2024-2025學(xué)年廣東省肇慶市德慶縣高三上冊(cè)12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省肇慶市德慶縣高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，集合，則等于（）A.B.C.D.2.已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）A. B. C. D.3.在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則 ()A． B．C．D．4.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且對(duì)任意，均有成立，則下列函數(shù)中符合條件的是（）A. B. C.D.5．已知圓柱的高為2，側(cè)面積為，若該圓柱的上、下底面圓周都在某一球的球面上，則該球的體積為（

）A． B． C． D．6.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，且，則的最大值為（）A．10B．20C．25D．507.已知，則（

）A． B． C． D．8．已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的為（

）A． B．的最小正周期C．有4個(gè)零點(diǎn) D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)為復(fù)數(shù)，．下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則10.如圖是函數(shù)（，，）的部分圖像，則（

）A．的最小正周期為B．是的函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸C．將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后，得到的函數(shù)為奇函數(shù)D．若函數(shù)（）在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M，N，P分別是，，的中點(diǎn)，Q是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．存在點(diǎn)Q，使B，N，P，Q四點(diǎn)共面 B．存在點(diǎn)Q，使平面MBNC．三棱錐P-MBN的體積為D．經(jīng)過(guò)C，M，B，N四點(diǎn)的球的表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則____13.曲線在x＝1處的切線的傾斜角為α，則的值為_(kāi)_________14.已知若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_______四、解答題：本題共5小題，共77分．解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.(本小題滿分13分)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，滿足a＝2cosB(bcosC＋ccosB)．(1)求B；(2)已知點(diǎn)D在邊AC上，且BD是∠ABC的平分線，BD＝2，求a＋c的最小值．16.(本小題滿分15分)如圖，在三棱柱中，側(cè)面是菱形，且.（1）證明：；（2）若，，求二面角的余弦值．17.(本小題滿分15分)已知函數(shù).（1）求的極值；（2）對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍.18.(本小題滿分17分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn＝2an－n＋1.(1)證明：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列{bn}滿足b1＝a2，bn＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an，n為奇數(shù)，,an－bn，n為偶數(shù)，))求數(shù)列{bn}的前項(xiàng)的和．19.(本小題滿分17分)記、分別為函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù).若存在滿足且，則稱(chēng)為函數(shù)與的一個(gè)“S點(diǎn)”.(1)證明:函數(shù)與不存在“S點(diǎn)”;(2)若函數(shù)與存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的值(3)已知函數(shù)，對(duì)任意，判斷是否存在，使得函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“S點(diǎn)”，并說(shuō)明理由.數(shù)學(xué)答案一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.【答案】A解析：集合，則。2.【答案】B【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，由于圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，則，解得.3.【答案】D解析：因點(diǎn)D在邊AB上，，所以，即，所以．4.【答案】B【詳解】對(duì)于A:，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B:，又定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，即函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，滿足題意.對(duì)于C:，故不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D:，故D錯(cuò)誤；5.【答案】A由圓柱側(cè)面積，解得，因?yàn)閳A柱的上、下底面圓周都在某一球的球面上，所以球心在圓柱高的中點(diǎn)處，設(shè)球半徑為，則由，所以6.【答案】C解：由得，即，由基本不等式得，當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立。7.【答案】C【詳解】由，得，即，所以，所以，所以.8.【答案】D對(duì)于A：由題意可得：，解得，故A正確；對(duì)于B：∵是偶函數(shù)，則，則，又∵為奇函數(shù)，則，可得，∴fx+4=?fx+2=??fx=fx，則的最小正周期，故B正確；對(duì)C：令，則，注意到此時(shí)，分別作出的圖象，由圖象可知：有4個(gè)交點(diǎn)，故有4個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對(duì)D：∵，則，可得，故D不正確.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．9.【答案】BC【詳解】由復(fù)數(shù)模的概念可知，不能得到，例如，A錯(cuò)誤；由可得，因?yàn)?，所以，即，B正確；因?yàn)椋?，所以，所以，C正確；取，顯然滿足，但，D錯(cuò)誤.故選：BC10.【答案】AD【詳解】由圖像可知，，，即，故A正確；，此時(shí)，又在圖像上，，解得，，，，，當(dāng)是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，此時(shí)不符合題意，故B錯(cuò)誤；將的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為：不為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；令，解得，當(dāng)時(shí)，，不合題意時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；又因?yàn)楹瘮?shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，解得，故D正確.故選：AD.11.【答案】ABC【詳解】如圖，在正方體中，連接，，因?yàn)镹，P分別是，的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，所以，B，N，P四點(diǎn)共面，即當(dāng)Q與重合時(shí)，B，N，P，Q四點(diǎn)共面，故選項(xiàng)A正確；連接PQ，，當(dāng)Q是的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠矫鍮MN，平面BMN，所以平面BMN，故選項(xiàng)B正確；連接，，，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)C正確；分別取，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，構(gòu)造長(zhǎng)方體MADF-EBCN，則經(jīng)過(guò)C，M，B，N四點(diǎn)的球即為長(zhǎng)方體MADF-EBCN的外接球，設(shè)所求外接球的直徑為2R，則長(zhǎng)方體MADF-EBCN的體對(duì)角線即為所求的球的直徑，即，所以經(jīng)過(guò)C，M，B，N四點(diǎn)的球的表面積為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.答案：解析：設(shè)等比數(shù)列公比為，由已知得：，∴∴,所以13.答案：解析：依題意，y′＝1x+2x2，所以tan所以cos2α+π2＝－sin2α＝－2sinα14.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，,則,當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以時(shí)，.畫(huà)出函數(shù)的圖象如圖所示：因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知或.所以的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.解：(1)由正弦定理得：........................1分sinA＝2cosB(sinBcosC＋sinCcosB)＝2cosBsinA，.........................3分因?yàn)閟inA≠0，所以cosB＝eq\f(1,2)，.............................................4分又B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3)..............................................5分(2)因?yàn)锽D是∠ABC的平分線，所以∠ABD＝∠CBD＝eq\f(π,6)，.............................................6分又S△ABC＝S△BCD＋S△ABD，所以eq\f(1,2)acsineq\f(π,3)＝eq\f(1,2)a·2·sineq\f(π,6)＋eq\f(1,2)c·2·sineq\f(π,6)，.............................................8分化簡(jiǎn)得eq\f(\r(3),2)ac＝a＋c，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(\r(3),2)，............................................10分所以a＋c＝eq\f(2,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,c)))(a＋c)＝eq\f(2,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(c,a)＋\f(a,c)＋1))≥eq\f(2,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋2\r(\f(c,a)·\f(a,c))))＝eq\f(8\r(3),3)..............................12分當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(c,a)＝eq\f(a,c)時(shí)，等號(hào)成立，即a＋c的最小值為eq\f(8\r(3),3)..............................................13分16.解：（1）設(shè)，連接.因?yàn)閭?cè)面是菱形，所以，.............1分又因?yàn)?，所?....................2分又，.....................3分所以，.....................4分又，所以......................5分(2)因?yàn)?，所以，?1)知，則....................6分設(shè).如圖，以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，....................7分則，，，，因?yàn)?，易?，，....................10分（或者不求的坐標(biāo)，利用也可得出的坐標(biāo)）設(shè)是面的一個(gè)法向量，則即，可取...................12分設(shè)是面的一個(gè)法向量，則即，可取...................14分，所以二面角的余弦值為...................15分17.解：（1）的定義域?yàn)?...................1分當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)單調(diào)遞增，無(wú)極值；...................2分當(dāng)時(shí)，令，得....................3分故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，...................5分此時(shí)在處取到極小值，無(wú)極大值....................6分（2）方法一：對(duì)任意時(shí)，恒成立，即恒成立....................7分令，則..................9分令，則，...................10分即在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，...................11分所以當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)單調(diào)遞增；...................12分當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)單調(diào)遞減，...................13分所以....................14分所以，即的取值范圍為....................15分方法二：由（1）知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增....................7分因?yàn)?，所以不符合題意；...................8分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增.對(duì)任意時(shí)，恒成立，即，即....................10分令在區(qū)間上單調(diào)遞增.又所以；...................12分當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減...................13分所以，符合題意；...................14分綜上，的取值范圍為....................15分18.解析：(1)證明：當(dāng)n＝1，得S1＝a1＝2a1－1＋1，解得a1＝0...................1分由題意Sn＝2an－n＋1①得：則Sn＋1＝2an＋1－(n＋1)＋1②，...................2分②－①，得an＋1＝2an＋1－2an－1，...................3分即an＋1＝2an＋1，...................4分所以an＋1＋1＝2(an＋1)，即eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝2....................5分又因?yàn)閍1＋1＝1，...................6分所以{an＋1}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．...................7分(2)由(1)知an＋1＝2n-1，則an＝2n－1－1，...................9分所以bn＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2n－1－1，n為奇數(shù)，,2n－1－1－bn，n為偶數(shù)，))...................10分且b1＝a2＝22-1－1＝1，.