江蘇省南京市六校聯(lián)合2025屆11月聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市六校聯(lián)合2025屆11月聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榧?，令，則，令，則，所以或，且，所以.故選：C2.設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，，則的虛部為（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，，所以，所以，虛部為.故選：D3.已知向量，，則（）A.“”是“”的充分條件 B.“”是“”的充分條件C.“”是“”的必要條件 D.“”是“”的必要條件【答案】B【解析】若，則，解得；若，則，解得或；故ACD錯(cuò)誤，B正確；故選：B.4.從分別寫有1，2，3，4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】從寫有1，2，3，4的4張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，基本事件的個(gè)數(shù)為，抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的基本事件為，，，，，共6個(gè)，因此抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為.故選：B5.已知圓錐的母線與底面所成角為，其內(nèi)切球（球與圓錐底面及側(cè)面均相切）的表面積為，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】作出軸截面如圖所示，為內(nèi)切球的圓心，為圓錐底面圓的圓心，為切點(diǎn)，由已知條件可知，內(nèi)切球的表面積等于，即，而，在中，，所以，在中，所以圓錐的體積.故選：C6.已知偶函數(shù)，，是函數(shù)的圖象與軸相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)，是圖象在，之間的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，若為直角三角形，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，因?yàn)?，所以，則解析式為，由函數(shù)解析式可知，，因?yàn)?，是函?shù)的圖象與軸相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)，是圖象在，之間的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，所以在中，，所以最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即，所以解析式為，所以.故選：D7.已知，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，是的下頂點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，且滿足，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，，令，則∵，∴，即，∴，,在△中，，在△中，，∴，∴.故選：A.8.已知，是函數(shù)在定義域上的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，則，因?yàn)椋呛瘮?shù)在定義域上的兩個(gè)極值點(diǎn)，則，，因?yàn)?，代入，，得，解?故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知點(diǎn)，，直線：.為圓：上的動點(diǎn)，下列選項(xiàng)中正確的是（）A.若圓關(guān)于對稱，則 B.與圓總有公共點(diǎn)C.面積的最大值為 D.面積的最小值為【答案】BC【解析】對于A，若圓關(guān)于對稱，則直線過圓心，則，解得，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)橹本€：，即恒過點(diǎn)，又，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，所以與圓總有公共點(diǎn)，故B正確；對于C，D，因?yàn)?，?則直線的方程為，即，所以圓心到直線的距離為，即點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為，所以面積的取值范圍為，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：BC10.根據(jù)氣象學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)，從秋季進(jìn)入冬季的標(biāo)志為連續(xù)5天的日平均溫度均低于.現(xiàn)將連續(xù)5天的日平均氣溫的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是自然數(shù)）作為一組樣本，則下列樣本中一定符合入冬指標(biāo)的有（）A.平均數(shù)為3，極差為2 B.中位數(shù)為7，眾數(shù)為9C.眾數(shù)為5，極差為6 D.平均數(shù)為4，方差為2【答案】ABD關(guān)鍵點(diǎn)：“連續(xù)5天的日平均溫度均低于”，將天數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?，A選項(xiàng)，，，若，則，與平均數(shù)為矛盾，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，中位數(shù)是，眾數(shù)是，所以將數(shù)據(jù)從小到大排序后，第3個(gè)數(shù)是，第個(gè)數(shù)為，所以個(gè)數(shù)據(jù)都小于，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，眾數(shù)是，極差為，如，第天超過，不符合，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，，，，若，則，矛盾，所以D選項(xiàng)正確.故選：ABD11.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為項(xiàng)數(shù)列，集合是由所有項(xiàng)數(shù)列構(gòu)成，現(xiàn)從集合中任意取出兩個(gè)數(shù)列，，記隨機(jī)變量，下列選項(xiàng)中正確的是（）A.中有16個(gè)元素B.的所有可能取值為0，1，2，，C.D.若的期望，則的最小值為32【答案】ACD【解析】對于A，數(shù)列中每一項(xiàng)均為1或2，只有兩種可能，，所以中有個(gè)元素，A正確；對于B，數(shù)列，為中的兩個(gè)數(shù)列，它們各項(xiàng)元素不能完全相同，所以不能取0，的所有可能取值為1，2，，，B錯(cuò)誤；對于C，根據(jù)數(shù)列中1的個(gè)數(shù)可得，集合中元素的個(gè)數(shù)共有個(gè)，故中共有個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，則數(shù)列中有項(xiàng)取值不同，有項(xiàng)取值相同，從項(xiàng)中選擇項(xiàng)，和在項(xiàng)的某一項(xiàng)數(shù)字相同，其余項(xiàng)，兩者均在同一位置數(shù)字相反，由于，此問題為組合問題，故所有的情況會重復(fù)1次，故共有種情況，所以，故，C正確；對于D；所以隨機(jī)變量的分布列為：123因?yàn)?，所以，令，所以?shù)列是遞增函數(shù)，，D正確.故答案為：ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)為______.（用數(shù)字作答）【答案】56【解析】第一個(gè)括號內(nèi)取1時(shí)，第二個(gè)為；第一個(gè)括號內(nèi)取時(shí)，第二個(gè)，所以展開式中的系數(shù)為，故答案為：56.13.已知函數(shù)若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______【答案】【解析】若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即有3個(gè)不同的根，即y=fx與的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，作出y=fx則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14.在斜中，為銳角，且滿足，則的最小值為______.【答案】【解析】，∴∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵為銳角，∴∴,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）若，記數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求滿足的最小整數(shù).解：（1）設(shè)公差為，方法1.，，，.方法2..，，.（2）由（1）知，.，即，，.16.如圖，在棱長為2的正方體中，、分別是棱、的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn).（1）若點(diǎn)為中點(diǎn)，證明：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）如圖所示：連接，點(diǎn)、分別是，的中點(diǎn)，，又，且，四邊形是平行四邊形，，，又平面，且平面，面.（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則A2,0,0，，，，，，，設(shè)，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取得，因?yàn)橹本€與平面所成的角的正弦值為，所以，解得（負(fù)值舍去）故，則平面的一個(gè)法向量是，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是m=x,y,z則，取得，所以，故平面與平面夾角的余弦值為.17.在直角梯形中，已知，，，，.（1）求；（2）若動點(diǎn)，分別在線段，上，且與面積之比為，試求的最小值.解：（1）作，垂足為，設(shè)，，，由于，則，，又，所以，解得（舍去），所以.（2）設(shè)，由（1）.由題：，.又，..當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.18.已知是雙曲線：的左焦點(diǎn)，且的離心率為2，焦距為4.過點(diǎn)分別作斜率存在且互相垂直的直線，.若交于，兩點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，，分別為與的中點(diǎn)，分別記與的面積為與.（1）求的方程；（2）當(dāng)斜率為1時(shí)，求直線的方程；（3）求證：為定值.解：（1）由，得，又因?yàn)椋?，所以，所以?（2）由題知：，設(shè)Ax1,y1聯(lián)立，消去可得，則，所以，則，又直線，互相垂直，則，設(shè)，則，聯(lián)立，消去可得，則，所以，則，所以：.（3）由題意可知，??的斜率不為0，設(shè)??：??，?Ax1,y1?，?B由可得，.所以，，，所以.所以，所以.同理可得：，.令，得.當(dāng)，，時(shí)，直線的斜率.所以：，化簡得：，即為：.所以到的距離，所以到的距離，所以.由（2）知，當(dāng)時(shí)，，所以.19.已知函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù).（i）證明：曲線圖象上任意兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線均不重合.（ii）當(dāng)時(shí)，若，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）的定義域?yàn)?，由，得，①?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）（i）由，得，設(shè)點(diǎn)和點(diǎn)，不妨設(shè)，則曲線在點(diǎn)處切線方程為，即；同理曲線在點(diǎn)處的切線方程為；假設(shè)與重合，則，化簡得，.兩式消去，得，則，令，，由，所以在上單調(diào)