滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)考題猜想 專題04 全等三角形綜合問(wèn)題（易錯(cuò)必刷22題6種題型）

專題04全等三角形綜合問(wèn)題（易錯(cuò)必刷22題6種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】三角形全等之三垂直模型（共3題） 1【題型二】三角形全等之一線三等角模型（共5題） 7【題型三】三角形全等之手拉手模型（共3題） 18【題型四】三角形全等之倍長(zhǎng)中線模型（共4題） 24【題型五】三角形全等之截長(zhǎng)補(bǔ)短模型（共3題） 35【題型六】三角形全等之新定義型綜合問(wèn)題（共4題） 45【題型一】三角形全等之三垂直模型（共3題）1．（23-24八年級(jí)上·天津?yàn)I海新·期末）在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：DE，AD，的關(guān)系；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)寫出新的結(jié)論并說(shuō)明理由．2．（19-20七年級(jí)下·廣東深圳·期末）直角三角形中，，直線過(guò)點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，如圖，分別過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．求證：．(2)當(dāng)，時(shí)，如圖，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，連接，CF，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．，當(dāng)在路徑上時(shí)，．（用含的代數(shù)式表示）直接寫出當(dāng)與全等時(shí)的值．3．（23-24七年級(jí)下·云南昆明·期末）綜合與實(shí)踐：(1)【問(wèn)題情境】在綜合與實(shí)踐課上，何老師對(duì)各學(xué)習(xí)小組出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，，，，，垂足分別為點(diǎn)，．請(qǐng)證明：．(2)【合作探究】“希望”小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將題目改編如下：如圖2，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作且，連接交于點(diǎn)．若，，請(qǐng)證明：點(diǎn)為的中點(diǎn)．(3)【拓展提升】“創(chuàng)新”小組在“希望”小組的基礎(chǔ)上繼續(xù)提出問(wèn)題：如圖3，，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作且，連接交射線于點(diǎn)．若，請(qǐng)直接寫出的值．【題型二】三角形全等之一線三等角模型（共5題）4．（23-24七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）【模型呈現(xiàn)】（1）如圖1，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)．求證：．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，且，且，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積．【深入探究】（3）如圖3，，，，連接、，且于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．①求證；②若，，求的面積．5．（23-24八年級(jí)上·山東日照·期末）問(wèn)題情境：如圖①，在中，于點(diǎn)D．可知：（不需要證明）；(1)特例探究：如圖②，，射線在這個(gè)角的內(nèi)部，點(diǎn)B、C在的邊上，且于點(diǎn)F，于點(diǎn)D．證明：；(2)歸納證明：如圖③，點(diǎn)B，C在的邊上，點(diǎn)E，F(xiàn)在內(nèi)部的射線上，分別是的外角．已知，．求證：；(3)拓展應(yīng)用：如圖④，在中，．點(diǎn)D在邊上，，點(diǎn)E、F在線段上，．若的面積為，則與的面積之和為．（直接寫出結(jié)果）6．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·期末）（1）如圖①，已知：中，，，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，于D，于E，求證：；（2）拓展：如圖②，將（1）中的條件改為：中，，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且，為任意銳角或鈍角，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論是否成立？如成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）應(yīng)用：如圖③，在中，是鈍角，，，，直線m與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若，的面積是12，求與的面積之和．7．（23-24七年級(jí)下·山西運(yùn)城·期末）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們以等腰三角形為背景展開(kāi)探究．在中，，直線過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上兩點(diǎn)．獨(dú)立思考：（1）如圖1，當(dāng)直線在的外部，滿足時(shí)，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；拓展探究：（2）如圖2，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)的內(nèi)部，交于點(diǎn)，且，滿足時(shí)，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請(qǐng)寫出線段，與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)的內(nèi)部，交于點(diǎn)，且，滿足時(shí)，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請(qǐng)直接寫出線段與之間的數(shù)量關(guān)系．8．（23-24九年級(jí)上·山東青島·期末）如圖：(1)如圖，，射線在這個(gè)角的內(nèi)部，點(diǎn)、分別在的邊、上，且，于點(diǎn)，于點(diǎn)．求證：；(2)如圖，點(diǎn)、分別在的邊、上，點(diǎn)、都在內(nèi)部的射線AD上，、分別是、的外角．已知，且．求證：；(3)如圖3，在中，，．點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)、在線段AD上，．若的面積為21，求與的面積之和．【題型三】三角形全等之手拉手模型（共3題）9．（23-24七年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖1，已知和都是等腰三角形，點(diǎn)和點(diǎn)分別在和上，，易知和的數(shù)量關(guān)系是．(1)觀察猜想若，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連結(jié)和，猜想和的數(shù)量關(guān)系是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若延長(zhǎng)和交于點(diǎn)，則______；(2)類比探究若，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置，連結(jié)和交于點(diǎn)和的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____，則______；(3)拓展應(yīng)用如圖3，在“類比探究”的條件下，已知，若連結(jié)和，則四邊形的面積是______．10．（23-24七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）在學(xué)習(xí)全等三角形的知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對(duì)位置變化時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形．通過(guò)查詢資料，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”，興趣小組進(jìn)行了如下操作：(1)觀察猜想如圖，在中，分別以，為邊向外作等腰直角和等腰直角，，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為；(2)類比探究如圖，在中，分別以，為邊作等腰直角和等腰直角，，點(diǎn)，，在同一直線上，為中邊上的高，猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；(3)解決問(wèn)題運(yùn)用（）（）中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)，的距離，已經(jīng)測(cè)得，，，米，米，的長(zhǎng)為米．11．（23-24七年級(jí)下·山西運(yùn)城·期末）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：在和中，，，在內(nèi)部，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，設(shè)．特例思考：（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，試說(shuō)明與之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；一般猜想：（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接用含的代數(shù)式表示的度數(shù)；深度探究：（3）如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，在線段DB上截取，連接，求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）【題型四】三角形全等之倍長(zhǎng)中線模型（共4題）12．（23-24八年級(jí)上·遼寧葫蘆島·期末）某校八年級(jí)（1）班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了試驗(yàn)探究活動(dòng)，請(qǐng)你和他們一起活動(dòng)吧．【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，是的中線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，求證：．【理解與運(yùn)用】（2）如圖2，是的中線，若，求的取值范圍；（3）如圖3，是的中線，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，求證：．13．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）（1）如圖①，在中，若，，為邊上的中線，求的取值范圍；（2）如圖②，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，判斷與的大小關(guān)系并證明；（3）如圖③，在四邊形中，，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，若是的角平分線．試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．14．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期末）數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在中，是的中點(diǎn)，求邊上的中線的取值范圍．

【方法探索】（1）小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．根據(jù)可以判定，得出．這樣就能把線段集中在中．利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線的取值范圍是___________．【問(wèn)題解決】（2）由第（1）問(wèn)方法的啟發(fā)，請(qǐng)解決下面問(wèn)題：如圖2，在中，是邊上的一點(diǎn)，是的中線，，試說(shuō)明：；【問(wèn)題拓展】（3）如圖3，是的中線，過(guò)點(diǎn)分別向外作，使得，判斷線段與的關(guān)系，并說(shuō)明理由．15．（22-23七年級(jí)下·四川達(dá)州·期末）（1）閱讀理解：

如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)使，再連接，這樣就把，，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系可判斷線段的取值范圍是；則中線的取值范圍是；（2）問(wèn)題解決：如圖②，在中，是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，此時(shí)：與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)作，邊，分別交，于，兩點(diǎn)，連接，此時(shí)：、與的數(shù)量關(guān)系【題型五】三角形全等之截長(zhǎng)補(bǔ)短模型（共3題）16．（23-24八年級(jí)上·福建南平期末）【問(wèn)題背景】如圖1，在四邊形中，，點(diǎn)E、F分別是邊上的點(diǎn)，且，試探究圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連結(jié)，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_____．【探索延伸】如圖2，若在四邊形中，，點(diǎn)E、F分別是邊上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由．17．（22-23八年級(jí)上·貴州畢節(jié)·期末）如圖①，在四邊形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊，上的點(diǎn)，且，求線段之間的數(shù)量關(guān)系．小明提供了這樣的思路：延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接．

(1)根據(jù)小明的思路，請(qǐng)直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系：___________；(2)如圖②，在四邊形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立說(shuō)明理由．(3)如圖③，在四邊形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．18．（23-24七年級(jí)下·四川達(dá)州·期末）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出以下題目條件：在四邊形中，，點(diǎn)E、F分別是直線上的一點(diǎn)，并且．請(qǐng)同學(xué)們?cè)谠瓧l件不變的情況下添加條件，開(kāi)展探究活動(dòng)．【初步探索】（1）“興趣”小組做了如下探究：如圖1，若，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使．連接，再證明，由此可得出，，之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______；【靈活運(yùn)用】（2）“實(shí)踐”小組提出問(wèn)題：如圖2，若，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；【延伸拓展】（3）“奮進(jìn)”小組在“實(shí)踐”小組的基礎(chǔ)上，提出問(wèn)題：如圖3，若，點(diǎn)E、F分別在線段的延長(zhǎng)線上，連接，且仍然滿足．請(qǐng)寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【題型六】三角形全等之新定義型綜合問(wèn)題（共4題）19.（23-24七年級(jí)下·陜西寶雞·期末）【閱讀理解】定義：在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A，B分別在射線，上，過(guò)點(diǎn)A垂直的直線與過(guò)點(diǎn)B垂直的直線交于點(diǎn)Q，則我們把稱為的“邊垂角”．【遷移運(yùn)用】(1)如圖1，，分別是的兩條高，兩條高交于點(diǎn)F，根據(jù)定義，我們知道是的“邊垂角”或是的“邊垂角”，的“邊垂角”是______；(2)若是的“邊垂角”，則與的數(shù)量關(guān)系是______；(3)若是的“邊垂角”，且．如圖2，交于點(diǎn)E，點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接，，且，求證：．20.（23-24七年級(jí)下·江蘇南京·期末）定義：只有一組對(duì)角相等的四邊形叫做等角四邊形．如：在四邊形中，若，且，則稱四邊形為等角四邊形，記作等角四邊形．【初步認(rèn)識(shí)】（1）如圖，四邊形是等角四邊形，，，則_____；【繼續(xù)探索】（2）如圖，四邊形是等角四邊形，平分，平分，求證：；（1）如圖，已知，點(diǎn)分別在邊上．在的內(nèi)部求作一點(diǎn)，使四邊形是等角四邊形，且．（要求：用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出必要的文字說(shuō)明．）21.（23-24七年級(jí)下·遼寧本溪·期末）新定義：如果兩個(gè)三角形不全等但面積相等，那么這兩個(gè)三角形叫做積等三角形．【初步嘗試】（1）如圖1，在中，，P為邊上一點(diǎn)，若與是積等三角形，求的長(zhǎng)；【理解運(yùn)用】（2）如圖2，與為積等三角形，若，且線段AD的長(zhǎng)度為正整數(shù)，求AD的長(zhǎng)．【綜合應(yīng)用】（3）如圖3，在中，過(guò)點(diǎn)C作，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，以為邊作，連接．請(qǐng)判斷與是否為積等三角形，并說(shuō)明理由．22.（23-24八年級(jí)下·重慶江津·期末）定義：如圖（1），若分別以的三邊，，為邊向三角形外側(cè)作正方形，和，則稱這三個(gè)正方形為的外展三葉正方形，其中任意兩個(gè)正方形為的外展雙葉正方形．

(1)作的外展雙葉正方形和，記，的面積分別為和；①如圖（2），當(dāng)時(shí)，求證：；②如圖（3），當(dāng)時(shí)，與是否仍然相等，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)已知中，，，作其外展三葉正方形，記，，的面積和S，請(qǐng)利用圖（1）探究：當(dāng)?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時(shí)，的值是否發(fā)生變化？若不變，求出的值；若變化，求出的最大值．

專題04全等三角形綜合問(wèn)題（易錯(cuò)必刷22題6種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】三角形全等之三垂直模型（共3題） 1【題型二】三角形全等之一線三等角模型（共5題） 7【題型三】三角形全等之手拉手模型（共3題） 18【題型四】三角形全等之倍長(zhǎng)中線模型（共4題） 24【題型五】三角形全等之截長(zhǎng)補(bǔ)短模型（共3題） 35【題型六】三角形全等之新定義型綜合問(wèn)題（共4題） 45【題型一】三角形全等之三垂直模型（共3題）1．（23-24八年級(jí)上·天津?yàn)I海新·期末）在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且于D，于E．(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：DE，AD，的關(guān)系；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)寫出新的結(jié)論并說(shuō)明理由．【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)不成立，，理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)和線段和差關(guān)系，（1）根據(jù)題意利用證明，則有，，結(jié)合即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)題意利用證明，則有，，結(jié)合即可證明結(jié)論．【詳解】（1）解：，理由如下：∵，，∴，，∴，在與中，∵，∴；∴，，∵，∴；（2）解：∵于D，于E．∴，∴，．∴．在和中，∵，∴．∴，．∴．2．（19-20七年級(jí)下·廣東深圳·期末）直角三角形中，，直線過(guò)點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，如圖，分別過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)．求證：．(2)當(dāng)，時(shí)，如圖，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，連接，CF，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．，當(dāng)在路徑上時(shí)，．（用含的代數(shù)式表示）直接寫出當(dāng)與全等時(shí)的值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，；秒或秒或秒．【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、同(等)角的余(補(bǔ))角相等的應(yīng)用、幾何問(wèn)題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】（）根據(jù)垂直的定義得，再由同角的余角相等得，最后利用定理證明；（）由折疊的性質(zhì)和線段和差可得出答案；分當(dāng)點(diǎn)沿路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)沿路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)沿路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)沿路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)四種情況分析即可；本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，線段和差，同角的余角相等，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴；（2）由題意得，，，則，由折疊的性質(zhì)可知，，∴，故答案為：，；由折疊的性質(zhì)可知，，∵，，∴，∴當(dāng)時(shí)，與全等，當(dāng)點(diǎn)沿路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，，解得：（不合題意），當(dāng)點(diǎn)沿路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，，則，解得：，當(dāng)點(diǎn)沿路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得，，解得：，當(dāng)點(diǎn)沿路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得，，解得：，綜上所述，當(dāng)秒或秒或秒，與全等．3．（23-24七年級(jí)下·云南昆明·期末）綜合與實(shí)踐：(1)【問(wèn)題情境】在綜合與實(shí)踐課上，何老師對(duì)各學(xué)習(xí)小組出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，，，，，垂足分別為點(diǎn)，．請(qǐng)證明：．(2)【合作探究】“希望”小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將題目改編如下：如圖2，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作且，連接交于點(diǎn)．若，，請(qǐng)證明：點(diǎn)為的中點(diǎn)．(3)【拓展提升】“創(chuàng)新”小組在“希望”小組的基礎(chǔ)上繼續(xù)提出問(wèn)題：如圖3，，，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作且，連接交射線于點(diǎn)．若，請(qǐng)直接寫出的值．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)證明見(jiàn)詳解(3)9【知識(shí)點(diǎn)】線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查了全等三角形的綜合問(wèn)題，有關(guān)中點(diǎn)的相關(guān)計(jì)算，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）利用證得，即可求證結(jié)論；（2）過(guò)作于，由（1）得，進(jìn)而可得，再利用可證，則可證，根據(jù)數(shù)量關(guān)系可得，，進(jìn)而可求證結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)作于，由（2）得，，，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系即可求解；【詳解】（1）證明：，，，，，在和中，，，；（2）證明：過(guò)作于，如圖：由（1）得：，，，，在和中，，，，，，，，，，是的中點(diǎn)；（3）解：，理由如下：過(guò)點(diǎn)作于，如圖：由（2）得：，，，，，，，，，．即．【題型二】三角形全等之一線三等角模型（共5題）4．（23-24七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）【模型呈現(xiàn)】（1）如圖1，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)．求證：．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，且，且，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積．【深入探究】（3）如圖3，，，，連接、，且于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．①求證；②若，，求的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）①見(jiàn)解析；【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問(wèn)題【分析】（1）證明，即可得證；（2）同（1）法得到，，分割法求出圖形面積即可；（3）①過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，易證，，得到，，再證明，即可得出結(jié)論；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而利用面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）證明：，，，，，，，在和中，，．（2）由模型呈現(xiàn)可知，，，，，，，則．（3）①過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于．圖3由【模型呈現(xiàn)】可知，，，，，，，在和中，，．②由①可知，，，，，，，由①得，，，，．5．（23-24八年級(jí)上·山東日照·期末）問(wèn)題情境：如圖①，在中，于點(diǎn)D．可知：（不需要證明）；(1)特例探究：如圖②，，射線在這個(gè)角的內(nèi)部，點(diǎn)B、C在的邊上，且于點(diǎn)F，于點(diǎn)D．證明：；(2)歸納證明：如圖③，點(diǎn)B，C在的邊上，點(diǎn)E，F(xiàn)在內(nèi)部的射線上，分別是的外角．已知，．求證：；(3)拓展應(yīng)用：如圖④，在中，．點(diǎn)D在邊上，，點(diǎn)E、F在線段上，．若的面積為，則與的面積之和為．（直接寫出結(jié)果）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)8【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形的兩個(gè)銳角互余、三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】（1）先運(yùn)用直角三角形的兩個(gè)銳角互余以及角的等量代換得，證明，即可作答．（2）先運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)以及角的和差關(guān)系得出，證明，即可作答．（3）這運(yùn)用等高算面積，則底的比就是它們的面積的比列式計(jì)算，再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)，即可作答．本題考查了全等三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：如圖：∵，∴∵∴∴，在和中，，∴；（2）證明：如圖：易得，∵∴∴，在和中，，∴；（3）解：如圖：∵的面積為24，，且分別以為底來(lái)運(yùn)算面積∴此時(shí)它們的高是相等的，即的面積是：，由（2）可知，，∴與的面積之和等于與的面積之和，即等于的面積是8，答案為：8．6．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·期末）（1）如圖①，已知：中，，，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，于D，于E，求證：；（2）拓展：如圖②，將（1）中的條件改為：中，，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且，為任意銳角或鈍角，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論是否成立？如成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）應(yīng)用：如圖③，在中，是鈍角，，，，直線m與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若，的面積是12，求與的面積之和．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）成立；理由見(jiàn)解析；（3）6【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，不同底等高的兩個(gè)三角形的面積之比等于底的比．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）證明，則，，；（2）同理（1）證明即可；（3）同理（2）可得，，則，設(shè)的底邊上的高為，則的底邊上的高為，，，由，可得，根據(jù)，求解作答即可．【詳解】（1）證明：直線，直線，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，，∴，∴；（2）解：結(jié)論成立；理由如下：∵，∴，即，∵，∴，∴，，∴，∴；（3）解：同理（2）可得，，∴，設(shè)的底邊上的高為，則的底邊上的高為，∴，，，∴，∴，∴與的面積之和為6．7．（23-24七年級(jí)下·山西運(yùn)城·期末）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們以等腰三角形為背景展開(kāi)探究．在中，，直線過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上兩點(diǎn)．獨(dú)立思考：（1）如圖1，當(dāng)直線在的外部，滿足時(shí)，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；拓展探究：（2）如圖2，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)的內(nèi)部，交于點(diǎn)，且，滿足時(shí)，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請(qǐng)寫出線段，與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)的內(nèi)部，交于點(diǎn)，且，滿足時(shí)，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請(qǐng)直接寫出線段與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1），見(jiàn)解析；（2），見(jiàn)解析；（3）（1）中結(jié)論不成立．線段與之間的數(shù)量關(guān)系為【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問(wèn)題、三角形的外角的定義及性質(zhì)【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的定義，理解題意，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等量代換得出，再由全等三角形的判定和性質(zhì)得出，，結(jié)合圖形即可求解；（2）同（1）中方法類似，利用全等三角形判定和性質(zhì)求解即可；（3）同（2）中方法類似，利用全等三角形判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1），理由如下：∵，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）結(jié)論不成立，，理由如下：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）結(jié)論不成立，，理由如下：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．8．（23-24九年級(jí)上·山東青島·期末）如圖：(1)如圖，，射線在這個(gè)角的內(nèi)部，點(diǎn)、分別在的邊、上，且，于點(diǎn)，于點(diǎn)．求證：；(2)如圖，點(diǎn)、分別在的邊、上，點(diǎn)、都在內(nèi)部的射線AD上，、分別是、的外角．已知，且．求證：；(3)如圖3，在中，，．點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)、在線段AD上，．若的面積為21，求與的面積之和．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)與的面積之和等于【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、三角形的外角的定義及性質(zhì)、垂線的定義理解、同(等)角的余(補(bǔ))角相等的應(yīng)用【分析】（1）由同角的余角相等證，進(jìn)而即可證明（）；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)證，，進(jìn)而即可證明（）；（3）過(guò)點(diǎn)作于，由，得，進(jìn)而得，由（）知，，則，從而即可得解．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，，∴，∴，在和中，，∴（）；（2）證明：∵，，∴，同理：，在和中，，∴（）；（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，∵，∴，∵，，∴由（）知，，∴，∴，即：與的面積之和等于．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，同角的余角相等，垂直定義，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型三】三角形全等之手拉手模型（共3題）9．（23-24七年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖1，已知和都是等腰三角形，點(diǎn)和點(diǎn)分別在和上，，易知和的數(shù)量關(guān)系是．(1)觀察猜想若，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連結(jié)和，猜想和的數(shù)量關(guān)系是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若延長(zhǎng)和交于點(diǎn)，則______；(2)類比探究若，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置，連結(jié)和交于點(diǎn)和的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____，則______；(3)拓展應(yīng)用如圖3，在“類比探究”的條件下，已知，若連結(jié)和，則四邊形的面積是______．【答案】(1)理由見(jiàn)解析；60(2)；90(3)【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】（1）證明，，，根據(jù)三角形內(nèi)角和，即可求解，（2）證明，，，根據(jù)三角形內(nèi)角和，即可求解，（3）由，，得到，整理代入厚即可求解，本題考查了，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理．【詳解】（1）解：長(zhǎng)BD和CE交于點(diǎn)P，∵，

即，在和中，，，，∴，∴，，∴故答案為：60；（2）解：∵，

即，在和中，，，，∴，∴，，∴故答案為：；90，（3）解：∵，，∴，故答案為：8．10．（23-24七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）在學(xué)習(xí)全等三角形的知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對(duì)位置變化時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形．通過(guò)查詢資料，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”，興趣小組進(jìn)行了如下操作：(1)觀察猜想如圖，在中，分別以，為邊向外作等腰直角和等腰直角，，連接，，則與的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為；(2)類比探究如圖，在中，分別以，為邊作等腰直角和等腰直角，，點(diǎn)，，在同一直線上，為中邊上的高，猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；(3)解決問(wèn)題運(yùn)用（）（）中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)，的距離，已經(jīng)測(cè)得，，，米，米，的長(zhǎng)為米．【答案】(1)；；(2)，理由見(jiàn)解析；(3)米．【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、用勾股定理解三角形【分析】（）證即可證出，再根據(jù)“”字型得；（）先證，再證，最后通過(guò)線段和差即可得證；（）按照前問(wèn)思路構(gòu)造“手拉手模型”全等，作，使，連接，則為等腰直角三角形，證明，則，最后利用勾股定理求即可；本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識(shí)和添加合適的輔助線是解題關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形,∴，，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，∵，∴，∴；故答案為：，；（2），理由如下：∵和均為等腰直角三角形，∴，，∵∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∵為等腰直角三角形，，∴，∴，∴，∴；（3）如圖，作，使，連接，則為等腰直角三角形，同（）同理可證：，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴（米），∴米，故答案為：．11．（23-24七年級(jí)下·山西運(yùn)城·期末）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：在和中，，，在內(nèi)部，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，設(shè)．特例思考：（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，試說(shuō)明與之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；一般猜想：（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接用含的代數(shù)式表示的度數(shù)；深度探究：（3）如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，在線段DB上截取，連接，求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）【答案】（1）；（2）；（3）．【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是證明三角形全等：（1）證明，即可得出結(jié)果；（2）同法（1）即可得出結(jié)果；（3）同法（1）得到，進(jìn)而得到，再證明，得到，，進(jìn)而得到，再利用三角形的內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋?，所以所以．又因?yàn)?，所以．所以．?）同（1）可得：，∴，∵，∴．（3）由（2），知．同理（1），得．所以．又因?yàn)?，，所以．所以，．所以．所以．【題型四】三角形全等之倍長(zhǎng)中線模型（共4題）12．（23-24八年級(jí)上·遼寧葫蘆島·期末）某校八年級(jí)（1）班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了試驗(yàn)探究活動(dòng)，請(qǐng)你和他們一起活動(dòng)吧．【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，是的中線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，求證：．【理解與運(yùn)用】（2）如圖2，是的中線，若，求的取值范圍；（3）如圖3，是的中線，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，求證：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、根據(jù)三角形中線求長(zhǎng)度、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、倍長(zhǎng)中線模型(全等三角形的輔助線問(wèn)題)【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，涉及中點(diǎn)性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，如圖所示，根據(jù)題意，由三角形全等的判定得到，從而根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可得證；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，如圖所示，由三角形全等的判定與性質(zhì)得到，設(shè)，在中，由三邊關(guān)系即可得到答案；（3）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，如圖所示，得到，再由三角形全等的判定與性質(zhì)得到，進(jìn)而可確定，再由全等性質(zhì)即可得證．【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，如圖所示：∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，如圖所示：∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴，設(shè)，在中，由三邊關(guān)系可得，即，∴；（3）證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，如圖所示：∴，∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．13．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）（1）如圖①，在中，若，，為邊上的中線，求的取值范圍；（2）如圖②，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，判斷與的大小關(guān)系并證明；（3）如圖③，在四邊形中，，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，若是的角平分線．試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）；（2），見(jiàn)解析；（3），見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、全等三角形綜合問(wèn)題、倍長(zhǎng)中線模型(全等三角形的輔助線問(wèn)題)【分析】（1）由已知得出，即為的一半，即可得出答案；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使，連接，可得，得出，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，在中，由三角形的三邊關(guān)系得出即可得出結(jié)論；（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，根據(jù)平行和角平分線可證，也可證得，從而可得，即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖①，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，連接，∵D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，故答案為：；（2），理由如下：延長(zhǎng)至點(diǎn)M，使，連接，如圖②所示．同（1）得：，∴，∵，∴，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，∴；（3），理由如下：如圖③，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵是的平分線，∴∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了三角形的三邊關(guān)系，作輔助線—倍長(zhǎng)中線法、全等三角形的判定與性質(zhì)，角的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，所以本題的綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，通過(guò)作輔助線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．14．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期末）數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在中，是的中點(diǎn)，求邊上的中線的取值范圍．

【方法探索】（1）小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．根據(jù)可以判定，得出．這樣就能把線段集中在中．利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線的取值范圍是___________．【問(wèn)題解決】（2）由第（1）問(wèn)方法的啟發(fā)，請(qǐng)解決下面問(wèn)題：如圖2，在中，是邊上的一點(diǎn)，是的中線，，試說(shuō)明：；【問(wèn)題拓展】（3）如圖3，是的中線，過(guò)點(diǎn)分別向外作，使得，判斷線段與的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）；理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題是三角形的綜合題和倍長(zhǎng)中線問(wèn)題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，并運(yùn)用類比的方法解決問(wèn)題．（1）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，根據(jù)定理證明，可得結(jié)論；（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得，連接．證明，得出，得出，得出，即可證明結(jié)論．（3）延長(zhǎng)，使，連接，證明，得出，，證明，得出，即可證明結(jié)論．【詳解】解：如圖1，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，

∵是的中點(diǎn)，，，，，在中，，，；（2）證明：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得，連接．

∵是邊上的中線，∴，在和中，，，∴，∴，，，，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（3）解：；理由如下：如圖，延長(zhǎng)，使，連接，

∵為邊上的中線，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴．15．（22-23七年級(jí)下·四川達(dá)州·期末）（1）閱讀理解：

如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)使，再連接，這樣就把，，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系可判斷線段的取值范圍是；則中線的取值范圍是；（2）問(wèn)題解決：如圖②，在中，是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，此時(shí)：與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）問(wèn)題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)作，邊，分別交，于，兩點(diǎn)，連接，此時(shí)：、與的數(shù)量關(guān)系【答案】（1）；（2），見(jiàn)解析；（3）【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、全等三角形綜合問(wèn)題、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、倍長(zhǎng)中線模型(全等三角形的輔助線問(wèn)題)【分析】（1）延長(zhǎng)到點(diǎn)使，再連接，證明，可得，再由三角形三角關(guān)系可得，；（2）延長(zhǎng)至，使，連接，證明，可得，連接，可知是等腰三角形，則，在中，，即；（3）延長(zhǎng)至使，連接，證明，可推導(dǎo)出，再證明，則，能推導(dǎo)出．【詳解】解：（1）延長(zhǎng)到點(diǎn)使，再連接，，，，，，在中，，，，，故答案為：，；（2）延長(zhǎng)至，使，連接，

，，，，，連接，，，是等腰三角形，，在中，，即；（3）延長(zhǎng)至使，連接，

，，，，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的綜合應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定及性質(zhì)，三角形中線的定義，三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【題型五】三角形全等之截長(zhǎng)補(bǔ)短模型（共3題）16．（23-24八年級(jí)上·福建南平期末）【問(wèn)題背景】如圖1，在四邊形中，，點(diǎn)E、F分別是邊上的點(diǎn)，且，試探究圖中線段之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連結(jié)，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_____．【探索延伸】如圖2，若在四邊形中，，點(diǎn)E、F分別是邊上的點(diǎn)，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由．【答案】【問(wèn)題背景】；【探索延伸】仍然成立，理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問(wèn)題、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．問(wèn)題背景：先利用“”判斷得到，，再證明，接著根據(jù)“”判斷，所以，從而得到；探索延伸：結(jié)論仍然成立，證明方法與（1）相同．【詳解】問(wèn)題背景：，證明如下：如下圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴；故答案為：；探索延伸：結(jié)論仍然成立，理由如下：如下圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接，

∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．17．（22-23八年級(jí)上·貴州畢節(jié)·期末）如圖①，在四邊形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊，上的點(diǎn)，且，求線段之間的數(shù)量關(guān)系．小明提供了這樣的思路：延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接．

(1)根據(jù)小明的思路，請(qǐng)直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系：___________；(2)如圖②，在四邊形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立說(shuō)明理由．(3)如圖③，在四邊形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)(2)（1）中的結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析(3)結(jié)論不成立，應(yīng)當(dāng)是，理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問(wèn)題【分析】該題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．（1）如圖中，延長(zhǎng)到，使，連接．利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（2）思路和作輔助線的方法與（1）完全一樣，如圖中，延長(zhǎng)至M，使，連接．只不過(guò)證明三角形和全等中，證明時(shí)，用到的等角的補(bǔ)角相等，其他的都一樣．因此與（1）的結(jié)果完全一樣．（3）按照（1）的思路，我們應(yīng)該通過(guò)全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)相等線段的轉(zhuǎn)換．就應(yīng)該在上截取，使，連接．根據(jù)（1）的證法，我們可得出，那么．所以（1）的結(jié)論在（3）的條件下是不成立的．【詳解】（1）解：如圖中，延長(zhǎng)到G，使，連接，

，，．．．．又，，，．．故答案為：；（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立．證明：如圖中，延長(zhǎng)至M，使，連接．

，，，在與中，，．．，．，即．在與中，，．，即，．（3）解：結(jié)論不成立，應(yīng)當(dāng)是．證明：如圖中，在上截取，使，連接．

，，．在與中，．．．．，∴．，，．18．（23-24七年級(jí)下·四川達(dá)州·期末）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出以下題目條件：在四邊形中，，點(diǎn)E、F分別是直線上的一點(diǎn)，并且．請(qǐng)同學(xué)們?cè)谠瓧l件不變的情況下添加條件，開(kāi)展探究活動(dòng)．【初步探索】（1）“興趣”小組做了如下探究：如圖1，若，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使．連接，再證明，由此可得出，，之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______；【靈活運(yùn)用】（2）“實(shí)踐”小組提出問(wèn)題：如圖2，若，（1）中結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；【延伸拓展】（3）“奮進(jìn)”小組在“實(shí)踐”小組的基礎(chǔ)上，提出問(wèn)題：如圖3，若，點(diǎn)E、F分別在線段的延長(zhǎng)線上，連接，且仍然滿足．請(qǐng)寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）成立，理由見(jiàn)解析（3），證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SSS綜合（SSS）、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】（1）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，則，從而得出，證明得出，證明得出，即可證明；（2）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，則，從而得到，證明得出，證明得出，即可證明；（3）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，則，證明得出，證明得出，從而得到，即可得解．【詳解】解：（1）如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，則，，，，，在和中，，，，在和中，，，，，，故答案為：；（2）成立，理由：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，則，，，，，在和中，，，，在和中，，，，，；（3），證明：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，，，，在和中，，，，在和中，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角的補(bǔ)角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出輔助線構(gòu)造三角形全等是解此題的關(guān)鍵．【題型六】三角形全等之新定義型綜合問(wèn)題（共4題）19.（23-24七年級(jí)下·陜西寶雞·期末）【閱讀理解】定義：在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A，B分別在射線，上，過(guò)點(diǎn)A垂直的直線與過(guò)點(diǎn)B垂直的直線交于點(diǎn)Q，則我們把稱為的“邊垂角”．【遷移運(yùn)用】(1)如圖1，，分別是的兩條高，兩條高交于點(diǎn)F，根據(jù)定義，我們知道是的“邊垂角”或是的“邊垂角”，的“邊垂角”是______；(2)若是的“邊垂角”，則與的數(shù)量關(guān)系是______；(3)若是的“邊垂角”，且．如圖2，交于點(diǎn)E，點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，連接，，且，求證：．【答案】(1)(2)或(3)見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，四邊形內(nèi)角和定理：（1）根據(jù)“邊垂角”的定義即可得到答案；（2）分兩種情況畫出圖形，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理以及等角的余角相等即可得出結(jié)論；（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，先證明，再證明，依據(jù)題意得出，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：根據(jù)“邊垂角”的定義，的“邊垂角”是；（2）解：若是的“邊垂角”，分兩種情況①如圖，是的“邊垂角”，，，，，

②如圖，是的“邊垂角”，，，，，

綜上所述，與的數(shù)量關(guān)系是或；（3）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，是的“邊垂角”，∴，，，，，，，，，，