或上升等意義。負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上負(fù)號“-”的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)表示與正數(shù)相反意義的量，如減少、下降等。0：0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，它是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界?！局R點02】有理數(shù)的概念定義：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。有理數(shù)是可以表示為兩個整數(shù)的比的數(shù)，其中分母不為0。分類：整數(shù)：包括正整數(shù)、0和負(fù)整數(shù)。分?jǐn)?shù)：包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)。注意，有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)也可以看作分?jǐn)?shù)?！局R點03】數(shù)軸定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。點與數(shù)的對應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的每一個點都對應(yīng)一個有理數(shù)，反之亦然。正數(shù)對應(yīng)數(shù)軸原點右側(cè)的點，負(fù)數(shù)對應(yīng)數(shù)軸原點左側(cè)的點，0對應(yīng)原點。應(yīng)用：數(shù)軸可以用來比較有理數(shù)的大小，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。此外，數(shù)軸還可以用來表示有理數(shù)的加減運(yùn)算結(jié)果等?！局R點04】相反數(shù)定義：只有符號不同的兩個數(shù)叫做相反數(shù)。例如，5和-5是相反數(shù)。性質(zhì)：任何一個數(shù)都有相反數(shù)，而且只有一個。正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)。0的相反數(shù)是0。求法：求一個數(shù)的相反數(shù)，只需改變這個數(shù)前面的符號?！局R點05】絕對值定義：數(shù)軸上表示數(shù)a的點離開原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|。性質(zhì)：正數(shù)的絕對值是它本身。負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。0的絕對值是0。應(yīng)用：絕對值在有理數(shù)的運(yùn)算、比較大小等方面有重要應(yīng)用?！局R點06】有理數(shù)的大小比較利用數(shù)軸：在數(shù)軸上表示有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。利用法則：同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù)時，絕對值大的數(shù)大。正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。兩個負(fù)數(shù)比較時，絕對值大的反而小。【知識點07】有理數(shù)的運(yùn)算1．法則：（1）加法法則：①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加．②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．（2）減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘．②任何數(shù)同0相乘，都得0．（4）除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方運(yùn)算的符號法則：①負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；②正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何非零次冪都是0．(6)有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；③如有括號，先做括號內(nèi)的運(yùn)算，按小括號、中括號、大括號依次進(jìn)行．要點詮釋：“奇負(fù)偶正”口訣的應(yīng)用：（1）多重負(fù)號的化簡，這里奇偶指的是“－”號的個數(shù)，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理數(shù)乘法，當(dāng)多個非零因數(shù)相乘時，這里奇偶指的是負(fù)因數(shù)的個數(shù)，正負(fù)指結(jié)果中積的符號，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當(dāng)?shù)讛?shù)為負(fù)數(shù)時，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負(fù)；指數(shù)為偶數(shù)，則冪為正，例如：，．2．運(yùn)算律：（1）交換律:①加法交換律:a+b=b+a；②乘法交換律:ab=ba；（2）結(jié)合律:①加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法結(jié)合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac【知識點08】有理數(shù)的大小比較比較大小常用的方法有：（1）數(shù)軸比較法；（2）法則比較法：正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小；(3)作差比較法．（4）作商比較法；（5)倒數(shù)比較法．【知識點09】科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)及精確度1.科學(xué)記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)表示成的形式（其中，是正整數(shù)），此種記法叫做科學(xué)記數(shù)法．例如：200000=．2.近似數(shù)：接近準(zhǔn)確數(shù)而不等于準(zhǔn)確數(shù)的數(shù)，叫做這個精確數(shù)的近似數(shù)或近似值.如長江的長約為6300㎞，這里的6300㎞就是近似數(shù).要點詮釋：一般采用四舍五入法取近似數(shù)，只要看要保留位數(shù)的下一位是舍還是入.3.精確度：一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就稱這個數(shù)精確到哪一位，精確到的這一位也叫做這個近似數(shù)的精確度.要點詮釋：（1）精確度是指近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度.（2）精確度有兩種形式：①精確到哪一位．②保留幾個有效數(shù)字．這兩種的形式的意義不一樣，一般來說精確到哪一位可以表示誤差絕對值的大小，例如精確到米，說明結(jié)果與實際數(shù)相差不超過米，而有效數(shù)字往往用來比較幾個近似數(shù)哪個更精確些.【考點題型一】正負(fù)數(shù)的實際應(yīng)用【例1】（24-25七年級上·全國·期末）我國是最早使用負(fù)數(shù)的國家，東漢初，我國著名的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》明確提出了“正負(fù)術(shù)”．如果盈利元記作元，那么虧損元記作（）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】A【知識點】相反意義的量【分析】此題主要考查了正負(fù)數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．根據(jù)正負(fù)數(shù)表示相反的意義，“正”表示盈利則“負(fù)”所表示虧損，再根據(jù)題意作答．【詳解】解：如果盈利元記作“元”，那么虧損元記作元，故選A．【變式1-1】（23-24七年級上·廣東中山·期末）2024年4月25日20時59分，神州十八號載人飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射．若火箭發(fā)射點前5秒記為秒，那么火箭發(fā)射點火后10秒應(yīng)記為（

）A．秒 B．秒 C．秒 D．秒【答案】A【知識點】正負(fù)數(shù)的定義、相反意義的量【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的意義，根據(jù)正負(fù)數(shù)是用來表示相反意義的量求解即可．【詳解】解：∵火箭發(fā)射點前5秒記為秒，∴火箭發(fā)射點火后10秒記為秒，故選：A．【變式1-2】（23-24八年級上·貴州貴陽·期末）早在公元前2世紀(jì)，中國古代勞動人民就認(rèn)識到負(fù)數(shù)的存在．如果把收入8元記作元，那么支出6元記作（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】A【知識點】相反意義的量【分析】本題考查了正負(fù)數(shù)的應(yīng)用．根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量，收入記為正，可得支出的表示方法．【詳解】解：如果把收入8元記作元，那么支出6元記作元，故選：A．【變式1-3】（23-24七年級上·河南周口·期末）我國東漢初的著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中就明確提出了“正負(fù)術(shù)”，如果收入100元記作元，那么元表示（

）A．收入20元 B．支出20元 C．收入80元 D．支出80元【答案】D【知識點】正負(fù)數(shù)的定義、相反意義的量【分析】此題考查了正負(fù)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)正負(fù)數(shù)是表示一對意義相反的量進(jìn)行辨別，解題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確問題間的數(shù)量關(guān)系和具有意義相反的量．【詳解】解：∵收入100元記作元，∴元表示支出80元，故選：D．【變式1-4】（23-24七年級上·湖北武漢·期末）規(guī)定：表示向右移動2，記作，則表示向左移動3，記作（）A． B． C． D．【答案】B【知識點】相反意義的量【分析】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負(fù)表示，“正”和“負(fù)”相對，據(jù)此求解即可，本題考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對性，確定一對具有相反意義的量．【詳解】解：“正”和“負(fù)”相對，如果表示向右移動，記作，則表示向左移動，記作，故選：B．【考點題型二】有理數(shù)的分類【例2】（23-24七年級上·廣西北?！て谀┫铝兴膫€數(shù)中，負(fù)整數(shù)是（

）A．2 B． C．0 D．【答案】D【知識點】有理數(shù)的分類【分析】本題主要考查了負(fù)整數(shù)的定義，根據(jù)負(fù)整數(shù)是小于0的整數(shù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意得，四個選項中只有是負(fù)整數(shù)，故選：D．【變式2-1】（23-24六年級上·山東泰安·期末）下列說法錯誤的有（

）①是負(fù)分?jǐn)?shù)；②1.5不是整數(shù)；③非負(fù)有理數(shù)不包括0；④整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；⑤0是最小的有理數(shù)；⑥是最小的負(fù)整數(shù)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【知識點】有理數(shù)的分類【分析】此題考查的是有理數(shù)，掌握有理數(shù)的分類是解答本題的關(guān)鍵．直接根據(jù)有理數(shù)的分類進(jìn)行解答即可．【詳解】解：①是負(fù)分?jǐn)?shù)，說法正確；②1.5不是整數(shù)，說法正確；③非負(fù)有理數(shù)包括0，說法錯誤；④整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，說法正確；⑤0是最小的有理數(shù)，說法錯誤，沒有最小的有理數(shù)；⑥是最大的負(fù)整數(shù)，原說法錯誤．所以錯誤的有3個．故選：C．【變式2-2】（23-24七年級上·云南文山·期末）在數(shù)，，，，，0.2，中，其中整數(shù)有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【知識點】有理數(shù)的分類【分析】本題主要考查了有理數(shù)的分類，根據(jù)整數(shù)的定義解答即可；掌握整數(shù)包括正整數(shù)，0和負(fù)整數(shù)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：整數(shù)有，，，共3個．故選：B．【變式2-3】（23-24八年級上·山西朔州·期末）下列各數(shù)：，，，0，，中，整數(shù)有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【知識點】有理數(shù)的分類【分析】本題考查有理數(shù)的分類，根據(jù)整數(shù)分為：正整數(shù)，負(fù)整數(shù)和0，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：在，，，0，，中，整數(shù)有，0，，共3個．故選B．【變式2-4】（23-24七年級上·四川德陽·期末）在，，0，，，這6個數(shù)中，負(fù)數(shù)有幾個（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知識點】有理數(shù)的分類【分析】此題考查了負(fù)數(shù)的定義，熟練掌握負(fù)數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)負(fù)數(shù)的定義即可解答．【詳解】解：在，，0，，，這6個數(shù)中，負(fù)數(shù)有，，，共3個，故選：C．【考點題型三】求一個數(shù)的絕對值、相反數(shù)、倒數(shù)【例3】（23-24七年級上·廣西欽州·期末）2024的絕對值是．【答案】【知識點】求一個數(shù)的絕對值【分析】本題主要考查了絕對值的意義，熟練掌握一個正數(shù)的絕對值是它的本身是解題的關(guān)鍵．根據(jù)絕對值的意義解答即可．【詳解】解：2024的絕對值是，故答案為：．【變式3-1】（23-24七年級上·湖北·期末）2024的相反數(shù)是．【答案】【知識點】相反數(shù)的定義【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，根據(jù)：“只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)”，即可得出結(jié)果．【詳解】解：2024的相反數(shù)是；故答案為：．【變式3-2】（24-25七年級上·全國·期末）已知，則a的倒數(shù)是．【答案】【知識點】求一個數(shù)的絕對值、倒數(shù)【分析】本題考查了絕對值、倒數(shù)，先根據(jù)絕對值的性質(zhì)并結(jié)合已知條件得出，再根據(jù)倒數(shù)的定義得出a的倒數(shù)即可．【詳解】解：∵，∴，∴a的倒數(shù)是．故答案為：．【變式3-3】（23-24七年級上·山東濱州·期末）的相反數(shù)是，的倒數(shù)是．【答案】3【知識點】相反數(shù)的定義、倒數(shù)【分析】本題考查了相反數(shù)、倒數(shù)的定義，根據(jù)相反數(shù)、倒數(shù)的定義求額吉即可．【詳解】解：的相反數(shù)是：，的倒數(shù)是：3．故答案為：，3．【考點題型四】絕對值得非負(fù)性【例4】（22-23六年級上·山東泰安·期末）已知，則．【答案】【知識點】絕對值非負(fù)性【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握幾個非負(fù)數(shù)的和為0，這幾個數(shù)都為0是解題的關(guān)鍵．根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程組，求得，的值即可．【詳解】解：，，，解得，，故答案為．【變式4-1】（23-24七年級上·貴州六盤水·期末）已知與互為相反數(shù)，則．【答案】【知識點】已知字母的值，求代數(shù)式的值、絕對值非負(fù)性【分析】此題考查了平方和絕對值的非負(fù)性、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、代數(shù)式的值等知識，根據(jù)與互為相反數(shù)得到，再根據(jù)兩個非負(fù)數(shù)的和為0則每個數(shù)是0，得到，再代入代數(shù)式求值即可．【詳解】解：∵與互為相反數(shù)，∴，又∵，∴∴∴，故答案為：【變式4-2】（22-23七年級上·甘肅武威·期末）已知，則．【答案】1【知識點】絕對值非負(fù)性【分析】根據(jù)絕對值及偶次冪的非負(fù)性進(jìn)行解答即可．【詳解】解：，，，，故答案為：1【點睛】本題考查絕對值和偶次冪的非負(fù)性，掌握“多個非負(fù)數(shù)相加和為0，則讓其分別為0”的做題方法是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（23-24七年級上·吉林四平·期末）如果，那么．【答案】4【知識點】絕對值非負(fù)性、已知字母的值，求代數(shù)式的值【分析】本題考查了絕對值的非負(fù)性與代數(shù)式的求值計算，解題的關(guān)鍵是求得a與b的值．根據(jù)絕對值的意義先確定a、b的值，然后再代值計算即可．【詳解】∵∴∴，∴，則，故答案為：4．【考點題型五】根據(jù)點在數(shù)軸上的位置判斷式子的正負(fù)【例5】（23-24八年級上·浙江寧波·期末）實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)【分析】本題考查了數(shù)軸．根據(jù)所給數(shù)軸判斷出的取值，再逐個判斷即可．【詳解】解：由圖得，，且，，，，均不符合題意，符合題意，故選：B．【變式5-1】（23-24八年級下·廣東深圳·期末）有理數(shù)a、b對應(yīng)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)【分析】此題主要考查了有理數(shù)加、減、乘法的運(yùn)算方法，以及數(shù)軸的特征和應(yīng)用，要熟練掌握．根據(jù)圖示，可得：，且，據(jù)此逐項判斷即可．【詳解】解：根據(jù)圖示，可得，且，∴，故A符合題意；∴，故B不符合題意；，，∴C不符合題意；，∴D不符合題意．故選：A．【變式5-2】（23-24七年級上·重慶南川·期末）有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小、根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)【分析】本題主要考查有理數(shù)的運(yùn)算法則，由數(shù)軸可知，且，再利用有理數(shù)的運(yùn)算法則逐項判斷即可.【詳解】解：在A選項中，，，正確，故A選項不符合題意；在B選項中，，，正確，故B選項不符合題意；在C選項中，，，正確，故C選項不符合題意；在D選項中，，由數(shù)軸可知，不正確，故D選項符合題意；故選D.【變式5-3】（23-24七年級上·河南鄭州·期末）已知在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論：①，②，③，④，正確的是（

）A．②③ B．①② C．①③ D．①④【答案】C【知識點】利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小、根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)【分析】本題考查根據(jù)點在數(shù)軸上的位置比較代數(shù)式大小，熟練掌握利用數(shù)軸比較數(shù)的大小是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：在數(shù)軸上的位置如圖所示：，故①正確；，②錯誤；由①②可得，③正確；，，④錯誤；綜上所述，正確的有①③，故選：C．【變式5-4】（23-24六年級上·山東煙臺·期末）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，則下列式子正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)【分析】本題主要考查根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)，由數(shù)軸上點的位置得，且，則有、、和，即可判斷出各選項正確與否．【詳解】解：根據(jù)題意得，且，則，，，，A．，原式錯誤，故本選項不符合題意；B．，原式正確，故本選項符合題意；C．，原式錯誤，故本選項不符合題意；D．，原式錯誤，故本選項不符合題意；故選：B．【考點題型六】有理數(shù)的大小比較【例6】（23-24七年級上·新疆喀什·期末）比較大?。骸敬鸢浮俊局R點】求一個數(shù)的絕對值、有理數(shù)大小比較【分析】本題考查了負(fù)數(shù)的大小比較，兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值越大的負(fù)數(shù)反而越小，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：依題意，，且∴故答案為：【變式6-1】（23-24七年級上·安徽·期末）比較大?。海ㄌ睢啊被颉啊保敬鸢浮俊局R點】有理數(shù)大小比較【分析】本題考查有理數(shù)的大小比較，兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小，掌握兩個負(fù)數(shù)比較大小的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，故答案為：【變式6-2】（23-24六年級下·上海嘉定·期末）比較大?。海ㄌ睢啊?，“”或“”）【答案】【知識點】化簡絕對值、有理數(shù)大小比較【分析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，熟練掌握有理數(shù)大小比較法則是解題的關(guān)鍵．將的絕對值化簡，再將帶分?jǐn)?shù)化為小數(shù)，根據(jù)兩個負(fù)數(shù)比較大小法則再進(jìn)行比較即可．【詳解】解：，，故答案為：．【變式6-3】（24-25七年級上·全國·期末）比較大小：．【答案】【知識點】有理數(shù)大小比較、化簡多重符號、求一個數(shù)的絕對值【分析】本題主要考查了有理數(shù)比較大小，計算絕對值和化簡多重符號，先計算絕對值和化簡多重符號求出兩個數(shù)，再根據(jù)兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值越大，其值越小進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，，∵，∴，故答案為：．【變式6-4】（23-24八年級下·黑龍江綏化·期末）比較大小：①

②

③．【答案】【知識點】求一個數(shù)的絕對值、有理數(shù)大小比較【分析】此題考查了有理數(shù)比較大小，掌握相關(guān)規(guī)則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小和正數(shù)大于負(fù)數(shù)等規(guī)則，即可求解．【詳解】解：，，∵∴∵∴∵，∴故答案為，，【考點題型七】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)【例7】（23-24七年級上·四川達(dá)州·期末）中央電視臺2023年春節(jié)聯(lián)歡晚會在除夕夜如約與觀眾見面，整個節(jié)目呈現(xiàn)出“喜氣洋洋、歡樂吉祥”的氛圍和基調(diào)，令人耳目一新．據(jù)統(tǒng)計，春晚播出期間，通過電視、網(wǎng)絡(luò)、社交媒體等多終端多渠道，海內(nèi)外收看春晚的觀眾約為1131000000人次，將1131000000用科學(xué)記數(shù)法表示為．【答案】【知識點】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時，是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，是負(fù)整數(shù)．【詳解】1131000000用科學(xué)記數(shù)法表示為，故答案為：．【變式7-1】（23-24六年級下·山東東營·期末）年高考報名人數(shù)再創(chuàng)歷史新高，達(dá)到了萬人，比去年增加了萬人．這也是新中國成立以來高考人數(shù)首次突破萬，萬用科學(xué)記數(shù)法表示為．【答案】【知識點】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)【分析】本題考查的知識點是科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)，把一個大于的數(shù)寫成科學(xué)記數(shù)法的形式時，將小數(shù)點放到左邊第一個不為的數(shù)位后作為，把整數(shù)位數(shù)減作為，從而確定它的科學(xué)記數(shù)法形式．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)．確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．【詳解】解：∵科學(xué)記數(shù)法的表示形式為，∴用科學(xué)記數(shù)法表示萬，則萬，故答案為：．【變式7-2】（24-25七年級上·全國·期末）麒麟9000是國內(nèi)首款搭載工藝的自主芯片，有著出色的算力和性能，它集成了153億個晶體管，153億用科學(xué)記數(shù)法可表示為．【答案】【知識點】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)即可求解，解題的關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．【詳解】解：153億，故答案為：．【變式7-3】（23-24七年級上·安徽合肥·期末）2022年，國家反詐中心會同有關(guān)部門全力構(gòu)筑防止群眾被騙的“防火墻”，直接推送預(yù)警指令4060余萬條．4060萬用科學(xué)記數(shù)法表示為．【答案】【知識點】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為，其中，n可以用整數(shù)位數(shù)減去1來確定．用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)，一定要注意a的形式，以及指數(shù)n的確定方法．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，n是負(fù)數(shù)．【詳解】解：4060萬用科學(xué)記數(shù)法表示為．故答案為：．【變式7-4】（23-24七年級上·江蘇徐州·期末）據(jù)悉，截至2023年5月底，全國建成開通基站170萬個，移動電話用戶數(shù)達(dá)到4.28億戶，流量占移動流量比重達(dá)到．用科學(xué)記數(shù)法表示4.28億戶為戶．【答案】【知識點】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1的數(shù)【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法求解即可．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．解題關(guān)鍵是正確確定a的值以及n的值．【詳解】用科學(xué)記數(shù)法表示4.28億戶為．故答案為：．【考點題型八】用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)【例8】（24-25六年級上·全國·期末）已知下列有理數(shù)：，0，，，，，．(1)畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標(biāo)出這些數(shù)對應(yīng)的點．(2)用“”把這些數(shù)連接起來．【答案】(1)畫圖見解析(2)【知識點】用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小、化簡多重符號、求一個數(shù)的絕對值【分析】本題考查了在數(shù)軸上表示有理數(shù)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握絕對值、相反數(shù)，從而完成求解．（1）先化簡能夠化簡的各數(shù)，再在數(shù)軸上表示各數(shù)即可；（2）根據(jù)各數(shù)在數(shù)軸上的位置比較大小即可．【詳解】（1）解：∵，，，在數(shù)軸表示各數(shù)如下：；（2）解：根據(jù)（1）的數(shù)軸圖，得：．【變式8-1】（23-24七年級上·山東聊城·期末）在數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點，并把它們按從小到大的順序用“”連接起來．【答案】數(shù)軸表示見解析，【知識點】用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小、化簡多重符號、求一個數(shù)的絕對值【分析】本題考查了數(shù)軸和有理數(shù)的大小比較．根據(jù)數(shù)軸特點，先在數(shù)軸上表示出來，再比較即可．【詳解】解：，在數(shù)軸上畫出表示各數(shù)的點，如下：把它們按從小到大的順序用“”連接起來，如下：【變式8-2】（22-23七年級上·河南鄭州·期末）已知點，，，，在數(shù)軸上分別對應(yīng)下列各數(shù)：，，，，．(1)如圖所示，在數(shù)軸上標(biāo)出表示各數(shù)的點（標(biāo)字母）；(2)用“”號把這些數(shù)連接起來．【答案】(1)數(shù)軸表示見解析；(2)．【知識點】用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小、求一個數(shù)的絕對值【分析】本題考查了數(shù)軸，掌握數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的大是解題的關(guān)鍵．（）化簡各數(shù)，再在數(shù)軸上標(biāo)出各點即可；（）根據(jù)數(shù)軸即可求解；【詳解】（1）解：∵，，，∴各數(shù)在數(shù)軸上表示如下：（2）解：由數(shù)軸可得，．【變式8-3】（23-24七年級上·湖南懷化·期末）已知下列各數(shù)，按要求完成各題：，，0，，6，，．(1)負(fù)數(shù)集合：{

．．．．．．}；(2)用“”把它們連接起來是；(3)畫出數(shù)軸，并把已知各數(shù)表示在數(shù)軸上．【答案】(1)，，，(2)(3)見解析【知識點】有理數(shù)的分類、用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)、化簡絕對值、有理數(shù)大小比較【分析】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，有理數(shù)比較大小，負(fù)數(shù)的定義，化簡絕對值和多重符號：（1）先化簡絕對值和多重符號，再根據(jù)負(fù)數(shù)是小于0的數(shù)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)比較大小絕對值越大其值越小進(jìn)行求解即可；（3）在數(shù)軸上表示出各數(shù)即可．【詳解】（1）解：，，∴負(fù)數(shù)有，，，；（2）解：∵，∴，故答案為：；（3）解：如圖所示，即為所求．【變式8-4】（23-24七年級上·四川宜賓·期末）已知下列有理數(shù)：0，．(1)計算：____________，____________；(2)這些數(shù)中，所有負(fù)數(shù)的和的絕對值是____________；(3)在數(shù)軸上描出表示0，這些數(shù)的點，并將它們用“<”連接起來．【答案】(1)；；(2)；(3)圖見解析，【知識點】用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小、求一個數(shù)的絕對值【分析】（1）根據(jù)乘方的意義和相反數(shù)的定義計算；（2）先確定負(fù)數(shù)，再求它們的和，然后和的絕對值即可；（3）利用數(shù)軸，標(biāo)出表示各數(shù)對應(yīng)的點，從而即可比較各有理數(shù)的大?。驹斀狻浚?）解：，，故答案為：；；（2）解：這些數(shù)中，負(fù)數(shù)有∴==，故答案為：（3）解：在數(shù)軸上描出表示0，為：．【點睛】本題考查了有理數(shù)乘方的定義：求n個相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方．也考查了相反數(shù)和絕對值的意義以及在數(shù)軸上表示有理數(shù)及比較有理數(shù)的大小，熟練掌握乘方及絕對值的定義是解題的關(guān)鍵．【考點題型九】有理數(shù)的混合運(yùn)算【例9】（23-24七年級上·寧夏銀川·期末）計算(1)(2)(3)(4)【答案】(1)2(2)(3)(4)【知識點】有理數(shù)的加減混合運(yùn)算、有理數(shù)乘法運(yùn)算律、有理數(shù)四則混合運(yùn)算、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題考查含乘方的有理數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的加減法運(yùn)算法則進(jìn)行求解；（2）根據(jù)有理數(shù)的四則混合運(yùn)算法則進(jìn)行求解；（3）根據(jù)有理數(shù)的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行求解；（4）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．【變式9-1】（24-25六年級上·全國·期末）計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【知識點】有理數(shù)乘法運(yùn)算律、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算、有理數(shù)四則混合運(yùn)算【分析】本題考查的是含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵；（1）先按照分配律計算乘法運(yùn)算，再計算括號內(nèi)的加減運(yùn)算，最后合并即可；（2）先計算乘方，再計算乘除，最后計算加減運(yùn)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【變式9-2】（23-24七年級上·四川內(nèi)江·期末）計算(1)；(2)．【答案】(1)5(2)【知識點】有理數(shù)乘法運(yùn)算律、有理數(shù)四則混合運(yùn)算、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算（1）利用乘法分配律進(jìn)行計算即可；（2）先算括號里面的，再算乘除，最后算加減即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【變式9-3】（23-24七年級上·廣東·期末）計算(1)(2)【答案】(1)(2)【知識點】有理數(shù)四則混合運(yùn)算、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】（1）先算、，再算乘除，最后計算出結(jié)果；（2）先乘方，再算括號里面的，最后計算出結(jié)果．本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，運(yùn)算過程中注意運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．特別注意：與的區(qū)別．【詳解】（1）解：；（2）解：【變式9-4】（23-24七年級上·寧夏銀川·期末）計算：(1)．(2)．(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算、有理數(shù)的加減混合運(yùn)算、有理數(shù)乘法運(yùn)算律、有理數(shù)四則混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合計算，有理數(shù)的加減計算，有理數(shù)乘法分配律：（1）根據(jù)有理數(shù)加減計算法則求解即可；（2）先計算乘方，再計算括號內(nèi)的減法，最后計算乘方即可；（3）先計算乘方，再計算乘除法，最后計算加減法即可；（4）先利用乘法分配律去括號，然后計算加減法即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【考點題型十】有理數(shù)的混合運(yùn)算中錯解復(fù)原問題【例10】（23-24七年級上·浙江臺州·期末）小明與小紅兩位同學(xué)計算的過程如下：小明：原式（第一步）（第二步）（第三步）小紅：原式（第一步）（第二步）（第三步）=16（第四步）(1)小明與小紅在計算中均出現(xiàn)了錯誤，請指出小紅出錯的步驟；(2)寫出正確的解答過程．【答案】(1)小紅第二步計算出現(xiàn)錯誤(2)【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題考查有理數(shù)的乘除法、有理數(shù)的乘方，掌握運(yùn)算法則，正確的計算，是解題的關(guān)鍵．（1）小紅的第二步計算出現(xiàn)錯誤，第二步運(yùn)算順序出現(xiàn)錯誤；（2）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則，進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：小紅第二步計算出現(xiàn)錯誤，運(yùn)算順序出現(xiàn)了錯誤；（2）解：原式．【變式10-1】（23-24七年級上·江西贛州·期末）閱讀下面的解題過程：計算：．解：原式．（第①步）．（第②步）．（第③步）回答：(1)上面解題過程中，第步開始就出現(xiàn)了錯誤，錯誤的原因是；(2)請把正確的解題過程寫出來．【答案】(1)②；運(yùn)算順序不對(2)見解析【知識點】有理數(shù)四則混合運(yùn)算【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)乘除法的運(yùn)算法則進(jìn)行分析即可；（2）根據(jù)有理數(shù)混合運(yùn)算法則即可求解．【詳解】（1）解：，∴原解題過程中，第二步出錯，沒有按運(yùn)算順序進(jìn)行運(yùn)算，乘除是同級運(yùn)算，應(yīng)從左到右依次進(jìn)行，故答案為：②；運(yùn)算順序不對．（2）解：原式．．．或解：原式．．．【變式10-2】（23-24七年級上·寧夏銀川·期末）計算：下面是小穎的解答過程，請認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)：原式第一步

第二步

第三步

第四步

第五步(1)任務(wù)一：小穎的解答過程共存在兩處錯誤，分別在第________步和第________步；(2)任務(wù)二：請寫出正確的解答過程.【答案】(1)一；四；(2)見解析【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】此題主要考查有理數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知其原運(yùn)算法則．（1）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則即可判斷；（2）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則即可求解．【詳解】（1）解：解答過程共存在2處錯誤，分別是第一步和第四步故答案為：一；四；（2）原式．【變式10-3】（23-24七年級上·吉林遼源·期末）小林在學(xué)習(xí)完有理數(shù)除法運(yùn)算后，對算式的計算過程如下：解：原式

①

②

③．根據(jù)小林的計算過程回答下列問題：(1)小林在進(jìn)行第②步運(yùn)算時，運(yùn)用了乘法的律；(2)小林的運(yùn)算出現(xiàn)了錯誤，錯在第（只填寫序號）步；(3)請給出正確解法．【答案】(1)分配(2)③(3)【知識點】有理數(shù)乘法運(yùn)算律、有理數(shù)四則混合運(yùn)算【分析】考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘除，后算加減；同級運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運(yùn)算．有時也可以根據(jù)運(yùn)算定律改變運(yùn)算的順序．（1）（2）根據(jù)小林的計算步驟分析即可；（3）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計算即可．【詳解】（1）小林在進(jìn)行第②步運(yùn)算時，運(yùn)用了乘法的分配律．故答案為：分配；（2）∵第③步計算乘法時符號確定錯誤，∴小林的運(yùn)算出現(xiàn)了錯誤，錯在第③步．故答案為：③；（3）原式．【變式10-4】（23-24七年級上·甘肅張掖·期末）計算(1)計算：下面是小穎的解答過程，請認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)：原式第一步

第二步第三步

第四步

第五步任務(wù)一：小穎的解答過程共存在兩處錯誤，分別在第______步和第______步；任務(wù)二：請寫出正確的解答過程．(2)【答案】(1)任務(wù)一：一；四；任務(wù)二：，過程見解析(2)【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了含乘方的有理數(shù)混合計算：（1）任務(wù)一：觀察可知在第一步計算時，計算的結(jié)果漏掉了負(fù)號，在第四步先計算了后面的乘法，運(yùn)算順序錯誤；任務(wù)二：按照先計算乘方，再計算乘除法，最后計算加減法，有括號先計算括號的運(yùn)算順序求解即可；（2）按照先計算乘方，再計算乘除法，最后計算加減法，有括號先計算括號的運(yùn)算順序求解即可．【詳解】（1）解：任務(wù)一：觀察可知在第一步計算時，計算的結(jié)果漏掉了負(fù)號，在第四步先計算了后面的乘法，運(yùn)算順序錯誤，故答案為：一；四；任務(wù)二：；（2）解：．【考點題型十一】有理數(shù)的混合運(yùn)算中應(yīng)用問題【例11】（23-24七年級上·河南鄭州·期末）中牟“最美”公交線路—“798線路”，是一趟途經(jīng)方特、綠博園、電影小鎮(zhèn)、只有河南、海昌海洋公園等多個景點的環(huán)形旅游專線，其中的11個站點如圖所示．小明從方特南門開始乘坐這輛公交車，在圖中11個公交站點提供志愿服務(wù)，到A站下車時，本次志愿者活動結(jié)束，約定向海寧皮革城方向為正，當(dāng)天的乘車記錄如下（單位：站）：，，，，，，，．

(1)請你通過計算說明A站是哪一站？(2)若相鄰兩站之間的平均距離為千米，求小明在志愿服務(wù)期間乘坐公交車行進(jìn)的路程是多少千米？【答案】(1)站是河南這一站(2)小明