江蘇省南通市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若扇形的圓心角為，半徑為1，則該扇形的面積為（）A. B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】扇形面積為.故選：B.2.已知全集，集合，或，則（）A. B.或C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?或，所以，所以.故選：D．3.函數(shù)，的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋瑒t，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)，的最小值為.故選：B.4.若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，故，，故

故選：C.5.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于函數(shù)為定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，且，，故由零點(diǎn)存在定理可得零點(diǎn)位于區(qū)間.故選：C.6.設(shè)函數(shù)的最小正周期為.若，且對(duì)任意，恒成立，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，且，故，即有，解得，又，，故，即，綜上，.故選：B.7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，是奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，是奇函數(shù)，則，可得，①，可得，②聯(lián)立①②可得，所以，，因此，.故選：D.8.已知函數(shù)，記，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又因?yàn)椋屎瘮?shù)為偶函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，，因?yàn)?，所以，，則，則，所以，，所以，，，，，故故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列各式中，計(jì)算結(jié)果為的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，；對(duì)于B選項(xiàng)，；對(duì)于C選項(xiàng)，；對(duì)于D選項(xiàng)，.故選：AC.10.若，，則（

）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對(duì)A：取，，，，則，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由，，則，則有，故B正確；對(duì)C：由，，則，且等價(jià)于，等價(jià)于，等價(jià)于，即C正確；對(duì)D：由，，則，，即等價(jià)于，由，即等價(jià)于，等價(jià)于，即，故D正確.故選：BCD.11.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】A選項(xiàng)，，故在上單調(diào)遞減，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，且，故為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，B正確；C選項(xiàng)，定義域?yàn)?，，故為偶函?shù)，又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，C正確；D選項(xiàng)，定義域?yàn)镽，，故為奇函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：BC.12.如圖，彈簧掛著的小球做上下振動(dòng)，小球的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)間的距離為（單位：），它在（單位：）時(shí)相對(duì)于平衡位置（靜止時(shí)的位置）的高度由關(guān)系式確定，其中，.則下列說法正確的是（）A.小球在往復(fù)振動(dòng)一次的過程中，從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)用時(shí)B.小球在往復(fù)振動(dòng)一次的過程中，經(jīng)過的路程為C.小球從初始位置開始振動(dòng)，重新回到初始位置時(shí)所用的最短時(shí)間為D.小球從初始位置開始振動(dòng)，若經(jīng)過最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的次數(shù)均為次，則所用時(shí)間的范圍是【答案】BC【解析】由題意可知，，則，對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的最小正周期為，所以，小球在往復(fù)振動(dòng)一次的過程中，從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)用時(shí)，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，小球在往復(fù)振動(dòng)一次的過程中，經(jīng)過的路程為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，由可得或，解得或，易知，，則的可能取值有：、、、、、、，小球從初始位置開始振動(dòng)，重新回到初始位置時(shí)所用的最短時(shí)間為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由可得，則當(dāng)時(shí)，小球第一次到達(dá)最高點(diǎn)，以后每隔一個(gè)周期都出現(xiàn)一次最高點(diǎn)，因?yàn)樾∏蛟趦?nèi)經(jīng)過最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的次數(shù)恰好是次，所以，，因?yàn)?，則，所以，小球從初始位置開始振動(dòng)，若經(jīng)過最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的次數(shù)均為次，則所用時(shí)間的范圍是，D錯(cuò).故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在中，若、是的方程的兩個(gè)實(shí)根，則角_________________.【答案】【解析】對(duì)于方程，則，解得或，因?yàn)?、是的方程的兩個(gè)實(shí)根，由韋達(dá)定理可得，，所以，，因?yàn)?，則，故.14.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是_________________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，且有，解得，所以，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.15.已知，，則的一個(gè)取值為_________________.【答案】（或）【解析】因?yàn)?，，且，所以，，?16.若閉區(qū)間滿足：①函數(shù)在上單調(diào)；②函數(shù)在上的值域?yàn)?，，則稱區(qū)間為函數(shù)的次方膨脹區(qū)間.函數(shù)的2次方膨脹區(qū)間為_____________；若函數(shù)存在4次方膨脹區(qū)間，則的取值范圍是_________________.【答案】且，【解析】設(shè)函數(shù)的2次方膨脹區(qū)間為，由于函數(shù)為上單調(diào)遞增函數(shù)，所以且，由于，解得，故的2次方膨脹區(qū)間為，由于為開口向上的二次函數(shù)，且對(duì)稱軸為，設(shè)存在4次方膨脹區(qū)為，若，則為上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以且，相減可得，這與矛盾，故不符合題意舍去，若，則為上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以且，因此是方程的兩個(gè)不相等非負(fù)實(shí)數(shù)根，令，則有兩個(gè)不相等非負(fù)實(shí)數(shù)根，記，所以，解得且.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知全集，集，.（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），則，，，則或，解得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍為或.（2）當(dāng)時(shí)，則，且集合A不為空，則，解得，所以若時(shí)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為或.18.已知，，，.（1）求；（2）求.解：（1）因?yàn)?，則，，由可得，所以，.（2）因?yàn)?，，則，所以，所以，因此.19.已知函數(shù).（1）求的定義域；（2）判斷并證明的奇偶性；（3）討論的單調(diào)性.解：（1）對(duì)于函數(shù)，有，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?（2）函數(shù)為偶函數(shù)，證明如下：函數(shù)的定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故函數(shù)為偶函數(shù).（3）因?yàn)椋?，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，外層函數(shù)為上的增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.20.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式及單調(diào)減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.若對(duì)任意、，，求實(shí)數(shù)的最小值.解：（1）由圖可得，函數(shù)的最小正周期為，則，所以，因?yàn)?，可得，因?yàn)?，則，所以，所以，因此，由解得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則，當(dāng)時(shí)，，則，則，對(duì)任意的、，，則，故實(shí)數(shù)的最小值為.21.如圖，在半徑為4、圓心角為的扇形中；分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在圓弧上且·（1）若，求梯形的高；（2）求四邊形面積的最大值.解：（1）連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由，，扇形半徑為4，分別為的中點(diǎn)，故，，，，則，故為等邊三角形，則，,故梯形的高為.（2）設(shè)，則，且此時(shí)，四邊形面積為：，∴時(shí)，取最大值22.已知函數(shù)（且），點(diǎn)在其圖象上.（1）若函數(shù)有最小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)，若存在非零實(shí)數(shù)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意可知，，且且，則，則，所以，，令，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上無最小值，不合乎題意，當(dāng)時(shí)，要使得函數(shù)在上有最小值，則，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）已知函數(shù)，若存在非零實(shí)數(shù)，使得，①當(dāng)時(shí)，由可得，可得，不妨設(shè)，，則，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)