廣東省汕尾市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省汕尾市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準(zhǔn)確，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘貼處.2.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.3.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題及答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.計(jì)算復(fù)數(shù)（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，故選：A.2.已知，，且，則（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】由，可得：，因，則，即：，解得：.故選：B.3.已知直線，直線，，且，則（）A.1 B.2 C.1或 D.或【答案】C【解析】由直線，直線，因?yàn)?，可得，解得?故選：C.4.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離是它到點(diǎn)的距離的2倍，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)是所求軌跡上的任意一點(diǎn)，因?yàn)?，且，可得，整理得，即所求軌跡方程為.故選：B.5.現(xiàn)有隨機(jī)選出的20個(gè)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)如下，則（）7243954616673828282879195898102102108114120A.該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為102 B.該組數(shù)據(jù)的極差為112C.該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為87 D.該組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為102【答案】D【解析】將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：7，8，24，39，54，61，66，73，82，82，82，87，91，95，98，102，102，108，114，120，對(duì)于A，出現(xiàn)次數(shù)最多的是82，所以眾數(shù)是82，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，極差為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，第10個(gè)數(shù)和第11個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，第16個(gè)數(shù)和第17個(gè)數(shù)的平均數(shù)為80%分位數(shù)，即，故D正確.故選：D.6.已知橢圓的左、右焦分別為、，過點(diǎn)的直線交該橢圓于、兩點(diǎn)，若，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】橢圓，，，、在圓上，，，的周長(zhǎng)為，，.故選：C.7.若事件滿足，，，則下列說法不正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A中，由，可得，所以A正確；對(duì)于B中，由，可得，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，可得，所以C正確；對(duì)于D中，由，所以，所以D正確.故選：B.8.已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)落在第一象限），若，則直線的斜率為（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】如圖，因可知點(diǎn)在直線上，設(shè)，則由可得：，即得：.設(shè)直線的方程為，代入中，整理得：，則把代入①整理得：，將其代入②：，解得：，即：.當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，此時(shí)點(diǎn)落在第一象限，符合題意；當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，此時(shí)點(diǎn)落在第四象限，不符合題意.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，為上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的有（）A.雙曲線的離心率為B.雙曲線的漸近線方程為C.點(diǎn)到漸近線的距離為4D.直線與直線的斜率乘積為【答案】BD【解析】由雙曲線知，，，對(duì)于A，雙曲線的離心率為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，雙曲線的漸近線方程為，即，故B正確；對(duì)于C，點(diǎn)到漸近線的距離為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，即，所以，即直線與直線的斜率乘積為，故D正確；故選：BD.10.已知函數(shù)（，）的周期為，若，則（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.方程在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)解【答案】ACD【解析】由函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，可得，即，又因?yàn)椋傻?，即，因?yàn)?，可得，所以，所以A正確；又因?yàn)?，所以函?shù)不關(guān)于對(duì)稱，所以B不正確；由，可得，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以C正確；又由，可得，由方程，即，可得，可得，解得或或，所以D正確.故選：ACD.11.已知圓，圓，則（）A.若圓與圓相交，則B.當(dāng)時(shí)，圓與圓有兩條公切線C.當(dāng)時(shí)，兩圓的公共弦所在直線的方程為D.當(dāng)時(shí)，過直線上任意一點(diǎn)分別作圓、圓切線，則切線長(zhǎng)相等【答案】AD【解析】由圓，可得圓心，半徑為，圓，可得圓心，半徑為，且，對(duì)于A中，若圓與圓相交，可得，解得，所以A正確；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)兩圓項(xiàng)外切，可得圓與圓有三條公切線，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，可得圓，兩圓的方程相減，可得，即兩圓的公共弦所在直線的方程為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，兩圓相外離，過點(diǎn)引圓和圓的切線分別為，由，可得，即，整理得，可得過直線上任意一點(diǎn)分別作圓、圓切線，則切線長(zhǎng)相等，所以D正確故選：AD.12.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，從拋物線上點(diǎn)出發(fā)的光線過點(diǎn)后，從拋物線上的點(diǎn)（異于原點(diǎn)）反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，則A.直線的斜率為B.和的面積之比為4C.以為直徑的圓與直線相交D.若直線與該拋物線相切，則【答案】AB【解析】對(duì)A：由題意知與軸平行，，所以可得，所以直線的斜率為，故A正確；對(duì)B：由A知直線斜率，可得直線方程：，與拋物線聯(lián)立,得，解得或，所以，所以，故B正確；對(duì)C：由拋物線定義知，設(shè)的中點(diǎn)為,所以以為直徑的圓的半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以該圓與直線相切，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由直線，即，得直線過定點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以點(diǎn)為切點(diǎn)，設(shè)切線方程為，聯(lián)立，得，由直線與拋物線相切，則，即，所以,所以切線方程為,即，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知拋物線與橢圓有公共的焦點(diǎn)，則________.【答案】2【解析】由知橢圓焦點(diǎn)在軸上，，故橢圓的焦點(diǎn)為，所以，解得.故答案為：2.14.汕尾市某中學(xué)高二年級(jí)共有學(xué)生800人，其中男生有580人，為了了解他們的視力狀況，用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為的樣本，若樣本中共有女生11人，則__________.【答案】40【解析】由分層抽樣可得，解得.故答案：40.15.已知雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，以為直徑的圓過點(diǎn)，圓與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，若的面積為9，則該雙曲線的離心率________.【答案】##1.25【解析】如圖，因以為直徑的圓過點(diǎn)，故,即，又圓與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，則,不妨設(shè)，則有：消去解得：，故雙曲線的離心率.故答案為：.16.如圖，二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)，線段與分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，則二面角的余弦值為__________.【答案】【解析】在棱上有兩個(gè)點(diǎn)，線段與在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，且，因?yàn)椋傻?，設(shè)二面角的平面角為，則，且，則，即，解得.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知點(diǎn)，，，直線與軸交于點(diǎn).（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：（1）由題意，，故直線的斜率，所以直線的方程為.因?yàn)辄c(diǎn)在軸上，令，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）因?yàn)榈捻旤c(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，所以，所以的外接圓是以為直徑的圓.又中點(diǎn)為，所以外接圓的圓心為，半徑為，所以的外接圓的方程為.18.在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，且.（1）求角；（2）若，，求的面積.解：（1）在中，由正弦定理可得，因?yàn)?，所?在中，由余弦定理得.因?yàn)?，所?（2）由（1）可知，又，，所以由余弦定理，可得，即，所以，，又，所以.19.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，平面與棱相交于點(diǎn).（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求證：是的中點(diǎn).解：（1）在正方體中，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得，，所以，又由向量，所以點(diǎn)到平面的距離為.（2）因?yàn)椋O(shè)，則，可得，由平面與棱相交于點(diǎn)，可得四點(diǎn)共面，所以，即，可得，解得，所以，故是的中點(diǎn).20.新高考數(shù)學(xué)試題設(shè)置有4道多選題，在每小題給出的A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中，有兩項(xiàng)或者三項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.在某次考試中，根據(jù)過往經(jīng)驗(yàn)，小明做對(duì)第一道多選題的概率為，做對(duì)第二道多選題的概率為，做對(duì)第三道多選題的概率為，每道答題互不影響.（1）求小明前三道多選題恰好做對(duì)兩道的概率；（2）若最后一道多選題正確選項(xiàng)為ABC，小明和小宇對(duì)該題目不理解，只能通過隨機(jī)選取完成作答，每個(gè)選項(xiàng)是否被選到都是等可能的.小明從四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行作答，而小宇從四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行作答，求此題作答中，小宇得分比小明得分高的概率.解：（1）記事件表示“小明第道題做對(duì)”，，各事件之間相互獨(dú)立，事件為“小明前三道多選題恰好做對(duì)兩道”，則，，，三個(gè)事件為互斥事件，則，故小明前三道多選題恰好做對(duì)兩道的概率為；（2）因?yàn)樽詈笠坏蓝噙x題有三個(gè)正確的選項(xiàng)，即ABC，記“小宇得分比小明得分高”為事件，則小宇得2分，小明得0分，若從四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇兩個(gè)選項(xiàng)，則有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6種情況，記“小宇得2分”為事件，事件包含AB，AC，BC3種情況，則，記“小明得0分”為事件，從四個(gè)選項(xiàng)中任選一個(gè)選項(xiàng)，有A，B，C，D，共4個(gè)基本事件，事件包含一個(gè)基本事件，所以，易知事件，相互獨(dú)立，則，故最后一道多選題小宇得分比小明得分高的概率為.21.在圖甲所示的四邊形中，，，，，沿將進(jìn)行翻折，使得，得到如圖乙所示的四棱錐.四棱錐的體積為，為邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)，重合）.（1）若為的中點(diǎn)，求證：；（2）設(shè)，試問：是否存在實(shí)數(shù)，使得銳二面角的余弦值為？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）因?yàn)樵谒倪呅沃?，，，，所以，在四棱錐中，，即，，.又平面，平面，，所以平面，即是四棱錐的高，因此，所以.以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.又為的中點(diǎn)，所以，因此，，所以，所以，即.（2）由（1）知，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則，所以是平面的一個(gè)法向量.因，所以，，所以，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則，，所