人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)講義：充分條件與必要條件

充分條件與必要條件

【考綱解讀】

1、理解充分條件，必要條件和充分必要條件的定義；

2、掌握判斷充分條件，必要條件和充分必要條件的基本方法，能夠?qū)o出的問題進(jìn)行準(zhǔn)確

的判斷。

【知識(shí)精講】

一、充分條件，必要條件和充分必要條件的概念:

1、充分條件，必要條件和充分必要條件的定義：

【問題】認(rèn)真觀察，分析下列問題，再回答后面的思考問題：

(1)命題p：x=l,命題q：x2-4x+3=0；

(2)命題p：f(x)=x，命題q：f(x)在(-8,+oo)上是增函數(shù)；

(3)命題p：x為無理數(shù)，命題q：則必為無理數(shù)；

(4)命題p：x>2,命題q：x~>4；

(5)命題p:x?=9,命題q：x=3；

(6)命題p：|x|<1,命題q：%2<1；

(7)命題p：x2+y~=3,命題q：x=l且y=2；

(8)命題p：A={x|l<2x+3<5},命題q：B={x|-2<x<3};

2

(9)命題p：A={x|%>4],命題q：B={x|x>2};

(10)命題p：A={x|X2-3X+2=0}，命題q：B={1,2}.

[思考問題』

(1)問題中不涉及集合問題:

①【問題】的⑴,(2),(4),(5),(6),(7)的共同特征是什么？

②【問題】的(1),(2),(4),(6)中，命題p與命題q之間有什么關(guān)系？

③【問題】的⑴,(2),(4)中，命題p與命題q之間有什么關(guān)系？

④【問題】的(3),(5),(6)中，命題p與命題q之間有什么關(guān)系？

⑤【問題】的(3),(5)中，命題p與命題q之間有什么關(guān)系？

@【問題】的(6)中，命題p與命題q之間有什么關(guān)系？

⑦【問題】的(7)中，命題p與命題q之間有什么關(guān)系？

(2)問題中涉及集合問題：

①【問題】的(8),(9),(10)的共同特征是什么？

②【問題】的(8)中，命題p中的集合A與命題q中的集合B之間有什么關(guān)系？

③【問題】的(8)中，命題p中的集合A與命題q中的集合B之間有什么關(guān)系？

④【問題】的(9)中，命題q中的集合B與命題p中的集合A之間有什么關(guān)系？

⑤【問題】的(9)中，命題q中的集合B是命題p中的集合A之間有什么關(guān)系？

⑥【問題】的(10)中，命題p中的集合A與命題q中的集合B之間有什么關(guān)系？

(1)充分條件的定義：若由命題P可以推出命題q(或命題P中的集合A是命題q中的集

合B的子集)，則稱命題p是命題q的充分條件；

(2)充分不必要條件的定義：若由命題p可以推出命題q,但由命題q不能推出命題p(或

命題P中的集合A是命題q中的集合B的真子集)，則稱命題p是命題q的充分不必要條件;

(3)必要條件的定義：若由命題q可以推出命題p(或命題q中的集合B是命題p中的集

合A的子集)，則稱命題p是命題q的必要條件；

(4)必要不充分條件的定義：若由命題q可以推出命題p,但由命題p不能推出命題q(或

命題q中的集合B是命題p中的集合A的真子集)，則稱命題p是命題q的必要不充分條件;

(5)充分必要條件的定義：若由命題p可以推出命題q,同時(shí)由命題q也能推出命題p(或

命題P中的集合A與命題q中的集合B相等)，則稱命題p是命題q的充分必要條件；

(6)既不充分也不必要條件的定義：若由命題p不能推出命題q,同時(shí)由命題q也不能推

出命題P，則稱命題P是命題q的既不充分也不必要條件；

2、理解充分條件，必要條件和充分必要條件定義時(shí)應(yīng)該注意的問題：

(1)充分不必要條件，必要不充分條件，充分必要條件，既不充分也不必要條件反映了條

件p和結(jié)論q之間的因果關(guān)系，在對(duì)具體問題進(jìn)行判斷時(shí)需要注意如下幾個(gè)問題：①明確問

題的條件和結(jié)論分別是什么；②分別從條件推結(jié)論，結(jié)論推條件；③確定條件是結(jié)論的什么

條件；④要證明命題的條件是充分必要條件，既要證明原命題成立，又要證明其逆命題成立,

這里證明原命題就是證明條件的充分性，證明逆命題就是證明條件的必要性；

(2)理解充分必要條件時(shí)，需要注意它的同義詞語“當(dāng)且僅當(dāng)”，“必須且只需”，“等價(jià)于”,

“反過來也成立”。

二、判斷充分條件，必要條件和充分必要條件的基本方法：

1、判斷充分條件，必要條件和充分必要條件的常用方法：①定義法，②集合關(guān)系法，③

等價(jià)法；

2、判斷充分條件，必要條件和充分必要條件的基本方法：

(1)定義法的基本方法是：①確定命題p是否能夠推出命題q；②確定命題q是否能夠推

出命題p；③根據(jù)充分條件，必要條件和充分必要條件的定義得出結(jié)果；

(2)集合關(guān)系法的基本方法是：①確定命題p涉及的結(jié)合A；②確定命題q涉及的集合B；

③根據(jù)集合A與集合B之間的關(guān)系得出結(jié)果；

(3)等價(jià)法的基本方法是:利用p=>q與—iq=>—,p,q=>p與—ip=>—iq,pOq與—>qO—ip

的等價(jià)關(guān)系判斷命題真假的方法，對(duì)于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般都可以運(yùn)用這種

方法。

【探導(dǎo)考點(diǎn)】

考點(diǎn)1充分條件，必要條件和充分必要條件的判斷：熱點(diǎn)給出命題p,q判斷命題p是命題

q的什么條件；

考點(diǎn)2充分條件，必要條件和充分必要條件的應(yīng)用：熱點(diǎn)已知命題p是命題q的確定條件,

求命題p(或q)中參數(shù)的值(或取值范圍)。

【典例解析】

【典例1］解答下列問題：

］、已知命題p：x>l或x<-3,命題q：5x-6>x2,則->p是—>q的()

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

2、設(shè)p：實(shí)數(shù)x,y滿足x>l且y>l,q：實(shí)數(shù)x,y滿足x+y>2,則p是q的()

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

3、設(shè)U為全集，A,B為集合，則“存在集合C使得A^C,B^OC”是“AHB=0”的()

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

4、設(shè)a,b都是不等于1的正數(shù)，貝。"3">3)>3"是“l(fā)og〃3<log"3”的()

A充分必要條件B充分而不必要條件C必要而不充分條件D既不充分也不必要條件

TT77

5、=是“函數(shù)f(x)=cos(3x-0)的圖像關(guān)于直線x=i對(duì)稱”的()

A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件

6、（理）設(shè)點(diǎn)A,B,C不共線，貝U”而與就的夾角為銳角”是通+衣|>|耳心|"

的（）

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

（文）設(shè)函數(shù)f（x）=cosx+bsinx（b為常數(shù)），則“b=0”是“f（x）為偶函數(shù)”的（）

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

7、若x為實(shí)數(shù)，則“、一WxW20”是“2血—W3”成立的（）

2x

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件

8、已知銳角AABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,則“sinA>sinB”是“tanA〉tanB”的（）

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件

9、設(shè)沅，訪為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)4,使得比=4元”是“玩.歷<0”的（）

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件

10、已知數(shù)列｛%,｝是等比數(shù)列，則“％<的”是“數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列”的（）

A充分不必要條件B充分必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件

11、給定兩個(gè)命題p,q,若1°是q的必要而不充分條件，則p是的（）

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件

12、已知p,q是兩個(gè)命題，那么"p/\q是真命題”是“r°是假命題”的（）

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件

「思考問題1』

（1）【典例1】是充分條件，必要條件，充分必要條件的判斷問題，解答這類問題應(yīng)該理解

充分條件，必要條件，充分必要條件的定義，掌握充分條件，必要條件，充分必要條件的判

斷的基本方法；

（2）充分條件，必要條件，充分必要條件判斷的基本方法有：①定義法，②集合關(guān)系法，

③等價(jià)法；

（3）定義法是直接運(yùn)用充分條件，必要條件，充分必要條件定義進(jìn)行判斷；

（4）集合法只適用于與集合相關(guān)的問題，其基本步驟是：①確定問題中涉及的兩個(gè)集合；

②判斷兩個(gè)集合的關(guān)系；③得出結(jié)果；

（5）等價(jià)法是利用p=>q與一iqn-Ip,q=>p與-,p=>-,q,pOq與一,q。一,p的等價(jià)

關(guān)系判斷命題真假的方法，對(duì)于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般都可以運(yùn)用這種方法。

（練習(xí)1〕解答下列問題：

1、已知p：x+yW-2,q：x,y不都是-1,則p是q的（）

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

1、設(shè)商,1是向量,則“|苕|=3I"是"修+51=1ab|的（）

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

2、設(shè)aeR,則“a>l”是的（）

A充分必要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件

3、設(shè){%,}是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q,則“q<0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n,

<0”的（）

A充分必要條件B充分而不必要條件C必要而不充分條件D既不充分也不必要條件

4、設(shè)p：實(shí)數(shù)x,y滿足（x-l）2+（y-I-W2；q：實(shí)數(shù)x,y滿足y2xT且y21-x且

yWl,貝!Jp是q的（）

A必要而不充分條件B充分而不必要條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

5、已知p：x+yW-2,q：x,y不都是T,貝!Jp是q的（）

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

6、“x>l”是“l(fā)og!（x+2）<0”的（）

2

A充分必要條件B充分而不必要條件C必要而不充分條件D既不充分也不必要條件

7、已知命題p：x2+2x-3>0,命題q：x>a,且「4的一個(gè)充分不必要條件條件是r°,貝!|實(shí)

數(shù)a的取值范圍是（）

Aa>lBa<1Ca>-lDa<-3

【典例2］解答下列問題：

1、已知P={x|尤2_8X-20W0},非空集合5=以|1-mWxWl+m},若xeP是xeS的必要條件,求

實(shí)數(shù)m的取值范圍。

2、已知P={x|--8x-20W0},非空集合SWHi-mVxVl+m},是否存在實(shí)數(shù)m,使xeP是xeS

的充分必要條件？若存在求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

3、已知P={x|X2-8X-20W0},非空集合5=收|1-111&=1+01},若xeP是xeS的必要不充分條

件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

4、己知p：J-x+2>0,q：{x|l-m<x<1+m,m>0},若—>p是「q的必要不充

xx-lOWO一分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

5、已知命題p：a<x<a+l,命題q：x2-4x<0,若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取

值范圍。

6、已知命題p：-4<x-a<4,命題q：（x-2）（3-x）>0,若若—ip是一）q的充分條件，求實(shí)數(shù)a

的取值范圍。

『思考問題2J

（1）【典例2】是充分條件，必要條件和充分必要條件的應(yīng)用問題，解答這類問題應(yīng)該理

解充分條件，必要條件和充分必要條件的定義，掌握充分條件，必要條件和充分必要條件的

判斷的基本方法；

（2）充分條件，必要條件和充分必要條件的應(yīng)用問題中，命題p,命題q一般都涉及到集

合，與集合的子集，真子集密切相關(guān)。理解子集，真子集的定義，掌握子集，真子集的性質(zhì)

是解答這類問題先決條件；

（3）解答充分條件，必要條件和充分必要條件的應(yīng)用問題的基本方法是：①根據(jù)子集（或

真子集）的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到關(guān)于所求實(shí)數(shù)的方程（或方程組）或不等式（或不等式

組）；②方程（或方程組）或不等式（或不等式組），求出所求實(shí)數(shù)的值（或取值范圍）；③

得出問題的解答結(jié)果。

〔練習(xí)2）解答下列問題：

1、已知集合AP={xeR|B={xeR|-l<x<m+l）,若xeB成立的一個(gè)充分不必要

2

條件是xeA,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A{m|m>2}B{m|m<2}C{m|m>2}D{m|-2<m<2}

2、已知命題p：（x+1）2>4,命題q：x>a,且是的充分而不必要條件，則a的取

值范圍是（）

Aa<lBa>-3Ca>lDa<-3

3、若x<m-l或x>m+l是/-2x-3>0的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

4、若“數(shù)列a“=/-22n（neN*）是遞增數(shù)列”為假命題，求實(shí)數(shù)2的取值范圍。

33

5、已知集合AP={y|y=x?—x+1,xe[―,2]},B={x|x+m*'>1},若xeA是xeB的充分

24

條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

6、已知命題p：存在實(shí)數(shù)x使得不等式V+Zax+aWo成立；若命題p是假命題，求實(shí)數(shù)a

的取值范圍。

【雷區(qū)警示】

【典例3]解答下列問題：

1、命題“若x+y是偶數(shù)，則x,y都是偶數(shù)”的否命題是()

A若x+y是偶數(shù)，則x,y都不是偶數(shù)B若x+y是偶數(shù)，則x,y不都是偶數(shù)

C若x+y不是偶數(shù)，則x,y不都是偶數(shù)D若x,y不都是偶數(shù)，則x+y不是偶數(shù)

2、使“x-3>0”成立的一個(gè)必要條件是()

Ax>lBx>4Cx>3Dx<2

『思考問題3J

(1)【典例3】是解答簡(jiǎn)易邏輯問題時(shí)，容易觸碰的雷區(qū)。該類問題的雷區(qū)主要包括：①

忽視否命題與命題的否定之間的關(guān)系，導(dǎo)致解答問題出現(xiàn)錯(cuò)誤；②忽視判斷充分條件，必要

條件和充分必要條件的正確方法，導(dǎo)致解答問題出現(xiàn)錯(cuò)誤；

(2)解答簡(jiǎn)易邏輯問題時(shí)，為避免忽視否命題與命題的否定之間的關(guān)系的雷區(qū)，需要正確

理解否命題和命題否定的定義，注意分辨否命題與命題的否定之間的關(guān)系；

(3)解答簡(jiǎn)易邏輯問題時(shí)，為避免忽視判斷充分條件，必要條件和充分必要條件的正確方

法的雷區(qū)，需要正確理解充分條件，必要條件和充分必要條件的定義，掌握判斷充分條件，

必要條件和充分必要條件的正確方法。

(練習(xí)3)解答下列問題：

1、命題“若x+y是奇數(shù)，則x,y都是奇數(shù)”的否命題是()

A若x+y是奇數(shù)，則x,y都不是奇數(shù)B若x+y是奇數(shù)，則x,y不都是奇數(shù)

C若x+y不是奇數(shù)，則x,y不都是奇數(shù)D若x,y不都是奇數(shù)，則x+y不是奇數(shù)

2、使“x-3<0”成立的一個(gè)充分條件是()

Ax>lBx>4Cx>3Dx<2

【追蹤考試】

【典例4]解答下列問題:

1、（理）己知直線1：mx+y+1-2m=0（（meR）和圓C：X2+y2-2x+4y+l=0,貝U“m=O”

是“圓C上恰有三個(gè)不同點(diǎn)到直線1的距離為1”的（）

A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

（文）已知直線1：mx+y-m=0（（meR）和圓C：X?+y?-2x+4y+l=0,貝！J"m=O"是"直

線1與圓C相切”的（）（成都市高2021級(jí)高三零診）

A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

2、已知直線1,m和平面a,夕，若a，夕，I，a,則“l(fā)，m”是“m,夕”的（）（成

都市高2020級(jí)高三一診）

A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

2

3、已知直線4：x+y+m=0,l2：x+my=0,貝!I"/J//?”是"m=l"的（）（成都市2019

級(jí)高三零診）

A充分不必要條件B必要不充分條件，C充分必要條件D既不充分也不必要條件

4、在等比數(shù)列｛。"｝中￡已知。1>0,則“。2>。3"是“>〃6”的（）（成都市2019

級(jí)高三二診）

A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

5、"k=G是"直線y=kx+2與圓/+y2=i相切”的（）（成都市2021高三零診）

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件

6、若a,夕，/是空間三個(gè)不同的平面，ap|=1,a/=m,/Q=n,則l//m是

n//m的（）（成都市2021高三一診）

A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

『思考問題4」

【典例4】是近幾年高考（或成都市高三診斷考試或成都市高一期末考試）試卷中涉及的充

分條件與必要條件問題，歸結(jié)起來主要包括：①充分條件，必要條件和充分必要條件的判斷;

②充分條件，必要條件和充分必要條件的應(yīng)用等幾種類型；

（2）解答問題的基本方法是：①判斷問題屬于哪一種類型；②根據(jù)該種類型問題的解題思

路和解答方法對(duì)問題實(shí)施解答；③得出問題的解答結(jié)果。

（練習(xí)6）解答下列問題：

TTTT

1、“0=1”是“函數(shù)f（x）=cos（3x-0）的圖像關(guān)于直線x=i對(duì)稱”的（）（2019成都市

高三零診）

A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件

2、已知a,beR,條件甲：a>b>0；條件乙：則甲是乙的（）（2019成都市高

ab

三二診）

A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

3、設(shè)斜率為k且過點(diǎn)P（3,1）的直線與圓（x-3），y2=4相交于A,B兩點(diǎn)，已知p：k=O,

q：|AB|=2A/3o則p是4的（）（2018-2019成都市高二上期調(diào)研考試）

A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件

4、已知銳角AABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,則“sinA>sinB”是“tanA>tanB”的（）

（2018成都市高三一診）

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件

5、若x為實(shí)數(shù)，則“巫WxW20”是“20W王土2W3”成立的（）（2018成都市

2x

[Wj三二診）

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件

充分條件與必要條件

【考綱解讀】

3、理解充分條件，必要條件和充分必要條件的定義；

4、掌握判斷充分條件，必要條件和充分必要條件的基本方法，能夠?qū)o出的問題進(jìn)行準(zhǔn)確

的判斷。

【知識(shí)精講】

一、充分條件，必要條件和充分必要條件的概念：

1、充分條件，必要條件和充分必要條件的定義：

【問題】認(rèn)真觀察，分析下列問題，再回答后面的思考問題：

(1)命題p：x=l,命題q：x2_4x+3=0；

(2)命題p：f(x)=x,命題q：f(x)在(-8,+oo)上是增函數(shù)；

(3)命題p：x為無理數(shù)，命題q：則％2為無理數(shù)；

(4)命題p：x>2,命題q：X2>4；

(5)命題p:尤2=9,命題q：x=3；

(6)命題p：|x|VI,命題q：x2<1；

(7)命題p：%2+y2=3,命題q：x=l且y=2；

(8)命題p：A={x|l<2x+3<5},命題q：B={x|-2<x<3］；

(9)命題p：A={x|x->4},命題q：B={x|x>2}；

(10)命題p：A={x|%2-3x+2=0},命題q：B={1,2}.

『思考問題』

(1)問題中不涉及集合問題:

①【問題】的(1),(2),(4),(5),(6),(7)的共同特征是什么？

②【問題】的(1),(2),(4),(6)中，命題p與命題q之間有什么關(guān)系？

③【問題】的⑴,(2),(4)中，命題p與命題q之間有什么關(guān)系？

④【問題】的(3),(5),(6)中，命題p與命題q之間有什么關(guān)系？

⑤【問題】的(3),(5)中，命題p與命題q之間有什么關(guān)系？

⑥【問題】的(6)中，命題p與命題q之間有什么關(guān)系？

⑦【問題】的(7)中，命題p與命題q之間有什么關(guān)系？

(2)問題中涉及集合問題:

①【問題】的(8),(9),(10)的共同特征是什么？

②【問題】的(8)中,命題P中的集合A與命題q中的集合B之間有什么關(guān)系？

③【問題】的(8)中,命題P中的集合A與命題q中的集合B之間有什么關(guān)系？

④【問題】的(9)中，命題q中的集合B與命題p中的集合A之間有什么關(guān)系？

⑤【問題】的(9)中,命題q中的集合B是命題p中的集合A之間有什么關(guān)系？

⑥【問題】的(10)中，命題p中的集合A與命題q中的集合B之間有什么關(guān)系？

(1)充分條件的定義：若由命題P可以推出命題q(或命題P中的集合A是命題q中的集

合B的子集)，則稱命題p是命題q的充分條件；

(2)充分不必要條件的定義：若由命題p可以推出命題q,但由命題q不能推出命題p(或

命題P中的集合A是命題q中的集合B的真子集)，則稱命題p是命題q的充分不必要條件;

(3)必要條件的定義：若由命題q可以推出命題p(或命題q中的集合B是命題p中的集

合A的子集)，則稱命題p是命題q的必要條件；

(4)必要不充分條件的定義：若由命題q可以推出命題p,但由命題p不能推出命題q(或

命題q中的集合B是命題p中的集合A的真子集)，則稱命題p是命題q的必要不充分條件;

(5)充分必要條件的定義：若由命題p可以推出命題q,同時(shí)由命題q也能推出命題p(或

命題P中的集合A與命題q中的集合B相等)，則稱命題p是命題q的充分必要條件；

(6)既不充分也不必要條件的定義：若由命題p不能推出命題q,同時(shí)由命題q也不能推

出命題P，則稱命題P是命題q的既不充分也不必要條件；

2、理解充分條件，必要條件和充分必要條件定義時(shí)應(yīng)該注意的問題：

(1)充分不必要條件，必要不充分條件，充分必要條件，既不充分也不必要條件反映了條

件p和結(jié)論q之間的因果關(guān)系，在對(duì)具體問題進(jìn)行判斷時(shí)需要注意如下幾個(gè)問題：①明確問

題的條件和結(jié)論分別是什么；②分別從條件推結(jié)論，結(jié)論推條件；③確定條件是結(jié)論的什么

條件；④要證明命題的條件是充分必要條件，既要證明原命題成立，又要證明其逆命題成立,

這里證明原命題就是證明條件的充分性，證明逆命題就是證明條件的必要性；

(2)理解充分必要條件時(shí)，需要注意它的同義詞語“當(dāng)且僅當(dāng)”，“必須且只需”，“等價(jià)于”,

“反過來也成立”。

二、判斷充分條件，必要條件和充分必要條件的基本方法：

1、判斷充分條件，必要條件和充分必要條件的常用方法：①定義法，②集合關(guān)系法，③

等價(jià)法；

2、判斷充分條件，必要條件和充分必要條件的基本方法：

(1)定義法的基本方法是：①確定命題p是否能夠推出命題q；②確定命題q是否能夠推

出命題p；③根據(jù)充分條件，必要條件和充分必要條件的定義得出結(jié)果；

(2)集合關(guān)系法的基本方法是：①確定命題p涉及的結(jié)合A；②確定命題q涉及的集合B；

③根據(jù)集合A與集合B之間的關(guān)系得出結(jié)果；

(3)等價(jià)法的基本方法是:利用p=>q與->qn->p,qnp與-1pn-,q,pOq與-lqO-,p

的等價(jià)關(guān)系判斷命題真假的方法，對(duì)于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般都可以運(yùn)用這種

方法。

【探導(dǎo)考點(diǎn)】

考點(diǎn)1充分條件，必要條件和充分必要條件的判斷：熱點(diǎn)給出命題p,q判斷命題p是命題

q的什么條件；

考點(diǎn)2充分條件，必要條件和充分必要條件的應(yīng)用：熱點(diǎn)已知命題p是命題q的確定條件,

求命題p(或q)中參數(shù)的值(或取值范圍)。

【典例解析】

【典例1］解答下列問題：

1、已知命題p：x>l或x<-3,命題q：5x~6>x2,則—>p是~'q的()

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①充分條件，必要條件，充分必要條件的定義與性質(zhì)；②判斷充分條件，必要條

件，充分必要條件的基本方法。

【解題思路】根據(jù)充分條件，必要條件，充分必要條件的性質(zhì)，運(yùn)用判斷充分條件，必要條

件，充分必要條件的基本方法，結(jié)合問題條件對(duì)問題進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答]'?'命題P：x>l或x<-3,，->p：-3Vx41,'??命題q：5x-6>x2,O命題q：

2<x<3,—iq；xV2或xN3,丁R3,1卜（-00>2]U[3,+00—ip是一iq的充分不必

要條件，=>A正確，二選A。

2、設(shè)p：實(shí)數(shù)x,y滿足x>l且yx>l,q：實(shí)數(shù)x,y滿足x+y>2,則p是q的（）

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①充分條件，必要條件，充分必要條件的定義與性質(zhì)；②判斷充分條件，必要條

件，充分必要條件的基本方法。

【解題思路】根據(jù)充分條件，必要條件，充分必要條件的性質(zhì)，運(yùn)用判斷充分條件，必要條

件，充分必要條件的基本方法，結(jié)合問題條件對(duì)問題進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答]‘?'實(shí)數(shù)x,y滿足x>l且yx>l,y>l,=>x+y>2,.,.由p能夠推出q,1,當(dāng)

x=0,y=3時(shí)，x+y=0+3=3>2,由q不一定能推出p,p是q的充分不必要條件，=>A正確，

選Ao

3、設(shè)U為全集，A,B為集合，則“存在集合C使得A^C,B^GC”是“Ap|B=0”的（）

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①充分條件，必要條件，充分必要條件的定義與性質(zhì)；②判斷充分條件，必要條

件，充分必要條件的基本方法。

【解題思路】根據(jù)充分條件，必要條件，充分必要條件的性質(zhì)，運(yùn)用判斷充分條件，必要條

件，充分必要條件的基本方法，結(jié)合問題條件對(duì)問題進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】：存在集合C使得A^C,B^CuC,；.AnB=0,.??當(dāng)AnB=0時(shí)，一定存

在集合C,使得A^C,BNC°C,；.“存在集合C使得A^C,B^CuC”是“AnB=0”的

充分必要條件，nc正確，，選C。

4、設(shè)a,b都是不等于1的正數(shù)，貝U"3〃>3">3”是“l(fā)og苕vlog””的()

A充分必要條件B充分而不必要條件C必要而不充分條件D既不充分也不必要條件

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①充分條件，必要條件，充分必要條件的定義與性質(zhì)；②判斷充分條件，必要條

件，充分必要條件的基本方法。

【解題思路】根據(jù)充分條件，必要條件，充分必要條件的性質(zhì)，運(yùn)用判斷充分條件，必要條

件，充分必要條件的基本方法，結(jié)合問題條件對(duì)問題進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】3">3">3,nlog^vlog”，???當(dāng)log^vlog”，a=；>b=；時(shí)，

3>3。>3",??.“3“>31>3”是“l(fā)oga3<log53”的充分不必要條件,nB正確，.?.選B,

JTTT

5、=是“函數(shù)f(x)=cos(3x-0)的圖像關(guān)于直線x=i對(duì)稱”的()

A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①充分條件，必要條件，充分必要條件的定義與性質(zhì)；②判斷充分條件，必要條

件，充分必要條件的基本方法。

【解題思路】運(yùn)用判斷充分條件，必要條件，充分必要條件的基本方法，結(jié)合問題條件對(duì)問

題進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。

1兀兀

【詳細(xì)解答】：(p=--,函數(shù)f(x)=cos(3x-0)=cos(3x+—),n3x+—=k7T,nx=

4443

-T-T(kez),當(dāng)k=l時(shí)，xTT=T2T=T2C,.?.由0=T-C2,能夠推出函數(shù)f(x)=cos(3x-0)的圖

1231244

像關(guān)于直線x=：7/對(duì)稱；???函數(shù)f(x)=cos(3x-0)的圖像關(guān)于直線*=7/:對(duì)稱，.?.3x：7/-0=

37r37rTI

k/r,(p-—--(keZ),只有當(dāng)k=l時(shí)，(p=—^-?=-了，...由函數(shù)f(x)=cos(3x-0)

rrrr

的圖像關(guān)于直線x=i對(duì)稱，不一定能推出0=1，nA正確，，選A。

6、(理)設(shè)點(diǎn)A,B,C不共線，貝U”而與就的夾角為銳角”是，麗+衣|>|敬

的()

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

(文)設(shè)函數(shù)f(x)=cosx+bsinx(b為常數(shù))，則“b=0”是“f(x)為偶函數(shù)”的()

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①充分條件，必要條件，充分必要條件的定義與性質(zhì)；②判斷充分條件，必要條

件，充分必要條件的基本方法。

【解題思路】(1)運(yùn)用判斷充分條件，必要條件，充分必要條件的基本方法，結(jié)合問題條件

對(duì)問題進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)；(2)運(yùn)用判斷充分條件，必要條件，充分必要條件的基本方

法，結(jié)合問題條件對(duì)問題進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】（1）如圖，?.?通+方心=/，BC=ACA

-AB,=>\BC\=\AC-AB\,當(dāng)血與飛的夾角為銳角時(shí)，/\

AB+AC|2=|AB|2+|AC|2+2AB.AC>|AB|2+|AC|2B/\C

-2AB.AC=AB-AC|2=|BC|2,n|通+衣|〉|反|,.,.由通與恁的夾角為銳角,

能夠推出I通+正|〉|豆亍|；:當(dāng)|通+恁|〉|月心|時(shí)，BC\2=\AB-AC\2=\AB\2+

|AC|2-2AB.AC,IAB+AC\2=\AB\2+\AC\2+2AB.AC,/.|AB|2+|AC|2+2AB

.AC>|AB|2+|AC|2-2AB.AC,^>4AB.AC>0,n血與衣的夾角為銳角，nC

正確，，選C；(2)當(dāng)b=0時(shí)，:f(x)=cosx+bsinx=cosx是偶函數(shù)，.,.由b=0能夠推出

f(x)為偶函數(shù)；當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)，f(x)=cosx+bsinx=A/1+Z?2sin(x+0)(其中tan0二

]7171\

—)是偶函數(shù)，/.x+(p=—+x,=(p=一，=>tan0=一為正無窮大，=>b=0,.,.由

b22b

f(x)為偶函數(shù)能夠推出b=0,=>C正確，，選C。

7、若x為實(shí)數(shù)，則“受是“2&W匚工W3”成立的()

2%

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①充分條件，必要條件，充分必要條件的定義與性質(zhì)；②判斷充分條件，必要條

件，充分必要條件的基本方法。

【解題思路】運(yùn)用判斷充分條件，必要條件，充分必要條件的基本方法，結(jié)合問題條件對(duì)問

題進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】當(dāng)正時(shí)，.??￡^=X+2?2、AJ=20,.?.由巫WxW2夜

2xxvx2

不能推出2&?3；當(dāng)2點(diǎn)?3時(shí)，IX。-2垃x+2學(xué)。且、2—3x+2

XXXX

<0,^1<X<2,.-.Eis2V2<-^2+W23能夠推出士■WxW2夜，nB正確，，選B。

x2

8、己知銳角AABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,則“sinA>sinB”是“tanA>tanB”的（）

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①充分條件，必要條件，充分必要條件的定義與性質(zhì)；②判斷充分條件，必要條

件，充分必要條件的基本方法。

【解題思路】運(yùn)用判斷充分條件，必要條件，充分必要條件的基本方法，結(jié)合問題條件對(duì)問

題進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】當(dāng)銳角AABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,sinA>sinB時(shí)，能夠推出tanA>

tanB；當(dāng)銳角AABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,anA>tanB時(shí)，也能夠推出sinA>sinB,

=>c正確，.?.選c。

9、設(shè)海，為為非零向量，則''存在負(fù)數(shù)4,使得沅=4為”是“困.為<0”的（）

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①充分條件，必要條件，充分必要條件的定義與性質(zhì)；②判斷充分條件，必要條

件，充分必要條件的基本方法。

【解題思路】運(yùn)用判斷充分條件，必要條件，充分必要條件的基本方法，結(jié)合問題條件對(duì)問

題進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】當(dāng)成，為為非零向量，存在負(fù)數(shù)/I,使得比=4為時(shí)，；m.n=\m\.\n\cos7r<0,

由沅，為為非零向量，存在負(fù)數(shù)/I,使得比=4為能夠推出沅.為<0；當(dāng)沅.為<0時(shí)，

只能推出非零向量灰，力的夾角為鈍角，不一定能推出存在負(fù)數(shù)2,使得玩=4萬，.?.由

困.為<0不一定能推出慶，為為非零向量，存在負(fù)數(shù)2,使得沅=4萬，nA正確，，選

Ao

10、已知數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，貝IJ是“數(shù)列｛%,｝為遞增數(shù)列”的（）

A充分不必要條件B充分必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①充分條件，必要條件，充分必要條件的定義與性質(zhì)；②判斷充分條件，必要條

件，充分必要條件的基本方法。

【解題思路】運(yùn)用判斷充分條件，必要條件，充分必要條件的基本方法，結(jié)合問題條件對(duì)問

題進(jìn)行判斷就可得出選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】當(dāng)數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，為〈的時(shí)，：。2=。內(nèi)，，%＜。內(nèi)，nq〈i或

q〉i,由%＜與不能推出數(shù)列｛｝為遞增數(shù)列；當(dāng)數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，數(shù)列｛an｝

為遞增數(shù)列時(shí)，能夠推出％＜的，nc正確，，選c。

11、給定兩個(gè)命題p,q,若是q的必要而不充分條件，則p是「4的（）

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①命題的定義與性質(zhì)；②判斷命題真假的基本方法；③復(fù)合命題的定義與性質(zhì)；

④判斷復(fù)合命題真假的基本方法；⑤充分條件，必要條件，充分必要條件的定義與性質(zhì)；⑥

判斷充分條件，必要條件，充分必要條件的基本方法。

【解題思路】運(yùn)用判斷復(fù)合命題真假的基本方法，結(jié)合問題條件對(duì)命題進(jìn)行判斷就可得出選

項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】??.命題P，q滿足「°是q的必要而不充分條件，，由「°不能推出q,由q能

夠推出［p,=＞由p能夠推出「q,由「q不能推出p,p是「4的充分不必要條件，=＞A

正確，.,.選A。

12、q是兩個(gè)命題，那么"p/\q是真命題”是“r°是假命題”的（）

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分又不必要條件

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①命題的定義與性質(zhì)；②判斷命題真假的基本方法；③復(fù)合命題的定義與性質(zhì)；

④判斷復(fù)合命題真假的基本方法；⑤充分條件，必要條件，充分必要條件的定義與性質(zhì)；⑥

判斷充分條件，必要條件，充分必要條件的基本方法。

【解題思路】根據(jù)命題，復(fù)合命題和充分條件，必要條件與充分必要條件的性質(zhì)，運(yùn)用判斷

命題，復(fù)合命題真假和充分條件，必要條件與充分必要條件的基本方法，結(jié)合問題條件判斷

pAq是真命題”是“rp是假命題”的什么條件，就可得出選項(xiàng)。

【詳細(xì)解答】.；p/Kq是真命題，.?.命題p,q都是真命題，n'p是假命題，“pnq是

真命題”是“r。是假命題”的充分條件，是假命題，，命題p是真命題，?.?當(dāng)命題

q是假命題時(shí)，命題p^q是假命題，,“p^q是真命題”不是“r0是假命題”的必要條

件，綜上所述，“p^q是真命題”是是假命題”的充分不必要條件，nA正確，，選

Ao

『思考問題1」

（1）【典例1】是充分條件，必要條件，充分必要條件的判斷問題，解答這類問題應(yīng)該理解

充分條件，必要條件，充分必要條件的定義，掌握充分條件，必要條件，充分必要條件的判

斷的基本方法；

（2）充分條件，必要條件，充分必要條件判斷的基本方法有：①定義法，②集合關(guān)系法，

③等價(jià)法；

（3）定義法是直接運(yùn)用充分條件，必要條件，充分必要條件定義進(jìn)行判斷；

（4）集合法只適用于與集合相關(guān)的問題，其基本步驟是：①確定問題中涉及的兩個(gè)集合；

②判斷兩個(gè)集合的關(guān)系；③得出結(jié)果；

（5）等價(jià)法是利用p=>q與一iqn-Ip,q=>p與-,p=>-,q,pOq與一,qO->p的等價(jià)

關(guān)系判斷命題真假的方法，對(duì)于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般都可以運(yùn)用這種方法。

（練習(xí)1）解答下列問題：

1、設(shè)G,B是向量，則=I"是“"+5hla-b|的（）（答案：B）

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

2、設(shè)aeR,貝ij"a>l”是“/>1”的（）（答案：A）

A充分必要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件

3、設(shè)｛4｝是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q,則“q<0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n,

<0”的（）（答案：C）

A充分必要條件B充分而不必要條件C必要而不充分條件D既不充分也不必要條件

4、設(shè)p：實(shí)數(shù)x,y滿足(x-l)2+(y-I)?W2；q：實(shí)數(shù)x,y滿足yNxT且y2l-x且

yWl,則p是口的（）（答案：A）

A必要而不充分條件B充分而不必要條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

5、已知p：x+yW-2,q：x,y不都是T,則p是q的（）（答案：A）

A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件

6、“x>l”是“l(fā)ogj（x+2）<0”的（）（答案：A）

2

A充分必要條件B充分而不必要條件C必要而不充分條件D既不充分也不必要條件

7、已知命題p：x2+2x-3>0,命題q：x>a,且「q的一個(gè)充分不必要條件條件是r則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是（）（答案：A）

Aa>lBa<1Ca>-lDa<-3

【典例2］解答下列問題：

1、已知P={x|X2-8X-20V0},非空集合5=31-mWxWl+m},若xeP是xeS的必要條件，求

實(shí)數(shù)m的取值范圍。

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①充分條件，必要條件，充分必要條件的定義與性質(zhì)；②判斷充分條件，必要條

件，充分必要條件的基本方法。

【解題思路】根據(jù)充分條件，必要條件，充分必要條件的性質(zhì)，運(yùn)用判斷充分條件，必要條

件，充分必要條件的基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于m的不等式組，求解不等式組就可求

出實(shí)數(shù)m的取值范圍。

【詳細(xì)解答】P={x|x2-8x-20<0}={xI-2<x<10},非空集合S={x|l-m<x<l+m），xeP是xeS

的必要條件，，S7P,=>l-m41+m①，l-mN-2②，l+m410③，聯(lián)立①②③解得：0<m<3,

.?.若xeP是xeS的必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是［0,3］。

2、已知P=f1|/-8X-20V0},非空集合SMx|l-mVxVl+m},是否存在實(shí)數(shù)m,使xeP是xeS

的充分必要條件？若存在求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

【解析】

【知識(shí)點(diǎn)】①充分條件，必要條件，充分必要條件的定義與性質(zhì)；②判斷充分條件，必要條

件，充分必要條件的基本方法。

【解題思路】根據(jù)充分條件，必要條件，充分必要條件的性質(zhì)，運(yùn)用判斷充分條件，必要條

件，充分必要條件的基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于m的方程組，求解方程組就可求出實(shí)

數(shù)m的值。

【詳細(xì)解答】設(shè)存在實(shí)數(shù)m,使xeP是xeS的充分必要條件,VP={x|x2-8x-20<0}

制X|-2WXV10},非空集合SYx|l-mVxVl+m},xeP是xeS的充分必要條件，.1S7P,n

l-m41+m①，l-m=-2②，l+m=l()③，聯(lián)立①②③可知，這樣的實(shí)數(shù)m不存在，，不存在實(shí)

數(shù)m,使xeP是xeS的充分必要條件。

3、已知P={x|X2-8X-2040},非空集合S={x|l-mVxVl+m},若xe「P是xe「S的必要不充

分