河南省南陽市桐柏縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽市桐柏縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1、答題前考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上并將考生的條形碼貼在答題卡指定位置上2、回答選擇題時(shí)，選出每小題答案之后用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、單選題（每題5分共40分）1.若兩平行直線與之間的距離是，則（）A. B.0 C.1 D.【答案】B【解析】因?yàn)橹本€與直線平行，所以有，所以有，又因?yàn)檫@兩條平行線間距離為，所以有，或舍去，所以，故選：B2.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，.故選：B.3.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是橢圓C：（）的焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若，則C的離心率為（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，，可得，又由，可得，故，由得，整理得，即，解之得或（舍）.故選：A4.已知空間中直線的一個(gè)方向向量，平面的一個(gè)法向量，則（）A.直線與平面平行 B.直線在平面內(nèi)C.直線與平面垂直 D.直線與平面不相交【答案】C【解析】由，，可得，所以，故是平面的一個(gè)法向量，故直線與平面垂直，故選：C5.已知橢圓的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，且點(diǎn)不在直線上，則“”是“的周長大于”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，又，所以的周長為．若，則．若，則．所以“”是“的周長大于”的必要不充分條件．故C正確.故選：C.6.中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的傳統(tǒng)工藝品.經(jīng)過歷代燈彩藝人的繼承和發(fā)展，形成了豐富多彩的品種和高超的工藝水平，從種類上主要有宮燈、紗燈、吊燈等類型.現(xiàn)將4盞相同的宮燈、3盞不同的紗燈、2盞不同的吊燈掛成一排，要求吊燈掛兩端，同一類型的燈籠至多2盞相鄰掛，則不同掛法種數(shù)為（）A.216 B.228 C.384 D.486【答案】A【解析】先掛2盞吊燈有種掛法，再在2盞吊燈之間掛3盞紗燈有種掛法，最后將宮燈插空掛.當(dāng)4盞宮燈分成2，2兩份插空時(shí)有種掛法；當(dāng)4盞宮燈分成1，1，2三份插空時(shí)有種掛法；當(dāng)4盞宮燈分成1，1，1，1四份插空時(shí)有1種掛法，所以共有種不同的掛法.故選：A7.如圖，平行六面體中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,故，，，.故選：A8.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過且與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A B. C. D.【答案】B【解析】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)P為與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線的交點(diǎn).由已知結(jié)合雙曲線的定義可得，所以，，，，且銳角.又，，所以，.又，在中，由余弦定理可得，整理可得，，所以，.故選：B.二、多選題（每題5分共20分）9.已知圓經(jīng)過點(diǎn)、，為直角三角形，則圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】設(shè)圓心，由題意可知，，即，解得，因?yàn)闉橹苯侨切危瑒t為直角三角形，則，即，解得，則圓的半徑為，圓心為，因此，圓的方程為或，故選：BC.10.已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AC【解析】若，則，得，故A正確，B錯(cuò)誤；若，則，即，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：AC.11.如圖，在棱長為1的正方體中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足.下列說法中錯(cuò)誤的是（）A.點(diǎn)可以是棱的中點(diǎn)B.線段長度的最大值為C.點(diǎn)的軌跡是正方形D.點(diǎn)的軌跡長度為【答案】ABC【解析】在正方體中，分別以DA，DC，為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，∵該正方體的棱長為1，M，N分別為，的中點(diǎn)，∴，，，，∴，設(shè)，則，∵，∴，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，取，，，，連結(jié)EF，F(xiàn)G，，HE，則，，所以，∴四邊形EFGH為矩形，則，，即，，又和為平面內(nèi)的兩條相交直線，∴平面EFGH，又，，∴M為EG的中點(diǎn)，則平面EFGH，為使，必有點(diǎn)平面EFGH，又點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)P的軌跡為四邊形EFGH，因此點(diǎn)P不可能是棱的中點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；又，，∴，則點(diǎn)P的軌跡不是正方形且矩形EFGH周長為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；∵，，又，則，即，∴，點(diǎn)在正方體表面運(yùn)動(dòng)，則，解，∴，故當(dāng)或，或1，MP取得最大值為，故B錯(cuò)誤.故選：ABC．12.已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)在橢圓上，橢圓的離心率為，則以下說法正確的是（）A.離心率的取值范圍為 B.當(dāng)時(shí)，的最大值為C.存在點(diǎn)，使得 D.的最小值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A項(xiàng)：因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以，得，，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)：，當(dāng)在軸下方時(shí)，且，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，由，得，，所以得，所以最大值，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)：設(shè)，若，即：，則得，即點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，又由A項(xiàng)知，得，又因?yàn)?，得，所以得，所以該圓與橢圓無交點(diǎn)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題（每題5分共20分）13.已知拋物線,直線與拋物線交于兩點(diǎn),與圓交于兩點(diǎn)在第一象限，則的最小值為______.【答案】【解析】因?yàn)閽佄锞€M的方程為，所以拋物線M的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線，則直線過拋物線的焦點(diǎn)F，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立與可得，所以，則；當(dāng)時(shí)，如圖，過作軸于K，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交y軸于E，則，得，則，同理可得，所以，化圓N：為，則圓N的圓心為F，半徑為1，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：14.在的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)為______．【答案】【解析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式得：，令，則.故答案為：.15.在正方體中，設(shè)，若二面角的平面角的正弦值為，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】或【解析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)棱長為1，,則，，設(shè)平面，平面的一個(gè)法向量分別為，所以，，即，，分別令，則，故，設(shè)二面角的平面角為，由，則，故由，解得或.16.已知直線和直線，則曲線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值是____________．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為則動(dòng)點(diǎn)到直線的距離為；動(dòng)點(diǎn)直線的距離為.所以曲線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之和為令，即則的幾何意義是過點(diǎn)的直線在軸上的截距.因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上.所以當(dāng)直線與曲線相切時(shí)有最值.因?yàn)榍€是以圓心，為半徑的圓.則，解得或所以曲線上一動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值為.故答案為：四、解答題（共70分）17.已知在的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．（1）求n的值，并求該展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求含的項(xiàng)的系數(shù).解：（1）根據(jù)二項(xiàng)式定理寫出的通項(xiàng)公式為：……①二項(xiàng)式展開的第6項(xiàng)……②②代入①有第6項(xiàng)為：……③第6項(xiàng)為常數(shù)，且由③式可得：……④因?yàn)檎归_式共有項(xiàng)，故二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第項(xiàng)，此時(shí)的，展開式第的二項(xiàng)式系數(shù)為，故答案為：.（2）由第1小問可知，且通項(xiàng)公式為：……⑤只需要令⑤式中的指數(shù)為2……⑥含的項(xiàng)的系數(shù)，故答案為：.18.如圖，邊長為2的等邊所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M為BC的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求平面與平面的夾角的大??；（3）求點(diǎn)D到平面的距離．解：（1）以D為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，過D作平面垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以.（2）因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄?，又，設(shè)平面的法向量，則，取，設(shè)平面與平面夾角的大小為，，所以，所以平面與平面夾角的大小為；（3），由（2）知平面的法向量，所以點(diǎn)D到平面的距離．19.已知橢圓C：（，）的長軸為，短軸長為4．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l：與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B，且，求直線的方程．解：（1）由已知長軸為，短軸長為4，可得，，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）依題意，解得，因?yàn)椋傻?，且，因?yàn)?，解得，所以直線的方程為l：．20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，E為棱AB的中點(diǎn)，AC⊥PE，PA=PD.（1）證明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若PA=AD，∠BAD=60°，求二面角的正弦值.解：（1）如圖，連接,取中點(diǎn),連接,因底面ABCD為菱形，故,又E為棱AB的中點(diǎn)，故，則，已知平面，故平面，因平面，則，因，則又平面則平面，又平面，故平面平面（2）如圖，連，由（1）知平面，且∠BAD=60°，則是正三角形，,故可以分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè),則于是,設(shè)平面D的法向量為，則有可取.因，故可取平面的法向量為.設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，故則即二面角的正弦值為.21.某校開展“學(xué)習(xí)二十大，永遠(yuǎn)跟黨走”網(wǎng)絡(luò)知識(shí)競賽.每人可參加多輪答題活動(dòng)，每輪答題情況互不影響.每輪比賽共有兩組題，每組都有兩道題，只有第一組的兩道題均答對(duì)，方可進(jìn)行第二組答題，否則本輪答題結(jié)束.已知甲同學(xué)第一組每道題答對(duì)的概率均為，第二組每道題答對(duì)的概率均為，兩組題至少答對(duì)3題才可獲得一枚紀(jì)念章.（1）記甲同學(xué)在一輪比賽答對(duì)的題目數(shù)為，請(qǐng)寫出的分布列，并求；（2）若甲同學(xué)進(jìn)行了10輪答題，試問獲得多少枚紀(jì)念章的概率最大.解：（1）由題意，可取0，1，2，3，4.,，，，，則的分布列為：01234.（2）每一輪獲得紀(jì)念章的概率為，每一輪相互獨(dú)立，則每一輪比賽可視為二項(xiàng)分布，設(shè)10輪答題獲得紀(jì)念章的數(shù)量為，則，，.由，得，解得，又，得，