三角恒等變換（7題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）

專題18三角恒等變換7題型分類

彩題如工總

題型1:兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的應(yīng)用

題型7：三角恒等變換的綜合應(yīng)用

題型2：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的逆用與變形

題型6：給值求角

專題18三角恒等變換7

題型分類題型3：角的變換問題

題型5：給值求值」/

題型4：給角求值

彩和正寶庫

一、兩角和與差的正余弦與正切

(1)sin(6Z±/?)=sinacosp±cosasinp；

(2)cos(a±0=cos?cosft.sinorsin0；

tana±tan/3

③tan(a±/?)=

1.tanatan0

注：兩角和與差正切公式變形

tani±tan/=tan(cr±0(1tanatan/3)；

tanetan/——.c+tan/JancTan/r

tan(cr+0)tan(cr-p)

二、二倍角公式

(1)sin2a=2sinacosa；

②cos2a=cos26Z—sin2a=2cos2a—1=1-2sin2a;

2tana

③tan2a=

l-tan2?

三、降次(幕)公式

.1.八.21-cos2a1+cos2a

sinacosa=—sm2a;sina=;cos2a

注：1+cosla=2cos2a；1-cos2a=2sin2a；1+sin2。=(sina+cosa)2；1-sin=(sina-cosa)2.

四、半角公式

1-COS6Za,/1+COS6Z

sin—=±心萬=±《=~

22

asintz1-cosa

tan——=

21+cosasina

五、輔助角公式

m.a.b

asina+bcosa=［a1+b2sin(a+。)（其中'八高，cos(b=-,，tan0=-)

y/a2+b2a>

六、其他常用變式

.c2sincrcos?2tana八cos2er-sin2er1-tan2aasina1-cosa

sinla=---------=-------；cos2a=^―：------~=------~;tan—=-------=—；----

sina+cosa1+tanasina+cosa1+tana21+cosasina

七、拆分角問題：①；a=(a+/3)-/3-②a=齊一(分-0；③a=；［(［+尸)+(“-/?)］；

④夕=；［(a+0-(a-尸)］；⑤(+a=5-￡-a).

注意：特殊的角也看成已知角,如a=｝（?a）.

彩他題秘籍

（一）

兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

1.兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣，可用a,"的三角函數(shù)表示a±￡的三角函數(shù)，在使

用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的.

2.運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形.公式的逆用和變

形應(yīng)用更能開拓思路，增強從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.

題型1：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的應(yīng)用

1-1.(2024高三下?廣東廣州?階段練習(xí))sine=亭，則tan(a—Q)=()

A.2A/2-1B.2A/2-3

C.2V2+3D.3-2萬

717134

1-2.(2024.安徽淮南.二模)已知O<a<5,5<A<7i,sina=g,cos(a+0=—y,貝ljsin〃=()

11

1-3.（2024高一上?廣東廣州?期末）已知cosa+cos/?=5,sina—sin夕=§,則cos（a+/7）的值為（

A13n13「59-59

A.-----B.—C.-----D.—

72727272

題型2:兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的逆用與變形

2-1.（2024?山東泰安?二模）已知sina+gcosa=2^,則sin],—2“=.

2-2.（2024高三上?山東青島?期末）已知sina+sin/7=l,cosa+cos￡=,貝|cos（a-/7）=.

23（2024高三?全國?對口高考）181115。+電130。+1和115。43113。。的值是.

2-4.（2024高一.全國?課后作業(yè)）tan50。-tan20。-走tan50。tan20。=.

3

2-5.（2024高三下?河南平頂山?階段練習(xí)）若sin（a+/7）+指cos（a+m=4sin[a+|Jcos夕，則（）

A.tan（（z+Q）=-如B.tan（?+y0）=V3

C.tan（?->0）=->/3D.tan（a-/?）=A/3

彩健題秘籍

（二）

角的變換問題

常用的拆角、配角技巧：2a=（a+月）+（a-0；?=（?+/?）-/?=（?-/?）+/?；

夕=￡^-￡^=（。+2尸）-（。+尸）；a-^=（a-z）+（z-/J）.15°=45°-30°;￡等?

題型3:角的變換問題

3-1.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）設(shè)tan[c-則tan（a+；j等于（）

A.-2B.2C.-4D.4

口（兀、3則sin[e+g]=（）

3-2.（2024.四川.三模）若a為銳角，HeosaH=—,

（12J5,

A.一還「A/2D.述

B.一叵

10101010

3-3.（2024高一上.福建福州?期末）已知sinL+』="e（-EF〕，貝hinc的值為（）

B3+4囪3-2班八3+2囪

A3-473r

10101010

已知'n\cs8一!〕=11"月/0,￡],則cos(a+6)

3-4.（2024高一上?黑龍江哈爾濱?期末）cos]a-\——=?°G

、6Jo713o7

()

16335663

A.——B.——C.D.——

65656565

彩得題祕籍

給角求值

（1）給角求值問題求解的關(guān)鍵在于“變角"，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法.

（2）給角求值問題的一般步驟

①化簡條件式子或待求式子；

②觀察條件與所求之間的聯(lián)系，從函數(shù)名稱及角入手；

③將已知條件代入所求式子，化簡求值.

題型4:給角求值

1-A/3tanlO

4-1.（2024高三上?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）求值:)

A/1-COS20

A.1B.72C.6D.20

cos70°-cos20°_

4-2.（2024?廣東湛江?一模）

cos65°

4-3.（2024?重慶.模擬預(yù)測）式子2sinl8（3cos^-sin9一」化簡的結(jié)果為（）

cos6+A/3sin6

A.gB.1C.2sin9D.2

4-4.(2024高一下?江蘇蘇州?期中)計算：E‘in40-sin80=()

cos40+cos60

A.-立B.--C.—D.；

2222

給值求值

給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角"，使其角相同

或具有某種關(guān)系，解題的基本方法是：①將待求式用已知三角函數(shù)表示；②將已知條件轉(zhuǎn)化而推出結(jié)論，

其中"湊角法”是解此類問題的常用技巧，解題時首先要分析已知條件和結(jié)論中各種角之間的相互關(guān)系，并根

據(jù)這些關(guān)系來選擇公式.

題型5:給值求值

5-1.（2024?全國）已知ee,tana=2,則cos（a—?=.

5-2.（2024高三上.河北?期末）已知tang=2,則廣匕-產(chǎn)，的值為.

5-3.（2024?山東濟寧?三模）己知cos?1?-則sin2cz=.

5-4.（2024?江西?模擬預(yù)測）己知sin[+：|=￥，則cos（2a-gj=.

5-5.（2024?全國?模擬預(yù)測）若"分電]二]，貝1.

彩偏題祕籍一

（五）

給值求角

給值求角：解此類問題的基本方法是：先求出"所求角"的某一三角函數(shù)值，再確定"所求角”的范圍，最后借

助三角函數(shù)圖像、誘導(dǎo)公式求角.

題型6:給值求角

6-1.（2024高三上?上海嘉定?期中）若d夕為銳角，sinc=孚,cos（c+m=-《，則角夕=.

41Jr57r

6-2.（2024高三上.黑龍江哈爾濱.階段練習(xí)）已知cos2a=1,tan￡=-―，其中—</3<n.

⑴求sin[+；）的值;

（2）求2tz的值.

6-3.（2024高一上?福建三明?階段練習(xí)）已知ae（0,7t）,6，sina-cosa=,sin（a+/）=：.

⑴求tana；

(2)求角P.

6-4.(2024高三上?江西撫州?階段練習(xí))已知cosc=W，sin￡=*R,且則a+￡

的值是.

遂他題秘籍一

(A)

三角恒等變換的綜合應(yīng)用

(1)進行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變

形使用.

(2)形如y=asinx+Z2cosx化為y=病行'sin(x+0)，可進一步研究函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值與對

稱性.

題型7:三角恒等變換的綜合應(yīng)用

7-1.(2024.湖南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(x)=sin2尤+sinxcosx-l.

(1)求/'(X)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵當(dāng)xe[og]時，求的最大值，并求當(dāng)取得最大值時x的值.

7-2.(2024高三上?天津?期中)已知函數(shù)〃尤)=2cos葭尤sin[￡x-咚,o>0,圖象的兩條相鄰對

稱軸之間的距離為

2

⑴求〃”的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若脛)=-：,且牝芻，求sin?-當(dāng)?shù)闹?

25666

7-3.(2024高三?全國?對口高考)已知〃力=$出20尤+45吊28-；"€艮0>0).若〃x)的最小正周期

為27t.

⑴求“X)的表達式和/(X)的遞增區(qū)間；

TT

(2)求/(x)在區(qū)間一7不上的最大值和最小值.

OO

7-4.（2024?浙江）設(shè)函數(shù)/（x）=sin%+cosx（X￡R）.

（1）求函數(shù)y=+的最小正周期；

（2）求函數(shù)y=在0,|上的最大值.

75（2024高三上?天津和平?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）=2以cos?1^-+-2sin（7i+x）cosx-y/3?

⑴求了（另的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間：

...（兀）1437r、._,,..

（2）右/r%一27~，兀，求sin2x0的值.

IO7ZD4

煉習(xí)與稷升

一、單選題

兀"+胃，則sin(2i+：)=()

1.(2024?安徽安慶?二模)已知sinasin(1-a)=3cosasin

A.-1B.—走D.2

JC-2

22

已知sin8+cos(8一0==1,則cos(g-1J=()

2.（2024高三上?福建三明?期末）

A.立B.一旦D.-逅

3333

3.（2024?安徽亳州?模擬預(yù)測）已知sina=|,ae]',j,.sin(a+￡),/八、

右1。-4,則tan(a+月)—()

cosp

167162

A.B.—C.—D.-

7873

4.（2024?黑龍江齊齊哈爾?三模）已知a一尸=§,tana一tan/?=373,貝!Jcos(a+￡)的值為(

1111

A.JB.-C.——D.——

2346

5.（2024高三上.上海靜安?期中）已知a、尸是不同的兩個銳角，則下列各式中一定不成立的是（

A.sin(a+/)+2cosisin，+sin(a-，)>0

B.cos(a+/)+2sinasin/7+cos(a-")<0

C.cos(<z+^)-2sinorsin/3+cos(<z->0)>0

D.sin(cr+/)—2cosasin力+sin(a—萬)<0

6.（2024高三.北京海淀.階段練習(xí)）已知。為坐標(biāo)原點，點

P{(cosa,sin?),P2(cos/?,-sin/3),P3(cos(a+/3\sin(?+^)),A(l,0),給出下列四個結(jié)論：①口耳=|。修；②

③0AoR=OP\OP「,@OAOF[=OR,OP.其中正確結(jié)論的序號是()

|A^|=|A^|;i

A.①②B.①④C.①③D.③④

o

7.（2024?安徽安慶?二模）已知第二象限角a滿足sin(兀+a)=--，則sin24一2sin(a+4)cos(?！?)的值為

()

A.-14石D.校

B.C.-

9999

已知tan（6?+：j

8.（2024?河南?模擬預(yù)測）=-3,貝Ucos20=()

A.13

B.C.1D.-1

55

sin(a+乃)+cos(萬一a)

9.（2024高三上?山西忻州?階段練習(xí)）已矢□tan|a+f|=3,貝!J(7i\.(3n\()

I4Jcosci----+sin--------cc

22

A.--B.C.-3D.3

33

10.（2024?江西?二模）已知sin]X-.：）=去，則COS（2"T

=()

A2班-3B2m±303A/3+4D3A/3±4

1010-1010

sin(a+4)=1^,則cos笈=()

11.（2024?山西晉中?三模）已知a,夕為銳角，且tana=2,

A..巫B.3所「TToD.叵

.-------

10101010

COS,+W=坐,貝!Jcos(2(z—0=(

12.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知a,￡40,兀），+=,)

AA口

5/36r5百D.B

9393

13.（2024?廣東汕頭?二模）若Xsinl60+tan20=g,則實數(shù)4的值為（

A.4B.46C.273

14.（2024高三?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）sinl0°+—tanl0°=()

4

正

A.1B..C.ID,

4422

已知XGI0,—I,cosx+sinx川()

15.（2024高一下?湖南衡陽?階段練習(xí)）,.IdU)，火!J])

I2I2jcosx-sinx

7171Tl兀

A.y-x=—B.2y-x=—C.y-x=—D.2y-x=—

4422

16.（2024?全國）已知a為銳角，cosa=匕且，則sin4=（）.

42

A3-^5R-1+^5p3-^5口-1+際

8844

17.（2024?全國）已知sin（a—萬）=Lcosasin^=L則cos（2a+27?）=（）.

18.（2024?全國）若sin（a+〃）+cos（a+/?）=2忘cos]a+（卜in/7,貝lj（）

A.tan（a-尸）=1B.tan（a+P）=l

C.tan（a-/?）=-lD.tan（cr+/?）=-l

19.（2024高三上?江西贛州?期末）已知函數(shù)"x）=sin2x+acos2x,xe^O,^-的最小值為〃，則實數(shù)〃的值

為（）

A.-1B.—3C?3D.1

33

20.（2024高三上.山東.階段練習(xí)）已知匹［。,：），sin6zcos^+（7^-sin^+<7^cos6Z=-|,且

3sin4=sin（2a+4）,則戊+分的值為（）

71c兀

A.—cD.-

12-73

（2024.廣東廣州.一模）若。,萬弋/

21.，且（1-cos20（l+sin0=sin2acos/5,則下列結(jié)論正確的是（）

57r

A.2a+B="B.2a-/=子

-c7兀

C.OL（3—4D.a—B=%

22.（2024高三上?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）若sinlO°=（gtanl0°-l）sin（a-20°）,貝|sin（2a+50°）=（）

177

A.B.C.D.

8888

23.（2024高一上?浙江寧波?期末）已知85（140。一二）+51口（110。+0）=5111（130。一二），求tana=（）

A.是B.C.6D.—代

33

24.（2024?重慶?模擬預(yù)測）已知角。，/滿足tana=；,sin尸=2cos（a+尸）sina,貝！Jtan/=（）.

A.-B.gC.1D.2

42

25.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知a,P,2滿足a-6一7=?！非襰ina=2cos/cosy,tan/?tany=-3,貝!!tana

的值為（）

A.12B.--CD.2

2,2

已知sine+sin1+])=L,則sin(V卜（）

26.(2024.全國)

R幣2D.立~

A.；C

23，32

27.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知角??滿足嗎=-5,sin（a+0=；,則sin（6…A）=（）

tan夕3

c.1

ABD

-1-15-I

:a-d)=2—則tanJ5等于（

28.（2024高三上?陜西?階段練習(xí)）已知tan

A.-2+若B.2+6C.-2-43D.1

4sin40°cos40°

29.（2。24高三上?黑龍江牡丹江?期末）cos2QO-1-)

A.1B.五c.73D.2

30.(2024高三上?江蘇?階段練習(xí))^tan(^-a\=C°Sa+2sina,則tan2c=()

(4J2cosa-sma

11

A.—B.3C.—D.—3

33

31.(2024高三下?上海金山?期中)若tan6=-2,則即,0+sm2")=()

sin8+cos6

?62「2

5555

cos40°

32.(2024高一下?湖北荊州?期中)化簡：一—====()

cos25V1l-cos50

A.5/2B.2A/2C.6D.V3-1

33.(2024高二上?江西景德鎮(zhèn)?期中)已知sina=3E,cos(a-￡)=巫，>0<a<—,0<^<—,則

7v7544

sin/?=()

A9715RllVIorV15nVio

35353535

34.(2024?江蘇無錫.三模)已知tan4=&^,tan(a+⑶=*吧，若￡/0,父，則尸=()

1-sincrcoscrI2)

35.（2024?全國?模擬預(yù)測）若/三=2,則l+2sin26+3cos：e=（）

l-cos<9—2sin26+3cos2。

4

A.5B.-C.2D.4

3

36.（2024高三上?河南周口?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃%）=COS4（GX+G）-sin43x+o）（G>0,0<0<7i）的部分

圖象如圖所示，則函數(shù)g（%）=4/（x）-『工-巳的零點個數(shù)為（）

37.（2024.全國.模擬預(yù)測）已知tanx=—竺，則cos2x=（）

sinx+5

1725

cD

A.3-B.-93--9-

38.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）若cosa+sintz=g,則tan2[c-；]=（）

A.0B.-C.3D.7

2

二、多選題

39.（2024?全國）已知0為坐標(biāo)原點，點q（cos（z,sina）,^（cos^-sin/J）,^（cos（tt+/?）,sin（a+y0））,A（1,0）,

則（）

A.|。耳=|。臼B.|訓(xùn)=|叫

c.OAOP3=ORO?D.OAOP^OP^O^

40.（河北省石家莊市部分重點高中2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯通過研究

正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用2sinl8表示.下列結(jié)果等于黃

金分割率的值的是（）

sin36

A.sinl02+V3cosl02

sinl08

2tan9cosl8

D.2cos78+2cos42

l-tan29

41.（2024高三上?廣東?期末）已知函數(shù)jf（x）=cos4x+2j5sinxcos%-sin'x,則下列說法正確的是（）

A.最小正周期為萬

B.函數(shù)〃x)在區(qū)間(-兀，兀)內(nèi)有6個零點

C.“X)的圖象關(guān)于點白,0對稱

D.將的圖象向左平移;個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)在［(V］上的最大值為g(O),貝氣

的最大值為亍

三、填空題

42.(2024?湖北荊門?模擬預(yù)測)若5由［2。+弓］+802畿=—括，則tana=.

43.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知sin(a+mj=(,則sin［2a-器〔=

44.(2024?新疆烏魯木齊?二模)已知0sin(a+4—：］=2cosacos4—cos(a—4)，貝l］tan(a+/5)=

a.a

cos—sm—

45.(2024高三上.四川?期中)寫出一個使等式一產(chǎn)獲+“2=2成立的a的值為.

cos(—+-)sin(—+-)

2o26

l+2cosa=2cosB

46.(2024.北京海淀.模擬預(yù)測)若實數(shù)Va,尸滿足方程組M+2sma=2sm"則用的一個值是

47.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知工＜々＜也，4A/3sin^sin|j+4sin^cos||+tan-^-=73,則

6315v3715^3J15

a=.

48.(2024高一下?上海浦東新?階段練習(xí))已知sin(K卜-］,sin苧"=嚕，且ae［衿］，尸?恒

求a-4的值為—.

49.(2024高―■下?江蘇揚州?期中)已知sin(a+2尸),cos(2a+^)=-^,ae^,^,匹［-+。］,

貝l］a一6=.

50.（2024高三上?陜西商洛?期中）已知a,4滿足（1+tanaXl—tan/?）=2,貝l］/—a=

51.（2024IWJ三上?江蘇南通?期中）在.ABC中，tanA+tanB+V2=A/2tanAtanB,貝!Jtan2C=.

52.(2024高三上?廣東廣州?開學(xué)考試)若角。的終邊經(jīng)過點P(sin70。,cos70。)，且

tana+tan2a+mtana-tan2a=^3，貝U實數(shù)機=.

53.(2024高一?全國?課后作業(yè))若AB是AABC的內(nèi)角，且(l+tanA)(l+tan5)=2,則A+3等于.

54.(2024高一上?江蘇泰州?期末)若a,夕為銳角，且￡+萬=?,則(l+tana)(l+tanp)=；

(1+tanl)(l+tan2)(l+tan3)(l+tan45)=

55.（2024高三上?遼寧沈陽?階段練習(xí)）已知a,尸，”"，3卜inZ?+sin/=sina,cosa+cos/=cosQ,則

P~a=.

56.（2024高一上?重慶沙坪壩?期末）若￡<4<"<a<當(dāng)，且cos（a+⑶=-變，sin2夕=。，則a-尸=.

42v7105

57.（2024高三下?湖南?階段練習(xí)）若銳角a、P滿足sin（a-尸）=g,cos[a+聿]=g,則cos（/+「=

58.（2024.全國?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，角a的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負半軸重合，點

“（3,4）為角口終邊上一點.若1€10,3，￡€1,兀），JLsin（6Z+^）=-^,貝l]tan^=.

59.（2024?山西臨汾?模擬預(yù)測）己知a為銳角，且sinj^-aj+gsina=g,則3（2戊+0=.

60.（2024高三上?廣東湛江?階段練習(xí)）已知a,尸e0,4,sin（a+^）+V3cos（a+^）+4（?2-a）=-3,貝I]

P=.

61.（2024?全國?模擬預(yù)測）在正三角形A3C中，由e{AB+BC+CA）=e?（）=0可得到三角恒等式

cose+cos,+g]+cos,+=0,其中6=卜,AB）,以此類推，在正〃邊形中，可