工程力學(xué)(高教版)教案：3.2-力偶

第二節(jié)力偶一、力偶、力偶矩在日常生活和工程實際中經(jīng)常見到物體受動兩個大小相等、方向相反，但不在同一直線上的兩個平行力作用的情況。例如，司機(jī)轉(zhuǎn)動駕駛汽車時兩手作用在方向盤上的力（圖3－7a）；工人用絲錐攻螺紋時兩手加在扳手上的力（圖3－7b）；以及用兩個手指擰動水龍頭（圖3－7c）所加的力等等。在力學(xué)中把這樣一對等值、反向而不共線的平行力稱為力偶，用符號(F,F′)表示。兩個力作用線之間的垂直距離稱為力偶臂，兩個力作用線所決定的平面稱為力偶的作用面。圖3－7實驗表明，力偶對物體只能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)，且當(dāng)力愈大或力偶臂愈大時，力偶使剛體轉(zhuǎn)動效應(yīng)就愈顯著。因此，力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)取決于：力偶中力的大小、力偶的轉(zhuǎn)向以及力偶臂的大小。在平面問題中，將力偶中的一個力的大小和力偶臂的乘積冠以正負(fù)號，(作為力偶對物體轉(zhuǎn)動效應(yīng)的量度，稱為力偶矩，用m或m(F,F′)表示，如圖3－8所示，即m(F)＝F?d=±2ΔABC(3-4)圖3－8通常規(guī)定：力偶使物體逆時針方向轉(zhuǎn)動時，力偶矩為正，反之為負(fù)。在國際單位制中，力矩的單位是牛頓?米（N??m）或千牛頓?米（kN?m）。二、力偶的性質(zhì)力和力偶是靜力學(xué)中兩個基本要素。力偶與力具有不同的性質(zhì)：（1）力偶不能簡化為一個力，即力偶不能用一個力等效替代。因此力偶不能與一個力平衡，力偶只能與力偶平衡。設(shè)剛體上的A和B分別作用著大小不等，指向相反的平行力F1和F2，若F1＞F2。由同向平行力合成的內(nèi)分反比關(guān)系，來求反向平行力的合力。圖3－9b所示，將力F1分解成兩個同向平行力，使其中一個分力F2′作用于點B，且F2′＝－F2，設(shè)另一個分力為FR，其作用線與AB的延長線交于C點。現(xiàn)將平衡力F2和F2′減去，力FR就與原來兩反向平行力F1和F2等效。即力FR為F1和F2的合力。（圖3－9b）圖3－9因為F2＝F2′＋FR＝F2＋FR所以FR＝F1－F2由內(nèi)分反比關(guān)系知若F1＝F2，則力F1和F2組成力偶，此時，F(xiàn)R＝0，于是CA＝∞CA＝∞，說明合力的作用點C不存在，所以力偶不能合成為一合力。即力偶不能用一個力代替，也不能與一個力平衡，力偶只能用力偶來平衡。(2)力偶對其作在平面內(nèi)任一點的矩恒等于力偶矩，與矩心位置無關(guān)。圖3－10如圖3－10所示，力偶(F,F′)的力偶矩m(F)＝F?d在其作用面內(nèi)任取一點O為矩心，因為力使物體轉(zhuǎn)動效應(yīng)用力對點之矩量度，因此力偶的轉(zhuǎn)動效應(yīng)可用力偶中的兩個力對其作用面內(nèi)任何一點的矩的代數(shù)和來量度。設(shè)O到力F′的垂直距離為x，則力偶(F,F′)對于點O的矩為mo(F,F′)=mo(F)+mo(F′)=F（x+d）-F′x=F?d=m所得結(jié)果表明，不論點O選在何處，其結(jié)果都不會變，即力偶對其作用面內(nèi)任一點的矩總等于力偶矩。所以力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)總?cè)Q于偶矩（包括大小和轉(zhuǎn)向），而與矩心位置無關(guān)。由上述分析得到如下結(jié)論：在同一平面內(nèi)的兩個力偶，只要兩力偶的力偶的代數(shù)值相等，則這兩個力偶相等。這就是平面力偶的等效條件。根據(jù)力偶的等效性，可得出下面兩個推論：推論1力偶可在其作用面內(nèi)任意移動和轉(zhuǎn)動，而不會改變它對物體的效應(yīng)。推論2只要保持力偶矩不變，可同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長度，而不會改變它對物體的作用效應(yīng)。由力偶的等效性可知，力偶對物體的作用，完全取決于力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向。因此，力偶可以用一帶箭頭的弧線來表示如圖3-11所求，其中箭頭表示力偶的轉(zhuǎn)向，m表示力偶矩的大小。圖3－11三、平面力偶系的合成作用在物體同一平面內(nèi)的各力偶組成平面力偶系。設(shè)在剛體的同一平面內(nèi)作用三個力偶(F1,F1′)(F2,F2′)和(F3,F3′)，如圖3－12所示。各力偶矩分別為：m1＝F1?d1，m2＝F2?d2，m3＝－F3?d3，圖3－12在力偶作用面內(nèi)任取一線段AB＝d，按力偶等效條件，將這三個力偶都等效地改為以為d力偶臂的力偶(P1,P1′)(P2,P2′)和(P3,P3′)。如圖3－12所示。由等效條件可知P1?d=F1?d1，P2?d＝F2?d2，－P3?d＝－F3?d3則等效變換后的三個力偶的力的大小可求出。然后移轉(zhuǎn)各力偶，使它們的力偶臂都與AB重合，則原平面力偶系變換為作用于點A、B的兩個共線力系（圖3－12b）。將這兩個共線力系分別合成，得FR＝P1＋P2－p3FR′＝P1′＋P2′－P3′可見，力FR與FR′等值、反向作用線平行但不共線，構(gòu)成一新的力偶（FR，F(xiàn)R′），如圖3－12c所示。為偶（FR，F(xiàn)R′）稱為原來的三個力偶的合力偶。用M表示此合力偶矩，則M＝FRd＝（P1＋P2－P3）d=P1?d+P2?d－P3?d=F1?d1+F2?d2－F3?d3所以M＝m1＋m2＋m3若作用在同一平面內(nèi)有個力偶，則上式可以推廣為M＝m1＋m2＋…＋mn＝Σm由此可得到如下結(jié)論：平面力偶系可以合成為一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代數(shù)和。四、平面力偶系的平衡條件平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，則原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，則合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的必要與充分條件：平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代數(shù)和等于零。即Σm＝0（3－6）平面力偶系有一個平衡方程，可以求解一個未知量。例3－2如圖3－13所示，電動機(jī)軸通過聯(lián)軸器與工作軸相連，聯(lián)軸器上4個螺栓A、B、C、D的孔心均勻地分布在同一圓周上，此圓的直徑d＝150mm，電動機(jī)軸傳給聯(lián)軸器的力偶矩m＝2.5kN?m，試求每個螺栓所受的力為多少？圖3－13解取聯(lián)軸器為研究對象，作用于聯(lián)軸器上的力有電動機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶，每個螺栓的反力，受力圖如圖所示。設(shè)4個螺栓的受力均勻，即F1＝F2＝F3＝F4＝F，則組成兩個力偶并與電動機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶平衡。由Σm＝0，m－F×AC－F×d＝0解得例3－3水平桿重量不計，受固定鉸支座A及CD的約束，如圖3－14所示，在桿端B受一力偶作用，已知力偶矩m＝100N?m，求A、C處的約束反力。圖3－14解取AB桿為研究對象。作用于AB桿的是一個主動力