滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)考點(diǎn) 專題01 二次函數(shù)（7個(gè)考點(diǎn)清單+10種題型解讀）

專題01二次函數(shù)（7個(gè)考點(diǎn)清單+10種題型解讀）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)題型一】二次函數(shù)的定義 2【考點(diǎn)題型二】把y=ax2+bx+c化成頂點(diǎn)式 5【考點(diǎn)題型三】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 7【考點(diǎn)題型四】畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象 9【考點(diǎn)題型五】根據(jù)二次函數(shù)增減性求某區(qū)域的最值問(wèn)題 15【考點(diǎn)題型六】圖象法確定一元二次方程的近似根與一元二次不等式的解集 18【考點(diǎn)題型七】二次函數(shù)的平移 20【考點(diǎn)題型八】待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式 23【考點(diǎn)題型九】二次函數(shù)與一次函數(shù)或反比例函數(shù)共存問(wèn)題 29【考點(diǎn)題型十】根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象判斷有關(guān)的信息 33【知識(shí)點(diǎn)01】二次函數(shù)的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)【知識(shí)點(diǎn)02】二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．（2）頂點(diǎn)式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）．（3）交點(diǎn)式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a≠0．【知識(shí)點(diǎn)03】二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對(duì)稱軸x=–頂點(diǎn)（–，）a的符號(hào)a>0a<0圖象開(kāi)口方向開(kāi)口向上開(kāi)口向下最值當(dāng)x=–時(shí)，y最小值=當(dāng)x=–時(shí)，y最大值=最點(diǎn)拋物線有最低點(diǎn)拋物線有最高點(diǎn)增減性當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x>–時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>–時(shí)，y隨x的增大而減小【知識(shí)點(diǎn)04】拋物線的平移二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據(jù)此，可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點(diǎn)間的平移，可根據(jù)頂點(diǎn)之間的平移求出變化后的解析式．【知識(shí)點(diǎn)05】二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時(shí)，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．3）（1）b2–4ac>0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）b2–4ac=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；（3）b2–4ac<0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．【知識(shí)點(diǎn)06】用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決許多生活和生產(chǎn)實(shí)際中的最大和最小值的問(wèn)題，它的一般方法是：（1）列出二次函數(shù)的解析式，列解析式時(shí)，要根據(jù)自變量的實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍（2）在自變量取值范圍內(nèi)，運(yùn)用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值或最小值【知識(shí)點(diǎn)07】用二次函數(shù)圖象解決幾何問(wèn)題二次函數(shù)與幾何知識(shí)聯(lián)系密切，互相滲透，以點(diǎn)的坐標(biāo)和線段長(zhǎng)度的關(guān)系為紐帶，把二次函數(shù)常與全相似、最大(小)面積、周長(zhǎng)等結(jié)合起來(lái)，解決這類問(wèn)題時(shí)，先要對(duì)已知和未知條件進(jìn)行綜合分析，用點(diǎn)的等、坐標(biāo)和線段長(zhǎng)度的聯(lián)系，從圖形中建立二次函數(shù)的模型，從而使問(wèn)題得到解決.解這類問(wèn)題的關(guān)鍵就是要善于利用幾何圖形和二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件，以達(dá)到解題目的【考點(diǎn)題型一】二次函數(shù)的定義【例1】（23-24九年級(jí)上·上海奉賢·期末）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（23-24九年級(jí)上·上海松江·期末）下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（23-24九年級(jí)上·上海浦東新·期末）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【變式1-3】（23-24九年級(jí)上·上海楊浦·期末）下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【變式1-4】（23-24九年級(jí)上·上海嘉定·期末）如果函數(shù)（是常數(shù)）是二次函數(shù)，那么的取值范圍是．【考點(diǎn)題型二】把y=ax2+bx+c化成頂點(diǎn)式【例2】（23-24九年級(jí)上·甘肅白銀·期末）用配方法將函數(shù)寫成的形式是．【變式2-1】（23-24八年級(jí)下·云南昆明·期末）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．【變式2-2】（23-24九年級(jí)上·四川廣元·期末）若把二次函數(shù)化為的形式，其中為常數(shù)，則．【變式2-3】（23-24九年級(jí)上·四川眉山·期末）已知二次函數(shù)可以寫成，則的取值范圍是．【變式2-4】（23-24九年級(jí)上·北京東城·期末）用配方法將二次函數(shù)化為的形式為．【考點(diǎn)題型三】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例3】（23-24九年級(jí)上·上海長(zhǎng)寧·期末）下列關(guān)于拋物線的描述正確的是（

）A．該拋物線是上升的 B．該拋物線是下降的C．在對(duì)稱軸的左側(cè)該拋物線是上升的 D．在對(duì)稱軸的右側(cè)該拋物線是上升的【變式3-1】（23-24九年級(jí)上·上海浦東新·期末）下列關(guān)于二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的描述，正確的是(

)A．該函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn) B．該函數(shù)圖像在對(duì)稱軸右側(cè)部分是上升的C．該函數(shù)圖像的開(kāi)口向下 D．該函數(shù)圖像可由函數(shù)的圖像平移得到【變式3-2】（23-24九年級(jí)上·上海嘉定·期末）拋物線的對(duì)稱軸是直線，那么下列等式成立的是（

）A． B． C． D．【變式3-3】（23-24九年級(jí)上·上海金山·期末）如果點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上，那么ab填“”“”或“”）【變式3-4】（23-24九年級(jí)上·上海黃浦·期末）已知拋物線開(kāi)口向上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，如果點(diǎn)與在此拋物線上，那么．（填“”“”或“”）【考點(diǎn)題型四】畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象【例4】（23-24九年級(jí)上·江蘇淮安·期末）畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象，解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是．（2）當(dāng)二次函數(shù)到y(tǒng)軸的距離小于3時(shí)，y的取值范圍是．【變式4-1】（23-24九年級(jí)上·寧夏吳忠·期末）根據(jù)要求畫出二次函數(shù)的圖象并解決相關(guān)問(wèn)題．(1)填寫下表，并在坐標(biāo)系中利用描點(diǎn)法畫出此拋物線；(2)請(qǐng)根據(jù)圖像直接寫出：當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍．【變式4-2】（23-24九年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）【操作與探究】已知點(diǎn)Px,y在拋物線上移動(dòng)．(1)在下圖的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象；(2)認(rèn)真觀察圖象，結(jié)合所學(xué)函數(shù)知識(shí)解答下列問(wèn)題：函數(shù)時(shí)，的取值范圍是______；方程的根是______；若時(shí)，隨的增大而減小，則的取值范圍是______；若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是，最大值是，直接寫出的取值范圍．【變式4-3】（22-23八年級(jí)下·福建福州·期末）已知二次函數(shù)．

(1)請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象；(2)若點(diǎn)在該函數(shù)圖象上①當(dāng)時(shí)，則x的取值范圍為_(kāi)__________；②當(dāng)（t為常數(shù)）時(shí)，y隨x的增大而減小，則t的取值范圍是__________．x……01……y……03430……【變式4-4】（23-24九年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）已知二次函數(shù)．(1)用配方法將二次函數(shù)的表達(dá)式化為的形式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；(3)結(jié)合圖象直接回答：當(dāng)時(shí)，則y的取值范圍是____________．【考點(diǎn)題型五】根據(jù)二次函數(shù)增減性求某區(qū)域的最值問(wèn)題【例5】（24-25九年級(jí)上·四川·期末）已知拋物線，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為1，則a的值為．【變式5-1】（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·期末）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的最小值是．【變式5-2】（23-24八年級(jí)下·重慶江北·期末）當(dāng)x取一切實(shí)數(shù)時(shí)，二次函數(shù)的最小4，則常數(shù)m的值為．【變式5-3】（23-24九年級(jí)上·陜西西安·期末）已知二次函數(shù)（其中），當(dāng)時(shí)，的最大值是4，則的值為．【變式5-4】（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·期末）已知二次函數(shù)，則此函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是；若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，則．【考點(diǎn)題型六】圖象法確定一元二次方程的近似根與一元二次不等式的解集【例6】（23-24九年級(jí)上·四川雅安·期末）表格對(duì)應(yīng)值如下表：判斷關(guān)于的方程的一個(gè)解的范圍是（

）1234512.522

A． B． C． D．【變式6-1】（23-24九年級(jí)上·廣東東莞·期末）如圖是二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象，觀察圖象，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．【變式6-2】（23-24八年級(jí)下·浙江寧波·期末）如圖是二次函數(shù)的部分圖像，由圖像可知不等式的解是．【變式6-3】（23-24九年級(jí)上·廣東茂名·期末）根據(jù)下面的表格請(qǐng)你寫出方程（為常數(shù)）的一個(gè)近似解：．（精確到0.1）22.52.62.652.730.07250.191【考點(diǎn)題型七】二次函數(shù)的平移【例7】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·期末）將拋物線先向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的解析式是．【變式7-1】（23-24九年級(jí)上·江蘇泰州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)的圖像先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像的函數(shù)解析式為．【變式7-2】（23-24九年級(jí)上·西藏·期末）將拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后拋物線解析式是．【變式7-3】（23-24九年級(jí)上·山東濰坊·期末）二次函數(shù)的圖象先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的解析式的一般式為．【變式7-4】（23-24九年級(jí)上·山東威?！て谀┤鐖D，坐標(biāo)平面上有一透明片，透明片上有一拋物線及一點(diǎn)，的坐標(biāo)（2，4）．若將此透明片向右、向上移動(dòng)后，得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則此時(shí)的坐標(biāo)為．【考點(diǎn)題型八】待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式【例8】（23-24九年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖是二次函數(shù)的圖象．(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)的取值范圍是___________．【變式8-1】（23-24八年級(jí)下·福建福州·期末）已知二次函數(shù)自變量與函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值如下表：…023……500…(1)求二次函數(shù)解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，若，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式8-2】（22-23九年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,0，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)直接寫出該二次函數(shù)的圖象怎樣經(jīng)過(guò)上下平移恰好與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)當(dāng)時(shí)，y的取值范圍為_(kāi)_____．【變式8-3】（23-24八年級(jí)下·福建福州·期末）二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)值如表：x…012m…y…n…(1)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為_(kāi)______，對(duì)稱軸是_______；(2)表中的_______，_______；(3)若是這個(gè)函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且，則_______（填“>”或“=”或“<”）；(4)寫出這個(gè)函數(shù)的一條性質(zhì)___________．【變式8-4】（23-24八年級(jí)下·云南·期末）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)自變量x滿足時(shí)，求y的取值范圍；(3)將此拋物線沿x軸平移m個(gè)單位后，當(dāng)自變量x滿足時(shí)，y的最小值為5，求m的值．【考點(diǎn)題型九】二次函數(shù)與一次函數(shù)或反比例函數(shù)共存問(wèn)題【例9】（23-24八年級(jí)下·重慶九龍坡·期末）函數(shù)與的圖象可能是（

）A．B．C．D．【變式9-1】（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象大致是()A．B． C． D．【變式9-2】（23-24九年級(jí)上·廣東梅州·期末）函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A．B．C． D．【變式9-3】（23-24九年級(jí)上·河南平頂山·期末）若，則函數(shù)、在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【變式9-4】（23-24九年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象在同一平面直角坐標(biāo)系中大致為（

）A．B．C．D．【考點(diǎn)題型十】根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象判斷有關(guān)的信息【例10】（23-24九年級(jí)上·江西·期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①；②；③m為任意實(shí)數(shù)，則；④．其中正確的有（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【變式10-1】（23-24八年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知拋物線的圖象．如圖所示，則下列結(jié)論中，正確的有（

）①；②；③；④；⑤．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式10-2】（23-24九年級(jí)上·北京大興·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．給出下面三個(gè)結(jié)論：①；②；③關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【變式10-3】（23-24九年級(jí)上·山東聊城·期末）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，并且關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論：①；②；③；④，⑤無(wú)實(shí)數(shù)解，寫出正確的序號(hào)．【變式10-4】（23-24九年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且對(duì)稱軸為，點(diǎn)B坐標(biāo)為．則下面的四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，或，其中正確的是

專題01二次函數(shù)（7個(gè)考點(diǎn)清單+10種題型解讀）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)題型一】二次函數(shù)的定義 2【考點(diǎn)題型二】把y=ax2+bx+c化成頂點(diǎn)式 5【考點(diǎn)題型三】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 7【考點(diǎn)題型四】畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象 9【考點(diǎn)題型五】根據(jù)二次函數(shù)增減性求某區(qū)域的最值問(wèn)題 15【考點(diǎn)題型六】圖象法確定一元二次方程的近似根與一元二次不等式的解集 18【考點(diǎn)題型七】二次函數(shù)的平移 20【考點(diǎn)題型八】待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式 23【考點(diǎn)題型九】二次函數(shù)與一次函數(shù)或反比例函數(shù)共存問(wèn)題 29【考點(diǎn)題型十】根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象判斷有關(guān)的信息 33【知識(shí)點(diǎn)01】二次函數(shù)的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)【知識(shí)點(diǎn)02】二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）．（2）頂點(diǎn)式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數(shù)，a≠0），頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）．（3）交點(diǎn)式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a≠0．【知識(shí)點(diǎn)03】二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解析式二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）對(duì)稱軸x=–頂點(diǎn)（–，）a的符號(hào)a>0a<0圖象開(kāi)口方向開(kāi)口向上開(kāi)口向下最值當(dāng)x=–時(shí)，y最小值=當(dāng)x=–時(shí)，y最大值=最點(diǎn)拋物線有最低點(diǎn)拋物線有最高點(diǎn)增減性當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x>–時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x<–時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>–時(shí)，y隨x的增大而減小【知識(shí)點(diǎn)04】拋物線的平移二次函數(shù)平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據(jù)此，可以直接由解析式中常數(shù)的加或減求出變化后的解析式；二次函數(shù)圖象的平移可看作頂點(diǎn)間的平移，可根據(jù)頂點(diǎn)之間的平移求出變化后的解析式．【知識(shí)點(diǎn)05】二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時(shí)，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．3）（1）b2–4ac>0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）b2–4ac=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；（3）b2–4ac<0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．【知識(shí)點(diǎn)06】用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決許多生活和生產(chǎn)實(shí)際中的最大和最小值的問(wèn)題，它的一般方法是：（1）列出二次函數(shù)的解析式，列解析式時(shí)，要根據(jù)自變量的實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍（2）在自變量取值范圍內(nèi)，運(yùn)用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值或最小值【知識(shí)點(diǎn)07】用二次函數(shù)圖象解決幾何問(wèn)題二次函數(shù)與幾何知識(shí)聯(lián)系密切，互相滲透，以點(diǎn)的坐標(biāo)和線段長(zhǎng)度的關(guān)系為紐帶，把二次函數(shù)常與全相似、最大(小)面積、周長(zhǎng)等結(jié)合起來(lái)，解決這類問(wèn)題時(shí)，先要對(duì)已知和未知條件進(jìn)行綜合分析，用點(diǎn)的等、坐標(biāo)和線段長(zhǎng)度的聯(lián)系，從圖形中建立二次函數(shù)的模型，從而使問(wèn)題得到解決.解這類問(wèn)題的關(guān)鍵就是要善于利用幾何圖形和二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件，以達(dá)到解題目的【考點(diǎn)題型一】二次函數(shù)的定義【例1】（23-24九年級(jí)上·上海奉賢·期末）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的識(shí)別【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，根據(jù)二次函數(shù)的定義逐項(xiàng)分析即可，熟練掌握其定義是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】A．是一次函數(shù)，故不符合題意；B．是反比例函數(shù)，故不符合題意；C．是二次函數(shù)，故符合題意；D．不是二次函數(shù)，故不符合題意；故選：C．【變式1-1】（23-24九年級(jí)上·上海松江·期末）下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的識(shí)別【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一般地，形如、、是常數(shù)，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．根據(jù)二次函數(shù)的定義選擇正確的選項(xiàng)即可．【詳解】A、是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；B、符合二次函數(shù)的定義，是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；C、是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；D、不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【變式1-2】（23-24九年級(jí)上·上海浦東新·期末）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的識(shí)別【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，能熟記二次函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵，形如、、為常數(shù)，的函數(shù)，叫二次函數(shù)．根據(jù)二次函數(shù)的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A．是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；B．是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；C．是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；D．不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【變式1-3】（23-24九年級(jí)上·上海楊浦·期末）下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)的識(shí)別【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，根據(jù)二次函數(shù)的定義逐一判斷即可求解，熟記：“形如y=ax2+bx+c（，其中、為常數(shù)）的函數(shù)是二次函數(shù)”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，原函數(shù)化為：，則不是二次函數(shù)，故不符合題意；B、，是一次函數(shù)，故不符合題意；C、是二次函數(shù)，故符合題意；D、，，分式形式，故不是二次函數(shù)，故不符合題意；故選C．【變式1-4】（23-24九年級(jí)上·上海嘉定·期末）如果函數(shù)（是常數(shù)）是二次函數(shù)，那么的取值范圍是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)【分析】根據(jù)：“形如，這樣的函數(shù)叫做二次函數(shù)”，得到，即可．【詳解】解：由題意，得：，∴；故答案為：．【考點(diǎn)題型二】把y=ax2+bx+c化成頂點(diǎn)式【例2】（23-24九年級(jí)上·甘肅白銀·期末）用配方法將函數(shù)寫成的形式是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】把y=ax2+bx+c化成頂點(diǎn)式【分析】本題主要考查了配方法，將化為頂點(diǎn)式即可．【詳解】解：故答案為：【變式2-1】（23-24八年級(jí)下·云南昆明·期末）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】把y=ax2+bx+c化成頂點(diǎn)式【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．必須牢記二次函數(shù)的三種形式：一般式：；頂點(diǎn)式：；③兩根式：．利用配方法將拋物線的解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式解析式，然后求其頂點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，故答案為：．【變式2-2】（23-24九年級(jí)上·四川廣元·期末）若把二次函數(shù)化為的形式，其中為常數(shù)，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】把y=ax2+bx+c化成頂點(diǎn)式【分析】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式．先由二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，即可得到的值，即可求解．【詳解】解：由題意得，，，．故答案為：．【變式2-3】（23-24九年級(jí)上·四川眉山·期末）已知二次函數(shù)可以寫成，則的取值范圍是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】把y=ax2+bx+c化成頂點(diǎn)式【分析】本題考查了二次函數(shù)的一般式與頂點(diǎn)式的相互轉(zhuǎn)化、待定系數(shù)法等知識(shí)，將頂點(diǎn)式化成一般式確定對(duì)應(yīng)系數(shù)，然后配方即可求解，熟練能將一般式與頂點(diǎn)式相互轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：故答案為：．【變式2-4】（23-24九年級(jí)上·北京東城·期末）用配方法將二次函數(shù)化為的形式為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】把y=ax2+bx+c化成頂點(diǎn)式【分析】本題考查了一般式化頂點(diǎn)式，熟練掌握配方法是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)配方法求解即可．【詳解】解：．故答案為：．【考點(diǎn)題型三】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例3】（23-24九年級(jí)上·上海長(zhǎng)寧·期末）下列關(guān)于拋物線的描述正確的是（

）A．該拋物線是上升的 B．該拋物線是下降的C．在對(duì)稱軸的左側(cè)該拋物線是上升的 D．在對(duì)稱軸的右側(cè)該拋物線是上升的【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)拋物線的解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說(shuō)法是否正確．【詳解】解：∵拋物線，∴，在對(duì)稱軸左側(cè)，該拋物線下降，在對(duì)稱軸右側(cè)上升，故選項(xiàng)A、B、C均錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)D正確，符合題意；故選：D．【變式3-1】（23-24九年級(jí)上·上海浦東新·期末）下列關(guān)于二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的描述，正確的是(

)A．該函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn) B．該函數(shù)圖像在對(duì)稱軸右側(cè)部分是上升的C．該函數(shù)圖像的開(kāi)口向下 D．該函數(shù)圖像可由函數(shù)的圖像平移得到【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可得．【詳解】解：二次函數(shù)，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為軸，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；時(shí)，，該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；該函數(shù)圖象可由函數(shù)的圖象向上平移3個(gè)單位得到，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：C．【變式3-2】（23-24九年級(jí)上·上海嘉定·期末）拋物線的對(duì)稱軸是直線，那么下列等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，進(jìn)行求解后，判斷即可．【詳解】解：∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，∴，∴．故選：C．【變式3-3】（23-24九年級(jí)上·上海金山·期末）如果點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上，那么ab填“”“”或“”）【答案】【知識(shí)點(diǎn)】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)【分析】本題主要考查了比較二次函數(shù)值的大小，分別求出當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)的函數(shù)值即可得到答案．【詳解】解：在中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∵，∴，故答案為：．【變式3-4】（23-24九年級(jí)上·上海黃浦·期末）已知拋物線開(kāi)口向上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，如果點(diǎn)與在此拋物線上，那么．（填“”“”或“”）【答案】【知識(shí)點(diǎn)】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性和增減性是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，∴對(duì)稱軸為，∵開(kāi)口向上，∴對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，，故答案為：．【考點(diǎn)題型四】畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象【例4】（23-24九年級(jí)上·江蘇淮安·期末）畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象，解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是．（2）當(dāng)二次函數(shù)到y(tǒng)軸的距離小于3時(shí)，y的取值范圍是．【答案】函數(shù)圖象見(jiàn)解析；（1）；（2）【知識(shí)點(diǎn)】畫y=ax2+bx+c的圖象、根據(jù)交點(diǎn)確定不等式的解集、y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，畫二次函數(shù)圖象等知識(shí)．根據(jù)函數(shù)解析式求得與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸，根據(jù)五點(diǎn)法畫出二次函數(shù)圖象，（1）根據(jù)函數(shù)圖象直接求解；（2）根據(jù)函數(shù)圖象直接求解．【詳解】解：令，則，解得：，∴拋物線與軸的交點(diǎn)為1,0，，令，解得：，∴拋物線與軸的交點(diǎn)為0,3，∵，∴拋物線開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線0,3關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)為，函數(shù)的圖象，如圖所示，（1）根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是．故答案為：．（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又∵拋物線開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴當(dāng)二次函數(shù)到y(tǒng)軸的距離小于3時(shí)，y的取值范圍是，故答案為：【變式4-1】（23-24九年級(jí)上·寧夏吳忠·期末）根據(jù)要求畫出二次函數(shù)的圖象并解決相關(guān)問(wèn)題．(1)填寫下表，并在坐標(biāo)系中利用描點(diǎn)法畫出此拋物線；(2)請(qǐng)根據(jù)圖像直接寫出：當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍．【答案】(1)填表見(jiàn)解析，圖象見(jiàn)解析；(2)．【知識(shí)點(diǎn)】畫y=ax2+bx+c的圖象、根據(jù)交點(diǎn)確定不等式的解集【分析】（）取適當(dāng)?shù)牡闹蹈鶕?jù)函數(shù)解析式求出即可填寫表格，再根據(jù)表格的數(shù)值描點(diǎn)、連線即可畫出函數(shù)圖象；（）根據(jù)函數(shù)圖象即可求解；本題考查了二次函數(shù)圖象的畫法，二次函數(shù)與不等式，掌握二次函數(shù)圖象的畫法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：填表如下：描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象如圖：（2）解：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍為，故答案為：．【變式4-2】（23-24九年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）【操作與探究】已知點(diǎn)Px,y在拋物線上移動(dòng)．(1)在下圖的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象；(2)認(rèn)真觀察圖象，結(jié)合所學(xué)函數(shù)知識(shí)解答下列問(wèn)題：函數(shù)時(shí)，的取值范圍是______；方程的根是______；若時(shí)，隨的增大而減小，則的取值范圍是______；若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是，最大值是，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)畫圖見(jiàn)解析；(2)；，；；．【知識(shí)點(diǎn)】畫y=ax2+bx+c的圖象、y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)【分析】（）利用畫函數(shù)圖象的步驟即可求解；（）根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)逐一解答即可；此題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)和畫二次函數(shù)圖象，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）列表：描點(diǎn)，連線，如圖，（2）根據(jù)圖象可知，時(shí)，的取值范圍是，故答案為：；由得，，通過(guò)圖象可知，，故答案為：，；根據(jù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，若時(shí)，隨的增大而減小，則的取值范圍是，故答案為：；根據(jù)圖象可知，則的取值范圍是．【變式4-3】（22-23八年級(jí)下·福建福州·期末）已知二次函數(shù)．

(1)請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象；(2)若點(diǎn)在該函數(shù)圖象上①當(dāng)時(shí)，則x的取值范圍為_(kāi)__________；②當(dāng)（t為常數(shù)）時(shí)，y隨x的增大而減小，則t的取值范圍是__________．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①，②【知識(shí)點(diǎn)】畫y=ax2+bx+c的圖象、y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)【分析】（1）先列表，再用描點(diǎn)，最后用平滑的曲線連接即可得出該函數(shù)的圖象；（2）①根據(jù)（1）中的圖象，即可得出x的取值范圍；②先得出其對(duì)稱軸，即可根據(jù)圖象分析其增減性，得出結(jié)論．【詳解】（1）解：列表如下：x……01……y……03430……二次函數(shù)如圖所示：

（2）解：①由圖可知：當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為，故答案為：；②由圖可知，該二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線，∵y隨x的增大而減小，∴，∵，∴，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)圖象的方法，以及能夠結(jié)合圖象，分析函數(shù)的性質(zhì)．【變式4-4】（23-24九年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期末）已知二次函數(shù)．(1)用配方法將二次函數(shù)的表達(dá)式化為的形式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；(3)結(jié)合圖象直接回答：當(dāng)時(shí)，則y的取值范圍是____________．【答案】(1)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2)見(jiàn)解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】把y=ax2+bx+c化成頂點(diǎn)式、畫y=ax2+bx+c的圖象、根據(jù)交點(diǎn)確定不等式的解集【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）利用配方法把二次函數(shù)解析式配成頂點(diǎn)式；（2）利用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)圖象；（3）利用二次函數(shù)的圖象求解．【詳解】（1）解：，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：列表：x01235y52125根據(jù)描點(diǎn)法畫二次函數(shù)圖象如下：；（3）解：由圖象可知：當(dāng)時(shí)，．故答案是：．【考點(diǎn)題型五】根據(jù)二次函數(shù)增減性求某區(qū)域的最值問(wèn)題【例5】（24-25九年級(jí)上·四川·期末）已知拋物線，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為1，則a的值為．【答案】或/或【知識(shí)點(diǎn)】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、y=ax2+bx+c的最值【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論．先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性并結(jié)合，分類討論解答即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，①當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)二次函數(shù)在上y隨x的增大而減小，在取最大值，即，解得，與不符；②當(dāng)即時(shí)，此時(shí)離二次函數(shù)對(duì)稱軸更遠(yuǎn)，∴二次函數(shù)在取最大值，即，解得；③當(dāng)即時(shí)，此時(shí)離二次函數(shù)對(duì)稱軸更遠(yuǎn)，∴二次函數(shù)在取最大值，即，解得；④當(dāng)即時(shí)，此時(shí)二次函數(shù)在上y隨x的增大而增大，在取最大值，，解得與不符．綜上，的值為或．故答案：或．【變式5-1】（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·期末）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的最小值是．【答案】4【知識(shí)點(diǎn)】把y=ax2+bx+c化成頂點(diǎn)式、y=ax2+bx+c的最值【分析】本題考查了把二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式、二次函數(shù)的性質(zhì)，先把二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的最小值是；故答案為：4，．【變式5-2】（23-24八年級(jí)下·重慶江北·期末）當(dāng)x取一切實(shí)數(shù)時(shí)，二次函數(shù)的最小4，則常數(shù)m的值為．【答案】6【知識(shí)點(diǎn)】y=ax2+bx+c的最值【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值．熟練掌握二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．由，，可知當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的值最小，為4，則，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵，，∴當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的值最小，為4，∴，解得，，故答案為：6．【變式5-3】（23-24九年級(jí)上·陜西西安·期末）已知二次函數(shù)（其中），當(dāng)時(shí)，的最大值是4，則的值為．【答案】4【知識(shí)點(diǎn)】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、y=ax2+bx+c的最值【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題，先求出拋物線的對(duì)稱軸，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，∵，∴a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸x=2兩側(cè)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，數(shù)值越大，∴當(dāng)時(shí)y有最大值，即，解得：；故答案為：43【變式5-4】（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·期末）已知二次函數(shù)，則此函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是；若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，則．【答案】?2【知識(shí)點(diǎn)】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、y=ax2+bx+c的最值、把y=ax2+bx+c化成頂點(diǎn)式【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，把解析式配方解答即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，得到關(guān)于的方程，解方程求得的值．【詳解】解：，此函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，時(shí)，，，故答案為：，?23【考點(diǎn)題型六】圖象法確定一元二次方程的近似根與一元二次不等式的解集【例6】（23-24九年級(jí)上·四川雅安·期末）表格對(duì)應(yīng)值如下表：判斷關(guān)于的方程的一個(gè)解的范圍是（

）1234512.522

A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】圖象法確定一元二次方程的近似根【分析】本題考查利用二次函數(shù)的圖象估算一元二次方程的近似解，根據(jù)拋物線與軸的交點(diǎn)的左右兩邊的函數(shù)值的符號(hào)為一正一負(fù)，即可得出結(jié)果．【詳解】解：令，由表格可知：時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)，存在一個(gè)的值使，∴關(guān)于的方程的一個(gè)解的范圍是；故選B．【變式6-1】（23-24九年級(jí)上·廣東東莞·期末）如圖是二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象，觀察圖象，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】圖象法解一元二次不等式【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得出二次函數(shù)和一次函數(shù)相交于兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，1，即可得．【詳解】解：根據(jù)圖象得，二次函數(shù)和一次函數(shù)相交于兩點(diǎn)，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，1，則當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或．故選：B．【變式6-2】（23-24八年級(jí)下·浙江寧波·期末）如圖是二次函數(shù)的部分圖像，由圖像可知不等式的解是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】圖象法解一元二次不等式、y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，由題意可得：二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，然后可根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)，再根據(jù)拋物線在軸上方的圖象對(duì)應(yīng)的的范圍解答即可，正確讀懂圖象信息、熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖象可知：拋物線的對(duì)稱軸為直線，∵拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，故答案為：．【變式6-3】（23-24九年級(jí)上·廣東茂名·期末）根據(jù)下面的表格請(qǐng)你寫出方程（為常數(shù)）的一個(gè)近似解：．（精確到0.1）22.52.62.652.730.07250.191【答案】【知識(shí)點(diǎn)】圖象法確定一元二次方程的近似根【分析】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系．根據(jù)在與之間可得方程有一個(gè)解的取值范圍為，由此即可得．【詳解】解：由表可知，在與之間，方程有一個(gè)解的取值范圍為，，故答案為：．【考點(diǎn)題型七】二次函數(shù)的平移【例7】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·期末）將拋物線先向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的解析式是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象的平移【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖像的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．首先將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)“上加下減，左加右減”進(jìn)行求解作答即可．【詳解】解：∵拋物線，將該拋物線先向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，∴得到的拋物線的解析式是．故答案為：．【變式7-1】（23-24九年級(jí)上·江蘇泰州·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)的圖像先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像的函數(shù)解析式為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象的平移【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．【詳解】解：由“左加右減”的原則可知，拋物線的圖象向右平移2個(gè)單位所得函數(shù)圖象的關(guān)系式是：；由“上加下減”的原則可知，拋物線的圖象向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度所得函數(shù)圖象的關(guān)系式是：．故答案為：．【變式7-2】（23-24九年級(jí)上·西藏·期末）將拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后拋物線解析式是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象的平移【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進(jìn)行解答即可，熟練掌握平移的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：將拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線的解析式為：，即，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線解析式為：，即，故答案為：．【變式7-3】（23-24九年級(jí)上·山東濰坊·期末）二次函數(shù)的圖象先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的解析式的一般式為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象的平移【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握平移規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．按“左加右減括號(hào)內(nèi)，上加下減括號(hào)外”的規(guī)律平移即可得出所求函數(shù)的解析式．【詳解】解：，平移后的解析式為：，故答案為：．【變式7-4】（23-24九年級(jí)上·山東威海·期末）如圖，坐標(biāo)平面上有一透明片，透明片上有一拋物線及一點(diǎn)，的坐標(biāo)（2，4）．若將此透明片向右、向上移動(dòng)后，得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則此時(shí)的坐標(biāo)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象的平移、求點(diǎn)沿x軸、y軸平移后的坐標(biāo)【分析】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握點(diǎn)的坐標(biāo)平移規(guī)律為“左減右加，上加下減”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)得到平移規(guī)律即可求解．【詳解】解：∵原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴新拋物線是由原拋物線向右移動(dòng)了7個(gè)單位，向上移動(dòng)了2個(gè)單位得到的．的坐標(biāo)右移動(dòng)了7個(gè)單位，向上移動(dòng)了2個(gè)單位坐標(biāo)為，即．故答案為：．【考點(diǎn)題型八】待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式【例8】（23-24九年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖是二次函數(shù)的圖象．(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)的取值范圍是___________．【答案】(1)，(2)【知識(shí)點(diǎn)】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、把y=ax2+bx+c化成頂點(diǎn)式【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖象得出拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，代入解析式求解即可；（2）求出拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖象即可求出取值范圍．【詳解】（1）解：由圖象可知，拋物線經(jīng)過(guò)，，代入得，，解得，，拋物線解析式為，化成頂點(diǎn)式為，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：當(dāng)時(shí)，，解得，，，拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴當(dāng)時(shí)的取值范圍是；故答案為：．【變式8-1】（23-24八年級(jí)下·福建福州·期末）已知二次函數(shù)自變量與函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值如下表：…023……500…(1)求二次函數(shù)解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，若，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)二次函數(shù)解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2)或【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、面積問(wèn)題(二次函數(shù)綜合)、y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、y=ax2+bx+c的最值【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、求二次函數(shù)解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“當(dāng)和時(shí)，”，設(shè)二次函數(shù)，根據(jù)時(shí)，，代入求出，得出二次函數(shù)解析式，再求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)和，求出，根據(jù)三角形面積公式、坐標(biāo)與圖形，得出點(diǎn)的縱坐標(biāo)為或，當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí)，，求解得出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；根據(jù)二次函數(shù)解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，是最低點(diǎn)，判斷當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí)的情況不存在．【詳解】（1）解：∵當(dāng)和時(shí)，，∴設(shè)二次函數(shù)，∵時(shí)，，∴代入得：，即，解得：，∴二次函數(shù)解析式為，即，∴，，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：∵拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，由表格得和，∴，∵，∴點(diǎn)到的距離，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為或，∵點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí)，，即，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或；∵二次函數(shù)解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為時(shí)的情況不存在；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【變式8-2】（22-23九年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,0，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)直接寫出該二次函數(shù)的圖象怎樣經(jīng)過(guò)上下平移恰好與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)當(dāng)時(shí)，y的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】(1)或(2)向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度(3)【知識(shí)點(diǎn)】y=a（x-h）2+k的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象的平移【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可．設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，將點(diǎn)1,0代入即可得出a的值．（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖像以及平移的性質(zhì)求解即可．（3）根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得出當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，分別求出當(dāng)時(shí)y的值，當(dāng)時(shí)，y的值，即可得出答案．【詳解】（1）解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，將點(diǎn)1,0代入，得出：，解得：，∴或（2）當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，只需將拋物線向上平移4個(gè)單位即可．（3）根據(jù)函數(shù)圖像可知：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，．【變式8-3】（23-24八年級(jí)下·福建福州·期末）二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)值如表：x…012m…y…n…(1)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為_(kāi)______，對(duì)稱軸是_______；(2)表中的_______，_______；(3)若是這個(gè)函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且，則_______（填“>”或“=”或“<”）；(4)寫出這個(gè)函數(shù)的一條性質(zhì)___________．【答案】(1)，對(duì)稱軸(2)(3)(4)時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大【知識(shí)點(diǎn)】y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）將表中已知數(shù)據(jù)代入即可得到函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)（1）求出的解析式代數(shù)求值；（3）確定函數(shù)圖象的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸，然后根據(jù)遞減性得出答案；（4）根據(jù)函數(shù)圖象的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸的位置來(lái)確定性質(zhì)．【詳解】（1）解：將代入，，解得，，故對(duì)稱軸；（2）解：根據(jù)函數(shù)解析式：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去），，故答案為：；（3）解：根據(jù)，，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，故，則，故答案為：；（4）解：根據(jù)二次函數(shù)的圖象可得，時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．【變式8-4】（23-24八年級(jí)下·云南·期末）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)自變量x滿足時(shí)，求y的取值范圍；(3)將此拋物線沿x軸平移m個(gè)單位后，當(dāng)自變量x滿足時(shí)，y的最小值為5，求m的值．【答案】(1)解析式為：；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2)(3)或【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象的平移、y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、y=ax2+bx+c的最值【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，平移性質(zhì)等．（1）將點(diǎn)1,0和點(diǎn)0,3代入中求出的值，即可計(jì)算出本題答案；（2）利用二次函數(shù)頂點(diǎn)式可得當(dāng)時(shí)取得最小值，再求出和x=?1時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即可得到本題答案；（3）根據(jù)題意分別設(shè)拋物線左右平移解析式，利用函數(shù)性質(zhì)得到最值情況，即可得到本題答案．【詳解】（1）解：將點(diǎn)1,0和點(diǎn)0,3代入中得，，解得：，∴，∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：∵，∴二次函數(shù)對(duì)稱軸為：，∵，∴此時(shí)函數(shù)有最小值，∵自變量x滿足時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴自變量x滿足時(shí)，y的取值范圍為：；（3）解：∵將此拋物線沿x軸平移m個(gè)單位后，∴設(shè)此拋物線沿x軸向右平移m個(gè)單位后解析式為，∵當(dāng)自變量滿足時(shí)，的最小值為5，∴，即，此時(shí)時(shí)，，即，解得：（舍去），設(shè)此拋物線沿x軸向左平移m個(gè)單位后解析式為，∵當(dāng)自變量滿足時(shí)，的最小值為5，∴，即，此時(shí)時(shí)，，即，解得：（舍去），綜上所述：的值為：或．【考點(diǎn)題型九】二次函數(shù)與一次函數(shù)或反比例函數(shù)共存問(wèn)題【例9】（23-24八年級(jí)下·重慶九龍坡·期末）函數(shù)與的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)圖象等知識(shí)．熟練掌握二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵．分別確定各選項(xiàng)中一次函數(shù)的的取值范圍，然后判斷各選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象的正誤即可．【詳解】解：A中的，此時(shí)的圖象應(yīng)該開(kāi)口向下，此時(shí)矛盾，故不符合要求；B中的，此時(shí)的圖象應(yīng)該開(kāi)口向上，對(duì)稱軸，故符合要求；C中的，此時(shí)的圖象應(yīng)該開(kāi)口向上，此時(shí)矛盾，故不符合要求；D中的，此時(shí)的圖象應(yīng)該開(kāi)口向下，對(duì)稱軸，此時(shí)矛盾，故不符合要求；故選：B．【變式9-1】（23-24九年級(jí)上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象大致是()A．B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷【分析】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象的基本性質(zhì)，熟練掌握兩種函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．直接利用二次函數(shù)圖形得出a、b的符號(hào)，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：由二次函數(shù)圖象，得出，，A、一次函數(shù)圖象，得，，故A錯(cuò)誤；B、一次函數(shù)圖象，得，，故B錯(cuò)誤；C、一次函數(shù)圖象，得，，故C正確；D、一次函數(shù)圖象，得，，故D錯(cuò)誤；故選：C．【變式9-2】（23-24九年級(jí)上·廣東梅州·期末）函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A．B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷【分析】本題考查了二次函數(shù)，反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖形所在象限判定的符號(hào)，即可求解．【詳解】解：A、根據(jù)反比例函數(shù)圖形可得，，則，∴二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下，與軸的交點(diǎn)在軸上方，原選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)反比例函數(shù)圖形可得，，則?，∴二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下，與?軸的交點(diǎn)在?軸上方，原選項(xiàng)不符合題意；C、根據(jù)反比例函數(shù)圖形可得，?，則??，∴二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下，與軸交點(diǎn)在軸上方，原選項(xiàng)符合題意；D、根據(jù)反比例函數(shù)圖形可得，，則，∴二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，與軸的交點(diǎn)在軸下方，原選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【變式9-3】（23-24九年級(jí)上·河南平頂山·期末）若，則函數(shù)、在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，可知當(dāng)和，兩個(gè)函數(shù)圖象所在的象限，從而可以解答本題．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸；函數(shù)的圖象位于第一、三象限，故①符合題意，②不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸；函數(shù)的圖象位于第二、四象限，故③不符合題意，④符合題意；故選：B．【變式9-4】（23-24九年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象在同一平面直角坐標(biāo)系中大致為（

）A．B．C．D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷、反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象，反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)等確定出、、的情況是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下得到，再根據(jù)對(duì)稱軸確定出，根據(jù)與軸的交點(diǎn)確定出，然后確定出一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的情況，即可得解．【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象開(kāi)口方向向下，∵對(duì)稱軸為直線，∵與軸的正半軸相交，∴的圖象經(jīng)過(guò)第二三四象限，當(dāng)x=1時(shí)，，∴反比例函數(shù)的圖象在第二四象限，只有C選項(xiàng)圖象符合．故選：C．【考點(diǎn)題型十】根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+