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第18講三角恒等變換

（4類核心考點精講精練）

IN.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

用和、差角的余弦公式化簡、求值二倍角的正弦公式正弦定理解三角形

2024年天津卷，第14題,5分

余弦定理解三角形

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為14分

【備考策略】1.理解、掌握三角函數(shù)的兩角和差公式，能夠根據(jù)知識點靈活選擇公式

2.能掌握湊角求值的解題技巧

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，會借助正弦型函數(shù)的圖像，解決三角函數(shù)的求值與化簡問題

4.會解三角函數(shù)的含參問題。

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給與正余弦定理結(jié)合，在解三角形中靈活運用兩角

和差。

凡考點梳理。

1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式

2.二倍角公式

三角恒等變換知識點.兩角和與差二倍角公式《3.輔助角公式

4.三角函數(shù)公式的關(guān)系

5.升幕與降幕公式

知識講解

知識點.兩角和與差二倍角公式

1.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式

1

cos(a—￡)=cosacos￡+sinasin￡cos(a+￡)=cosacos￡—sinasin￡

sin(a—￡)=sin。cos—cosCLsin0sin(a+￡)=sin。cos￡+cosasin￡

/c、tana—tan￡/,八tana+tanB

tan(<7—￡)=-----tan(6?+￡)=-----

1+tanatan￡1—tanatanB

2.二倍角公式

222c2tana

sin2Q=2sinQcosa；cos2a=cosa—sina=2cos—1=1—2sin；tan2CL=-------------

1-tan2a

3.輔助角公式:

asinX+ZJCOSx=\ja+ljsin(^r+其中tan0=2

a

4.三角函數(shù)公式的關(guān)系

令0=0以一令代6

C2a--------------------------M?+/3)----------------------------Ma-G)

利用cos侵土q利用cos佞土Q)利用cos侵土Q

c令6=a以-。代。

32a<9(a+/3)---S--(-a----P---)------------

兩式相除兩式相除兩式相除

令Q以-8代8

T2a**--------8-----=-------------T(a+0)T(a-P)

5.升幕與降幕公式

21—cos2Q

(1)降幕公式：cos?Q」+cos2a,sina

22

(2)升幕公式：1+cos2a=2cos2。，1—cos2a=2sin2a.

(3)公式的常用變形：tana±tan￡=tan(a±￡)(l^tanatan6),

1+sin2a=(sina+cosa)：

1—sin2a=(sina—cosa”,

「「土T

sina±cosa="2sin[4J.

考點一、兩角和與差的正余弦、正切與二倍角公式

典例引領(lǐng)

1.(2024,黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測)已知sinasi也n(。+總=cosasinng-a),則tan(2a+；)=)

A.2-V3B.-2-V3C.2+V3D.-2+g

【答案】B

2

【分析】由兩角和差公式、二倍角公式逆用可得tan2a=遮，進一步結(jié)合兩角和的正切公式即可得解.

【詳解】由題意與sin2a+gsinacosa=亨cos2a—|sincxcosa,即日cos2a=|sin2a,

即tan2a=百，所以tan(2a+￡)=：；：魯,=M=一”內(nèi)

故選：B.

2.(2024?浙江?三模)若sin(a-S)+cos(a—/?)=2V2sin(a-sin夕,則(

A.tan(ct—B)=—1B.tan(a一夕)=1

C.tan(a+0)=—1D.tan(a+￡)=1

【答案】C

【分析】利用和差角公式展開，即可得到sinacosQ+cosacosQ=sinasinQ—cosasin夕，再兩邊同除cosacos/?,

最后結(jié)合兩角和的正切公式計算可得.

【詳解】因為sin(a—/?)+cos(a—B)=2V2sin(a—亍)sin0

所以sinacos/?—cosasin^K+cosacos^+sinasin￡=2V2(sinacos：—cosasin

即sinacos/?—cosasin)5+cosacos/3+sinasin?=2sinasin^—2cosasin/?,

即sinacos￡+cosacos/?=sinasinp—cosasin/?,

兩邊同除cosacos/?可得tana+1=tancrtan/?—tan/?,

所以tan(a+0)=百。+匕叱=_]

1—tanatan^?

故選：c

即鶴測L

（?全國?高考真題）已知為銳角，=二三，則（

1.2023acosasin￡=).

42

.3-V5-1+后八3-V5「-1+V5

A.---------Dn.-----------L.---------U.------------

8844

【答案】D

【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出.

【詳解】因為cosa=l-2sin2^=苧，而a為銳角，

Z4

花一

解得：sin*=1

4

故選：D.

2.(2024?青海海西?模擬預(yù)測)已知cosa=-g,則cos2a的值為(

A.1±B2?-C.--1D.--1

3353

【答案】D

3

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合余弦的倍角公式，準確計算，即可求解.

2

【詳解】根據(jù)二倍角的余弦公式可得cos2a=2cos2a-1=2x（-g）-1=-1.

故選：D.

3.（2024?全國?高考真題）已知cos（a+S）=tanatanS=2,則cos（a—，）=（）

A.-3T?IB.----C.—D.

33

【答案】A

【分析】根據(jù)兩角和的余弦可求cosacos￡,sinasin/?的關(guān)系，結(jié)合tanatan6的值可求前者，故可求cos（a-0）

的值.

【詳解】因為cos(a+6)=zn,所以cosacos/?—sinasiny?=m,

而tancrtanjS=2,所以sincrsin/?=2cosacosS，

故cosacosjB—2cosacos^=mEPcosacosfi=-m,

從而sinasin?=-2m,故cos(cr-0)=—3m,

故選：A.

4.(2024?江西九江?三模)若2sin(a+?)=cos(a-￡),則tan(a-￡)=()

A.-4-V3B.-4+V3C.4-V3D.4+B

【答案】C

【分析】設(shè)0="?，則原等式可化為25皿（夕+3=85（0-看），化簡后求出12印即可.

【詳解】令A(yù)=a-9，則a=/?+V，

所以由2sin(a+§=cos(T),

得2sin(B+/)=cos(6

即2cos￡=fcosS+|sin/?,

即sin/?=(4—V3)cosjg,得taring=4—V3,

所以tan(a—看)=tan/?=4—V3,

故選：C.

考點二、化簡求值

典例引領(lǐng)

1.（2024?安徽六安?模擬預(yù)測）善S65；受15，的值為（)

tan15cos10+sml0

A.等B.|C.注D.1

【答案】A

4

【分析】根據(jù)同角的商數(shù)關(guān)系、兩角和的正弦公式、二倍角公式和誘導(dǎo)公式計算化簡即可求解.

▼、斗比刀、2cos65°cosl502cos65°cos215°sin25°(l+cos300)2+V3

【洋斛】----5---------3------------7=---------5---------o------------5----------7=-----------——3----------=-----------.

tan15cos104-sinlOsinl5cos104-sinlOcos15sin252

故選：A

2.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)若sin(a-20。)=s^°°,則sin(2a+500)=()

tanzO—V3

i177

A.-B.--C.--D.-

8888

【答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)恒等變換化簡已知可得sin(a-20。)=再利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求值.

【詳解】根據(jù)題意，sin(a-20。)==書展？

tan20-V3sm20—V3cos20

1.o

sin20°cos20°_sin20°cos20°_sin20°cos20°_尹門4°_1

―2Qsin20°-^cos20j_2sin(-40°)--2sin40°--2sin40°-7，

而sin(2a+50°)=sin(2a-40°+90°)=cos2(a-20°)

=1-2sin2(a-20°)=1-2x(一/=(.

故選：D

即網(wǎng)校L

1.(2024?全國?模擬預(yù)測)把吧登工—三飛=()

sin2502tan25

V2

D.

2

【答案】A

【分析】切化弦后通分,根據(jù)兩角和差的正余弦公式求解即可.

sin800+cos50°遙_$皿60。+20。)+8$(30。+20。)述cos25。

【詳解】

sin25°2tan25°-sin25°2sin25°

sin60°cos20°+cos60°sin20°+cos30°cos20°—sin30°sin20°V6cos25°

-sin2502sin25°

_岳os20°+sin20°+gcos20°-sin20°_遍cos25°_Kcos20。_6cos25°

2sin2502sin25°-sin2502sin25°

_怎os(45。-25。)_遍cos25°_6(cos45°cos250+sin450sin25。)_V^cos25。

sin2502sin25°-sin2502sin25°

_V6cos25°4-V6sin25°V6cos25°_V6

2sin25°2sin25O-2'

故選：A.

2.(2024?山東泰安?模擬預(yù)測)若「皿W,則Sin28的值為()

1-tan(0--)2

4

A.--3B.3-C.--4D.-4

5555

【答案】D

【分析】根據(jù)兩角和的正切公式化簡可得tan。，再由二倍角的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.

5

1+tanCO―

__________4_1mta吟+tan(0，)1

【詳解】由-一二，n~n、

1—tan(0--21—tan彳tan(8——)29

4

所以tan(y+0-即tan。=

所以2sin0cos02tan0_4

sin20=sin20+cos20l+tan20-5

故選：D.

3.(2024?廣東?二模)tan7.5°-tan82.50+2tanl5°=()

A.-2B.-4C.-2V3D.-4V3

【答案】D

【分析】利用切化弦的思想，結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角的正余弦公式計算得解.

［詳解］tan7.5°-tan82.50+2tanl50=%氾-包咨+2tanl5°

cos7.5°cos82.5°

sin7.5°cos7.5°sin27.5°—COS27.5°

-------------------------F2tanl5°=+2tanl5°

cos7.5°sin7.5°sin7.5°cos7.5°

cosl50+2sinl5°_2(sin2150-cos215°)_-4cos30°

lsinl50cosl50sinl50cosl50sin30°

故選：D

4.（2024?河北承德?二模）已知tanx=則產(chǎn)+產(chǎn)=_____.

3cos3xcos2xcoszxcosx

【答案】2w

【分析】利用三角恒等變換化簡算式得:inx+T￡_=tan3x-tan比,已知tanx=J由正切的倍角

cos3xcoszxcosZxcosx3

公式求出tan3x即可求得結(jié)果.

sinx_sin(3x—2x)sin3xcos2x—cos3xsin2xsinx_sin(2x—x)

【詳解】=tan3x—tan2x

cos3xcos2xcos3xcos2xcos3xcos2xcos2xcosxcos2xcosx

sin2xcosx—cos2xsinx

=tan2x—tanx,

cos2xcosx

sinxsinx

所以-+tan3x—tanx,

cos3xcos2xcos2xcosx

tan2x+tanxl-tan2x*tanX_3tanx-tan3%_13

tan3x=tan(2x+x)=

1—tan2xtanx2tan2%1—3tan2x9

1—tan2x

因此原式

故答案為：y.

5.（2024?河北邯鄲?二模）正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，其與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如

圖所示的五角星中，以48,C,E為頂點的多邊形為正邊邊形，設(shè)NCZD=a,則coscr+cos2a+cos3a+

cos4a=cosacos2acos3acos4a=.

6

A

【答案】0^/0.0625

【分析】由正五角星的性質(zhì)，求得NC4D=a=36。，進而根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式計算即可.

【詳解】正五角星可分割成5個3角形和1個正五邊形,五個3角形各自角度之和180。

正五邊形的內(nèi)角和180。x（5-2）=180°X3=540°；每個角為子=108°,

三角形是等腰三角形，底角是五邊形的外角，即底角為180。-108。=72。，

三角形內(nèi)角和為180。，那么三角形頂角，即五角星尖角180。-72。X2=36。，

即NC4。=a=36°.

cosa+cos2a+cos3a+cos4a=cos36°+cos72°+cosl08°+cosl44°

=cos36°+cos72°+cos(180°-72°)+cos(180°-36°)

=cos36°+cos72°—cos72°—cos36°=0;

cosacos2acos3crcos4a=cos360cos72°cosl08°cosl440=(cos36°cos72°)2

0

因為cos36°-cos72°2sin36°cos36°cos72sin72°-cos72°_sinl44°_1

2sin36°2sin36°-4sin36°-4'

所以cosacos2acos3acos4a=—.

16

故答案為：0:白.

16

考點三、湊角求值

典例引領(lǐng)

1.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）已知sin（a+看）=，，貝Usin（2a+?）=.

【答案】J/0.875

o

【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式可求得答案.

【詳解】因為sin（a+看）=[,則sin（2a+?）=sin[（2a+§+y]=cos（2a+§=12sin2(a+

三）=1——

6788,

故答案為：

o

2.（23-24高三上?天津?qū)幒?期末）已知cos七一°）=,，則sin（等-20）=.

【答案】-：

7

【分析】利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式計算可得.

【詳解】因為cos信―e)

所以sin(號-2。)=sin[y+(y-2。)]=cos(9—26)

=cos2信-。)=2cos2島—6)—1=2x(?)—1=—1.

故答案為：-(

也即鶴叫

1.(2024?吉林長春?模擬預(yù)測)已知cos2a=-y,sin(cr+/?)=一嚕，a€/?e則a-￡=

()

11371

JI3Ji5Ji「-ft

A.—B.一Cn.一D.一或一

44444

【答案】B

【分析】求出2a、a+0的范圍，利用平方關(guān)系求出sin2a、cos(a+3),再由。-0=2戊-9+0)求出cos(a-

位，結(jié)合a-/?的范圍可得答案.

【詳解】因為ac[0,3所以2aE[0〃],

所以sin2a=V1-cos22cr=Jl一(一。=?，

因為aG[得問一冽,所以a+0=

所以cos(a+￡)=Jl-sin2(a+0)=J1-(-粵)=嚓,

又由a-/?=2a—(a+/?)知

cos(a—/?)=cos[2a—(a+/?)]=cos2acos(a+/?)+sin2asin(a+/?)

又因為a—0e[0,叼，所以a—0=

故選：B.

2.(2024?山西?三模)若sin2a=1,sin(S—a)=彳,且ae仔,兀],￡€[n，葺卜則cos(a+P)=()

AV5+V2V30V6n2V5-V2

A.----------DD.L.—U.------------

6636

【答案】D

【分析】根據(jù)sin2a=/結(jié)合a的范圍分析可得aE*，3，cos2a=-半，再根據(jù)sin("a)=,結(jié)合/?的范

圍分析可得cos(/?-a)=一手，由a+/?=2a+(0-a)結(jié)合兩角和差公式分析求解.

【詳解】因為aeR”,則2ae1,2”,且sin2a=,>0,

8

則2仇€?,兀)，可得a6U，cos2a=—71—sin22a=—苧,

,,

又因為3G[兀~Y\則S一°E(/，?]，且sin(3一a)=f>0,

可得S-aE(l,兀)，cos(S-a)=--sin2(/?-a)=-粵，

所以cos(a+￡)=cos[2a+(0—a)]=cos2acos(0—a)—sin2asin(/?—a)

=fV6\/V30AV3xV6=2V5-V2

\3/\67366

故選：D.

3.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知tan(a-tan/?=—且a,0e(0,")，則2a-/?=()

A.--B.-C.—D.--

4444

【答案】A

【分析】利用二倍角的正切公式求出tan2(a-夕)，再根據(jù)tan(2a-0)=tan[2(a-/?)+結(jié)合兩角和的正

切公式求得tan(2a-根據(jù)tana=tan[(a-+/?]求出tana,從而可得a,￡的范圍，即可得出2仇一夕的范

圍，即可得解.

【詳解】因為tan(a-0)=/

所以tan2(a—￡)=2：喘;1

1—tan"(a一夕)3

故tan(2a-位=tan[2(a-①+例=署氏翳=L

由tan/?=-1,所以￡&兀)，

—1—11

又tana=tan[(a-￡)+0]=：：

1-/㈠)3

所以aE(0(

故2a—6E(—71,0),

所以2a—0――牛.

故選：A.

4.(2024?山東?模擬預(yù)測)已知cos(仁一§一cosa=(,則sin卜a+?)=()

A.-B.--C.-D.--

25252525

【答案】B

【分析】先利用兩角差的余弦公式處理條件，結(jié)合兩角差的正弦公式，可得cos(a+3,再利用二倍角公

式可得cos(2a+今)，再結(jié)合誘導(dǎo)公式，可求sin卜a+總.

【詳解】由COS("3—cosa=(=cosacos-1-+sinasiny—cosa=(=cosacosg—sinasin：=—(=>

cos(a+'=—7,

9

所以cos（2a+?）=2cos2+g）—1=套

所以sin（2a+看）=cos—（2a+5）］=cos―2a）=-cos（2a+=—套.

故選：B

5.（2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測）已知cos（已一0）=右則sin（答+2a）=（）

A.范-ZC.退D.-也

9999

【答案】A

【分析】令］-a=3故cost=j,可得sin（詈+2a）=-cos23進而可求值.

【詳解】令］一a=3則a-匕故cost=g,

sin（等+2a）=sin［霏+2（］—t）］=sin_2。=—cos2t=1—2cos2t=

故選：A.

考點四、輔助角公式

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三下?云南?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=2sinx+cos久在％（）處取得最大值,則cosx0=（）

.2^52V5「V5門V5

A-MBn---c-TD--T

【答案】C

【分析】借助輔助角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】/（x）=2sinx+cosx=V5sin（x+<p）,其中coscp=simp=￡

又當x=xo時，/（%）取得最大值，所以％）+⑴=B+2kn,kez,即刀（）=；+2卜口-<p,kez,

所以cosx0=cos+2fcn一？）=cos（1—0）=sin</?=g

故選：C.

2.（2024?陜西銅川?三模）已知函數(shù)/（無）=sin2比一cos2x,則下列說法中不正確的是（）

A./（尤）的最小正周期為“

B./0）的最大值為迎

c.7（%）在區(qū)間［-:，年上單調(diào)遞增

D-f（"看）=/（_%_￡）

【答案】C

【分析】首先化解函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷ABC,求了［-看），判斷函數(shù)是否是偶函數(shù)，即可

判斷D.

10

【詳解】依題意f(x)=&sin(2x—?),則函數(shù)/(>)的最大值為魚，最小值正周期為“，從而可排除A,B

選項.

｝曰，2x—9e[—等，口，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可知，

L44J4L44J

當2%——G[―——j>即久e[—■—,—Y時函數(shù)單調(diào)遞減，

當2%[―三,曰，即xe[-。引時函數(shù)單調(diào)遞增，

故f(x)在區(qū)間[-：,高上不可能單調(diào)遞增，應(yīng)選C項.

小-￡)=岳詞2(%-￡)-引=&sin(2第一1)=—d^cos2%為偶函數(shù)，

從而/(%-9)=/(—X—總，從而可排除D選項.

故選：C

即0睜(

1.(2024?湖北?二模)函數(shù)/(%)=3cosx-4sinx,當/(%)取得最大值時,sin%=()

A.-4B.--4C.-3D.--3

5555

【答案】B

【分析】由輔助角公式、誘導(dǎo)公式直接運算即可求解.

【詳解】/(%)=3cosx—4sinx=5Qcosx-gsin%)=5cos(x+(p),

其中cuscp=j,sin(p=I，

而/(%)=3cosx—4sinx=5cos(x+w)45,

等號成立當且僅當％+<p=2k冗(k￡Z),此時sinx=sin(—g)=—sing=-

故選：B.

2.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)函數(shù)/(%)=asin%+cos久的圖象關(guān)于直線％二-看對稱，貝必=

【答案】一日

【分析】利用輔助角公式化簡，由函數(shù)的最小正周期7=2n，X=-g為對稱軸，得到函數(shù)的一個對稱中心

O

為代入求解，得到答案.

【詳解】/(x)=asinx+cos比=Va2+lsin(x+<p),

顯然函數(shù)的最小正周期7=2n,

又％=—g為對稱軸，

6

設(shè)/(%)在x=-3右側(cè)附近的一個對稱中心為⑺,0),

故4M_(一看)]=2兀，解得m=g故/(%)的一個對稱中心為(寧,0),

11

=2ra+I=0,解得a=-當

故答案為：-F

3.（2024?河南新鄉(xiāng)?三模）已知函數(shù)/'（X）=sinwx—V3cosa）x（a）>0）,若存在與e[0,n],使得/（勺）=-2,

則3的最小值為.

【答案】y/l1

【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)/'（久），求出相位的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.

【詳解】函數(shù)/（%）=2sin（3%——）,由％i€[0,兀],得——G[———]?

由存在K16[0,兀]，使得/（%i）=-2,得兀3——>,解得3N昔，

3Z6

所以3的最小值為二.

6

故答案為：2

6

4.（2024,全國?模擬預(yù)測）已知f（%）=4sinx（sinx-V3cosx）+1相鄰的兩個零點分別為％力%則cosWi—

x2l=?

【答案】/±0.75

4

【分析】解法一：利用三角恒等變形，化歸到一般形式汽“）=3-4sin（2x+?）,易知山-冷1即有可能是

銳角，也有可能是鈍角，再利用函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為已知角的特值問題，BPsin（2xj+-sin（2%2+y）=

再去求cos（2%1+J=?,cos（2初+J=-?，然后利用兩角差公式求cos[2（xi-％2）]=看再利用降

倍升次的二倍角公式求得COS2（血-X2）=a，最后即可求出結(jié)果.

解法二：根據(jù)正弦型函數(shù)性質(zhì)知這兩個零點一定關(guān)于直線X=9+W對稱，也就是有一個相等關(guān)系向+冷=

o2

g+km,這樣可以利用這個關(guān)系消去其中一個變量X2,就可以化簡coslxi-及1=±COS（2X1--），再利用

誘導(dǎo)公式即可轉(zhuǎn)化到已知零點的函數(shù)值，即求出結(jié)果.

【詳解】解法一：因為/（x）=4sinx（sinx—V3cosx）+1=4sin2%—4V3sinxcosx+1

=2x（1—cos2x）—2V3sin2x+1=3-4sin（2x+

由/（%）相鄰的兩個零點分別為％1/2，不妨設(shè)sin0%i+看）=sin,%2+看）=：，

由于正弦值為，的相鄰兩個角一定是第一象限角和第二象限角，

4

所以cos（211+看）二亭cos（2%2+看）=一爭

則cos[2（%i—%2）]=cos[（2%1+看）一（2%2+Y）]

=cos（2x1+^cos（2x2+y）+sin（2x1+1）sin（2x2+g=^x（-^）+|x1=i

所以COS2（X1_小）=黑F）=苧=9

ZL1O

12

又因為f(x)的周期為“，所以兩個零點叼,％2有可能落在半個周期之內(nèi)，也有可能落在半個周期之外且一個

周期之內(nèi)，即%-小16(0,n),

,.、、3

又不妨設(shè)久1<則COS|%1—X2\=COS（X2一％1）=COS（%i—X2）=±-.

解法二：由解法一知/'（x）=3-4sin（2x+y）,則sin（2x1+1）=sin（2x2+1）=1

根據(jù)函數(shù)丫=sin（2%+?）可知，%i，%2關(guān)于％=看+g，kWZ對稱，

即％1+%2=2（看+容）=y+fcJI,則％2=y+fc11一％1，又不妨假設(shè)％1<%2，

所以cos|x1—x2\=COS（X2一％1）=COS（G+々兀一%1）—%1）=COS（―2久1+}+々兀），

當k為偶數(shù)時，

cosx

cos|%i—x2\=cos（2%i-三）=cos（2勺+?-；）=（^i+?+言）=sin（2勺+看）=￡

當k為奇數(shù)時，

2X1+="

cos|%i—x2l=一cos（2/——=—cos（=—cosT）I

綜上可知cos|%i-x2l=±*

故答案為：

2

5.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測）已知函數(shù)f（%）=2COSCOX+sin2d）x-13>0）f（x1）=f（x2）=苧/%1

第2I的最小值為稱，則3=

A.工B.1C.2D.3

2

【答案】A

【分析】先由二倍角的余弦公式，輔助角公式化簡/(%),再由y=sin%與y=9相交的兩個交點的最近距離為

￡一看二學(xué)結(jié)合[(23/+；)—(2(JDX2+7)]^=2co|Xi-X2lmin二號解出即可.

【詳解】/(x)=2cos2a)x+sin2cox—1=cos2cox+sin2tox=V2sin(2a)x+；),

因為/(%])=f3)=乎，

所以sin(23勺+：)=sin(2a)x2+=p

因為當?shù)?[0,2冗]時，sin%=J對應(yīng)的汽的值分別為

ZO0

所以y=sinx與y=9目交的兩個交點的最近距離為9—：=好，

又|%1-M的最小值為號

=

所以[03%1+Y)-(2tO%2+Y)]min231%1_%2lmin=y,

Finc2n2n1

即2COX--=---=3=一,

332

故選：A.

13

IN.好題沖關(guān)

A基礎(chǔ)過關(guān)

1.(22-23高三上?天津濱海新?期中)若a是第三象限角，且sin(a+S)cos￡-sin'cos(a+S)=-卷,

則tana等于()

A.-5B.--C.—D.5

1212

【答案】c

【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式求出sina,然后由同角三角函數(shù)的關(guān)系結(jié)合a是第三象限角即可求出tana

【詳解】由題意，sin(a+/?)cos/?—sin0cos(a+/?)=—得=sin(a+￡—￡)=sina,

由于a是第三象限角，則cosaVO,于是cosa=一7\-sin2a=-1|,

則rniitu.ana=-si-n-a=——5.

cosa12

故選：C

2.(23-24高三上?云南昆明?開學(xué)考試)已知tan(a—?)=4,則sin2a=()

A.—B.--

1717

1515

Cr.—Dn.----

1717

【答案】D

【分析】先利用兩角和正切公式，求得tana=-|,再結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.

【詳解】由tan(a-：)=4,可得tana=tan[(a—=一,

又由sin2a=2sinacosa_2tana15

sin2a+cos2atan2a+l17

故選：D.

3.(23-24高三上?天津南開?期中)已知sin(仇一看)=sin(a+q)，貝！Jtana=

【答案】2+V3/V3+2

【分析】根據(jù)和差角公式，結(jié)合同角關(guān)系即可求解.

【詳解】由sin（a—看）=sin（a+：）可得sinacos-^-—cosasiny=sinacosy+cosasiny,

;匚［、18.11..V3V3-l.1+V3sina14-V3ry

所以一sincr——cosa=-sincrH---cosa,即0n----sina=----cosa=tana=---=-7=—=2Q+V3,

222222cosaV3—1

故答案為：2+g

4.（23-24高三上?天津河?xùn)|?階段練習(xí)）△4BC中，已知cos24=則sirM=

【答案】^/^VlO

【分析】利用二倍角的余弦公式計算即得.

14

【詳解】在△ABC中，0<力<口，則sind>0,

由cos24=1,得1-2sin2/l=3,BPsin2A=

所以sin4=噂.

故答案為：嚕

5.（22-23高三上?天津濱海新?期中）已知角9的終邊經(jīng)過點P（-2,1）,則tan?=

cos20-2sin20_

cos20,

【答案】-1I

【分析】由三角函數(shù)的定義結(jié)合三角恒等變換即可求解.

【詳解】因為角。的終邊經(jīng)過點P（-2,1）,

所以由三角函數(shù)定義可知land=-1,

2222口心八sinO

J-VK7.cos0—2sin0-cos02—2sin20，且tang—1

cos28cos0—sin0cosd2

cos20—2sin20cos2e-2sin2。_l-ZtaMe_1-2x（-；）_2

所以

cos20cos20—sin201—tan20（1\23

故答案為：一

6.（23-24高三上?陜西西安?階段練習(xí)）已知tana=tan/?=—且％夕E（0戶），則2a—￡=

【答案】*

【分析】利用正切的二倍角公式和兩角差的公式進行求解即呆.

【詳解】因為tana=1>0,tan/?=_1<%夕€（0,兀）,

所以aG（。，3，BC冗），

因為tan2a=2tana=->0,

1—tan2a4

所以2aE（°，萬），BE（］，兀），因此一nV2a—S<0,

31

因為tan（2a一￡）=鵬7嗎=J7=1

、?l+tan2atan0i+2x（-y）

所以2a—P=—

故答案為：-:

4

7.（23-24高三上?天津濱海新?階段練習(xí)）已知2sina+cosa=0.

⑴求tan（a_；）的值;

sin（?

⑵求?的值;

sin（JI+a）

（3）當a是第四象限角時,求cos（a+總的值.

15

【答案】（1）—3

⑵2

,2、2花+小

'）-io-

【分析】（1）利用已知條件求出tana,再結(jié)合差角的正切公式，即可求解.

（2）利用誘導(dǎo)公式化簡式子即可求解.

（3）由（1）知，tana,結(jié)合a是第四象限角可求出sina、cosa的值，再利用和角的余弦公式，即可求解.

【詳解】(1)若cosa=0,則sina=±1,顯然不滿足2sina+coscr=0,

?,n(HfinSina.cosa

..cosaH0貝！J2----1----=0n，

cosacosa

2tanct+1=0貝！Jtana

it\tana-tanj

cc----)=------------=-3.

(4/1+tana-tan—

4

(2)由(1)知tana=一

sin

.(y-?)_cosa_1_o

sin(冗+a)—sinatana

(3)由(1)知tana=—

又???a是第四象限角,

(Sina=1sina=-

]cosa—2解得《