遼寧省朝陽(yáng)市建平縣2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省朝陽(yáng)市建平縣2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D.2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，則.故選：C.3.已知向量，若，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知，解得，所以，所以故選：D.4.已知為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，，，，即，則，即，則，即，故.故選：B.5.“函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱”是“，”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱時(shí)，有，，得，，易知，所以“函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱”是“，”的必要不充分條件．故選：B．6.“碳達(dá)峰”是指二氧化碳的排放不再增長(zhǎng)，達(dá)到峰值之后開始下降；而“碳中和”是指企業(yè)?團(tuán)體或個(gè)人通過(guò)植樹造林?節(jié)能減排等形式，抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量，實(shí)現(xiàn)二氧化碳“零排放”.某地區(qū)二氧化碳的排放量達(dá)到峰值（億噸）（）后開始下降，其二氧化碳的排放量（億噸）與時(shí)間（年）滿足函數(shù)關(guān)系式，若經(jīng)過(guò)7年，二氧化碳的排放量為（億噸）.已知該地區(qū)近過(guò)植樹造林?節(jié)能減排等形式，能抵消自身產(chǎn)生的二氧化碳排放量為（億噸），則該地區(qū)要能實(shí)現(xiàn)“碳中和”，至少需要經(jīng)過(guò)（）（參考數(shù)據(jù)：）A.38年 B.42年 C.46年 D.48年【答案】B【解析】由題意，由題意，即，解得，令，即，故，即，可得，即，即該地區(qū)要能實(shí)現(xiàn)“碳中和”，至少需要經(jīng)過(guò)42年.故選：B.7.如圖，在四棱錐中，，，平面，，，，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】如圖，連接．由已知，，得．因?yàn)槠矫妫?，且，且平面，所以平面，平面，可得，同理可得．易證，所以，在中，，，所以，因?yàn)槠矫?，平面，則,則．故選：D．8.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作直線與的漸近線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，記點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】設(shè)，連接，與軸交于點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，又，所以是正三角形，且.因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又點(diǎn)在直線上，故，所以，所以.故選：B.二、選擇題9.某組數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式為，則（）A.樣本的容量是3 B.樣本的中位數(shù)是3C.樣本的眾數(shù)是3 D.樣本的平均數(shù)是3【答案】BCD【解析】依題意，樣本數(shù)據(jù)為，因此樣本容量為7，中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，平均數(shù)，故A錯(cuò)誤，BCD正確.故選：BCD10.設(shè)函數(shù)的最大值為1，最小值為-3，若的圖象相鄰的兩條對(duì)稱軸間的距離為，將的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（）A.B.在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.在上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】由題意知，解得，的最小正周期為，即，所以，故.由，得，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，故在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤，B正確；由，得，所以，故C正確；由，得，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：BCD.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上一點(diǎn)，且，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.拋物線的準(zhǔn)線方程為B.的最小值為4C.若，則的面積為D.若，則的方程為【答案】BC【解析】由拋物線定義知，，所以，故的方程為，所以的準(zhǔn)線方程為，故A錯(cuò)誤；設(shè)（異于原點(diǎn)），又，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為4，故B正確；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去并整理，得，所以，因?yàn)?，易求得，所以的面積，故C正確；由以上可得，又，，所以，所以，所以，即，解得或（舍去），所以，所以，解得，故直線的方程為，即或，故D錯(cuò)誤.故選：BC12.已知，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】由，可得，又，所以，解得.當(dāng)時(shí)，，則，又，所以，所以此時(shí)，故A錯(cuò)誤；令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，即，由知，所以，所以，故正確；由可得，可得（時(shí)取等號(hào)），因?yàn)椋?，所以，故C正確；因?yàn)?，所?令，則，令，所以，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以1，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題13.若直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)______．【答案】【解析】由題可知，設(shè)的切點(diǎn)為，則切線斜率為，可得，解得．故答案為:.14.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______．【答案】80【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，，成等比數(shù)列，又，，所以，所以，，所以．故答案為：.15.現(xiàn)有3名男生，3名女生和2名老師站成一排照相，2名老師分別站兩端，且3名女生互不相鄰，則不同的站法為______．【答案】288【解析】根據(jù)題意，分3步進(jìn)行：第一步，2名老師分別站兩端，有種站法；第二步，先安排3名男生，有種站法，男生排好后，有4個(gè)空位可選；第三步，將3名女生安排在4個(gè)空位中的3個(gè)，有種站法，所以不同的站法有．故答案為：28816.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，M為空間中任意一點(diǎn)，且，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為____________．【答案】【解析】如圖，因?yàn)?，所以在一個(gè)平面內(nèi)，點(diǎn)M的軌跡是以A，D為焦點(diǎn)的橢圓．又因?yàn)?，所以該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，短軸長(zhǎng)為，故點(diǎn)M的軌跡是以A，D為焦點(diǎn)的橢球表面．設(shè)AD的中點(diǎn)為L(zhǎng)，要使三棱錐的體積最大，即到平面ABD的距離最大，所以當(dāng)平面，且平面ABD時(shí)，三棱錐A-MBD的體積最大．此時(shí)由橢圓短半軸長(zhǎng)知，且△MAD為等邊三角形，設(shè)其中心為S，三棱錐A-MBD的外接球的球心為O，△ABD的外心為K，連接OK，OB，OS，則，，所以球半徑，此時(shí)三棱錐A-MBD外接球的表面積．故答案為：.四、解答題17.已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)閿?shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，所以,解得，所以公比，所以.（2）由（1）知，，所以.18.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且.（1）求角的大?。唬?）若點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且的面積為，求的周長(zhǎng).解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，又，所以，所以，所以，又，所以，所以，所?（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，得.因?yàn)?，所以，所以，所以在中，由余弦定理得，所以，所以，所以周長(zhǎng).19.如圖，在三棱錐中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若平面，且，求直線與平面所成角的余弦值.（1）證明：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，則，所以四邊形平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過(guò)且垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，所以.設(shè)平面的法向量為，則即令，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，故直線與平面所成角的余弦值為.20.由于人類的破壞與棲息地的喪失等因素，地球上瀕臨滅絕生物的比例正在以驚人的速度增長(zhǎng).在工業(yè)社會(huì)以前，鳥類平均每年滅絕一種，獸類平均每年滅絕一種，但是自工業(yè)社會(huì)以來(lái)，地球物種滅絕的速度已經(jīng)超出自然滅絕率的倍.所以保護(hù)動(dòng)物刻不容緩，全世界都在號(hào)召保護(hù)動(dòng)物，動(dòng)物保護(hù)的核心內(nèi)容是禁止虐待、殘害任何動(dòng)物，禁止獵殺和捕食野生動(dòng)物，某動(dòng)物保護(hù)機(jī)構(gòu)為了調(diào)查研究人們“保護(hù)動(dòng)物意識(shí)的強(qiáng)弱與性別是否有關(guān)聯(lián)”，從某市市民中隨機(jī)抽取名進(jìn)行調(diào)查，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：保護(hù)動(dòng)物意識(shí)強(qiáng)保護(hù)動(dòng)物意識(shí)弱合計(jì)男性女性合計(jì)（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為人們保護(hù)動(dòng)物意識(shí)的強(qiáng)弱與性別有關(guān)聯(lián)？（2）將頻率視為概率，現(xiàn)從該市女性的市民中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取人，共抽取次.記被抽取的人中“保護(hù)動(dòng)物意識(shí)強(qiáng)”的人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.附：解：（1）零假設(shè)為保護(hù)動(dòng)物意識(shí)的強(qiáng)弱與性別無(wú)關(guān)聯(lián).由題意，，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為保護(hù)動(dòng)物意識(shí)的強(qiáng)弱與性別有關(guān)聯(lián).（2）由題意可知：在女性的市民中抽到人，抽中“保護(hù)動(dòng)物意識(shí)強(qiáng)”的女性市民的概率為，所以的所有可能取值為、、、、，由題意可知，，，，，，，所以的分布列為所以.21.已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率，為橢圓上任意一點(diǎn)，面積的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）若斜率為的直線與圓相切，且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若弦長(zhǎng)的取值范圍為，求的取值范圍．解：（1）由已知面積，所以當(dāng)點(diǎn)為短軸頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大為，又橢圓的離心率，且，解得，，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，，，由直線與圓相切，可得，得，聯(lián)立，消去并整理得，恒成立，則，．所以，，因?yàn)榈娜≈捣秶鸀?，則，解得，所以，因?yàn)?，則，所以，所以的取值范圍為．22.已知函數(shù).（1）若，求證：；（2）若，試判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：）（1）證明：若，則，又，所以.令，所以，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)