二輪復(fù)習(xí)課件專題二 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式

專題二：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式本專題重點(diǎn)講解函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式這三大核心概念，以及它們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)中的應(yīng)用。DH投稿人：DingJunHong函數(shù)概念及其性質(zhì)定義函數(shù)是將一個(gè)集合（定義域）中的元素對(duì)應(yīng)到另一個(gè)集合（值域）中的元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并且這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是唯一的。性質(zhì)單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性、最值等都是函數(shù)的重要性質(zhì)，可以幫助我們分析函數(shù)的圖像和變化趨勢(shì)。圖像函數(shù)的圖像可以直觀地展示函數(shù)的性質(zhì)和變化趨勢(shì)，它是理解函數(shù)的重要工具。函數(shù)的表示方法圖像法函數(shù)圖像直觀地反映函數(shù)變化規(guī)律，可以幫助理解函數(shù)性質(zhì)，例如單調(diào)性、奇偶性、周期性等。解析法解析法使用公式或方程描述函數(shù)，可以精確地計(jì)算函數(shù)值，方便分析函數(shù)性質(zhì)。列表法列表法將函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系列成表格，直觀地展示函數(shù)值的變化，適合用于離散型函數(shù)。文字描述法文字描述法使用語(yǔ)言描述函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，適合用于表達(dá)函數(shù)定義、性質(zhì)等。函數(shù)的基本性質(zhì)單調(diào)性函數(shù)在定義域內(nèi)，自變量增大時(shí)，函數(shù)值也隨之增大，則函數(shù)是單調(diào)遞增的，反之則為單調(diào)遞減的。奇偶性對(duì)于定義域內(nèi)任何x，都滿足f(-x)=-f(x)，則函數(shù)為奇函數(shù)，若滿足f(-x)=f(x)，則函數(shù)為偶函數(shù)。周期性若存在一個(gè)正數(shù)T，對(duì)于定義域內(nèi)任何x，都滿足f(x+T)=f(x)，則函數(shù)為周期函數(shù)，T為函數(shù)的周期。函數(shù)的分類11.按定義域和值域根據(jù)函數(shù)定義域和值域的類型可以將函數(shù)分為實(shí)值函數(shù)、復(fù)值函數(shù)、向量值函數(shù)等。22.按表達(dá)式根據(jù)函數(shù)表達(dá)式形式可以將函數(shù)分為多項(xiàng)式函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等。33.按單調(diào)性根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可以將函數(shù)分為單調(diào)遞增函數(shù)、單調(diào)遞減函數(shù)、單調(diào)函數(shù)等。44.按奇偶性根據(jù)函數(shù)的奇偶性可以將函數(shù)分為奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)等。初等函數(shù)及其性質(zhì)基本初等函數(shù)包括冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。這些函數(shù)是構(gòu)建其他更復(fù)雜函數(shù)的基礎(chǔ)。性質(zhì)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、漸近線等性質(zhì)。這些性質(zhì)可以幫助我們理解函數(shù)的圖像和行為。反函數(shù)及其性質(zhì)反函數(shù)定義如果對(duì)于函數(shù)y=f(x)上的任意一個(gè)x值，都存在唯一的y值與之對(duì)應(yīng)，并且對(duì)于函數(shù)y=f(x)上的任意一個(gè)y值，也存在唯一的x值與之對(duì)應(yīng)，那么稱y=f(x)是一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)，也稱y=f(x)是一個(gè)可逆函數(shù)。反函數(shù)是指與原函數(shù)互為逆運(yùn)算的函數(shù)，記作y=f-1(x)，其定義域是原函數(shù)的值域，值域是原函數(shù)的定義域。反函數(shù)性質(zhì)反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱f(f-1(x))=x且f-1(f(x))=x如果f(x)是單調(diào)函數(shù)，則f-1(x)也是單調(diào)函數(shù)如果f(x)是奇函數(shù)，則f-1(x)也是奇函數(shù)如果f(x)是偶函數(shù)，則f-1(x)不一定存在復(fù)合函數(shù)及其性質(zhì)定義復(fù)合函數(shù)是將兩個(gè)或多個(gè)函數(shù)組合而成的函數(shù)，即一個(gè)函數(shù)的輸出作為另一個(gè)函數(shù)的輸入。性質(zhì)復(fù)合函數(shù)的定義域和值域與構(gòu)成它的函數(shù)的定義域和值域有關(guān)。應(yīng)用復(fù)合函數(shù)廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、工程學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域，用于描述復(fù)雜系統(tǒng)的行為。平移、對(duì)稱和伸縮對(duì)函數(shù)的影響1平移改變函數(shù)圖像的位置2對(duì)稱關(guān)于坐標(biāo)軸或原點(diǎn)對(duì)稱3伸縮改變函數(shù)圖像的形狀平移、對(duì)稱和伸縮是三種常見(jiàn)的函數(shù)變換。這些變換可以改變函數(shù)圖像的位置、形狀和方向。導(dǎo)數(shù)的概念及其性質(zhì)11.定義導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率，體現(xiàn)函數(shù)值隨著自變量的變化而變化的快慢程度。22.幾何意義導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)圖像在該點(diǎn)切線的斜率，反映了函數(shù)曲線在該點(diǎn)的切線方向。33.物理意義導(dǎo)數(shù)代表了運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度，反映了物體在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)速度。44.性質(zhì)導(dǎo)數(shù)具有線性、乘積法則、商法則等性質(zhì)，這些性質(zhì)可以簡(jiǎn)化導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算法則基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)掌握基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，例如常數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)等。導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算利用導(dǎo)數(shù)的加減乘除法則，以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，可以計(jì)算出復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于外層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這是一個(gè)重要的法則，需要熟練掌握。隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需要利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則，通過(guò)對(duì)等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)來(lái)計(jì)算。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求函數(shù)的最值利用導(dǎo)數(shù)可求解函數(shù)的最大值和最小值，幫助我們理解函數(shù)的極值問(wèn)題。求函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)可以幫助我們判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，了解函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的變化趨勢(shì)。求曲線切線方程導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率，可以用導(dǎo)數(shù)求出曲線在某一點(diǎn)的切線斜率。解決實(shí)際問(wèn)題導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，可以幫助我們解決各種實(shí)際問(wèn)題。高階導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用曲線凹凸性二階導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)圖像的凹凸性，從而確定函數(shù)的拐點(diǎn)。函數(shù)極值高階導(dǎo)數(shù)可以幫助我們更準(zhǔn)確地判斷函數(shù)的極值，尤其是在二階導(dǎo)數(shù)為零的情況下。物理應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中有很多應(yīng)用，例如描述物體的加速度和角加速度。經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中也有應(yīng)用，例如分析邊際成本和邊際收益。隱函數(shù)及其求導(dǎo)定義隱函數(shù)是指無(wú)法直接用一個(gè)變量表示另一個(gè)變量的函數(shù)，但可以由一個(gè)方程來(lái)定義，例如，圓的方程x^2+y^2=r^2。求導(dǎo)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，需要使用鏈?zhǔn)椒▌t，對(duì)等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)，然后解出y'。應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)可以用來(lái)求解曲線上的切線方程、求解函數(shù)的極值點(diǎn)、以及研究函數(shù)的單調(diào)性等。極值問(wèn)題及其應(yīng)用最大值和最小值函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最大值和最小值被稱為極值。極值問(wèn)題是指求函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最大值和最小值的問(wèn)題。極值問(wèn)題是數(shù)學(xué)中重要的研究方向之一，在經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。求解極值問(wèn)題的方法求解極值問(wèn)題常用的方法包括導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)圖像法、不等式法等。導(dǎo)數(shù)法利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的極值。極值問(wèn)題的應(yīng)用極值問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，例如在優(yōu)化生產(chǎn)、設(shè)計(jì)建筑、預(yù)測(cè)股票價(jià)格等方面。例如，在生產(chǎn)過(guò)程中，我們需要找到生產(chǎn)成本最低的方案，而這可以通過(guò)求解函數(shù)的最小值來(lái)實(shí)現(xiàn)。函數(shù)圖像的特征及其應(yīng)用函數(shù)圖像可以直觀地反映函數(shù)的性質(zhì)，例如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等。圖像特征在實(shí)際應(yīng)用中至關(guān)重要，例如確定函數(shù)的極值、拐點(diǎn)和漸近線等。通過(guò)分析函數(shù)圖像，可以更直觀地理解函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律，并解決實(shí)際問(wèn)題。例如，可以根據(jù)函數(shù)圖像預(yù)測(cè)某個(gè)事件的發(fā)展趨勢(shì)，或根據(jù)函數(shù)圖像設(shè)計(jì)某個(gè)工程的方案等。不等式的基本性質(zhì)符號(hào)意義不等號(hào)代表兩個(gè)數(shù)或表達(dá)式大小關(guān)系，表示兩者不完全相等。傳遞性若a>b且b>c，則a>c，大小關(guān)系可以傳遞。加減性質(zhì)不等式兩邊同時(shí)加減同一個(gè)數(shù)或表達(dá)式，不等號(hào)方向不變。乘除性質(zhì)不等式兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變。乘除以負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變。等價(jià)不等式及其應(yīng)用1等價(jià)變換等價(jià)不等式是指具有相同解集的不等式,通過(guò)等價(jià)變換可以將復(fù)雜的不等式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的不等式。2常用技巧常用技巧包括移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、乘除正數(shù)、兩邊平方、兩邊開(kāi)方、取倒數(shù)等。3解題步驟解題步驟包括分析不等式類型、進(jìn)行等價(jià)變換、求解最終不等式、檢驗(yàn)解集是否符合原始不等式的要求。4應(yīng)用場(chǎng)景等價(jià)不等式在解不等式、證明不等式、求函數(shù)的最值、求解最優(yōu)化問(wèn)題等方面都有重要的應(yīng)用。一次不等式及其解法不等式性質(zhì)一次不等式是形如ax+b<0或ax+b>0的不等式，其中a,b為常數(shù)，a≠0.解不等式解一次不等式主要利用不等式的基本性質(zhì)，將不等式轉(zhuǎn)化為x的形式，從而得到不等式的解集.解集表示解集可以用區(qū)間表示，例如(a,b)表示所有大于a且小于b的實(shí)數(shù).圖解法可以通過(guò)數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示一次不等式的解集，便于理解.應(yīng)用一次不等式在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，例如求解最大值、最小值等問(wèn)題.二次不等式及其解法1二次不等式定義二次不等式是指含有未知數(shù)的二次多項(xiàng)式與零的大小關(guān)系。2解法步驟首先將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后利用判別式、圖像或因式分解等方法求解。3解題技巧熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，并學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解題。高次不等式及其解法高次不等式是指次數(shù)大于等于三的不等式。求解高次不等式主要依賴于因式分解和數(shù)軸標(biāo)根法。將不等式化簡(jiǎn)為一個(gè)多項(xiàng)式乘積的形式，然后在數(shù)軸上標(biāo)出所有根，并將數(shù)軸分成若干個(gè)區(qū)間，分別代入測(cè)試點(diǎn)進(jìn)行判斷。1因式分解將高次不等式化簡(jiǎn)為一個(gè)多項(xiàng)式乘積的形式2數(shù)軸標(biāo)根在數(shù)軸上標(biāo)出所有根，并將數(shù)軸分成若干個(gè)區(qū)間3測(cè)試點(diǎn)分別代入測(cè)試點(diǎn)進(jìn)行判斷，確定不等式成立的區(qū)間在解高次不等式時(shí)，要注意特殊情況，例如根的重?cái)?shù)、等號(hào)的取舍等。此外，還要注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)定理等知識(shí)來(lái)輔助解題。絕對(duì)值不等式及其解法1定義法利用絕對(duì)值的定義，將不等式轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)形式2平方法利用絕對(duì)值的平方性質(zhì)，將不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式3幾何意義法利用數(shù)軸上的距離關(guān)系，將不等式轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題絕對(duì)值不等式是解不等式的重要組成部分，掌握其解法是解決相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵。含參數(shù)的不等式及其解法1參數(shù)范圍的討論首先要確定參數(shù)的取值范圍，以保證不等式有意義，并確定不等式的解集形式.2分類討論根據(jù)參數(shù)的取值范圍，將不等式進(jìn)行分類討論，并分別求解不同情況下的解集.3解集的合并將所有分類討論得到的結(jié)果合并，得到最終的解集.不等式組及其解法1解不等式組求解滿足所有不等式的x值2畫(huà)數(shù)軸將每個(gè)不等式的解集表示在數(shù)軸上3取交集找到所有解集的公共部分解不等式組的關(guān)鍵是找到滿足所有不等式的x值。通過(guò)畫(huà)數(shù)軸將每個(gè)不等式的解集表示出來(lái)，最后取所有解集的公共部分即可得到不等式組的解集。不等式與應(yīng)用問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，建立不等式關(guān)系，并求解。優(yōu)化問(wèn)題利用不等式求解最值，優(yōu)化資源配置，提高效率。限制條件不等式可以表示約束條件，限制變量的取值范圍，從而滿足實(shí)際需求。圖形分析利用圖像直觀地分析不等式的解集，并結(jié)合實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行解釋。不等式的綜合應(yīng)用多條件限制實(shí)際問(wèn)題中，常常涉及多個(gè)條件的限制，需要用不等式組來(lái)描述。變量關(guān)系分析變量之間的關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)和約束條件，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。最優(yōu)解運(yùn)用線性規(guī)劃、拉格朗日乘數(shù)法等方法求解最優(yōu)解，并結(jié)合實(shí)際意義進(jìn)行解釋。重要結(jié)論的回顧與思考基本概念函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等概念相互聯(lián)系，共同構(gòu)成微積分的基礎(chǔ)。圖像分析掌握函數(shù)圖像的特征和性質(zhì)，有助于理解函數(shù)的本質(zhì)及其應(yīng)用。邏輯推理數(shù)學(xué)證明需要嚴(yán)密的邏輯推理，充分利用定理和公式進(jìn)行推導(dǎo)。解題方法熟練掌握各種解題技巧和方法，提升解題速度和準(zhǔn)確率。本專題的重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和不等式是微積分學(xué)的基礎(chǔ)。掌握這些概念和方法，是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。本專題重點(diǎn)講解了函數(shù)的性質(zhì)和表示方法、導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算、不等式的性質(zhì)和解法。難點(diǎn)函數(shù)的圖像與性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式證明是本專題的難點(diǎn)。掌握這些知識(shí)需要深刻理解概念，靈活運(yùn)用方法，并進(jìn)行大量的練習(xí)。本專題的復(fù)習(xí)建議11.梳理知識(shí)體系將各個(gè)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，形成