山東省百師聯(lián)考2024-2025學年高三年級上冊期中考試數(shù)學試題（含解析）

2024—2025學年高三期中考試

數(shù)學試題

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本

試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

考試時間為120分鐘，滿分150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.集合2={1,2,3,4,5,6},5={xeN|2xeZ},則0/=()

A.{1,3,6}B.{3,4,6}C.{1,2,3}D.{4,5,6}

2.'飛也。=也"是“，=二”的()

23

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

3.設向量2=(2,2),3=(—2,6),c=(4,2),且則力=()

A.3B.2C.-2D.-3

4.己知某圓錐的軸截面為等邊三角形，且圓錐側(cè)面積為6兀，則該圓錐的內(nèi)切球體積為()

A.4兀B.—C.47371D.A/3TI

3

5.函數(shù)/(X)=Zsin(ox+0)(2>0,0>0,闞<])的部分圖象如圖所示，圖象上的所有點向左平

移5個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象.若對任意的xeR都有g(x)+g(-x)=0,則圖中a的值為

()

V6-V2

C.-V2

2

6.已知函數(shù)/(x)=<若方程/(x)=0恰有2個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍

ln(l-x),0<x<1,

A.(-8,0]C.D.[0,+coj

7.已知函數(shù)/(x+2)為偶函數(shù)，/(2x+l)為奇函數(shù)，且當xe(O,l］時,/(x)=log4x,則/

8.在平面直角坐標系內(nèi)，方程/+/—孫=i對應的曲線為橢圓，則該橢圓的焦距為()

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.己知方程必+2》+4=0的兩個復數(shù)根為馬，z2,則下列說法正確的有()

z平2D2

A.Z]+z2——2B.%=2C.=4-kil=

10.設函數(shù)/(x)=-x?+ax—1,則

A.當。=-1時，/(x)的極大值大于0B.當口2§時，/(x)無極值點

C,3aeR,使/(x)在R上是減函數(shù)D.VaeR,曲線y=/(x)的對稱中心的橫坐標為定值

n.己知曲線C上的動點尸(x,y)到點E(1,0)的距離與其到直線x=-1的距離相等，貝U

A.曲線C的軌跡方程為/=4x

B.若7(4,2),M為曲線。上的動點，則MT|+W刊的最小值為5

C.過點N(-1,0),恰有2條直線與曲線C有且只有一個公共點

D.圓/+/=5與曲線。交于z,8兩點，與直線x=-l交于E,G兩點，則B,E,G四點圍

成的四邊形的周長為12

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.記S“為等差數(shù)列｛4｝的前"項和，若%+%=7，3%+生=5,則g=.

13.曲線y=2x—lnx在點(1,2)處的切線與拋物線y=a/—"+2相切，則a=.

22

14.已知雙曲線C：=―勺=1（a>0,b>0）與平行于無軸的動直線交于2,8兩點，點/在點8

ab

左側(cè)，雙曲線C的左焦點為。且當4FL48時，|4F|=|48|,則雙曲線的離心率是；當直線

運動時，延長AF至點尸使|4F|=|￡P],連接2尸交x軸于點Q,則黑的值是.（第一空2分,

第二空3分）

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）在△45C中，內(nèi)角Z,B,C的對邊分別是a,b,c,且滿足asinB=

（1）求角/；

（2）若a=2,求△/BC周長的取值范圍.

16.（15分）已知函數(shù)/（x）=xlnx-ax2+1.

（1）若/（x）在（0,+oo）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）若a<0,證明：/（%）>0.

17.（15分）如圖，在四棱錐尸—4BCZ）中，底面4BCD是菱形，E,歹分別為48,尸。的中點，

尸NJ_平面48C。，且尸2=45=2.

（1）證明：ZE〃平面PCE；

JT

（2）若尸。與平面45C。所成的角是一，求二面角尸—4C—。的余弦值.

6

22

18.（17分）如圖，已知橢圓C：\+A=l（〃>b>0）上的點到其左焦點的最大矩離和最小距離分別

ab

為2（G+J5）和2（G—血），斜率為-g的直線/與橢圓C相交于異于點尸（3,1）的/,N兩點.

（1）求橢圓。的方程；

（2）若=求直線/的方程；

（3）當直線PM,PN均不與無軸垂直時，設直線的斜率為左1，直線尸N的斜率為左2,求證：k-2

為定值.

19.（17分）若有窮數(shù)列｛%｝（"eN*且〃之3）滿足舊一％+J＜舊+]-4+2I（才=1,2,…，〃一2）,則稱

｛%｝為M數(shù)列.

（1）判斷下列數(shù)列是否為M數(shù)列，并說明理由.

①1,2,4,3；②4,2,8,1.

（2）已知河數(shù)列｛4｝中各項互不相等，令超=|%，-%J（機=1,2,…，〃-1）,求證：數(shù)列｛4｝是等差

數(shù)列的充分必要條件是數(shù)列抄,“｝是常數(shù)列.

（3）已知V數(shù)列｛4｝是加（加eN*且加上3）個連續(xù)正整數(shù)1,2,…，陽的一個排列，若

m-\

WJ%-縱+J=機+2,求加的所有取值.

k=\

2024—2025學年高三期中考試

數(shù)學參考答案及評分意見

1.D【解析】因為Z={1,2,3,4,5,6},5={xeN|2xeZ},所以8={1,2,3},={4,5,6}.故選

2.C【解析】當sin，=在時，0=-+2kTi,左eZ或。=3+2E,左eZ,推不出6=巴;

2333

當。=巴時，必有sin，=里，故"sin8=W■”是“。=巴”的必要不充分條件，故選C.

3223

3.A【解析】因為)=(2,2),3=(-2,6),工=(4,2),所以Z-4=(2+24,2—64)；

因為僅—所以僅一點)?】=8(1+2)+4(1—32)=12—44=0,解得4=3.故選A.

4.B【解析】設圓錐的底面半徑為「，則兀J-2廠=6兀，所以r=百.

設圓錐的內(nèi)切球半徑為A,又圓錐的軸截面為等邊三角形，

所以氏=26x立x」=l,則內(nèi)切球的體積匕=d?；?=如故選B.

2333

5.A【解析】由/(x)3x=2,得2=2.

/(x)的圖象上的所有點向左平移5個單位長度后得g(x)的圖象，

由題意知g(x)為奇函數(shù)，所以其圖象關于原點對稱，得函數(shù)/(x)的圖象過點［.,0

7

77TTTT_7TT

=兀故。=

設了⑴的最小正周期為7,則F1r］，所以7=石，2.

又30+0=2而，左EZ,且冏<］,可得0二-弓,

所以/(%)=已

2sin12x-a=/(0)=2sin-1.故選A.

6.C【解析】當xVO時，/(X)=X2+4X,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知/(x)在(―叫—2)上單調(diào)遞減，在

(―2,0］上單調(diào)遞增.令g(x)=f+4x,貝應⑴=2x+4,所以g<0)=4.

當0<x<l時，/(x)=ln(l-x),—<0,/(%)在(0,1)上單調(diào)遞減.

x—1

令〃(x)=ln(l-x),則/(0)=-1.作出尸/(x)的大致圖象,如圖所示.方程/(x)—ax=0恰有2個不

相等的實數(shù)解，也就是/(X)的圖象與直線恰有兩個公共點.

由圖易知所求a的取值范圍是［-1,4).故選C.

7.C【解析】因為函數(shù)/(x+2)為偶函數(shù)，所以/(x+2)=/(-x+2),

即函數(shù)/(x)的圖象關于直線x=2對稱；因為函數(shù)/(2x+l)為奇函數(shù),

所以/(2x+l)+/(-2x+l)=0,即函數(shù)/(%)的圖象關于點(1,0)中心對稱.

又當xe(0,1］時，f(x)=log4x,

8.C【解析】因為/+/—初=i,將點的坐標代入方程，原方程保持不變，所以橢圓關于原

點對稱；將點(以力和(-％-力的坐標分別代入方程，原方程保持不變，所以橢圓關于直線y=x和

y=-x對稱.

設直線y=x與橢圓交于2,8兩點,

y=x,X=1,》=-1'所以恒回二2/；

則22解得或V

X+v-xy=i,U=i,

設直線y=-x與橢圓交于C,。兩點,

V3

X-,x=----

片一：解得3

則T或＜

X+v-xy=l,V3V3

所以|。)|=乎.由橢圓性質(zhì)可知，2a=|48|=2/，2b=\CD\=^y-

所以a=&,b=—,則c=Jq2_/二空,故焦距為迪.故選c.

333

9.ACD【解析】方程必+2》+4=0的兩個復數(shù)根為z-z2,

由一元二次方程根與系數(shù)的關系得2]+Z2=-2,Z/2=4,A,C正確；

_9+p-

B選項，d+2x+4=0的兩個復數(shù)根為一二^=-1土底,

2

若Z]=_l+V§i,z2=—1—V3i,

則z；=(—1+啟『=1—2百i+3i?=—2—2百iwz2,B錯誤；

D選項，由B選項知，4=-1+J5i或-1一百1,均有H=J1+3=2,D正確.故選ACD.

32

10.BD【解析】對于A,當Q=—1時，/(x)=x-x-x-l,求導得/'(x)=3——2x—1,

令/'(%)=0得x=—g或x=l,由/'(x)>0,得或x>l,

由/'(x)<0,得一;<X<1,于是/(x)在，00,—(1,+8)上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減，/(X)在x=-；處取得極大值，

極大值為—|=--------1---1<0,A錯誤；

I3J2793

對于B,7,(x)=3x2-2x+a,當aN；時，A=4-12a<0,即/'(x"0恒成立，

函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，/(x)無極值點，B正確；

對于C,要使/(x)在R上是減函數(shù)，則/'(#=3/—2x+aW0恒成立，

而不等式3必一2x+a<0的解集不可能為R,C錯誤;

對于D,由/+/(%)=

29

得曲線>=/(x)的對稱中心的坐標為、正確.故選

27J,DBD.

11.ABD【解析】對于A,依題意，曲線C是以尸(1,0)為焦點,

直線x=-l為準線的拋物線，方程為J?=4x,A正確;

對于B,如圖，過點T作直線x=-l的垂線，交直線x=-l于￡,交拋物線于2.

令點M到直線x=-l的距離為d,則必=d,\MT\+\MF\=\MT\+d>\TE\,

當且僅當點河與點z重合時取等號，因此的最小值為|督|=5,B正確;

對于C,顯然過點N(-1,O)與曲線C有且只有一個公共點的直線的斜率存在，

設其方程為>=左(》+1),由+消去工得如2—4>+4左=0,

y=4x,

當左=0時，直線y=0與拋物線僅有一個公共點，

當左70時，由A=16—16左2=0,解得左=±1,顯然直線y=x+l,y=—x—1均與拋物線僅有一個公

共點，因此過點N(-1,0)與曲線。有且只有一個公共點的直線有3條，C錯誤；

對于D,直線x=—1交圓/+了2=5于點￡(_i,2),G(-l,-2),

由匕y=4x,,得,(x=1,或、｛x=1,從而2(/1,2)、,5(/1,-2)、,

x+v=5,[y=2,〔y=一2,

所以四邊形4BGE是矩形，其周長為2x(2+4)=12,D正確.故選ABD.

12.8【解析】設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

12q+5d=7,,[Q=一4,

因為r%+%=7,3a2+%=5,即〈解得〈

一[4。]+7<7=5,[d=3,

Q2Q2C

則S9=9%+用x一xd=9x(—4)+苛xx3=72,所以亍=8.故答案為8.

13.1【解析】設/(x)=2x—lnx,則/''(X)=2—L則/'(1)=1,

X

所以曲線y=2x—Inx在點(1,2)處的切線方程為y—2=x—1,即y=x+l.

y=x+1.,,9z、

由｛2消去y,得QX?—(Q+1)X+1=0,

y—cix—ux+2,

由八=[—(a+l)]2—4a=0,得a=l.故答案為1.

14.V2+1V2-1【解析】當4FL48時，設幺(一。,%)，

22/412

則彳-*1,解得-=勺.又|4司二|第,所以幺=2c,

abaa

又〃=°2—/,所以02—/=24，兩邊同時除以口2,得e2—2e—1=0,

解得6=1+應或e=l-后(舍).

如圖，因為△尸0Es△尸4B,所以——1；?,

|FP|BP=|\AF\+\BF\

設A(x,y),則B(-x,y),\AB\=|2X|,\AF\=^(x+cf+y12,\BF\=^(-X+C)2+J2

所借

2a_a

2cc

又￡=i+3,所以2=7^=血—i.

acV2+1

15.解：(1)由Qsin3=Z>cos[4-.J及正弦定理得sin4sinB=sinBcos[4-己

..fV31)百.1

故sin/sinB=sin5——cos/+—sin/=——sin5cos4+—sinBsin/,

(22J22

173

所以一sin4sin5=——sinBcosA.

22

因為8G(0,7i),sin5w0,

所以一sin4-----cos/=sinA--=0,

22I3)

因為Ze(O㈤，所以幺=1.

jr

(2)由(1)可知，A=—,由余弦定理，^b1+c2-a2-be,

3

又。=2,所以〃+。2=兒+4.

由基本不等式得：b'+c2>2bc,^bc+4>2bc,

所以6c<4,當且僅當b=c=2時，等號成立.

又0+c『=/+。2+2兒=3兒+4?16,

即0<b+c<4,又6+C>Q=2,所以2<b+c<4,

所以4<a+b+c<6,

即△ABC周長的取值范圍是(4,6].

16.(1)解：/(x)=x\nx-ax2+1,x>0,則/''(x)=lnx+1—2ax.

因為/(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，所以/'(x)=lnx+l-2axW0在(0,+oo)上恒成立,

即。2里『在(0,+oo)上恒成立.

構造函數(shù)g(x)」n；+l(x>0),

一,2x—2(lnx+l)?

則g<x)=B----------j---------=二^，令g'(x)=0,解得x=l.

當xe(O,l)時，gz(x)>0；當xe(l,+oo)時，g<x)<0,

所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以當X=1時，g(x)取得極大值，也是最大值，即g(x)max=g(l)=j

所以即a的取值范圍為—,+co|.

22J

(2)證明：方法一：由題意得/("=》111%一6?2+1的定義域為(0,+00),

當a<0時，要證/(x)>0,即證xlnx-ax?+1〉0,等價于證明lnx-ax+—〉0.

構造函數(shù)/z(x)=lnx-ax+工(x>0),即證〃(x%

JC

因為〃'(x)=,_q_4="X:4~,令T(x)=-ax2+x-l,

因為函數(shù)T(x)圖象的對稱軸為直線％=《<°，所以T(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

且7(0)=-1<0,T(l)=—a>0,所以存在％L(0,1),

使得7(%)=-辦;+3-1=0,所以當xe(O,Xo)時，T(x)<0,/(x)<0；

當%￡(%0，+8)時，T(x)>0,〃'(％)>0,

所以〃(X)在(0,%)上單調(diào)遞減，在(%,+8)上單調(diào)遞增,

所以當x=/時，〃(x)取得極小值，也是最小值，

即/z(x)min=M%)=+,(0<Xo<1).

xo

12

又因為—ax；+%o—1=0,得—ax。=----19所以/z(%)=In/H-----1(0<XQ<1).

%%

令夕(%)=lnx+2-l,x>0,則//(%)=!一二=±^<0在(0,1)上恒成立，

JCXXJC

所以夕(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以當xe(O,l)時，夕(力〉P(1)=1,

所以力國)>0,即〃(x)1nm>0,所以/(x)>0.

方法二：將/(x)看作以a為變量的函數(shù)0(4)=-/.o+工也》+1,其中X40,+8),

因為-必<(),所以°⑷關于a單調(diào)遞減.

要證當a<0時，/(x)>0,即證當a<0時，0(a)>0,

只需證當a=0時，^(0)=xtax+l>0.

令機(x)=xlnx+l,則加'(x)=lnx+1,令m'(x)=0,解得x=L

e

當無變化時，m'(x),%(x)的變化情況如下表：

X2

e

mr(x)—0+

m(X)單調(diào)遞減單調(diào)遞增

所以加m

(\x)/mi.n=+l>0.

綜上，a<0/(x)=^(a)>^(O)=m(x)>m^-j>O,即/(x)>0.

17.(1)證明：如圖，設PC的中點為〃，連接切，EH,則EA7/C。且切=」CD.

2

所以FH//AE,FH=AE,

所以四邊形4瓦印為平行四邊形，則4F〃如.

又因為u平面PCE,AF<z平面PCE,所以AFH平面PCE.

(2)解：如圖，取8c的中點G,連接NG,取2。的中點連接PM,CM,

則9〃尸幺且楨=工尸幺，又PA=2,所以何1=1.

2

因為尸2,平面45c。，所以q平面48CD,

7T

故EC與平面48c。所成的角為NECW,所以

6

FMr-

所以在RtaRCM中，CM=------=V3.

71

tan—

6

又由菱形性質(zhì)可得NG=CM,所以NG2+8G2=4g2,所以ZGLBC.

所以ZGL4D,所以ZG,AD,4P兩兩垂直.10分

以點N為坐標原點，直線NG,AD,4P分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

因為尸4=48=2,

所以4（0,0,0）,5（V3,-l,0）,C（V3,l,0）,￡）（0,2,0）,F（0,1,1）,尸（0,0,2）,

所以N=CF=（-V3,0,l）,AP=（0,0,2）.

由PN，平面ABCD得平面ACD的一個法向量為?=（0,0,1）.

設平面E4c的一個法向量為陽=(x,y,2),

m_LAF,m-AF=y+z=0,

則《故＜

m1CF,m?CF=-y/3x+z=0.

取x=A/3，則y=—3,z=3,

所以蔡=(G,-3,3)為平面FAC的一個法向量.

設二面角E-ZC-。的平面角為。，由圖可得。為銳角,

/——、m-n721

所以cos。=cos(m,n)=一—=---,

'/疝〃7

所以二面角E-NC-。的余弦值為q.

7

124

(2)解：設直線/的方程為y=—；x+a,

河(西,必)，N(x2,y2).

1

y=--x+m,

由＜,：消去y,整理得4/_6機x+9機2—36=0.

xy1

—?----=1,

1124

/2A\n4A/34A/3

由A=(-6m)2-11444(m2-4)>0,得------<m<------，

33

2

n.3m9m-36

貝UX]+%2=2，X^2----------

14?X]+%)~—4%]%2=~~~,J16-3切2=J10,

解得加=2或加=一2.10分

當陽=2時，直線/的方程為y=—；x+2,此時直線/過點尸（3,1）；

當刃=—2時，直線/的方程為y=——2,滿足題目條件.

所以直線/的方程為y=——2.

（3）證明：因為直線PM,PN均不與x軸垂直，

所以直線/：y=—；x+機不經(jīng)過點（3,—1）和（3,1）,則用H0且加H2,

x2+m-1

由（2）可知，人色二1T--=

(%1-3)(%-3)

%]-3%-32

2

-x1x2-3(m-l)(x1+x2)+(m-l)

xrx2-3(匹+%)+9