人教版高一數(shù)學(xué)易錯(cuò)突破：函數(shù)的概念與性質(zhì)11個(gè)易錯(cuò)陷阱歸納（解析版）

函數(shù)的概念與性質(zhì)11個(gè)易錯(cuò)陷阱

易錯(cuò)點(diǎn)1混淆自變量而致錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)撥：在求抽象函數(shù)的定義域問題中，需要明確一點(diǎn)，函數(shù)的定義域是函數(shù)自變量的取值范圍，即若

函數(shù)/(g(x))的定義域?yàn)?，指的是而不是g(x)eZ.

1.(23-24高一上?河北?月考)若函數(shù)〃無)的定義域?yàn)?-3,6),則函數(shù)y=/(2x)的定義域?yàn)?)

A.(-1,2)B.^--,3^C.(-6,12)D.(-9,18)

【答案】B

【解析】因?yàn)椤癤)的定義域?yàn)?-3,6),

3

所以令-3<2x<6,得-

所以y=〃2x)的定義域?yàn)?-1,3).

故選：B

2.(23-24高一上?廣東佛山?月考)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)椋?,+功,則函數(shù)V=/(x-D+/(4-x)的定義域

為()

A.(0,3)B.[0,3]C.(2,3)D.[2,3]

【答案】D

【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)榭?8)，所以《.、「解得2WxW3.

［4一121

故選：D.

易錯(cuò)點(diǎn)2忽略自變量的取值范圍而致錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)撥：用換元法求值域時(shí)，必須確定換元后新元的取值范圍，否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)解.新元的取值范圍要根

據(jù)已知函數(shù)的定義域來求解.

3.(23-24高一上?河北邢臺(tái)?月考)函數(shù)y=2x+467的最大值為.

【答案】8

［解析1令A(yù)/3-X=?>0,貝Ux=3-L,

則了=2(3_「)+4/=_20_1)2+8,

故當(dāng)/=1時(shí)，了=-2?-1)2+8取得最大值，

最大值為8.

4.(23-24高一上?江蘇鎮(zhèn)江?月考)函數(shù)〃x)=x-缶*1的值域?yàn)?

【答案】［-2,+8)

,_____13

【解析】設(shè)區(qū)與小，讓o,則

1Q1

所以昨［--"(/1)--92"2,"1等號成立

所以函數(shù)f(x)=x-yj2x+3的值域?yàn)椋?2,+00).

易錯(cuò)點(diǎn)3用換元法求解析式時(shí)忽略自變量的變化

易錯(cuò)點(diǎn)撥：利用換元法求函數(shù)的解析式時(shí)，一定要注意換元前后自變量的取值范圍.

5.(23-24高一上?重慶南岸?期中)若函數(shù)/(&+l)=x+石，則〃x)的解析式為()

A./(x)=x2+x(x>0)B./(x)=x2+x(x>l)

C./(x)=x2-x(x>0)D./(x)=x2-x(x>l)

【答案】D

【解析】令￡=?+l,貝！=/Nl,

因?yàn)?X+y［x,

所以f(t)=(t-l)2+(t-l)=t2-t(t>l),

貝！|/(x)=x2-x(x21),

故選：D.

6-⑵3高一上?山東煙臺(tái)?月考)已知〃二則勺)=

Q

【答案】

2x

【解析】4-w2)，則x=--,

2—/

7Y22

將其代入/(三中得，/?)=—1，即/(%)=-1

X+1

8

9

7.(23-24高一上?福建福州?期中)若/，則外尸

【答案】占"。且B)

【解析】令:=《"0),則X=；,

又玲。且twi,所以/?)=」70Ho且twi),

t-I

所以y(x)=一^(xwO且xwl).

x—1

易錯(cuò)點(diǎn)4忽略對分段函數(shù)自變量范圍的討論

易錯(cuò)點(diǎn)撥：在解決分段函數(shù)求值時(shí)，關(guān)鍵時(shí)分清楚自變量所在的取值范圍，若自變量含有參數(shù)，要討論自

變量的取值，確定自變量的取值屬于哪一段范圍，從而選擇相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系.

2x-l,x>0

8.(23-24高一上?山東青島?期中)設(shè)函數(shù)/(x)=,x<0，若/(0)=-：，則實(shí)數(shù)。=;

3

【答案】一4或J

O

113

【解析】當(dāng)Q20,f(a)=--^>2a-l=--^>a=-；

7448

當(dāng)Q<0,/(a)=_；nl=-；nQ=-4.

3

故答案為：-4或弓.

O

—-l,x>0

;,若/(〃”))=-1則實(shí)數(shù)0=

9.(23-24高一上?河南鄭州?月考)設(shè)函數(shù)〃x)=

一戶<02

【答案】4或-g

【解析】若^T=-；nx=l,此時(shí)/(。)=1,

令二-l=lna=4,滿足；令Llna=l,不滿足,

2a

所以，〃二4；

若工=-L=X=-2,此時(shí)〃。）=一2,

x2

令三一1二一2=。=一2,不滿足；令1=-2=。=一:，滿足，

2a2

所以，〃二一；；

綜上，實(shí)數(shù)〃=4或〃=-；.

故答案為：4或-;

10.（23-24高一上?陜西西安?期中）設(shè)?。?［產(chǎn)‘°:］，若/⑷=/（。+1）,貝V

)

>1

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】因?yàn)?(x)=<,且=

2[x-l),x>1

當(dāng)0<a<l時(shí)，貝!］l<a+l<2,由可得&=2。，解得〃=；,合乎題意.

當(dāng)。>1時(shí)，由/⑷=/e+1）可得2（"l）=2a,無解.

所以，a=；,則/（￡|=/（4）=2x（4-l）=6.故選：C.

易錯(cuò)點(diǎn)5忽略函數(shù)的定義域

易錯(cuò)點(diǎn)撥：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，一定要先求函數(shù)的定義域，再在定義域內(nèi)求解.

11.（22-23高一上?河北邢臺(tái)?期中）函數(shù)/（x）=J2X2-7X+3的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.1叫：）B.1c°，；［C.1（，+00jD.（3,+co）

【答案】B

【解析】由2/一7》+320得或x23,即/⑴的定義域?yàn)椋?叱；］U［3,+s）,

77

而y=2/-7x+3在（-哂。上單調(diào)遞減，在（=,+?=）上單調(diào)遞增，

44

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得，“X）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-*m，故選：B

12.⑵-23高一上?四川宜賓頭?期中）函數(shù)“石二的單調(diào)增區(qū)間為（）

3C.m3，*和(4,+co)D.(-co,-l)uf-l,-1

A.—,+00B.

22

【答案】C

【解析】由4+3x-/*0可得xw-l且XW4,

3

因?yàn)閂=4+3x-x?開口向下，其對稱軸為x=/,

所以y=4+3x-/的減區(qū)間為41口（4,+00）

所以y=j1~r的單調(diào)增區(qū)間為住,41和（4,+8）故選：C

4+3x-x\_1）

易錯(cuò)點(diǎn)6錯(cuò)誤理解單調(diào)區(qū)間和在區(qū)間上單調(diào)的概念

易錯(cuò)點(diǎn)撥：函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)，則該區(qū)間為函數(shù)單調(diào)區(qū)間的子集.

13.（23-24高一上?浙江嘉興?月考）若函數(shù)〃制=/+2（0-1戶+2的單調(diào)減區(qū)間是（-8,5］,則（）

A.〃W—5B.u=—4C.QW_4D.u=-5

【答案】B

【解析】因?yàn)?卜）的對稱軸為x=l-a且開口向上，單調(diào)減區(qū)間是（-*5］,

所以1-a=5,所以a=-4.故選：B.

14.（23-24高一上?江蘇揚(yáng)州?期中）若函數(shù)y=x2-2ax+l在區(qū)間［-2,1］上為單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍為（）

A.a<—2B.a<—2C.a>1D.a>1

【答案】B

【解析】>=x2-2ax+l開口向上，對稱軸為x=a,

要想夕=/_2ax+l在區(qū)間［-2,1］上為單調(diào)增函數(shù)，貝IJaW-2.故選：B

易錯(cuò)點(diǎn)7忽略分段函數(shù)中接點(diǎn)處函數(shù)值的大小而致錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)撥：解決有關(guān)分段函數(shù)調(diào)性問題時(shí)，一定要注意比較接點(diǎn)處的函數(shù)值的大小.

/、［（―a—5）x—2,x22,、

15.（23-24高一上?安徽阜陽?月考）函數(shù)〃x）=2na,，若對任意多，馬仁田工尸迎）,

lx+2（Q-1）X-3Q,X<2

都有山匕@J<0成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

再一々

A.[—4,—l]B.[-4,-2]C.(-5,-1]D.[-5,-4]

【答案】A

【解析】因?yàn)閷θ我釾"2€R(X產(chǎn)x,),都有"無'―'02)<0成立,

玉-x2

所以/(X)是R上的減函數(shù)，

‘4+4("1)-3〃22(_Q-5)-2

則<-a-5<0,解得-4<〃工-1.故選：A.

l-a>2

、

X_|--2--m----3--x〉]1

16.(23-24高一上?湖南邵陽?月考)已知函數(shù)/(')=x'一在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)加的取值范

(4+m)x-9,x<I

圍為()

A.[-3,2)B.[-3,2]C.(-3,2)D.[-2,3]

【答案】B

2m-3、1

XH----------X2I

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=無'-，在R上單調(diào)遞增，

(4+m)x-9,x<I

2m—3

當(dāng)2機(jī)-3<0時(shí)，由于歹二%和歹=-----均在x31單調(diào)遞增函數(shù)，

x

故/(刈=》+止2在xei上單調(diào)遞增,

X

I+2m-3>4+m-9

3

所以<4+m>0解得一3<加<,,

2m—3<0

當(dāng)2m-3>0時(shí)，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，若/⑴在x21上單調(diào)遞增,

N2m—3<I

3

貝日2加一3>。,解得5■〈加W2,

1+2加一324+加一9

x,x>l

當(dāng)2加-3=0時(shí)，m=|,此時(shí)〃x)=H顯然滿足〃x)在R上單調(diào)遞增,

2—x—9.x<I

[2

綜上，一3W%W2.故選：B

易錯(cuò)點(diǎn)8求函數(shù)奇偶性時(shí)忽略對函數(shù)定義域的討論

易錯(cuò)點(diǎn)撥:在判斷函數(shù)奇偶性時(shí),務(wù)必堅(jiān)守定義域優(yōu)先的原則，在定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的前提下,判斷了(-刈

與/(X)的關(guān)系.另外，確定函數(shù)的定義域之前不要化簡函數(shù)解析式，否則可能會(huì)導(dǎo)致定義域發(fā)生變化.

17.(23-24高一上?廣東佛山?期中)(多選)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()

A./(x)=|x|B.=C.〃x)=x；D./(x)=-x2+l(x<0)

【答案】AB

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=|x|的定義域?yàn)镽,

且/(->=卜耳=國=/0),故/(力=忖為偶函數(shù),A正確；

因?yàn)?'(x)=x2+B的定義域?yàn)閧x|xwO},

且/'(-X)=(-X)2+=f2+]=/(x),故B正確；

因?yàn)楹瘮?shù)〃％)=￡的定義域?yàn)閇°，+8)，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，

故函數(shù)不具有奇偶性，C錯(cuò)誤；

因?yàn)楹瘮?shù)"X)=-x2+l(x<0)的定義域?yàn)?-與0],不關(guān)于原點(diǎn)對稱，

故函數(shù)不具有奇偶性，D錯(cuò)誤；故選：AB.

18.(23-24高一上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?月考)判斷下列函數(shù)的奇偶性

⑴/(%)=丁+%；

(2)/(x)=Vl-x2+Vx2-1；

/x+1

【答案】(1)奇函數(shù)；(2)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；(3)非奇非偶函數(shù)

【解析】(1)定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱，

f(-x)=(-X)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)=—f(x),

所以/(x)為奇函數(shù).

(2)=所以定義域?yàn)閧-1,1},關(guān)于原點(diǎn)對稱,

[x-1>0

此時(shí)〃x)=0,所以〃x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(3)x+lwOnxw-l,所以定義域?yàn)?fl)5-1,+8),

不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以〃x)為非奇非偶函數(shù).

易錯(cuò)點(diǎn)9對黑函數(shù)圖像性質(zhì)不清楚而致錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)撥：在做有關(guān)募函數(shù)的題時(shí)，一定要正確認(rèn)識暴函數(shù)歹=/\其中1的取值為滅.

19.（23-24高一上?遼寧朝陽?月考）若〉=（病一〃?一1）—-2,”是幕函數(shù),且在（0,+8）上單調(diào)遞增，則加=

【答案】-1

【解析】因?yàn)?gt;=（蘇一加-1b/-2，”是幕函數(shù)，所以/一加一1=1,解得加=一1或2,

當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，了=尤3在（0,+8）上單調(diào)遞增，滿足題意；

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，y=x°=},不滿足題意.

故答案為：-L

20.（23-24高一上?上海嘉定?月考）如果幕函數(shù)y=V1的圖像，當(dāng)0<x<l時(shí)在直線V=x的上方，則。的取

值范圍是.

【答案】a<l

【解析】如圖：

結(jié)合基函數(shù)在第一象限的圖象特征可知：幕函數(shù)圖象恒過（1/）,

若。>0,貝時(shí)滿足條件；

若aVO,則滿足條件.

綜上，a<1.

易錯(cuò)點(diǎn)10忽略對塞函數(shù)底數(shù)的分類討論而致錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)撥：利用幕函數(shù)解有關(guān)不等式時(shí)，需要依據(jù)事函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分類討論.分類的依據(jù)是幕函數(shù)的定

義域和單調(diào)性，且應(yīng)把各種情況考慮周全，不能遺漏任何一種情況.

21.（23-24高一上?江蘇南京?月考）已知嘉函數(shù)y=xM+2*（加eN*）的圖象關(guān)于y軸對稱，且在［0,+切）上

單調(diào)遞增，則滿足（20+1廠’<（1”廠’的a的取值范圍為（）

A.（0,+?）B.f—+°°）C.（0,1）D.f-c°>--jU（0,1）

【答案】D

【解析】事函數(shù)夕=%"+2皿+3（加€十）的圖象關(guān)于丫軸對稱，且在[0,+8）上單調(diào)遞增,

則-爪？+2加+3（加eN*）為正偶數(shù)，則加=1,

貝U不等式（2a+l）-"‘即（2a+l尸<0_q）T,

整理得

13a>013a<0

此不等式等價(jià)于“2°+1）（"1）<0或“24+1乂"1）>0'

解之得0<"1或a<-?.

2

貝U滿足（2a+l）-ra<（l-a）-"1的a的取值范圍為0<a<l或.故選：D

22.（23-24高一上?河北?月考）已知事函數(shù)〃力=（/-4°-4卜"在（-8,0）上單調(diào)遞減.

⑴求。的值；

⑵求不等式〃2x）>/（x-l）的解集.

【答案】（l）a=T;（2）（一%-1）5?！唬?/p>

【解析】（1）由題意得力-4叱4=1,解得。=5或-1,

當(dāng)。=5時(shí)，f（x）=x5在（_叱0）上單調(diào)遞增，不符合題意；

當(dāng)。=-1時(shí)，〃弓=：在（-8,0）上單調(diào)遞減，符合題意，

故。=-1;

（2）由題意得=：在（-*0）,（0,+8）上單調(diào)遞減，

[2x<0fx<0

當(dāng)?八時(shí)，解得,無解，舍去；

[x-1>0[x>l1

f2x>0/、/、

當(dāng)x—l<0，即°<x<l時(shí)，〃2x）>0>〃x-l）恒成立，

f2x>0/、/、

當(dāng)x-l>0,即時(shí)，由/（2x）>〃x-l）,得2x<x-l,得x<-l,不符合題意.

f2x<0八/、八/、

當(dāng)L]<0‘即工<0時(shí)，由/（2x）,得2x<x—l,得％<-1,所以x<—1.

綜上，不等式〃2x）的解集為（-S,T）D（O,1）.

易錯(cuò)點(diǎn)11忽略題目中的限制條件

易錯(cuò)點(diǎn)撥：函數(shù)的應(yīng)用問題中，我們不但要注意函數(shù)的定義域，還要注意實(shí)際意義，否則可能會(huì)得出錯(cuò)誤

的結(jié)果.

23.(23-24高一上?上海?月考)如圖，正方形的邊長為2,E為邊希上的一點(diǎn)，

EB=a,(0<"2).尸為線段瓦)上的一點(diǎn)，F(xiàn)G±BC,垂足為G,FH±CD,垂足為

(1)設(shè)/G=x,求：矩形尸GS的面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式及其定義域.

(2)求：矩形FGCH的面積S的最大值.

2?

【答案】=—(x-l)2+--,?<x<2

2-a2-a

2

⑵當(dāng)0<”1時(shí)，-,當(dāng)1。<2時(shí)，5=2?

2-amax

【解析】(1)如圖，作瓦0，。，交C。于交FG于N,

因?yàn)镋3=a,FG=x,所以DM=2-a,DH=2-x,

由EN_LCD得到EM//FH,所以AEMD-AFHD,

所以簫翁吟七解得加號

4-2r22

所以S=xx--------=---------(x-1)2+-------,a<x<2,

2—u2—Q2—ci

(2)設(shè)S=/(x),由二次函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)0<q<l時(shí),

/(%)在(凡1)上單調(diào)遞增，在(L2)上單調(diào)遞減，

2

所以當(dāng)％=1時(shí)，，皿=-，

2-a

當(dāng)1〈〃<2時(shí)，/⑴在(。,2)上單調(diào)遞減，當(dāng)％時(shí)，5max=2tz,

2

綜上當(dāng)0＜。＜1時(shí)，5=