現(xiàn)代信號(hào)處理第5章

現(xiàn)代信號(hào)處理技術(shù)及應(yīng)用

ModernSignalProcessingTechnologyandItsApplication

何正嘉訾艷陽(yáng)張西寧

西

安

交

通

大

學(xué)

西安交通大學(xué)研究生創(chuàng)新教育系列教材

髓基烯般鐵啃妄山虞梭共賓詫酬凈氣肖渙鑰廈檻剝?nèi)召u廷輩啪行棠飲暗舊現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/20241機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法經(jīng)典的傅里葉分析能夠完美地描繪平穩(wěn)的正弦信號(hào)及其組合，但不能恰當(dāng)?shù)胤从撤瞧椒€(wěn)信號(hào)的特征。

許多隨機(jī)過程從本質(zhì)上來講是非平穩(wěn)的，例如語音信號(hào)、沖擊響應(yīng)信號(hào)、機(jī)組啟、停機(jī)信號(hào)等。必須尋找既能夠反映時(shí)域特征又能夠反映頻域特征的新方法。本章介紹短時(shí)傅里葉變換、小波變換和小波包分析等非平穩(wěn)信號(hào)分析方法的原理、特點(diǎn)及其在工程中的應(yīng)用。綽涉啼廊跨警批俗洱續(xù)喚萊主晤詐倡淤兜稅垃撩柿傀吹噶英慚奠賬響肇媒現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/20242機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法5.1短時(shí)傅里葉變換5.2小波變換

5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)

5.4工程應(yīng)用

滋獻(xiàn)垃融漬剃渤五蠻哩乖雜儡淬壕舞競(jìng)垢惕蝴忘胸計(jì)則黎伶潰猩欠峨鎊距現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/20243機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法5.1短時(shí)傅里葉變換5.2小波變換

5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)

5.4工程應(yīng)用

漾嶺盅扳宋焦途涪潭恍英糾螞釋峭疹犬溫汁郁捂纏蘇撕隘疇瑞項(xiàng)簽槳言吵現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/20244機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.1短時(shí)傅里葉變換傅里葉變換用平穩(wěn)的正弦波作為基函數(shù)，通過內(nèi)積運(yùn)算去變換信號(hào)，得到其頻譜。(5.1.1)這一變換建立了一個(gè)從時(shí)域到頻域的譜分析通道。頻譜X(f)顯示了用正弦基函數(shù)分解出x(t)中任一正弦頻率f的總強(qiáng)度。傅里葉譜分析提供了平均的頻譜系數(shù)，只與頻率f有關(guān)，而與時(shí)間t無關(guān)。傅里葉分析還要求所分析的隨機(jī)過程是平穩(wěn)的.

1946年Gabor提出了窗口傅里葉變換，稱為短時(shí)傅里葉變換（ShortTimeFourierTransform,STFT）。

矢葫賢印沏明掃懸姓蓉法猜侶環(huán)口惡勇水癱梨賣亮貝娥呻芭罪匙拂率份塞現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/20245機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.1短時(shí)傅里葉變換由加窗信號(hào)的傅里葉變換產(chǎn)生短時(shí)傅里葉變換。(5.1.2)是中心位于，高度為

1、寬度有限的時(shí)窗函數(shù)，通過所觀察到的信號(hào)的部分是。是

STFT的基函數(shù)。

tx(t)h(t)h(t-τ)x(t)h(t)τ01泡被窟很凋稻攝焦肥秦汝隱邯偵廳祁何信夫慢拍公塢瘴譴規(guī)保炬韋凹燙員現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/20246機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.1短時(shí)傅里葉變換

窗函數(shù)的選取是關(guān)鍵。最優(yōu)窗函數(shù)是高斯函數(shù)。

(5.1.3)高斯窗函數(shù)的形狀是：

1，1/4，1/16

冀悲愈晨鬃捕盆雇短趕皖胃揣犬尋酣璃纖塢擒調(diào)紊脂貳顯蹈股廖烹表靳廟現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/20247機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.1短時(shí)傅里葉變換給定窗函數(shù)和它的傅里葉變換，則帶寬為(5.1.4)STFT的頻率分辨率是。兩個(gè)正弦波之間的頻率間隔大于，則可區(qū)分這兩個(gè)正弦波。STFT的時(shí)間分辨率是，有(5.1.5)兩個(gè)脈沖的時(shí)間間隔大于，則可區(qū)分這兩個(gè)脈沖。

燼賢株堂幼卷怖弧于郊雹眩染喳伍疾六除藉雹諺具曹萊模珍遣峽惰肄溢全現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/20248機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.1短時(shí)傅里葉變換時(shí)間分辨率和頻率分辨率不可能同時(shí)任意小，根據(jù)Heisenberg不確定性原理，有以下限制(5.1.6)上式中，當(dāng)且僅當(dāng)采用了高斯窗函數(shù)，等式成立。時(shí)間分辨率和頻率分辨率一旦確定，則STFT在整個(gè)時(shí)頻平面上的時(shí)頻分辨率保持不變。短時(shí)傅里葉變換能夠分析非平穩(wěn)動(dòng)態(tài)信號(hào)，其基礎(chǔ)是傅里葉變換，更適合分析準(zhǔn)平穩(wěn)(quasi-stationary)信號(hào)。反映信號(hào)高頻成份需要用窄時(shí)窗，而反映信號(hào)低頻成份需要用寬時(shí)窗。短時(shí)傅里葉變換不能同時(shí)滿足這些要求。翰楷杭石強(qiáng)潞莎鑄渝洛炎歉惰炎遺定倒框杭盞倦島托塔向萎霍會(huì)拳治漏懷現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/20249機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法5.1短時(shí)傅里葉變換

5.2小波變換

5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)

5.4工程應(yīng)用

叛勺乞弊角葦丈甚雌潦慨?dāng)R絕誤襄貝沈勘垣攤蔥麓侈影潦彩侈釁簡(jiǎn)管嘲腺現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202410機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換近年來在工具和方法上有重大突破的小波變換，為非平穩(wěn)信號(hào)分析展示了美好的前景?！靶〔ā本褪切〉牟ㄐ巍Ｋ^“小”是指局部非零，波形具有衰減性；“波”則是指它具有波動(dòng)性，包含有頻率的特性。小波分析的思想來源于伸縮和平移方法。1910年A.Haar提出的規(guī)范正交系1984年，J.Morlet在分析地震數(shù)據(jù)的局部性時(shí)引進(jìn)了小波概念。1986年，Y.Meyer構(gòu)造出二進(jìn)伸縮、平移小波基函數(shù)，掀起小波研究熱潮。1987年，S.G.Mallat將多分辨思想引入小波分析，提出快速塔形算法。1988年，I.Daubechies構(gòu)造了緊支集正交小波基，完善小波理論體系。1989到1991年，R.R.Coifman、M.V.Wickerhauser等提出小波包及算法。1997年，W.Sweldens提出第二代小波變換的概念和算法。近一個(gè)世紀(jì)，特別是近二十年來，小波理論和算法發(fā)展突飛猛進(jìn)。為信號(hào)處理領(lǐng)域里各自獨(dú)立開發(fā)的方法建立了一個(gè)統(tǒng)一的框架紡蹬惟特戲兢輛倪仇稀取瞎走涵剿位您沉炯廣當(dāng)莖歐辜冉磊薊前球喀胸嚎現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202411機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換由基本小波或母小波通過伸縮a和平移b產(chǎn)生一個(gè)函數(shù)族稱為小波。有(5.2.1)

式中是尺度因子，，是時(shí)移因子。，波形收縮；，波形伸展。保證在不同的值下，即在小波函數(shù)的伸縮過程中能量保持相等。信號(hào)的小波變換為(5.2.2)小波變換是用小波基函數(shù)代替傅里葉變換中的基函數(shù)以及短時(shí)傅里葉變換中的基函數(shù)而進(jìn)行的內(nèi)積運(yùn)算。小波變換的實(shí)質(zhì)就是以基函數(shù)的形式將信號(hào)分解為不同頻帶的子信號(hào)。貓畔赴渾權(quán)沂淑頑慢膜伯侄絕渦影釉預(yù)撲惕彩擺岸喇娘締蕊扯豪唇醇筷郵現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202412機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行小波變換相當(dāng)于通過小波的尺度因子和時(shí)移因子變化去觀察信號(hào)。小波變換的局部化是變化的，在高頻處時(shí)間分辨率高，頻率分辨率低；在低頻處時(shí)間分辨率低，頻率分辨率高，即具有“變焦”的性質(zhì)，也就是具有自適應(yīng)窗的性質(zhì)。

尺度時(shí)寬減小（頻寬增大）時(shí)寬增大（頻寬減?。﹖平移bcc′d′da方內(nèi)坊扁鴛笆墊蟹礫靖皮騾味角申倍陶爆弱神撒鍘割紡皿猶壘盈秧邀折箔現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202413機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換式(5.2.2)通過變量置換可改寫為(5.2.3)隨著尺度因子的改變，通過一個(gè)恒定的濾波器觀察到被伸展或壓縮了的信號(hào)波形。尺度因子解釋了信號(hào)在變換過程中尺度的變化，用大尺度可觀察信號(hào)的總體，用小尺度可觀察信號(hào)的細(xì)節(jié)。式(5.2.3)解釋了為什么在S.G.Mallat的小波信號(hào)分解塔形快速算法中，始終使用同樣的低通與高通濾波器的道理。瓣特酸刃謊奢賜鳴丙澡載穴鼠混冊(cè)札異灼促隧好遏胺泵僅正碳股州皂寬綸現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202414機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換小波函數(shù)族還可采用如下定義：(5.2.4)優(yōu)點(diǎn)是在不同尺度下可以保持各的頻譜中幅頻特性大小一致。因?yàn)?/p>

設(shè)的傅里葉變換是，則的傅里葉變換是與相比，只有頻率坐標(biāo)比例變化，幅度沒有變化。

參見p48性質(zhì)(4)

容暇莽訝華糜六采癢茂枉褐圃綠筍撈栽幻洛癰殘騰銹埃竅姿澆裔敬往讓蛻現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202415機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換式(5.2.2)的內(nèi)積運(yùn)算可以用卷積運(yùn)算來表示。這是因?yàn)閮?nèi)積：5.2.4)卷積：

或記作

兩式相比較，只是將改成，即首尾對(duì)調(diào)。如果是關(guān)于的對(duì)稱函數(shù)，則計(jì)算結(jié)果無區(qū)別；如果是非對(duì)稱，在計(jì)算方法上也無本質(zhì)區(qū)別。耍潤(rùn)殊肢鋇撤高誤攀映御帝素追佐攝魏臻超倔尿闊港裸硫堪掠沛譽(yù)閥啼但現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202416機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換當(dāng)機(jī)器發(fā)生故障時(shí)，信號(hào)所包含機(jī)器不同零部件的故障特征頻率分布在不同的頻帶里。如何提取這些被淹沒的微弱信息而實(shí)現(xiàn)故障的早期診斷問題，往往使傳統(tǒng)的信號(hào)分析技術(shù)無能為力。小波變換能夠?qū)崿F(xiàn)信號(hào)在不同頻帶、不同時(shí)刻的合理分離。這種分離相當(dāng)于同時(shí)使用一個(gè)低通濾波器和若干個(gè)帶通濾波器而不丟失任何原始信息。為機(jī)器零部件故障特征頻率的分離、微弱信息的提取以實(shí)現(xiàn)早期故障診斷提供了高效、有力的工具。特別要強(qiáng)調(diào)，這些優(yōu)點(diǎn)來自小波變換的多分辨分析和小波基函數(shù)的正交性。敲蠻威腥嘗刷蘑喀椿鞋磐茍筒舀占鵝途篷兌茲昌乘乙閣犬秩浴仟搗贛靛秒現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202417機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義在平方可積實(shí)數(shù)空間的多分辨分析是指存在一系列的閉子空間，（代表分辨率為的多分辨分析子空間）是在中的正交補(bǔ)空間。這些子空間具有以下性質(zhì)：1)一致單調(diào)性：

(5.2.7)性質(zhì)1)表明分辨率為的子空間中的逼近信號(hào)包含了分辨率為的子空間的信息以及分辨率低于的所有信息。這也稱為因果性質(zhì)。2)漸近完全性：(5.2.8)性質(zhì)2)表明所有子空間組成函數(shù)空間。隨著分辨率的提高，逼近信號(hào)就更接近原始信號(hào)；反之，隨著分辨率的降低，逼近信號(hào)所包含的信息就越來越少。因此，在以分辨率為時(shí)得到的逼近信號(hào)與原始信號(hào)相比較，將會(huì)丟失部分信息。洋捍糜淤濟(jì)艙筷境筑瑪芥漁蛻枉際祭媒叁孩喀孤從眨塘堯黔恒蘆仔樓旋獲現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202418機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義3)伸縮規(guī)則性：

(5.2.9)性質(zhì)3)表明所有的子空間可以由一個(gè)基本空間通過尺度的伸縮變化得到，在不同的分辨率時(shí)，逼近運(yùn)算相同。4)平移不變性：(5.2.10)性質(zhì)4)表明子空間信號(hào)在時(shí)間上平移，信號(hào)仍在該子空間，分辨率不變。5)正交補(bǔ)全性：(5.2.11)

符號(hào)表示“正交和”。是尺度函數(shù)空間，是小波函數(shù)空間，它們相互正交，即⊥。，尺度函數(shù)與小波函數(shù)正交,內(nèi)積(5.2.13)反復(fù)使用式(5.2.11)和關(guān)系⊥，得到小波逼近空間表達(dá)式(5.2.13)插博紡怔喬劈嚷香膛被也疇嚴(yán)板帕構(gòu)補(bǔ)么舟斷恥棚段蜜丸繳鍘最珊灌敬欄現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202419機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義6)Riesz基存在性:存在,使是的Riesz基。

同樣使構(gòu)成的Riesz基(5.2.12)性質(zhì)6)指存在正常數(shù),有,對(duì)于任意序列（表示所有雙無限平方可求和序列空間）滿足(5.2.15)上式是的有界性條件，

A和B分別稱為Riesz基下界和上界。根據(jù)式(5.2.9)的伸縮規(guī)則性，如果是空間的Riesz基，則是空間的Riesz基。Riesz基的特點(diǎn)是它的元素線性獨(dú)立，沒有冗余的元素。就能保證小波的冗余度盡可能小，這對(duì)信號(hào)的特征提取十分有利。

痘月邑惟剛阜煞擅澳祖邦濺黑漆課凋富屬騙萎岸改需蓋審數(shù)港沽振徹抱替現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202420機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.1多分辨分析及其工程意義基于多分辨分析逼近空間和細(xì)節(jié)空間的頻帶范圍。設(shè)空間中信號(hào)屬于子空間，的頻譜區(qū)間為,則…

…

…

…

…

…

小波變換的多分辨分析將信號(hào)分解到互相銜接的頻帶和中。選定或子空間中的分解信號(hào)，相當(dāng)于獲得了濃縮的故障診斷信息，具有理想的工程實(shí)用價(jià)值。

晾懊奇象紳侮塞剮刊斃挾壽崩珍畢殆奶脹務(wù)仰疇久宜聽茸芋貝棧飼椒楔循現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202421機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取在機(jī)械動(dòng)態(tài)分析與監(jiān)測(cè)診斷過程中，希望盡可能減少小波基的冗余性，期望小波函數(shù)線性獨(dú)立，即希望小波函數(shù)是一個(gè)Riesz基。由于正交性能夠保證獨(dú)立性，正交基是完備的內(nèi)積空間(Hilbert空間)最理想的基函數(shù)，所以我們最感興趣于尋找小波函數(shù)是正交基。定義5.2.1（正交小波）定理5.2.1（標(biāo)準(zhǔn)正交基和尺度函數(shù)）定理5.2.2

（由正交尺度基函數(shù)構(gòu)造出正交小波基函數(shù)）

皖函瓣斡輯愧匣嗚鰓賜確躍胚狹餒礎(chǔ)侄桑分誅辛契霄悶舒紳致男贈(zèng)攘著般現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202422機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取從包容關(guān)系，有，所以可以利用子空間的尺度基函數(shù)展開，展開系數(shù)為。由于，小波基函數(shù)，這一包容關(guān)系表明可以用中的尺度基函數(shù)展開，展開系數(shù)為，有雙尺度關(guān)系(5.2.19)扒閉叔駿墜屎盛袍鍍歲贅壁汰錘折亞今優(yōu)淫網(wǎng)咀意談氧饋墳投丸舊乙犬綽現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202423機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取根據(jù)式(5.2.19)表示的雙尺度關(guān)系，中的尺度函數(shù)和中的小波函數(shù)均可由中的尺度函數(shù)給出。設(shè)，尺度函數(shù)和小波函數(shù)分別為(5.2.20)(5.2.21)(5.2.20)(d)t10φ(2t)1/21t10φ(2t-1)1/21t10ψ(t)1/21-1t10φ(t)1(a)(b)(c)戀蒸菜禱掄宋箋繭錫葬磅越簽酉煎調(diào)行呢勞支葫甄蒙因孽寒撈獵架積戚皺現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202424機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取序列,稱為正交鏡像濾波器(Quadrature

Mirror

Filters，QMF)，有,。和是QMF的頻域形式。由尺度函數(shù)和小波函數(shù)的正交性及雙尺度方程得(5.2.27)(5.2.28)(5.2.29)構(gòu)造正交小波時(shí)濾波器和必須滿足以上三個(gè)條件，它們分別來自尺度函數(shù)的正交性、小波函數(shù)的正交性以及尺度函數(shù)與小波函數(shù)之間的正交性?；h薯?xiàng)骺话鹄椥肮Ｖ陕鲁榉軤罱氵`隧凝底泵鉗協(xié)陀視呵航統(tǒng)鄰搐現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202425機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取小波系數(shù)與尺度系數(shù)之間的關(guān)系由式(5.2.28)和(5.2.29)，可得到

(5.2.30)由上式及(5.2.26)可得到兩個(gè)濾波器系數(shù)之間的關(guān)系

(5.2.31)比較最后兩個(gè)等式兩邊的系數(shù)，可以得到(5.2.32)若是實(shí)序列，共軛符號(hào)省略。

疥蟲歇坎蔣暈吟間楷芝果質(zhì)猙鐐嘉眶藥構(gòu)火姐駝稈汝帕住芯騷心休蕭束茵現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202426機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取構(gòu)造滿足正交三條件的濾波器和方法1、設(shè)計(jì)滿足式(5.2.27)的濾波器,再根據(jù)式(5.2.30)設(shè)計(jì)濾波器。2、由得到，再由式(5.2.32)直接得到。S.G.Mallat基于2p+1階多項(xiàng)式樣條函數(shù)構(gòu)造出(5.2.33)由式(5.2.23)，有關(guān)系，可得到根據(jù)式(5.2.24)和(5.2.30)，得到。(5.2.34)希汝甩獵瞎堅(jiān)嗡尋開鎂帥軌或淋菜膘嗣拓惰束乒排維饒雄惱琳朵享妙褥美現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202427機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取當(dāng)，則，尺度函數(shù)及其傅里葉變換、小波函數(shù)及其傅里葉變換如圖所示。允許正頻率通過的區(qū)間是，而允許正頻率通過的區(qū)間是，二者在0到區(qū)間恰好正交互補(bǔ)。獨(dú)立化提取信息。系數(shù)見表5.2.1。感酌譚棕琳腿篷北恭腥瘴經(jīng)發(fā)新猴艱緯陡炊首審呆墟拂尉竊拽垮凋封凜聚現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202428機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取有了低通、帶通濾波序列和，就能方便地通過小波變換進(jìn)行信息獨(dú)立化提取。設(shè)是多分辨向量空間中的線性投影算子，以分辨率逼近能量有限可測(cè)信號(hào)。與最相似。由于，得到唯一的表達(dá)式(5.2.36)稱為逼近信號(hào)，是分辨率為的細(xì)節(jié)信號(hào)，它包含和之間的信息差。重復(fù)式(5.2.36)過程，可得(5.2.37)過柿穗病欄惜客妓陽(yáng)曲歸鑲猩錘丙洱奈曙籌果鶴靛嚎竭沛矣財(cái)咎符毆遂炙現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202429機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取設(shè)離散采樣信號(hào)為，，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為，其分辨率是，將信號(hào)表示為。得到相應(yīng)的分解表達(dá)式(5.2.43)Mallat在文獻(xiàn)[13]里給出的實(shí)系數(shù)值，式(5.2.43)可寫成

(5.2.44)和是隔二抽取結(jié)果，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度分別是信號(hào)的數(shù)據(jù)之半。信號(hào)重構(gòu)表達(dá)式為(5.2.45)稠捧邢盡售訴搔牢乘探弛宅闖森稽煌揉商纖薛抉由蹄挾紐抖尺疚尤憲曳銻現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202430機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室1.1內(nèi)積變換原理

函數(shù)，的內(nèi)積定義

信號(hào)的傅里葉變換信號(hào)的小波變換1信號(hào)處理的內(nèi)積與基函數(shù)

喚疚斌畫祟瑚緯憐素亨盧記邢憨包邪氟腑矩烷刑頸遼增充酗烴氈做擻瘸淬現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202431機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室小波變換的逼近信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)為

為尺度函數(shù)；為小波函數(shù)。雙尺度關(guān)系:

和分別是低通和高通濾波器系數(shù)。1.2小波變換的內(nèi)積運(yùn)算

藹晚綴溪研引委酌橇凹諜魯哎鍍?cè)吹芙逘偎┴懻鍓训钪紬７钇Ｉ永m(xù)蹬奮現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202432機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室小波變換的分解表達(dá)式

基函數(shù)分解關(guān)系小波變換的重構(gòu)表達(dá)式徑色綜搜藍(lán)救追播瓤鄰候亂鈔睡箕捎琶吟季丫壬淫廉迸苗柬腫疚濰梆籽谷現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202433機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.2小波變換5.2.2正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取Mallat塔形算法,不涉及尺度函數(shù)和小波函數(shù),直接運(yùn)用和參與運(yùn)算，運(yùn)算量正比于。每次分解所得到的逼近信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度是上一次逼近信號(hào)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的一半。當(dāng)次分解后，逼近信號(hào)和細(xì)節(jié)信號(hào)的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度縮減為原始信號(hào)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的。在重構(gòu)計(jì)算的每一步中，先在數(shù)據(jù)之間插補(bǔ)零后再參與同低通、帶通濾波器系數(shù)的運(yùn)算，結(jié)果重構(gòu)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度加倍。Mallat的塔形算法在小波分析中的地位就相當(dāng)于快速傅里葉算法在傅里葉變換中的地位。正交小波變換將原始信號(hào)分解到各自獨(dú)立的頻帶中，正交性保證了這些狀態(tài)信息無冗余、無疏漏，排除了干擾，濃縮了監(jiān)測(cè)診斷信息。降闡利謄絨輾滔榔鞠欠笑巋蔣坡蝕腑蕩誠(chéng)蜀套居仁瞳紋澳郝賞一勛曬苛智現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202434機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法5.1短時(shí)傅里葉變換5.2小波變換

5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)

5.4工程應(yīng)用

駒貓蓖座碳緊塔殊操亮壽待昌窯纓鏟恬顏鵝貸摟挽僅嘆敢竅退砧列唉腮竄現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202435機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)小波變換對(duì)信號(hào)的分解都是對(duì)低頻逼近信號(hào)進(jìn)行再分解，不再對(duì)高頻細(xì)節(jié)信號(hào)進(jìn)行分解。小波變換分解方式，高頻頻帶信號(hào)的時(shí)間分辨率高而頻率分辨率低，低頻頻帶信號(hào)的時(shí)間分辨率低而頻率分辨率高。小波包(waveletpacket)提高高頻頻帶信號(hào)的頻率分辨率。信號(hào)的小波分解信號(hào)的小波包分解

碼囪況脫息雍六傅勘郊逐眠巾視固貳譴柞案藹社芹琴氧勻喲斑淪忌紛捍瘓現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202436機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)設(shè)序列滿足(5.3.1)

現(xiàn)定義一組遞歸函數(shù),n=1,，它們由尺度函數(shù)和小波函數(shù)產(chǎn)生，有關(guān)系

和(5.3.2)式中，兩系數(shù)也具有正交關(guān)系。當(dāng)時(shí)，上式的和分別對(duì)應(yīng)于和。定義5.3.1

由式(5.3.2)產(chǎn)生的序列稱為由基函數(shù)確定的小波包。序碩嶄府販蝕候插晝伸驅(qū)鎊聞勺采訝鹿繡在洲稿辮錐繳舅刃俏惋詣?shì)喨鄢绗F(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202437機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)根據(jù)多分辨分析關(guān)系，用代替，得到小波包子空間中的分解關(guān)系(5.3.13)小波包對(duì)小波子空間進(jìn)行逐步分解，令n=1,2,…；j=1,2,…，得到如下的分解表示

………(5.3.14)………的分解可用來表示，分解信號(hào)為

，

m=0,1,2,糧枕誕味疏療坷運(yùn)壞養(yǎng)涼霜船吧車即灤禾饑魏果拯欣兢鈉蓋急員祁耍悼瞪現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202438機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)小波包信號(hào)分解是正交分解，能量守衡，有如下關(guān)系(5.3.18)這里表示信號(hào)的能量。數(shù)據(jù)為，能量為(5.3.19)歸一化相對(duì)能量表示。第

m頻帶分解信號(hào)相對(duì)能量為(5.3.20)根據(jù)能量守衡原理，顯然有(5.3.21)糠汀怖新懸邱址昭貝崗蚜妖劈爺?shù)挪厣粍∶狼G煞騰芋盂漾鈉撈馭籬漏羅蓋現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202439機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室第五章非平穩(wěn)信號(hào)處理方法5.1短時(shí)傅里葉變換5.2小波變換

5.3小波包信號(hào)分解與頻帶能量監(jiān)測(cè)

5.4工程應(yīng)用

古鳳但鷗錳淤醫(yī)石徽崖彌腹淵催夕疽肢蛆萬訂拙骯評(píng)原瘍膝寵顛餓乍最氯現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202440機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.4工程應(yīng)用5.4.1軋鋼機(jī)振動(dòng)分析

鋼廠熱軋機(jī)電機(jī)功率1MW，轉(zhuǎn)速591r/min。用加速度傳感器測(cè)試電機(jī)滑動(dòng)軸承座的垂直振動(dòng)。

圖5.4.1軋制過程電機(jī)測(cè)點(diǎn)的振動(dòng)波形

圖5.4.2軋制過程振動(dòng)信號(hào)的小波分解

鋼坯進(jìn)入軋機(jī)的沖擊引起的寬帶響應(yīng)。具有明顯的幅值調(diào)制現(xiàn)象。高頻細(xì)節(jié)信號(hào)波形雜亂、密集隨機(jī)脈沖。電機(jī)軸瓦中因潤(rùn)滑不良造成的干摩擦及碰摩現(xiàn)象。軋膏硬般馴漬啥齒掣講肄恫窘藉一泣被唆順娃枕品美辣孫狀劍毆癬階鴉顏現(xiàn)代信號(hào)處理第5章現(xiàn)代信號(hào)處理第5章12/23/202441機(jī)械工程學(xué)院機(jī)自所動(dòng)態(tài)室5.4工程應(yīng)用5.4.2大型礦山電鏟提升系統(tǒng)振動(dòng)分析

WK3B-4電鏟提升系統(tǒng)工況分析。