滬科版八年級數(shù)學上冊期末復習考題猜想 專題05 軸對稱圖形與等腰三角形（易錯必刷43題8種題型）

專題05軸對稱圖形與等腰三角形（易錯必刷43題8種題型專項訓練）目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】等腰三角形的周長時忽略構成三角形的三邊關系（共5題） 1【題型二】等腰三角形中腰和底不明求角度時沒有分類討論（共5題） 4【題型三】等腰三角形與高線、中線結合的分類討論思想（共8題） 7【題型四】垂直平分線與角平分線判定和性質綜合問題（共5題） 16【題型五】等腰三角形性質和判定的綜合問題（共5題） 25【題型六】等邊三角形性質和判定的綜合問題（共5題） 37【題型七】等腰（等邊）三角形中的動點問題（共5題） 48【題型八】與等腰（等邊）三角形有關的新定義型問題（共5題） 62【題型一】等腰三角形的周長時忽略構成三角形的三邊關系（共5題）1．（23-24七年級下·全國·期末）等腰三角形的兩邊分別長和，則它的周長是．2．（23-24七年級下·河南周口·期末）若等腰三角形的兩邊長分別為5和，則其周長為．3．（23-24七年級下·山東聊城·期末）若方程組的解恰為等腰的兩邊長，則的周長為．4．（23-24八年級上·云南紅河·期末）在等腰三角形中，頂點A，B，C所對的邊分別用a，b，c表示，已知a，b滿足，則的周長為．5．（23-24八年級上·湖北襄陽·期末）（1）等腰三角形的兩邊長分別為、，其周長為；（2）若等腰三角形的兩條邊長分別為和，則它的周長為．【題型二】等腰三角形中腰和底不明求角度時沒有分類討論（共5題）6．（23-24七年級下·遼寧丹東·期末）等腰三角形的兩個內角的度數(shù)之比是，則它頂角的度數(shù)為．7．（23-24八年級下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一個角度數(shù)為，則這個等腰三角形的底角的度數(shù)為．8．（23-24八年級上·安徽蕪湖·期末）若等腰三角形其中兩個內角的和為，則此等腰三角形的頂角度數(shù)為．9．（23-24七年級下·江西景德鎮(zhèn)·期末）如圖，，平分，如果射線上的點滿足是等腰三角形，的度數(shù)為．10．（23-24八年級上·江西贛州·期末）如圖，在中，，，，是邊BC上的動點，連接AP．當是等腰三角形時，度．【題型三】等腰三角形與高線、中線結合的分類討論思想（共8題）11．（23-24七年級下·貴州畢節(jié)·期末）在中，為鈍角，，如果經過其中一個頂點作一條直線能把分成兩個等腰三角形，那么的度數(shù)為．12．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）已知等腰，，過點B的一條直線把這個三角形分成兩個等腰三角形，則．13．（23-24八年級上·海南省直轄縣級單位·期末）等腰三角形周長為，一中線將周長分成的兩部分差為，則這個三角形三邊長為．14．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）等腰三角形中，高與一腰所夾的銳角是，則等腰三角形底角的度數(shù)為．15．（23-24七年級下·上海普陀·期末）如果等腰三角形的周長等于16厘米，一條邊長等于6厘米，那么這個等腰三角形的底邊與其一腰的長度的比值等于．16．（23-24八年級上·浙江湖州·期末）用一條長為的細繩圍成一個等腰三角形，若其中有一邊的長為，則該等腰三角形的腰長為cm．17．（23-24八年級上·四川南充·期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，在第一象限內的點C，使是以為腰的等腰直角三角形，則點C坐標為．18．（23-24八年級上·浙江寧波·期末）定義：若三角形滿足其中兩邊之和等于第三邊的三倍，則稱該三角形為“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一邊長為，則的周長為．【題型四】垂直平分線與角平分線判定和性質綜合問題（共5題）19．（23-24八年級上·貴州遵義·期末）已知：如圖，在中，，D是上一點，于E，且．(1)求證：平分；(2)若，求的度數(shù)．20．（22-23七年級上·陜西咸陽·期末）如圖，平分，于點，于點，連接．(1)試說明；(2)與相等嗎？請說明理由；(3)是否垂直平分，請說明理由．21．（23-24八年級上·湖北荊門·期末）如圖，．(1)求證：；(2)若，試判斷與的數(shù)量及位置關系并證明；(3)求的度數(shù)（用含的式子表示）．22．（23-24七年級下·山東濟寧·期末）如圖，于E，于F，若．

(1)求證：平分；(2)已知，求的長．23．（23-24七年級下·河南駐馬店·期末）如圖，已知△ABC．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)按下列要求作圖：①作的中線；②延長至E，使，連接（保留作圖痕跡，不寫作法）．線段和線段的數(shù)量關系和位置關系是；(2)當時，如圖1所示，若是的中線，試探究與的數(shù)量關系，并說明理由；(3)當時，如圖2所示，若是的中線，，，，，連接，請直接寫出的長．【題型五】等腰三角形性質和判定的綜合問題（共5題）24．（22-23七年級上·陜西咸陽·期末）如圖，在四邊形中，對角線與交于點，已知，，．(1)試說明：是等腰三角形；(2)若，，求的長；(3)若，，求的度數(shù)．25．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，在等腰中，，，點D在線段上運動（D不與B、C重合），連接，作，交線段于點E．(1)當時，°；點D從點B向點C運動時，逐漸變（填“大”或“小”）；(2)當?shù)扔诙嗌贂r，，請說明理由；(3)在點D的運動過程中，的形狀也在改變，判斷當?shù)扔诙嗌俣葧r，是等腰三角形．26．（23-24七年級下·陜西漢中·期末）（1）閱讀理解：為了進一步探究三角形中線的作用，數(shù)學興趣小組合作交流時，小曲在組內做了如下嘗試：如圖1，是的中線，延長至點，使，連接．利用全等將邊轉化到．在這個過程中小曲同學證三角形全等，用到的全等判定方法是，另外他還得到了和的位置關系是；（2）問題解決：如圖2，是的中線，，點在的延長線上，，求證：；（3）問題拓展：如圖3，中，，，點在線段上，連接，，．若點為中點，交于點，求和的數(shù)量關系．27．（23-24八年級上·貴州遵義·期末）小范同學在學習了角平分線的相關知識后，對三角形的角平分線進行深入探究：如圖①，在中，的平分線交于點D．【動手操作】（1）如圖①，過點D作于點E，作于點F，過點A作于點G，根據(jù)題意在圖中畫出圖形，并完成下列問題：又與的數(shù)量關系為_____________．【問題解決】（2）如圖②，在中，的平分線交BC于點D，，根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，求的長．【拓展延伸】（3）如圖③，在中，的平分線交于點D，，求的長．28．（23-24八年級上·貴州遵義·期末）【問題情境】【利用角平分線構造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點為上一點，過點作，垂足為，延長交于點，可根據(jù)______證明≌，則，（即點為的中點）．【類比解答】如圖2，在中，平分，于，若，，通過上述構造全等的辦法，可求得______．【拓展延伸】如圖3，中，，，平分，，垂足在的延長線上，試探究和的數(shù)量關系，并證明你的結論．【實際應用】如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進行水稻試驗，故進行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過點作于．已知，，面積為26，則劃出的的面積是多少？【題型六】等邊三角形性質和判定的綜合問題（共5題）29．（24-25八年級上·全國·期末）已知是等邊三角形，是的中點，點在射線上，點在射線上，．(1)如圖①，若點與點重合，求證：；(2)如圖②，若點在線段上，點在線段上，，求的值．30．（23-24八年級上·山東濰坊·期末）已知，中，．(1)如圖①，求證：；(2)如圖②，是外一點，連接、，且，作的平分線交于點，若，則________；(3)如圖③，在（2）的條件下，連接交于點，若，，求的長．31．（23-24八年級上·云南紅河·期末）如圖，在中，，D為直線上一動點（不與點B，C重合），在的右側作，使得，連接．(1)當D在線段上時，求證：．(2)請判斷點D在何處時，，并說明理由．(3)當時，若中最小角為，直接寫出的度數(shù)．32．（23-24八年級上·福建龍巖·期末）如圖，在中，，，是等邊三角形，點在邊上．(1)如圖1，當點在邊上時，求證(2)如圖2，當點在內部時，猜想和數(shù)量關系，并加以證明；(3)如圖3，當點在外部時，于點，過點作，交線段的延長線于點，，，求的長．33．（24-25八年級上·全國·期末）已知：為等邊三角形．(1)如圖1，點D、E分別為邊上的點，且．①求證：；②求的度數(shù)．(2)如圖2，點D為外一點，，、的延長線交于點E，連接，猜想線段、、之間的數(shù)量關系并加以證明．(3)如圖3，D是等邊三角形外一點．若，連接，直接寫出的最大值與最小值的差．【題型七】等腰（等邊）三角形中的動點問題（共5題）34．（23-24七年級下·河南鄭州·期末）如圖，在等邊三角形中，點在直線上，，點是直線上一動點，以線段為一邊在其右側作等邊三角形，連接、．(1)如圖①，當點在點右側時，的度數(shù)是______；(2)如圖②，當點在點左側時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，說明理由；若不成立，寫出你認為正確的結論，并說明理由；(3)若條件中的等邊三角形改為等腰三角形（如圖③），，，且，其它條件不變，在點運動的過程中，當時，請直接寫出的度數(shù)．35．（23-24七年級下·重慶奉節(jié)·期末）在和中，，連接，恰好平分，在上存在一點，使與互為補角，連接．(1)如圖1，當時，求的度數(shù)；(2)如圖2，當，時，試說明與的位置關系；(3)在（2）問的條件下，如圖3連接并延長，分別交于點，若，，點分別為和上的動點，請直接寫出周長的最小值．36．（23-24七年級下·四川成都·期末）類比思維是根據(jù)兩個具有相同或相似特征的事物間的對比，從某一事物的某些已知特征去推測另一事物的相應特征存在的思維活動．請嘗試用類比思維解決以下問題：(1)如圖，在等腰直角三角形中，，，直線經過點，過點作于點，過點作于點，直接寫出、、之間的數(shù)量關系：______；(2)如圖，在中，，點、分別在邊、上，且，．若，，求的長度（用含，的代數(shù)式表示）．(3)如圖，在中，，，點、分別是邊上的動點，以為腰向右作等腰，使得，且，連接、，．①求證：；②在點、運動過程中，點位置也隨之發(fā)生改變，若，當線段取得最小值時，直接寫出的面積．37．（23-24七年級下·山東威海·期末）【問題情境】在等邊中，射線平分，交于點O，點E是上一動點，，，連接，CF．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖Ⅰ，若點E在線段上．①求證：；②直接寫出與間的數(shù)量關系：；（2）如圖Ⅱ，若點E在射線上，（1）中與間的數(shù)量關系是否成立？若成立，說明理由；若不成立，寫出新的數(shù)量關系，并進行證明；【拓廣延伸】（3）如圖Ⅲ，點E，D在射線上，，，連接，求的度數(shù)．38．（23-24七年級下·廣東深圳·期末）綜合與實踐課上，李老師以“發(fā)現(xiàn)?探究?拓展”的形式，培養(yǎng)學生數(shù)學思想，訓練學生數(shù)學思維．以下是李老師的課堂主題展示：（1）如圖，在等腰中，，點D為線段上的一動點（點D不與A，B重合），以為邊作等腰，，，連接．解答下列問題：【觀察發(fā)現(xiàn)】①如圖11?1，當時，線段，的數(shù)量關系為，°；【類比探究】②如圖11?2，當時，試探究線段與的位置關系，并說明理由；【拓展延伸】（2）如圖11?3，四邊形中，，，連接，若，則四邊形的面積為多少？（直接寫出結果）．【題型八】與等腰（等邊）三角形有關的新定義型問題（共5題）39．（23-24七年級下·上海普陀·期末）小普同學在課外閱讀時，讀到了三角形內有一個特殊點“布洛卡點”，關于“布洛卡點”有很多重要的結論．小普同學對“布洛卡點”也很感興趣，決定利用學過的知識和方法研究“布洛卡點”在一些特殊三角形中的性質．讓我們嘗試與小普同學一起來研究，完成以下問題的解答或有關的填空．【閱讀定義】如圖1，內有一點P，滿足，那么點P稱為的“布洛卡點”，其中、、被稱為“布洛卡角”．如圖2，當時，點Q也是的“布洛卡點”．一般情況下，任意三角形會有兩個“布洛卡點”．【解決問題】（說明：說理過程可以不寫理由）問題1：等邊三角形的“布洛卡點”有個，“布洛卡角”的度數(shù)為度；問題2：在等腰三角形中，已知，點M是的一個“布洛卡點”，是“布洛卡角”．（1）與的底角有怎樣的數(shù)量關系？請在圖3中，畫出必要的點和線段，完成示意圖后進行說理．（2）當（如圖4所示），時，求點C到直線的距離．40．（23-24七年級下·山西運城·期末）閱讀與思考閱讀下列材料，并解決相應的問題．定義：如圖1，線段把等腰三角形分成與，如果與均為等腰三角形，那么線段叫做的完美分割線．(1)如圖1，在中，，，為的完美分割線，則______，______．(2)如圖2，在中，，為的完美分割線，，求的度數(shù)．(3)如圖3，在等腰三角形紙片中，，是它的一條完美分割線，，將沿折疊，使點落在點處，交于點，請直接寫出圖中所有以為邊的等腰三角形．41．（23-24八年級上·北京海淀·期末）在平面直角坐標系中，直線過原點且經過第三、第一象限，與軸所夾銳角為．對于點和軸上的兩點，，給出如下定義：記點關于直線的對稱點為，若點的縱坐標為正數(shù)，且為等邊三角形，則稱點為，的點．(1)如圖1，若點，，點為，的點，連接，．①；②求點的縱坐標；(2)已知點，．①當時，點為，的點，且點的橫坐標為，則；②當時，點為，的點，且點的橫坐標為，則___________________．42．（23-24八年級上·湖北鄂州·期末）問題情境：定義：如果兩個等腰三角形的頂角互補，頂角的頂點又是同一個點，而且這兩個等腰三角形的腰也分別相等，則稱這兩個三角形互為“頂補等腰三角形”．特例證明：（1）如圖1，若與互為“頂補等腰三角形”．，于，于，求證：；拓展運用：（2）如圖2，在四邊形中，，，，，在四邊形的內部是否存在點，使得與互為“頂補等腰三角形”？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．43．（23-24八年級上·廣東中山·期末）定義:如圖1，若P是內部一點，且，則稱點P為的勃羅卡點，同時稱為的勃羅卡角．(1)如圖2，P為等邊內部一點．其中，，請判斷點P是不是等邊的勃羅卡點，并說明理由；(2)如圖3，P為等邊的勃羅卡點，求等邊的勃羅卡角的度數(shù)；(3)如圖4，在（2）的條件下，作點P關于的對稱點，連接與相交于點O，連接，，記的勃羅卡點為M，的勃羅卡點為N，求證:為等邊三角形．

專題05軸對稱圖形與等腰三角形（易錯必刷43題8種題型專項訓練）目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】等腰三角形的周長時忽略構成三角形的三邊關系（共5題） 1【題型二】等腰三角形中腰和底不明求角度時沒有分類討論（共5題） 4【題型三】等腰三角形與高線、中線結合的分類討論思想（共8題） 7【題型四】垂直平分線與角平分線判定和性質綜合問題（共5題） 16【題型五】等腰三角形性質和判定的綜合問題（共5題） 25【題型六】等邊三角形性質和判定的綜合問題（共5題） 37【題型七】等腰（等邊）三角形中的動點問題（共5題） 48【題型八】與等腰（等邊）三角形有關的新定義型問題（共5題） 62【題型一】等腰三角形的周長時忽略構成三角形的三邊關系（共5題）1．（23-24七年級下·全國·期末）等腰三角形的兩邊分別長和，則它的周長是．【答案】【知識點】三角形三邊關系的應用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了等腰三角形的定義和三角形三邊關系，根據(jù)等腰三角形定義及三角形三邊關系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊即可求解，解題的關鍵是熟練掌握等腰三角形的定義和三角形三邊關系．【詳解】當三邊的長為，，，∵，∴不能構成三角形；當三邊的長為，，，∵，∴能構成三角形，∴周長為，故答案為：．2．（23-24七年級下·河南周口·期末）若等腰三角形的兩邊長分別為5和，則其周長為．【答案】【知識點】三角形三邊關系的應用、等腰三角形的定義【分析】此題考查了等腰三角形的性質與三角形三邊關系，注意分類討論思想的應用是解題的關鍵．由等腰三角形兩邊長分別為5和，分別從等腰三角形的腰長為5和去分析即可求得答案，注意分析能否組成三角形．【詳解】解：①若等腰三角形的腰長為5，底邊長為，∵，∴不能組成三角形；②若等腰三角形的腰長為，底邊長為5，∵，∴能組成三角形，∴它的周長是：，綜上所述，它的周長是，故答案為：．3．（23-24七年級下·山東聊城·期末）若方程組的解恰為等腰的兩邊長，則的周長為．【答案】12【知識點】加減消元法、三角形三邊關系的應用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了等腰三角形及解二元一次方程組，三角形三邊關系，難度一般，關鍵是掌握分類討論的思想解題．先解二元一次方程組，然后討論腰長的大小，再根據(jù)三角形三邊關系即可得出答案．【詳解】解：解方程組，得：，∴等腰三角形的兩邊長為2，5．若腰長為2，底邊長為5．∵，∴不能構成三角形．若腰長為5，底邊長為2，則三角形的周長為．所以這個等腰三角形的周長為12．故答案為：12．4．（23-24八年級上·云南紅河·期末）在等腰三角形中，頂點A，B，C所對的邊分別用a，b，c表示，已知a，b滿足，則的周長為．【答案】10或11【知識點】利用算術平方根的非負性解題、三角形三邊關系的應用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了三邊關系、等腰三角形的定義，算術平方根、絕對值的非負性，先根據(jù)算術平方根、絕對值的非負性得出a，b的值，再結合三邊關系，即可作答．【詳解】解：∵∴，∴，∵a，b為等腰三角形的兩邊，∴當腰是3時，則，此時的周長為；∴當腰是4時，則，此時的周長為；綜上所述，的周長為10或11．故答案為：10或11．5．（23-24八年級上·湖北襄陽·期末）（1）等腰三角形的兩邊長分別為、，其周長為；（2）若等腰三角形的兩條邊長分別為和，則它的周長為．【答案】3213或14【知識點】構成三角形的條件、等腰三角形的定義【分析】本題考查等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的性質，分兩種情況：①當腰長為時，②當腰長為時，解答出即可．（2）根據(jù)等腰三角形的性質，分為當腰長為時，腰長為時，解答出即可．【詳解】解：（1）由題意知，應分兩種情況：當腰長為時，三角形三邊長為，不能構成三角形；當腰長為時，三角形三邊長為6，13，13，能構成三角形，周長．故答案為：32．（2）∵三角形是等腰三角形，兩條邊長分別為和，∴三角形三邊可以是、或、，∴三角形的周長為或，故答案為：13或14．【題型二】等腰三角形中腰和底不明求角度時沒有分類討論（共5題）6．（23-24七年級下·遼寧丹東·期末）等腰三角形的兩個內角的度數(shù)之比是，則它頂角的度數(shù)為．【答案】30°或【知識點】三角形內角和定理的應用、等腰三角形的定義【分析】此題考查了等腰三角形的定義，三角形的內角和，設等腰三角形兩個內角度數(shù)分別為，根據(jù)三角形的內角和分兩種情況列方程求解即可，熟練掌握等腰三角形的定義是解題的關鍵【詳解】解：設等腰三角形兩個內角度數(shù)分別為，當頂角度數(shù)為時，可得，解得，∴頂角的度數(shù)為30°；當頂角度數(shù)為時，可得，解得∴頂角度數(shù)為故答案為30°或7．（23-24八年級下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一個角度數(shù)為，則這個等腰三角形的底角的度數(shù)為．【答案】或【知識點】三角形內角和定理的應用、等腰三角形的定義【分析】本題考查的是等腰三角形的性質及三角形內角和定理；由于不明確的角是等腰三角形的底角還是頂角，故應分的角是頂角和底角兩種情況討論．【詳解】解：分兩種情況：①當?shù)慕菫榈妊切蔚捻斀菚r，底角的度數(shù)；②當?shù)慕菫榈妊切蔚牡捉菚r，其底角為，故它的底角度數(shù)是或．故答案為：或．8．（23-24八年級上·安徽蕪湖·期末）若等腰三角形其中兩個內角的和為，則此等腰三角形的頂角度數(shù)為．【答案】或【知識點】三角形內角和定理的應用、等腰三角形的定義【分析】本題主要考查等腰三角形的定義，熟練掌握等腰三角形的定義是解題的關鍵；由題意可分當這兩個內角都為底角時和這兩個內角為該等腰三角形的一個頂角和一個底角時，然后分類求解即可．【詳解】解：由題意可分：①當這兩個內角都為底角時，則該等腰三角形的頂角為；②當這兩個內角為該等腰三角形的一個頂角和一個底角時，則該等腰三角形的底角為，所以該等腰三角形的頂角為；故答案為：或．9．（23-24七年級下·江西景德鎮(zhèn)·期末）如圖，，平分，如果射線上的點滿足是等腰三角形，的度數(shù)為．【答案】或或【知識點】角平分線的有關計算、三角形內角和定理的應用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了角平分線定義，等腰三角形性質，三角形的內角和定理的應用，用了分類討論思想．求出，根據(jù)等腰得出三種情況，，，，根據(jù)等腰三角形性質和三角形內角和定理求出即可．【詳解】解：∵平分，∴，分三種情況：①當時，如圖，∵，∴，∴，∴；②當時，如圖，∵，∴，∴；③當時，如圖，∵，∴，∴，∴；綜上，的度數(shù)為：或或，故答案為：或或．10．（23-24八年級上·江西贛州·期末）如圖，在中，，，，是邊BC上的動點，連接AP．當是等腰三角形時，度．【答案】60或105或150【知識點】三角形的外角的定義及性質、三角形內角和定理的應用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了等腰三角形的性質、三角形的內角和以及三角形的外角性質：分和三種情況討論，根據(jù)等腰三角形的性質進行運算解題即可．【詳解】解：當時，則；當時，，則；當時，，則；故答案為：60或105或150【題型三】等腰三角形與高線、中線結合的分類討論思想（共8題）11．（23-24七年級下·貴州畢節(jié)·期末）在中，為鈍角，，如果經過其中一個頂點作一條直線能把分成兩個等腰三角形，那么的度數(shù)為．【答案】或或【知識點】加減消元法、三角形內角和定理的應用、等腰三角形的定義【分析】本題考查等腰三角形的性質、三角形內角和定理、解二元一次方程組，根據(jù)等腰三角形的性質和三角形內角和定理分多種情況求解即可．【詳解】解：①過頂點C作一條直線把分成兩個等腰三角形，假設以點A為頂點的等腰三角形為，如下圖，∴，∴，若是等腰三角形，頂點為M，∴，∴，故假設成立；②過頂點C作一條直線把分成兩個等腰三角形，假設以點C為頂點的等腰三角形為，如圖，∴，∴，∵，若為等腰三角形，頂點為M，∴，∴，故假設成立；③過頂點C作一條直線把分成兩個等腰三角形，假設以點M為頂點的等腰三角形為，如圖，∴，∴，∵，若為等腰三角形，頂點為M，∴，∴，故假設不成立；④過頂點A作一條直線把分成兩個等腰三角形，等腰三角形為只能以點C為頂點，如圖，設，，則，∴，若為等腰三角形，頂點為M，∴，解得，故假設成立；⑤由題得，，∵，∴，∵，∴，若過頂點B作直線交于點M，等腰三角形為以點C為頂角，如圖，∵，故矛盾；綜上所述，的度數(shù)為：或或，故答案為：或或．12．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）已知等腰，，過點B的一條直線把這個三角形分成兩個等腰三角形，則．【答案】或【知識點】三角形內角和定理的應用、等腰三角形的定義【分析】此題主要考查等腰三角形的性質及三角形內角和定理的綜合運用，解決問題的關鍵是分類思想的運用．先作圖以及分類討論，利用等腰三角形的性質進行求解即可【詳解】解：如圖，∵，∴∵∴∵∴，∴．如圖，∵∴∵∴∵∴7∠A=180°，∴，故答案為：或．13．（23-24八年級上·海南省直轄縣級單位·期末）等腰三角形周長為，一中線將周長分成的兩部分差為，則這個三角形三邊長為．【答案】8，8，5或6，6，9【知識點】其他問題(一元一次方程的應用)、根據(jù)三角形中線求長度、等腰三角形的定義【分析】本題考查了等腰三角形的性質，中線的性質，一元一次方程的實際應用．根據(jù)等腰三角形的性質可知，該中線為腰上的中線，則推出腰長和底邊長差為，設這個等腰三角形腰長為，則底邊長為，列出方程求解即可．【詳解】解：設這個等腰三角形腰長為，則底邊長為，或，解得：或，∴或，∴這個三角形三邊長為8，8，5或6，6，9．故答案為：8，8，5或6，6，9．14．（23-24八年級上·黑龍江牡丹江·期末）等腰三角形中，高與一腰所夾的銳角是，則等腰三角形底角的度數(shù)為．【答案】或或【知識點】三角形的外角的定義及性質、三角形內角和定理的應用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了三角形的內角和、等腰三角形的定義，分類討論：為銳角三角形時，①當是等腰底邊上的高時，②當是等腰腰上的高時，當?shù)妊鼮殁g角三角形時，則頂角為鈍角，此時高只能是腰上的高，利用三角形的內角和及等腰三角形的性質即可求解，熟練掌握基礎知識，利用分類討論思想解決問題是解題的關鍵．【詳解】解：依題意有以下兩種情況：（1）為銳角三角形時，此時又有兩種情況：①當是等腰底邊上的高時，如圖1所示：為等腰三角形底邊上的高，，，∵高與一腰所夾的銳角是，，；②當是等腰腰上的高時，如圖2所示：為等腰三角形腰上的高，，，∵高與一腰所夾的銳角是，，，，．（2）當?shù)妊鼮殁g角三角形時，則頂角為鈍角，此時高只能是腰上的高，如圖3所示：為等腰三角形腰上的高，，，∵高與一腰所夾的銳角是，，，，，．綜上所述：等腰三角形底角的度數(shù)為或或．故答案為：或或．15．（23-24七年級下·上海普陀·期末）如果等腰三角形的周長等于16厘米，一條邊長等于6厘米，那么這個等腰三角形的底邊與其一腰的長度的比值等于．【答案】或【知識點】三角形三邊關系的應用、等腰三角形的定義【分析】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．依題意，根據(jù)等腰三角形的性質，已知一條邊長為6厘米，不明確具體名稱，故可分情況討論腰長的值，還要依據(jù)三邊關系驗證能否組成三角形．【詳解】解：當腰為6厘米時，三邊為，能構成三角形；當?shù)诪?厘米時，腰為5，5，能構成三角形，所以這個等腰三角形的底邊與其一腰的長度的比值等于或．故答案為：或．16．（23-24八年級上·浙江湖州·期末）用一條長為的細繩圍成一個等腰三角形，若其中有一邊的長為，則該等腰三角形的腰長為cm．【答案】3或【知識點】三角形三邊關系的應用、等腰三角形的定義【分析】本題考查的是三角形的三邊關系的應用，等腰三角形的定義．本題分兩種情況討論：是腰長時，是底邊時，再作答即可．【詳解】解：是腰長時，底邊為，∵，∴、、能組成三角形；是底邊時，腰長為，∵，∴、、能夠組成三角形；綜上所述，它的腰長為或．故答案為：3或．17．（23-24八年級上·四川南充·期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，在第一象限內的點C，使是以為腰的等腰直角三角形，則點C坐標為．【答案】或【知識點】坐標與圖形、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定義【分析】本題考查了坐標與圖形、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用．分別從當，時，當，時去分析求解，利用全等三角形的判定與性質，即可求得點C的坐標．【詳解】解：∵，，∴，，如圖，當，時，過點C作軸于點D，∴，∵，，∴，又，，∴，∴，，∴，∴點C的坐標為；如圖，當，時，過點C作軸于點D，同理可證得：，∴，，∴，∴點C的坐標為；綜上所述點，點C的坐標為或．18．（23-24八年級上·浙江寧波·期末）定義：若三角形滿足其中兩邊之和等于第三邊的三倍，則稱該三角形為“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一邊長為，則的周長為．【答案】或【知識點】三角形三邊關系的應用、等腰三角形的定義【分析】本題主要考查等腰三角形的性質和三角形的三邊關系，設等腰三角形的腰長為，底長為，分兩種情況討論：當時；當時．【詳解】設等腰三角形的腰長為，底長為．（1）當時，分兩種情況：①若，解得．則三角形的三邊長為，，，不符合題意．②若，解得，則的三邊長為，，，符合題意．的周長為．（2）當時，分兩種情況：①若，解得，則三角形的三邊長為，，，不符合題意．②若，解得，則的三邊長為，，，符合題意．的周長為．綜上所述，的周長為或．【題型四】垂直平分線與角平分線判定和性質綜合問題（共5題）19．（23-24八年級上·貴州遵義·期末）已知：如圖，在中，，D是上一點，于E，且．(1)求證：平分；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)詳見解析(2)【知識點】角平分線的有關計算、三角形內角和定理的應用、角平分線的判定定理【分析】本題考查了角平分線的判定與定義、三角形的內角和定理，熟練掌握角平分線的判定定理是解答的關鍵．（1）根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上可證得結論；（2）先根據(jù)三角形的內角和定理求得，再根據(jù)角平分線的性質可求解．【詳解】（1）證明：，，，點在的平分線上，平分；（2）解：，，，平分，．20．（22-23七年級上·陜西咸陽·期末）如圖，平分，于點，于點，連接．(1)試說明；(2)與相等嗎？請說明理由；(3)是否垂直平分，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)，理由見解析(3)垂直平分，理由見解析【知識點】全等三角形綜合問題、線段垂直平分線的判定【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，角平分線的定義，線段垂直平分線的判定：（1）利用證明，即可證明結論；（2）設交于H，證明得到，再利用平角的定義即可證明結論；（3）根據(jù)全等三角形的性質得到，再由線段垂直平分線的判定定理即可得到結論．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴；（2）解：，理由如下：設交于H，∵，，，∴，∴，∵，∴；（3）解：垂直平分，理由如下：、∵，∴，∴點O和點E都在線段的垂直平分線上，∴垂直平分．21．（23-24八年級上·湖北荊門·期末）如圖，．(1)求證：；(2)若，試判斷與的數(shù)量及位置關系并證明；(3)求的度數(shù)（用含的式子表示）．【答案】(1)見解析(2)且，證明見解析(3)【知識點】三角形內角和定理的應用、全等的性質和SAS綜合（SAS）、角平分線的判定定理【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的判定等知識，正確掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．（1）由得到，又由，即可證明；（2）將直線與的交點記為點O，由（1）可知，則，由，以及三角形內角和定理得到，即可得到結論；（3）證明平分，由（2）可知，則，即可得到結論．【詳解】（1）∵∴，∴，在和中∴（2）且，證明如下：將直線與的交點記為點O，由（1）可知，∴，∵，，∴，∴．（3）過A分別做，垂足分別為點M，點N，由（1）知，∴，故∴∴平分由（2）可知∴∴22．（23-24七年級下·山東濟寧·期末）如圖，于E，于F，若．

(1)求證：平分；(2)已知，求的長．【答案】(1)見解析(2)6【知識點】全等的性質和HL綜合（HL）、角平分線的判定定理【分析】本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，角平分線的判定：（1）求出，根據(jù)全等三角形的判定定理得出，推出，根據(jù)角平分線的判定定理，即可求證；（2）根據(jù)得出，再由線段的和差關系求出答案，即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，在和中，∵，∴，∴，∵，∴平分；（2）解：在和中，∵，∴，∴，∴，∵∴．23．（23-24七年級下·河南駐馬店·期末）如圖，已知△ABC．(1)請用無刻度的直尺和圓規(guī)按下列要求作圖：①作的中線；②延長至E，使，連接（保留作圖痕跡，不寫作法）．線段和線段的數(shù)量關系和位置關系是；(2)當時，如圖1所示，若是的中線，試探究與的數(shù)量關系，并說明理由；(3)當時，如圖2所示，若是的中線，，，，，連接，請直接寫出的長．【答案】(1)①作圖見解析②作圖見解析；，，(2)，(3)8【知識點】全等三角形綜合問題、線段垂直平分線的性質、線段垂直平分線的判定、作垂線(尺規(guī)作圖)【分析】（1）①作線段的垂直平分線,與交于點，連接，即為所求，②由，，，得到，，，即可求解，（2）延長至E，使，由，，，得到，，，結合，得到，進而得到，，代入，即可求解，（3）延長到點，使得，由，，，得到，，，結合，得到，由，，根據(jù)垂直平分線的性質，得到，本題考查了，全等三角形的性質與判定，垂直平分線的性質與判定，三角形的中線，解題的關鍵是：連接輔助線，構造全等三角形．【詳解】（1）解：①作圖如下，即為所求，②作圖如下：∵，，，∴，∴，，∴，（2）解：延長至E，使，連接，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，（3）解：延長到點，使得，∵是的中線，∴，又∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，，∴．【題型五】等腰三角形性質和判定的綜合問題（共5題）24．（22-23七年級上·陜西咸陽·期末）如圖，在四邊形中，對角線與交于點，已知，，．(1)試說明：是等腰三角形；(2)若，，求的長；(3)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)(3)【知識點】三角形內角和定理的應用、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性質和判定【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定和性質、三角形內角和定理等知識．（1）證明，則，即可得到結論；（2）由得到，，即可得到答案；（3）由得到，，則，再求出，根據(jù)三角形外角性質得到，則，即可得到的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，．∴，∴，∴是等腰三角形；（2）∵，∴，，∴；（3）∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．25．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，在等腰中，，，點D在線段上運動（D不與B、C重合），連接，作，交線段于點E．(1)當時，°；點D從點B向點C運動時，逐漸變（填“大”或“小”）；(2)當?shù)扔诙嗌贂r，，請說明理由；(3)在點D的運動過程中，的形狀也在改變，判斷當?shù)扔诙嗌俣葧r，是等腰三角形．【答案】(1)；小(2)(3)或【知識點】三角形內角和定理的應用、用ASA（AAS）證明三角形全等（ASA或者AAS）、等腰三角形的性質和判定【分析】本題考查了等腰三角形的判定及性質，全等三角形的判定，三角形內角和定理；（1）由三角形內角和定理得，，由點D從點B向點C運動時，越來越大，即可求解；（2）當時，由可判定，即可求解；（3）分類討論：①當時，②當時，③當時，即可求解；掌握等腰三角形的判定及性質，全等三角形的判定，能由等腰三角形的腰不同進行分類討論是解題的關鍵．【詳解】（1）解：，，；點D從點B向點C運動時，越來越大，越來越??；故答案：；小；（2）解：當時，，理由如下：，，，，，，，在和中，()；（3）解：當為或時，是等腰三角形，①當時，，；②當時，，，此時，點與點重合，不合題意；③當時，，，，；綜上所述：當為或時，是等腰三角形．26．（23-24七年級下·陜西漢中·期末）（1）閱讀理解：為了進一步探究三角形中線的作用，數(shù)學興趣小組合作交流時，小曲在組內做了如下嘗試：如圖1，是的中線，延長至點，使，連接．利用全等將邊轉化到．在這個過程中小曲同學證三角形全等，用到的全等判定方法是，另外他還得到了和的位置關系是；（2）問題解決：如圖2，是的中線，，點在的延長線上，，求證：；（3）問題拓展：如圖3，中，，，點在線段上，連接，，．若點為中點，交于點，求和的數(shù)量關系．【答案】（1）；；（2）見解析；（3）【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）、倍長中線模型(全等三角形的輔助線問題)、等腰三角形的性質和判定【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，倍長中線法證全等；（1）根據(jù)已知條件證明，得出，則；（2）延長至點，使，同（1）可得，，證明，進而證明，即可得證；（3）延長至點，使，由（1）可得，，證明，進而證明，即可得證．【詳解】解：（1）∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴，∴；（2）證明：如圖所示，延長至點，使，同（1）可得∴，，∴，∴，∵，∵，∴，在和中，，∴，∴；（3）如圖所示，延長至點，使，由（1）可得，∴，，∴，∵，，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，設，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．27．（23-24八年級上·貴州遵義·期末）小范同學在學習了角平分線的相關知識后，對三角形的角平分線進行深入探究：如圖①，在中，的平分線交于點D．【動手操作】（1）如圖①，過點D作于點E，作于點F，過點A作于點G，根據(jù)題意在圖中畫出圖形，并完成下列問題：又與的數(shù)量關系為_____________．【問題解決】（2）如圖②，在中，的平分線交BC于點D，，根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，求的長．【拓展延伸】（3）如圖③，在中，的平分線交于點D，，求的長．【答案】（1），，；（2）；（3）．【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）、角平分線的性質定理、等腰三角形的性質和判定【分析】本題考查了角平分線的性質，等腰三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握角平分線上的點到兩邊距離相等，等腰三角形等邊對等角，等角對等邊．（1）根據(jù)題意補全圖形，根據(jù)三角形的面積公式，即可解答；（2）根據(jù)（1）中得出的結論，代入數(shù)據(jù)進行計算即可；（3）在上截取，通過證明，得出，再求證，得出，結合（1）中的結論，代入數(shù)據(jù)即可解答．【詳解】解：（1）補全圖形如圖所示：又與的數(shù)量關系為，故答案為：，，；（2）由（1）可得：，∵．∴，解得：；（3）在上截取，∵平分，∴，∵，，，∴，∴，設，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，由（1）可得：，∴，解得：．28．（23-24八年級上·貴州遵義·期末）【問題情境】【利用角平分線構造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點為上一點，過點作，垂足為，延長交于點，可根據(jù)______證明≌，則，（即點為的中點）．【類比解答】如圖2，在中，平分，于，若，，通過上述構造全等的辦法，可求得______．【拓展延伸】如圖3，中，，，平分，，垂足在的延長線上，試探究和的數(shù)量關系，并證明你的結論．【實際應用】如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進行水稻試驗，故進行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過點作于．已知，，面積為26，則劃出的的面積是多少？【答案】[問題情境]；[類比解答]；[拓展延伸]，證明見解析；[實際應用]的面積是10【知識點】角平分線的有關計算、三角形的外角的定義及性質、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性質和判定【分析】[問題情境]證，得，即可；[類比解答]延長交于點，由[問題情境]可知，，再由等腰三角形的在得，然后由三角形的外角性質即可得出結論；[拓展延伸]延長、交于點，證，得，再由[問題情境]可知，，即可得出結論；[實際應用]延長交于，由[問題情境]可知，，，則，再由三角形面積關系得，再求解即可得出結論．【詳解】解：[問題情境]平分，，，，，，，，故答案為：；[類比解答]如圖2，延長交于點，由[問題情境]可知，，，，，故答案為：；[拓展延伸]，證明如下：如圖3，延長、交于點，則，

，，，，又，，

，由[問題情境]可知，，；[實際應用]如圖4，延長交于，由[問題情境]可知，，，，∵，，，答：的面積是10．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、三角形的外角性質、角平分線定義以及三角形面積等知識，本題綜合性強，熟練掌握等腰三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵，屬于中考?？碱}型．【題型六】等邊三角形性質和判定的綜合問題（共5題）29．（24-25八年級上·全國·期末）已知是等邊三角形，是的中點，點在射線上，點在射線上，．(1)如圖①，若點與點重合，求證：；(2)如圖②，若點在線段上，點在線段上，，求的值．【答案】(1)證明詳見解析(2)12【知識點】三角形內角和定理的應用、全等三角形綜合問題、等腰三角形的性質和判定、等邊三角形的判定和性質【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質得到平分，求出的度數(shù)，再利用三角形內角和定理求出，再利用等腰三角形的性質求解．（2）由等邊三角形的性質易得，過點作交于點，進而得到是等邊三角形，然后利用證明，進而得到，最后利用線段的和差來求解．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，．是的中點，平分，．，點與點重合，，，．（2）解：是等邊三角形，．是的中點，．如圖3，過點作交于點．，是等邊三角形，，．，，，，即．在和中，，，，．【點晴】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，平行線的性質，三角形內角和定理，線段的和差．理解等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質是解答關鍵．30．（23-24八年級上·山東濰坊·期末）已知，中，．(1)如圖①，求證：；(2)如圖②，是外一點，連接、，且，作的平分線交于點，若，則________；(3)如圖③，在（2）的條件下，連接交于點，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)(3)10【知識點】含30度角的直角三角形、三線合一、等邊三角形的判定和性質、多邊形內角和問題【分析】（1）已知條件結合三角形內角和定理證明即可；（2）先說明為等邊三角形，即，設，則，然后根據(jù)四邊形的內角和用x表示出，進而表示出，最后根據(jù)三角形內角和即可解答；（3）如圖：作，根據(jù)題意說明，進而說明，根據(jù)，得到，，利用直角三角形的特征，設，則，然后根據(jù)線段的和差列方程解答即可．【詳解】（1）證明：在中有，∵，，，∴；（2）∵，，∴是等邊三角形，，設，則，在四邊形中有：，，，∵的平分線交于點E，，，即，，故答案為：60°；（3）如圖，作，，，，平分，，，由（2）得，，，，，，，設，，∴，，，，，，，解得：，．【點睛】本題主要考查了三角形內角和、四邊形內角和、等邊三角形的判定與性質、等腰三角形的性質，含的直角三角形的性質等知識點，靈活應用相關知識點成為解答本題的關鍵．31．（23-24八年級上·云南紅河·期末）如圖，在中，，D為直線上一動點（不與點B，C重合），在的右側作，使得，連接．(1)當D在線段上時，求證：．(2)請判斷點D在何處時，，并說明理由．(3)當時，若中最小角為，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)見詳解(2)當點D在中點時，，理由見詳解．(3)或或【知識點】三角形的外角的定義及性質、全等的性質和SAS綜合（SAS）、根據(jù)三線合一證明、等邊三角形的判定和性質【分析】（1）根據(jù)即可證明；（2）D運動到中點時，；利用等腰三角形的三線合一即可證明；（3）分D在線段上、當點D在的延長線上、點D在的延長線上，畫出四種圖形，根據(jù)等邊三角形的性質、三角形內角和定理計算即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，在和中，，∴；（2）解：若，又∵，∴平分，∴，∴平分，又∵，∴，∴當點D在中點時，；（3）解：由（1）可知，∴，當時，則，，∵，∴，∴，∴為等邊三角形，①如圖1：D在線段上時，若，則．②如圖2，點D在的延長線上，，③如圖3，點D在的延長線上，此時，．④如圖4，．綜上所述，滿足條件的的度數(shù)為或或．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質、三角形外角的性質、等邊三角形的判定和性質，解題的關鍵是準確尋找全等三角形解決問題，學會運用分類討論思想．32．（23-24八年級上·福建龍巖·期末）如圖，在中，，，是等邊三角形，點在邊上．(1)如圖1，當點在邊上時，求證(2)如圖2，當點在內部時，猜想和數(shù)量關系，并加以證明；(3)如圖3，當點在外部時，于點，過點作，交線段的延長線于點，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析(3)【知識點】全等三角形綜合問題、等腰三角形的性質和判定、等邊三角形的判定和性質【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質得出，從而得出，從而得出；（2）取的中點，連接、，根據(jù)和為等邊三角形，從而得出和全等，然后得出和全等，從而得出答案；（3）取的中點，連接、、，根據(jù)題意得出和全等，然后得出和全等，設，則，，根據(jù)題意列出一元一次方程求出的值得出答案．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴；（2）解：，理由如下：取的中點，連接、，∵，，∴，，∴為等邊三角形，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：如圖：取的中點，連接、、，由（2）得，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，設，則，，∴，∵，∴，解得：，即．33．（24-25八年級上·全國·期末）已知：為等邊三角形．(1)如圖1，點D、E分別為邊上的點，且．①求證：；②求的度數(shù)．(2)如圖2，點D為外一點，，、的延長線交于點E，連接，猜想線段、、之間的數(shù)量關系并加以證明．(3)如圖3，D是等邊三角形外一點．若，連接，直接寫出的最大值與最小值的差．【答案】(1)①證明見解析；②(2)猜想，證明見解析(3)的最大值與最小值的差為【知識點】三角形三邊關系的應用、三角形的外角的定義及性質、全等的性質和SAS綜合（SAS）、等邊三角形的判定和性質【分析】（1）①先由等邊三角形的性質得到，，再根據(jù)“邊角邊”，證明三角形全等即可．②利用全等三角形的性質得到，再根據(jù)三角形的外角的性質即可解決問題；（2）在上取一點，使得，證明，得到，據(jù)此根據(jù)線段的和差關系可證明；（3）以為邊向外作等邊，連接，根據(jù)“邊角邊”，得出，再根據(jù)全等三角形的性質，得出，再根據(jù)三角形的三邊關系，求出的取值范圍，進而得出的取值范圍，即可得出的最大值和最小值，然后相減即可得出答案．【詳解】（1）①證明：∵是等邊三角形，∴，，在和中，，∴；②解：∵，∴，∴；（2）解：猜想，證明如下：如圖2中，在上取一點，使得，連接，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）解：如圖3中，以為邊向外作等邊，連接，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴的最小值為，最大值為，∵，∴的最大值與最小值的差為．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質與判定、全等三角形的判定和性質，三角形的三邊關系和三角形外角的性質等知識，解本題的關鍵在正確添加輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．【題型七】等腰（等邊）三角形中的動點問題（共5題）34．（23-24七年級下·河南鄭州·期末）如圖，在等邊三角形中，點在直線上，，點是直線上一動點，以線段為一邊在其右側作等邊三角形，連接、．(1)如圖①，當點在點右側時，的度數(shù)是______；(2)如圖②，當點在點左側時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，說明理由；若不成立，寫出你認為正確的結論，并說明理由；(3)若條件中的等邊三角形改為等腰三角形（如圖③），，，且，其它條件不變，在點運動的過程中，當時，請直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)(2)成立，理由見解析(3)【知識點】兩直線平行同旁內角互補、全等的性質和SAS綜合（SAS）、等邊對等角、等邊三角形的性質【分析】（1）利用等邊三角形性質可證明，從而得到，結合垂線性質即可得出結果；（2）利用等邊三角形性質可證明，從而得到，結合垂線性質即可得出結果；（3）利用等腰三角形性質可證明，得到，結合垂線性質以及平行線性質即可得出，從而得出結果．【詳解】（1）解：為等邊三角形，，為等邊三角形，，，，，，，，，；（2）為等邊三角形，，為等邊三角形，，，，，，，當點P在點B左側時，（1）中的結論仍然成立；（3）為等腰三角形，，且，，，，，，，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，平行線性質，垂線性質，熟練掌握相關性質定理是解題關鍵．35．（23-24七年級下·重慶奉節(jié)·期末）在和中，，連接，恰好平分，在上存在一點，使與互為補角，連接．(1)如圖1，當時，求的度數(shù)；(2)如圖2，當，時，試說明與的位置關系；(3)在（2）問的條件下，如圖3連接并延長，分別交于點，若，，點分別為和上的動點，請直接寫出周長的最小值．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)【知識點】角平分線的有關計算、根據(jù)平行線的性質求角的度數(shù)、全等三角形綜合問題、等邊三角形的判定和性質【分析】（1）根據(jù)平行線的性質即可得出答案；（2）是等邊三角形，得出，證明得出，從而推出，即可得證；（3）將沿對稱至，沿對稱至，且、分別在、上，連接，此時與和交點即為所求、，此時的周長最小，且、兩點重合，此時的周長的最小值即為的長度，然后根據(jù)全等三角形的判定以及軸對稱的性質證明，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴；（2）解：，理由如下：∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵與互為補角，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：由（2）可得，，∵，，平分，∴垂直平分，，如圖，將沿對稱至，沿對稱至，且、分別在、上，連接，此時與和交點即為所求、，此時的周長最小，且、兩點重合，此時的周長的最小值即為的長度，由對稱的性質可得：，，∴為等邊三角形，∴，∵，，∴為等邊三角形，∴，∴，此時，過點作交于，∴，，∵，∴為等邊三角形，，由（2）知，，∴，在和中，，∴，∴，∴，即，∴，∴周長的最小值為．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、三角形內角和定理、平行線的性質、角平分線的定義、軸對稱的性質等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關鍵．36．（23-24七年級下·四川成都·期末）類比思維是根據(jù)兩個具有相同或相似特征的事物間的對比，從某一事物的某些已知特征去推測另一事物的相應特征存在的思維活動．請嘗試用類比思維解決以下問題：(1)如圖，在等腰直角三角形中，，，直線經過點，過點作于點，過點作于點，直接寫出、、之間的數(shù)量關系：______；(2)如圖，在中，，點、分別在邊、上，且，．若，，求的長度（用含，的代數(shù)式表示）．(3)如圖，在中，，，點、分別是邊上的動點，以為腰向右作等腰，使得，且，連接、，．①求證：；②在點、運動過程中，點位置也隨之發(fā)生改變，若，當線段取得最小值時，直接寫出的面積．【答案】(1)(2)；(3)．【知識點】垂線段最短、三角形內角和定理的應用、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據(jù)等角對等邊證明邊相等【分析】（1）證，得，，利用線段的和差即可得解；（2）證明，得，，從而即可得解；（3）①證明：如圖，在上取一點，使得，連接，證明，得，，進而利用等角對等邊及三角形的外角性質得，從而即可得證；②由，得當時，最小，如圖，過點作于點，利用等角對等邊證，從而即可得解．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，故答案為：；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴；（3）①證明：如圖，在上取一點，使得，連接，∵，，∴，∵，，∴即，∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴；②∵，∴CF為定直線，∴當時，最小，如圖，過點作于點，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴的面積為．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質，等角對等邊，三角形的內角和定理，垂線短最短，熟練掌握全等三角形的判定及性質是解題的關鍵．37．（23-24七年級下·山東威?！て谀締栴}情境】在等邊中，射線平分，交于點O，點E是上一動點，，，連接，CF．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖Ⅰ，若點E在線段上．①求證：；②直接寫出與間的數(shù)量關系：；（2）如圖Ⅱ，若點E在射線上，（1）中與間的數(shù)量關系是否成立？若成立，說明理由；若不成立，寫出新的數(shù)量關系，并進行證明；【拓廣延伸】（3）如圖Ⅲ，點E，D在射線上，，，連接，求的度數(shù)．【答案】（1）①見解析；②；（2）成立，理由見解析；（3）【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）、等腰三角形的性質和判定、等邊三角形的性質【分析】（1）①根據(jù)證明即可．②由等邊三角形的性質和角平分線的定義可得，由全等三角形的性質可得，進而可得，由此可得．（2）若點E在射線上，（1）中與間的數(shù)量關系仍然成立，證法同第（1）小題．（3）先根據(jù)證明，則可得，又由，得，由可得，進而可得，．【詳解】解：（1）①是等邊三角形，，．又∵，即．又，．②是等邊三角形，∴，∵平分∴∵∴∴即∴．故答案為：（2）成立，理由如下：是等邊三角形，，．又∵，即．又，．平分，．．．（3）在和中，，∴．．，，．，．．，．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質、等腰三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．38．（23-24七年級下·廣東深圳·期末）綜合與實踐課上，李老師以“發(fā)現(xiàn)?探究?拓展”的形式，培養(yǎng)學生數(shù)學思想，訓練學生數(shù)學思維．以下是李老師的課堂主題展示：（1）如圖，在等腰中，，點D為線段上的一動點（點D不與A，B重合），以為邊作等腰，，，連接．解答下列問題：【觀察發(fā)現(xiàn)】①如圖11?1，當時，線段，的數(shù)量關系為，°；【類比探究】②如圖11?2，當時，試探究線段與的位置關系，并說明理由；【拓展延伸】（2）如圖11?3，四邊形中，，，連接，若，則四邊形的面積為多少？（直接寫出結果）．【答案】（1）①，90；②，理由見解析；（2）32【知識點】三角形內角和定理的應用、全等的性質和SAS綜合（SAS）、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性質和判定【分析】（1）①先證明，再利用證明，由全等三角的性質可得出，，由等腰三角形的性質以及三角形內角和定理可得出，再根據(jù)角的和差關系即可得出．②同①，由等腰三角形的性質以及三角形內角和定理可得出，用證明，用全等三角形的性質可得出，即可得出，根據(jù)內錯角相等，兩直線平行得出．（2）過A作交延長線于G，先證明，再根據(jù)角的和差關系得出，利用證明，由全等的性質得出，，根據(jù)得出，計算即可．【詳解】解：（1）①∵，∴，即，又∵，，∴，∴，，∵，，，∴∴，故答案為：，90．②，理由如下：∵，∴即，∵∴，在和中，∴，∴∴∴，（2）如圖，過A作交延長線于G，∵，∴∵∴又∵∴∵∴即在和中，∴∴，∴∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定以及性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，以及平行線的判定，掌握全等三角形的判定以及性質是解題的關鍵．【題型八】與等腰（等邊）三角形有關的新定義型問題（共5題）39．（23-24七年級下·上海普陀·期末）小普同學在課外閱讀時，讀到了三角形內有一個特殊點“布洛卡點”，關于“布洛卡點”有很多重要的結論．小普同學對“布洛卡點”也很感興趣，決定利用學過的知識和方法研究“布洛卡點”在一些特殊三角形中的性質．讓我們嘗試與小普同學一起來研究，完成以下問題的解答或有關的填空．【閱讀定義】如圖1，內有一點P，滿足，那么點P稱為的“布洛卡點”，其中、、被稱為“布洛卡角”．如圖2，當時，點Q也是的“布洛卡點”．一般情況下，任意三角形會有兩個“布洛卡點”．【解決問題】（說明：說理過程可以不寫理由）問題1：等邊三角形的“布洛卡點”有個，“布洛卡角”的度數(shù)為度；問題2：在等腰三角形中，已知，點M是的一個“布洛卡點”，是“布洛卡角”．（1）與的底角有怎樣的數(shù)量關系？請在圖3中，畫出必要的點和線段，完成示意圖后進行說理．（2）當（如圖4所示），時，求點C到直線的距離．【答案】問題1：1，30；問題2：（1），（2），【知識點】三角形內角和定理的應用、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性質和判定、等邊三角形的性質【分析】問題1：根據(jù)等邊三角形的性質和“布洛卡點”的定義即可知其“布洛卡點”個數(shù)和角度；問題2：（1）根據(jù)等腰三角形的性質可得，結合題意可知，則有，利用三角形內角和定理可得，即可得到；（2）過C點作與D，根據(jù)可得，且，由題意得，求得，，則有和，，繼而證明，則有和，即可得到，可得點C到直線的距離．【詳解】解：問題1：由題意知三角形中有兩個“布洛卡點”，∵等邊三角形每個角為，∴兩個“布洛卡點”重合為一個，且每個角為，故答案為：1，30．問題2：（1），理由如下：∵，∴，∵M是的“布洛卡點”，是“布洛卡角”，∴，∴，即，∵，，∴，∵，∴，（2）過C點作與D，如圖，則，∵，∴，∵，∴，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查新定義下的三角形角度理解，涉及等邊三角形的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質和三角形內角的應用，解得的關鍵是對新定義的理解，以及角度之間的轉化．40．（23-24七年級下·山西運城·期末）閱讀與思考閱讀下列材料，并解決相應的問題．定義：如圖1，線段把等腰三角形分成與，如果與均為等腰三角形，那么線段叫做的完美分割線．(1)如圖1，在中，，，為的完美分割線，則______，______．(2)如圖2，在中，，為的完美分割線，，求的度數(shù)．(3)如圖3，在等腰三角形紙片中，，是它的一條完美分割線，，將沿折疊，使點落在點處，交于點，請直接寫出圖中所有以為邊的等腰三角形．【答案】(1)36，7