河南省百師聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省百師聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.函數(shù)的定義域是（）A. B.C D.【答案】D【解析】要使函數(shù)有意義，則應(yīng)有，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.2.已知，且，且，下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A項(xiàng)，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算可知，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算可知，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，根據(jù)換底公式可知，，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算可知，，故D錯(cuò)誤.故選：C.3.已知定義在上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對(duì)應(yīng)值表：01233.10.1-0.9-3那么函數(shù)一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于f（1）＞0，f（2）＜0，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在定理可知故函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)一定有零點(diǎn)，其他區(qū)間不好判斷．故選：B．4.如圖是某市連續(xù)16日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)統(tǒng)計(jì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.這16日空氣重度污染的頻率為0.5B.該市出現(xiàn)過(guò)連續(xù)4天空氣重度污染C.這16日的空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)為203D.這16日的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值大于200【答案】D【解析】這16日空氣重度污染的頻率為，故A中說(shuō)法正確；12日，13日，14日，15日連續(xù)4天空氣重度污染，故B中說(shuō)法正確：中位數(shù)為，故C中說(shuō)法正確；，故D中說(shuō)法不正確．故選：D.5.“”是“不等式對(duì)任意的恒成立”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立；當(dāng)時(shí)，要使不等式對(duì)任意的恒成立，則應(yīng)有，解得，綜上所述，的取值范圍為，顯然“”包含的范圍包含于“”包含的范圍，“”是“不等式對(duì)任意的恒成立”的充分不必要條件.故選：A.6.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以是偶函數(shù)，故C、D錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，故B錯(cuò)誤.故選：.7.下列說(shuō)法中，正確的是（）A.某種彩票中獎(jiǎng)的概率是，因此買(mǎi)100張?jiān)摲N彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)B.做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率是C.若事件兩兩互斥，則D.任意投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則點(diǎn)數(shù)和是3的倍數(shù)的概率是【答案】D【解析】對(duì)于A項(xiàng)，由于事件結(jié)果的隨機(jī)性，購(gòu)買(mǎi)100張彩票不一定會(huì)中獎(jiǎng)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此，拋一枚硬幣出現(xiàn)正面的頻率是，不是概率為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，事件兩兩互斥，比如投擲質(zhì)地均勻的骰子試驗(yàn)中，三個(gè)事件：投擲出1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)，這三個(gè)事件兩兩互斥，但這三個(gè)事件的和事件發(fā)生的概率為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，任意投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子共包含36個(gè)等可能的樣本點(diǎn)，其中點(diǎn)數(shù)和是3的倍數(shù)的情況有，共12個(gè)樣本點(diǎn)，根據(jù)古典概型的概率公式，可得概率是，故D正確.故選：D.8.設(shè)函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函數(shù)中，對(duì)任意實(shí)數(shù)，，即函數(shù)的定義域?yàn)镽，，即函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，有，則，顯然在上都遞減，因此在上遞減，在上遞減，而函數(shù)在上遞減，從而函數(shù)在上遞減，則在上遞增，不等式，于是，兩邊平方整理得，解得，所以不等式的解集.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題正確的是（）A.若，則B.若，，則C.若，a，b同號(hào)，則D.若，則【答案】BCD【解析】若，當(dāng)時(shí)可得，故A錯(cuò)誤；若，，則，，故B正確；若，則，又因?yàn)閍，b同號(hào)，故，所以，則，故C正確；若，則，，，故D正確．故選：BCD．10.下圖是某廠實(shí)施“節(jié)能減碳”措施前后，總產(chǎn)量y與時(shí)間x（月）的函數(shù)圖象，則該廠（）A.前3個(gè)月的月產(chǎn)量逐月增加 B.第5月的月產(chǎn)量比第4個(gè)月少C.第6月的月產(chǎn)量與第5個(gè)月持平 D.第3個(gè)月結(jié)束后開(kāi)始減產(chǎn)，直至停產(chǎn)【答案】ACD【解析】前三個(gè)月，圖象緩慢上升，且函數(shù)值增加越來(lái)越大，故前3個(gè)月的月產(chǎn)量逐月增加，A正確；從3月開(kāi)始到5月，圖象緩慢上升，但函數(shù)值增加的幅度變小，且第6月的月產(chǎn)量與第5個(gè)月持平，故CD正確，B錯(cuò)誤.故選：ACD.11.若函數(shù)在定義域內(nèi)的某區(qū)間上單調(diào)遞增，且在上也單調(diào)遞增，則稱在上是“強(qiáng)增函數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若函數(shù)，則存在使是“強(qiáng)增函數(shù)”B.若函數(shù)，則為定義在上的“強(qiáng)增函數(shù)”C.若函數(shù)，則存在區(qū)間，使在上不是“強(qiáng)增函數(shù)”D.若函數(shù)在區(qū)間上是“強(qiáng)增函數(shù)”，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在上為增函數(shù)，而函數(shù)在上為增函數(shù)，所以存在使是“強(qiáng)增函數(shù)”，如，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以函?shù)在上不是增函數(shù)，所以不是定義在上的“強(qiáng)增函數(shù)”，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，因?yàn)?，所以函?shù)在上不是增函數(shù)，故存在區(qū)間，使在上不是“強(qiáng)增函數(shù)”，如，故C正確；對(duì)于D，若函數(shù)在區(qū)間上是“強(qiáng)增函數(shù)，則函數(shù)在上都是增函數(shù)，由函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，得，解得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)，符合題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，符合題意，當(dāng)時(shí)，，由對(duì)勾函數(shù)得單調(diào)性可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，綜上所述，，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以，所以，故D正確.故選：ACD.12.已知采用分層抽樣得到的樣本數(shù)據(jù)由兩部分組成，第一部分樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；第二部分樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，設(shè)，則以下命題正確的是（）A.設(shè)總樣本的平均數(shù)為，則B.設(shè)總樣本的平均數(shù)為，則C.設(shè)總樣本的方差為，則D.若，則【答案】AD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，即，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取第一部分?jǐn)?shù)據(jù)為，則，，取第二部分?jǐn)?shù)據(jù)為，則，，則，B不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，取第一部分?jǐn)?shù)據(jù)為，則，，取第二部分?jǐn)?shù)據(jù)為，則，，則，，C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，，D正確.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知且，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，的最小值為.故答案為：.14.若函數(shù)，（，且）的圖象過(guò)定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在冪函數(shù)上，則__________.【答案】1【解析】由可得，，，所以函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，解得，，又點(diǎn)A在函數(shù)上，所以，，因?yàn)?，所?故答案為：1.15.已知函數(shù)，（，且）是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】根據(jù)已知結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以，有，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.①某班有男生30人，女生20人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從其中抽10名同學(xué)進(jìn)行體質(zhì)健康測(cè)試，則應(yīng)抽取男生6人；②某人將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲了10次，正面朝上的情形出現(xiàn)了6次，則正面朝上的概率為0.6；③一組數(shù)6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的75%分位數(shù)為4，上述結(jié)論正確的是__________.【答案】①③【解析】對(duì)于①，男生應(yīng)抽取人，故①正確；對(duì)于②，某人將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲了10次，正面朝上的情形出現(xiàn)了6次，則正面朝上的頻率為0.6，但是無(wú)論擲硬幣多少次，硬幣正面朝上概率均為0.5，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，這組數(shù)據(jù)從小到大排列依次為：，因?yàn)?，所以分位?shù)為4，故③正確.故答案為：①③.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知集合，集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由可得，，所以，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，由可得，，解得或，所以，或，所以，.（2）因?yàn)椋瑒t由可得，或，即或，所以，或.因?yàn)?，，所以有，解得，所以?18.已知函數(shù)（且）．（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）若，求函數(shù)的值域．解：（1）函數(shù)是奇函數(shù)，依題意，，解得或，即的定義域?yàn)?，又，所以函?shù)是奇函數(shù)．（2）當(dāng)a＝2時(shí)，，，顯然，則有，即，而在上遞增，因此，所以的值域是.19.某調(diào)研小組調(diào)查了某市1000名外賣(mài)騎手平均每天完成的任務(wù)量（簡(jiǎn)稱“單量”），得到如下的頻數(shù)分布表：?jiǎn)瘟?單人數(shù)100120130180220150603010（1）補(bǔ)全該市1000名外賣(mài)騎手每天單量的頻率分布直方圖；（2）根據(jù)圖表數(shù)據(jù)，試求樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)（精確到0.1）；（3）根據(jù)外賣(mài)騎手的每天單量，參考某平臺(tái)的類別將外賣(mài)騎手分成三類，調(diào)查獲知不同類別的外賣(mài)騎手開(kāi)展工作所投入的裝備成本不盡相同，如下表：日單量/單類別普通騎手精英騎手王牌騎手裝備價(jià)格/元250040004800根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)該市外賣(mài)騎手購(gòu)買(mǎi)裝備的平均成本.解：（1）由第二組的頻數(shù)得頻率為，從而第二組矩形的高為，由第四組的頻數(shù)得頻率為，從而第二組矩形的高為，補(bǔ)全該市1000名外賣(mài)騎手周單量的頻率分布直方圖，如下：（2）由已知可得，樣本數(shù)據(jù)分布在之間的頻率為；樣本數(shù)據(jù)分布在之間的頻率為，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，則，且有，解得，即樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為29.2.（3）依題意可知，被調(diào)查的1000人中，普通騎手共有（人），精英騎手共有（人），王牌騎手共有（人），所以，這1000名外賣(mài)騎手購(gòu)買(mǎi)裝備的平均成本為：（元），所以估計(jì)該市外賣(mài)騎手購(gòu)買(mǎi)裝備的平均成本為3750元.20.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求不等式的解集.解：（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，且單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，且單調(diào)遞增，所以，，又時(shí)，單調(diào)遞增，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，，解可得，；解可得，；當(dāng)時(shí)，，解可得，；解可得，，綜上所述，的解集為，所以，由，可得，當(dāng)時(shí)，由可得，，解得；當(dāng)時(shí)，由可得，，解得；當(dāng)時(shí)，由可得，，解得，綜上，不等式解集為.21.已知函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求a的值；（2）設(shè)，，若，存在，使得，求m的取值范圍．解：（1）的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，所以，即，，，，，，即，對(duì)，上式都成立，，即.（2），，存在，使得，在上的最小值不小于在上的最小值，在上單調(diào)遞增，，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，解得，m取值范圍為.22.為了建設(shè)書(shū)香校園，營(yíng)造良好的讀書(shū)氛圍，學(xué)校開(kāi)展“送書(shū)券”活動(dòng).該活動(dòng)由三個(gè)游戲組成，每個(gè)游戲各玩一次且結(jié)果互不影響．連勝兩個(gè)游戲可以獲得一張書(shū)券，連勝三個(gè)游戲可以獲得兩張書(shū)券．游戲規(guī)則如下表：游戲一游戲二游戲三箱子中球的顏色和數(shù)量大小質(zhì)地完全相同的紅球3個(gè)，白球2個(gè)（紅球編號(hào)為“1，2，3”，白球編號(hào)為“4，5”）取球規(guī)則取出一個(gè)球有放回地依次取出兩個(gè)球不放回地依次取出兩個(gè)球獲勝規(guī)則取到白球獲勝取到兩個(gè)白球獲勝編號(hào)之和為獲勝（1）分別求出游戲一，游戲二的獲勝概率；（2）一名同學(xué)先玩了游戲一，試問(wèn)為何值時(shí)，接下來(lái)先玩游戲三比先玩游戲二獲得書(shū)券的概率更大．解：（1）設(shè)事件“游戲一獲勝”，“游戲二