福建省廈門市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 附答案

廈門市2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高一年級(jí)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題滿分：150分 考試時(shí)間：120分鐘考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫在答題卡上?？忌J(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將答題卡交回。一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知，則（）A.2 B. C.3 D.43.已知，為第二象限角，則（）A. B. C. D.4.已知，，，則（）A. B. C. D.5.若命題：，是假命題，則（）A. B. C.或 D.6.已知定義在上的奇函數(shù)滿足①；②，，且，，則的解集為（）A. B.C. D.7.已知函數(shù)，若，則（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.下列函數(shù)中，與函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（）A. B. C. D.10.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)的充分條件可以是（）A. B. C. D.11.已知實(shí)數(shù)，，滿足且，則（）A. B.C. D.12.已知表示不超過的最大整數(shù)，例如：，.定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A.B.當(dāng)時(shí)，C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有23個(gè)實(shí)根三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知某扇形的半徑為2，弧長(zhǎng)為，則該扇形的圓心角為______.14.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，，，，，…?寫出滿足上述條件的一個(gè)函數(shù)：______.15.已知函數(shù)，若，則的最小值為______.16.水星是離太陽(yáng)最近的行星，在地球上較難觀測(cè)到.當(dāng)?shù)厍蚝退沁B線與地球和太陽(yáng)連線的夾角達(dá)到最大時(shí)，稱水星東（西）大距，這是觀測(cè)水星的最佳時(shí)機(jī)（如圖1）.將行星的公轉(zhuǎn)視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則研究水星大距類似如下問題：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，分別在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑分別為1，3的圓上沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度分別為，.當(dāng)達(dá)到最大時(shí)，稱位于的“大距點(diǎn)”.如圖2，初始時(shí)刻位于，位于以為始邊的角的終邊上.圖1 圖2（1）若，當(dāng)?shù)谝淮挝挥诘摹按缶帱c(diǎn)”時(shí)，的坐標(biāo)為______；（2）在內(nèi)，位于的“大距點(diǎn)”的次數(shù)最多有______次.（第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（10分）已知函數(shù).（1）若的解集為，求，；（2）若，，，求的最小值.18.（12分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間上的最大值和最小值.19.（12分）已知函數(shù).（1）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.20.（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若方程在區(qū)間上有三個(gè)實(shí)根，，，求的值.21.（12分）在常溫下，物體冷卻的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述：如果物體原來的溫度為，空氣的溫度為，那么分鐘后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù).知空氣的溫度為，現(xiàn)用某品牌電熱水壺?zé)?00毫升水，2分鐘后水燒開（溫度為），再過30分鐘，壺中開水自然冷卻到.假設(shè)燒水時(shí)水的溫度是關(guān)于時(shí)間的一次函數(shù)，水的初始溫度與空氣的溫度一致.（1）從開始燒水算起，求壺中水的溫度（單位：）關(guān)于時(shí)間（單位：分鐘）的函數(shù)解析式；（2）電熱水壺在保溫模式下會(huì)自動(dòng)檢測(cè)壺中水溫，若水溫高于，保溫管不加熱；若水溫不高于，保溫管開始加熱，直至水溫達(dá)到才停止加熱，保溫管加熱時(shí)水溫的上升速度是正常燒水時(shí)的.水燒開后，立即將電熱水壺設(shè)定為保溫模式.從開始燒水算起，求96分鐘后壺中水的溫度.22.（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).廈門市2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高一年級(jí)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B 2.B 3.C 4.D 5.A 6.A 7.D 8.B二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.BD 10.AB 11.ACD 12.ACD第12題提示：對(duì)于選項(xiàng)C：的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)，，，，“=”不同時(shí)成立，原方程無實(shí)根；當(dāng)時(shí)，畫出函數(shù)的圖象，如圖12-1，12-1 12-2因?yàn)椋C，只需證，令，則，只需證，如圖12-2可知成立.所以方程在區(qū)間上恰有2個(gè)實(shí)根，所以方程在區(qū)間上恰有個(gè)實(shí)根，故選項(xiàng)D正確.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13. 14.（答案不唯一，如）15.4 16.①②6第16題提示：（1）當(dāng)時(shí)，經(jīng)過時(shí)間，，，當(dāng)位于的“大距點(diǎn)”時(shí)，與小圓相切，此時(shí)為直角三角形，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槭堑谝淮挝挥诘摹按缶帱c(diǎn)”，所以，所以，所以，.（2）經(jīng)過時(shí)間，，，對(duì)于任意，當(dāng)位于的“大距點(diǎn)”時(shí)，，兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足，即.當(dāng)時(shí)，求“大距點(diǎn)”個(gè)數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為直線與在的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.若與有7個(gè)交點(diǎn)，則第1個(gè)交點(diǎn)到第7個(gè)交點(diǎn)間隔恰好3個(gè)周期，共長(zhǎng)度等于36，因?yàn)?，所以?nèi)不可能有7個(gè)交點(diǎn).又當(dāng)時(shí)，如圖所示，與有6個(gè)交點(diǎn)，故最多有6次位于的“大距點(diǎn)”.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.本題考查二次函數(shù)與一元二次方程、不等式之間的關(guān)系、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解、推理論證等能力；考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等思想.滿分10分.解：（1）因?yàn)榈慕饧癁?，所以，是方程的兩根，所以，解得?（2）因?yàn)?，所?因?yàn)?，，所?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以當(dāng)，時(shí)，的最小值為9.18.本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)、圖象變換等數(shù)學(xué)知識(shí)；考查運(yùn)算求解、推理論證等數(shù)學(xué)能力；考查數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).滿分12分.解：（1）由圖知：，因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，所以，?因?yàn)?，所以，所?（2）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得.因?yàn)?，令，?dāng)，即時(shí)，取最小值；當(dāng)，即時(shí)，取最大值1.19.本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等數(shù)學(xué)知識(shí)；考查推理論證、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)能力；考查轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想；考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).滿分12分.解法一：（1）在區(qū)間上單調(diào)遞減.證明：，，且，則，因?yàn)?，所以，，又，，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以為偶函?shù).由（1）可知在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最小值為.因?yàn)楹愠闪ⅲ院愠闪?，所以，解得，所以的最大值?解法二：（1）同解法一（2）因?yàn)椋?，所以，所以，所以?dāng)時(shí)，的最小值為.因?yàn)楹愠闪ⅲ?，所以的最大值?20.本題考查三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等數(shù)學(xué)知識(shí)；考查推理論證、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)能力；考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想；考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).滿分12分.解法一：（1）令，由得，即，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）由得，所以在區(qū)間上有三個(gè)實(shí)根，，等價(jià)于在區(qū)間上有三個(gè)實(shí)根，，，由對(duì)稱性得，，所以，因?yàn)?，，所以，所?解法二：（1）同解法一（2）由，得，所以在區(qū)間上有三個(gè)實(shí)根，，等價(jià)于在區(qū)間上有三個(gè)實(shí)根，，，由周期性，有，因?yàn)?，，所以?21.本題考查指數(shù)運(yùn)算、指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用等數(shù)學(xué)知識(shí)；考查邏輯推理、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)能力；考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想；考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).解：（1）由題意知，空氣的溫度為，水溫從自然冷卻到用時(shí)30分鐘，所以，即，所以，當(dāng)時(shí)，依題意設(shè)，則，解得，所以，當(dāng)時(shí)，依題意得，，即，綜上，（2）由，解得，即從開始燒水算起，水溫從升到，再冷卻到，用了62分鐘，因?yàn)?，所以保溫管加熱過，因?yàn)楸毓芗訜釙r(shí)水溫上升速度是正常燒水時(shí)的，所以保溫管加熱時(shí)，水溫每分鐘升高，所以水溫從升至，所用時(shí)間為分鐘，假設(shè)水溫從降至需要分鐘，則，即，因?yàn)?，所以，即水溫從冷卻至所用時(shí)間超過30分鐘，因?yàn)?，所以從開始燒水算起，96分鐘內(nèi)保溫管只加熱過1次，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以從開始燒水算起，96分鐘后壺中水的溫度為.22.本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、函數(shù)的零點(diǎn)、不等式等數(shù)學(xué)知識(shí)；考查推理論證、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)能力；考查轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想；考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).解：（1）的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以是奇函?shù).因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以是增函數(shù)，由得，即，所以，解得，即原不等式的解集為.（2）由得，①當(dāng)，即時(shí)，等式成立，所以為的一個(gè)零點(diǎn).②當(dāng)，即