河北省廊坊市部分高中2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省廊坊市部分高中2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】因為為純虛數(shù)，所以解得，故選：.2.已知集合，則滿足的集合的個數(shù)為（）A.8 B.7 C.4 D.3【答案】B【解析】由題意得，又A?，所以，所以集合等價于集合的非空子集，所以集合的個數(shù)為，故選：B.3.已知，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，所以，所以.故選：C.4.現(xiàn)有四個函數(shù)：①；②；③；④的圖象（部分）如圖，則按照從左到如圖像對應(yīng)的函數(shù)序號正確的一組是（）A.①③②④ B.①④③② C.③①②④ D.③①④②【答案】A【解析】設(shè)，定義域為R，滿足，即為偶函數(shù)，對應(yīng)的圖象為圖，設(shè)，定義域為R，滿足，即為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，對應(yīng)的圖象為圖；設(shè)，定義域為R，滿足，為奇函數(shù)，且零點為，對應(yīng)的圖象為圖；設(shè)，定義域為R，滿足，為奇函數(shù)，且零點為0和，對應(yīng)的圖象為圖4.故選：A.5.設(shè)，且，若能被7整除，則（）A.-4 B.-5 C.-6 D.-7【答案】C【解析】，因為能被7整除，且能被7整除，故能被7整除，又，所以.故選：C.6.如圖所示，正四棱臺中，上底面邊長為3，下底面邊長為6，體積為，點在上且滿足，過點的平面與平面平行，且與正四棱臺各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖所示，過點作于點，因為，所以，則四棱臺的高為，則四棱臺的體積為，解得，所以側(cè)棱長為.如圖所示：過于點，于點，連接，由對稱性可知，所以，而，所以，所以，同理，分別在棱上取點，使得，易得，所以截面多邊形的周長為.故選：D.7.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖數(shù)量為例，引入數(shù)列：1，1，2，3，5，8，該數(shù)列從第三項起，每一項都等于前兩項之和，即，故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱為“兔子數(shù)列”，其通項公式為，設(shè)是不等式的正整數(shù)解，則的最小值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】因為，所以，即故，故，所以，由斐波那契數(shù)列可知，則，所以的最小值為9，故選：D.8.已知過拋物線的焦點的直線與交于兩點，直線與直線分別相交于兩點，為坐標(biāo)原點，若，則直線的方程為（）A.或 B.C.或 D.【答案】C【解析】由題意知，當(dāng)直線的斜率為0時，直線與拋物線有且只有一個交點，不滿足要求，故可設(shè)的方程為，聯(lián)立整理得，所以，，直線的方程為，直線的方程為，因為不與平行，顯然，聯(lián)立方程組，所以，因為，所以，同理可得，由，解得或，故直線的方程為或，即或，故選：C.二?多選題9.設(shè)是所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是（）A.若，則是邊的中點B.若，則在邊的延長線上C.若，則是的重心D.若，則的面積是面積的【答案】AC【解析】對于，因為，所以，即，則是邊的中點，故正確；對于，由得，所以，則在邊的延長線上，故錯誤；對于，設(shè)的中點為，則，故C正確；對于D，由知，，所以，故D錯誤.故選：AC.10.已知，且，則（）A.的最大值為 B.的最大值為C.的最小值為4 D.的最小值為【答案】ACD【解析】】對于選項，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故正確；對于選項，由可知，因為，，所以，所以，所以，故錯誤；對于選項，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故正確；對于選項，,當(dāng)且僅當(dāng),時取等號，故正確；故選：.11.已知圓錐的頂點為，母線長為2，底面圓的一條直徑長為為底面圓周上不同于的一個動點，為線段（不含端點）上一點，則下列說法正確的是（）A.面積的最大值為B.三棱錐體積的最大值為1C.存在點，使得D.當(dāng)為的中點時，的最小值為【答案】BD【解析】對于，由題意知圓錐的頂點為，母線長為2，底面圓的直徑長為，記圓錐底面圓心為，則PO為圓錐的高，故，為銳角，所以，所以，設(shè)，則，當(dāng)時，的最大值為2，故A錯誤；對于B，因為點到的距離的最大值為底面圓的半徑，圓錐的高，所以三棱錐體積的最大值為，故B正確；對于C，假設(shè)存在點，，使得，因為平面，則平面，平面，所以，即，又，顯然在中，不可能有兩個直角，故假設(shè)錯誤，故錯誤；對于，當(dāng)為的中點時，，由題意可得和全等，在中，，所以，為銳角，進(jìn)而，記邊上的高為（垂足為），則，所以，當(dāng)與重合時取等號，故D正確.故選：BD.12.已知曲線C：，C上一點，則（）A.的取值范圍為 B.的取值范圍為C.不存在點，使得 D.的取值范圍為【答案】BCD【解析】由題設(shè)得：曲線為，可得曲線圖形，A：由曲線方程及圖形可知，故A錯誤；B：因為，由圖可知當(dāng)在時，才能最小，，時等號成立，故B正確；C：因為直線與漸近線平行，由圖可知與曲線沒有公共點，即不存在點，使得，故C正確；D：因為表示點到直線距離的倍，又直線與漸近線平行且距離為1，故，由圖可知當(dāng)在時，到直線距離有最大值，設(shè)，則到直線距離為，當(dāng)時等號成立，即，所以的取值范圍為，故D正確.故選：BCD．三?填空題13.某學(xué)校高三12個班級某次朗誦比賽的得分情況如表，則第75百分位數(shù)是__________.班級得分99.29.49.69.810頻數(shù)122412【答案】9.7【解析】將12個班級的得分按照從小到大排序為：，因為，可得第75百分位數(shù)是，故答案為：9.714.已知直線與圓交于兩點，直線垂直平分弦，則__________.【答案】【解析】圓可化為，其圓心為，由題意知直線過圓心，則，所以，因為直線與直線垂直，所以，則，所以；故答案為：.15.在直角坐標(biāo)系中，某等腰直角三角形的兩個頂點坐標(biāo)分別為，函數(shù)的圖象經(jīng)過該三角形的三個頂點，則的解析式為___________.【答案】【解析】等腰直角三角形的第三個頂點可能的位置如下圖中的點，其中點與已有的兩個頂點橫坐標(biāo)重復(fù)，舍去；若為點則點與點的中間位置的點的縱坐標(biāo)必然大于或小于，不可能為，因此點也舍去，只有點滿足題意.此時點為最大值點，所以，又，則，所以點，之間的圖像單調(diào)，將，代入的表達(dá)式有由知，因此.故答案為：16.已知函數(shù)若關(guān)于x的方程有3個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是_______________【答案】【解析】因為當(dāng)時，則，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在取得極小值，，，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，則，當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在取得極大值，，當(dāng)時，，當(dāng)時，；所以的函數(shù)圖像如下所示：方程，即，即或，因為方程有個不同的實數(shù)根，由圖可知有一個實數(shù)根，所以有兩個實數(shù)根，即與有兩個交點，所以，；故答案為：四?解答題17.已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.解：（1）因為數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，所以,解得，所以公比，所以.（2）由（1）知，，所以.18.在銳角中，角的對邊分別為，且.（1）求的值；（2）求的取值范圍.解：（1）由向量數(shù)量積得，所以，由正弦定理得，又，所以，所以，又，由，，解得.（2）由（1）知，，中，因為，所以.因為為銳角三角形，所以，所以，所以，，所以，即的取值范圍為.19.如圖，在三棱錐中，是的中點，是的中點，點在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若平面，且，求直線與平面所成角的余弦值.（1）證明：過點作交于點，過點作交于點，則.因為是的中點，是的中點，所以，因為，所以，則，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.（2）解：以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，過且垂直于平面直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，所以.設(shè)平面的法向量為，則即令，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，故直線與平面所成角的余弦值為.20.為學(xué)習(xí)貫徹中央農(nóng)村工作會議精神“強(qiáng)國必先強(qiáng)農(nóng)，農(nóng)強(qiáng)方能國強(qiáng)”，某市在某村積極開展香菇種植，助力鄉(xiāng)村振興.香菇的生產(chǎn)可能受場地?基料?水分?菌種等因素的影響，現(xiàn)已知香菇有菌種甲和菌種乙兩個品種供挑選，菌種甲在溫度時產(chǎn)量為28噸/畝，在溫度30℃時產(chǎn)量為20噸/畝；菌種乙在溫度20℃時產(chǎn)量為22噸/畝，在氣溫時產(chǎn)量為30噸/畝.（1）請補(bǔ)充完整2×2列聯(lián)表，根據(jù)2×2列聯(lián)表和小概率值的獨立性檢驗，判斷菌種甲?乙的產(chǎn)量與溫度是否有關(guān)？合計菌種甲菌種乙合計（2）某村選擇菌種甲種植，已知菌種甲在氣溫為時的發(fā)芽率為，從菌種甲中任選3個，若設(shè)為菌種甲發(fā)芽的個數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：參考公式：，其中.臨界值表：0.100.050.012.7063.8416.635解：（1）

合計菌種甲282048菌種乙223052合計5050100零假設(shè)：菌種甲?乙的產(chǎn)量與溫度沒有關(guān)系，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們沒有充分的證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為菌種甲?乙的產(chǎn)量與溫度無關(guān).（2）由題意可知，的可能取值有，由公式可得，，所以的分布列為0123所以.21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)極值大于0？若存在，求a的取值范圍；若不存在，說明理由．解：（1），，，當(dāng)時，由于，故，于是，，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，即，解得，，，時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減.綜上，時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是，無單調(diào)減區(qū)間；時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.（2）由(1)可知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，為極大值；當(dāng)時，f(x)在處取到極大值.由(1)可知，，即，極大值，令，∵在單調(diào)遞增，且，時，，即時，，∴，當(dāng)時，，不等式顯然成立；當(dāng)，即時，，∴，綜上，0＜a＜2.22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的浙近線方程為分別是雙曲線的左?右頂點.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)是直線上的動點，直線分別與雙曲線交于不同于的點，過點作直線的垂線，垂足為，求