考研學(xué)習(xí)筆記 奧本海姆《信號與系統(tǒng)》（第2版）筆記和課后習(xí)題（含考研真題）詳解（下冊）

第8章通信系統(tǒng)8.9有兩個信號x1(t)和x2(t),它們的傅里葉變換對于都為零，現(xiàn)要組合起來。對每個信號都用AM-SSB/SC技術(shù)保留下邊帶，對x1(t)和x2(t)所用的載波頻率分別是和。然后將這兩個已調(diào)信號加在一起以得到頻分多路復(fù)用信號y(t)。8.10有一信號x(t)被圖8-11所示的矩形脈沖串c(t)相乘。8.12考慮有10個信號xi(t),i=1,2,3,.…,10。假定每個xi(t)的傅里葉變換這10個信號中的每一個都乘以圖8-13的載波c(t),之后要被時分多路復(fù)用。如果c(t)的周期T已選成最大可容許的值，求這10個信號能時分多路復(fù)用的最大△值。8.13在脈沖幅度調(diào)制中普遍采用的一類脈沖是具有升余弦(raisedcosine)頻率響應(yīng)的脈沖，8.14考慮頻率已調(diào)信號y(t)8.15對于在一π<0O≤π范圍內(nèi)的什么樣的w0值，載波為ejoon的幅度調(diào)制等效于載波為cosoOn的幅度調(diào)制?8.16假設(shè)x[n]是一個實值離散時間信號，其傅里葉變換X(ejo)具有8.17考慮任意有限長序列x[n],其傅里葉變換為X(ejo),現(xiàn)用插入零值樣本的方法產(chǎn)生8.18設(shè)x[n]是一個實值序列，其傅里葉變換，現(xiàn)在想要得到一個信號y[n],它的傅里葉變進行正弦幅度調(diào)制，現(xiàn)在再將這10路已調(diào)信號加在一起以構(gòu)成頻分多路復(fù)用信號，為使每一路xi[n]都能從這個頻分多路復(fù)用信號y[N]中恢復(fù)，試確定N值。8.20設(shè)v1[n]和v2[n]是兩個通過采樣(無混疊)連續(xù)時間信號而得來的序列，設(shè)8.21在8.1節(jié)和8.2節(jié)分析教材圖8.8的正弦幅度調(diào)制和解調(diào)系統(tǒng)時都假設(shè)載波信號的相位8.22圖8-21(a)示出一個系統(tǒng)，其輸入是x(t),輸出是y(t),輸入信號的傅里葉變換X(jo)如圖8-21(b)所示，試確定并畫出y(t)的頻譜Y(jo)。8.23在8.2節(jié)中曾討論過，在正弦幅度調(diào)制系統(tǒng)中調(diào)制器和解調(diào)器載波之間在相位上不同8.24圖8-24示出一個用于正弦幅度調(diào)制的系統(tǒng)，其中x(t)是帶限的，其最高頻率為wM,即X(jo)=0,lol>wM。如圖8-24所指出的信號s(t)是一個周期為T的周期沖激串，不過對于t=0有一個偏移△。系統(tǒng)H(jo)是一個帶通濾波8.25在語音通信中，為了保密，最常使用的一種系統(tǒng)是語音加密(speechscrambler)。正如圖8-26(a)所說明的，該系統(tǒng)的輸入是正常的語音信號x(t),而輸出是加密以后的y(t)。8.26在8.2.2節(jié)中討論過，這種形式的幅度調(diào)制信號的非同步解調(diào)要用一個包絡(luò)檢波器。還有另外一種解調(diào)系統(tǒng)，它也不要求相位同步，但要求頻率同步，該系統(tǒng)如圖8-27方框圖于wM,即且。與利用包絡(luò)檢波器的要求相同，對所有的t,8.27在8.2.2節(jié)中討論過，非同步調(diào)制一解調(diào)需要加入載波信號，使得已調(diào)信號具有如下8.29單邊帶調(diào)制最常用在點對點的語音通信中。它有很多優(yōu)點，其中包括功率利用率高，帶寬節(jié)省，以及對于信道中的某些隨機衰落不敏感等。在雙邊帶載波抑制(DSB/SC)系統(tǒng)此節(jié)省頻帶并提高了余下的要發(fā)射頻譜部分內(nèi)的信(號)噪(聲)比。8.30用一個脈沖串載波的幅度調(diào)制可以按圖8-32(a)建模。該系統(tǒng)的輸出是q(t)。8.31設(shè)x[n]是一離散時間信號時間脈沖函數(shù)。現(xiàn)形成信號y(t)為8.32考慮離散時間信號x[n],其傅里葉變換如圖8-34(a)所示。該信號被一個正弦序列所調(diào)制，如圖8-34(b)所示。8.33現(xiàn)在考慮一組離散時間信號xi[n],i=0,1,2,3的頻分多路復(fù)用。另外，每一路xi[n]都可能占滿了整個頻帶(一π<w<π),這些信號中的每一個增采樣后的正弦調(diào)制既可以用8.34在討論幅度調(diào)制系統(tǒng)時，調(diào)制和解調(diào)都是通8.35本題提出的這個調(diào)制解調(diào)系統(tǒng)，除了在解調(diào)中用一個與cosoct具有相同過零點的方波外，與正弦幅度調(diào)制是類似的。該系統(tǒng)如圖8-37(a)所示，而cosoct與p(t)之間的關(guān)系如圖8-37(b)所示。設(shè)輸入信號x(t)帶限于最高頻率wM,而wM<oc,如圖8-37(c)所示。8.36無線電與電視信號的準確解復(fù)用(解調(diào))通常是利用一種稱為超外差接收機的系統(tǒng)來實現(xiàn)的，這等效于一種可變調(diào)諧濾波器。圖8-39(a)示出了它的基本組成系統(tǒng)。8.37現(xiàn)在設(shè)想用下面的方案來實現(xiàn)幅度調(diào)制：輸入信號x(t)與載波信號cosoct相加，然后8.38圖8-43(a)示出一種通信系統(tǒng)，該系統(tǒng)把一個帶限信號x(t)轉(zhuǎn)換為周期性高頻能量脈沖來發(fā)射。假定X(jo)=0,|o|>wM,對調(diào)制信號m(t)有兩種可能的選擇，分別用m1(t)和m2(t)來表示，其中mt(t)縣周期性的正弦脈沖串，每個脈沖的持續(xù)期為D,如圖8-43(b)所8.39設(shè)想希望傳送兩個可能的消息中的一個，即消息m0或消息m1。為此，在長度為T息m0將送出cosoOt,而對消息m1則送出cosolt0于是，脈沖b(t)看上去如圖8-44(a)所示。這種通信系統(tǒng)稱為頻移鍵控(FSK)。當(dāng)高頻脈沖b(t)被收到時，就要判斷它是代表消息m0還是消息m1。為此，按圖8-44(b)的方案去實現(xiàn)。8.40在8.3節(jié)中曾討論過利用正弦幅度調(diào)制實現(xiàn)頻分多路復(fù)用，借以把幾個信號搬移到不同的頻帶上，然后把它們加起來同時發(fā)送出去。本題將研究另一種稱為正交多路復(fù)用那么這兩個信號可以同時在同一頻帶內(nèi)傳送。該多路復(fù)用系統(tǒng)如圖8-45(a)所示，其解復(fù)用系統(tǒng)如圖8-45(b)所示。8.41在習(xí)題8.40中介紹了正交多路復(fù)用的概念，借此將頻率相同但相位相差90°的兩個載復(fù)用器示于圖8-47中。假定信號x1[n]和x2[n]都是帶限于wM的，即8.42為了避免碼間干擾，在脈沖幅度調(diào)制中所用的脈沖都設(shè)計成在碼間間隔T1的整數(shù)倍上其值為零。本題將建立一類這樣的脈沖，它們在t=kT1,k=±1,±2,±3,...都是8.43用于脈沖幅度調(diào)制通信的某一信道的單位沖激響應(yīng)為8.45利用窄帶頻率調(diào)制技術(shù)來傳輸一帶限信號x(t),也就是說，按8.7節(jié)所定義的，調(diào)制8.47在8.8節(jié)中討論了正弦載波時的同步離散時間調(diào)制和解調(diào)系統(tǒng)。本題要研究當(dāng)相位和/或頻率失去同步時的影響。圖8-53(a)示出了這個調(diào)制和解調(diào)系統(tǒng)，圖中都指出了調(diào)制器8.48在本題中要討論用脈沖串作載波的離散時間幅度(a)所示。8.49在實際中，要構(gòu)成在很低頻率上工作的放大般都采用幅度調(diào)制原理，將信號搬移到較高的頻段。這樣的放大第9章拉普拉斯變換9.2考慮信號x(t)=e-5tu(t-1)其拉普拉斯變換記為X(s),9.3考慮信號9.5對下列每個信號拉普拉斯變換的代數(shù)表示式，確定位于有限s平面的零點個數(shù)和在無9.6已知一個絕對可積的信號x(t)有一個極點在s=2,試回答下列問題：9.7有多少個信號在其收斂域內(nèi)都有如下式所示的拉普拉斯變換：若g(t)=e2tx(t),其傅里葉變換GGjo)收斂，試問x(t)是左邊的，右邊的，還是雙邊的?9.10根據(jù)相應(yīng)的零-極點圖，利用傅里葉變換模的幾何求值方法，確定下9.12關(guān)于信號x(t),假設(shè)已知下面三點：9.13設(shè)g(t)為，其中，,g(t)的拉普拉斯變換是9.14關(guān)于信號x(t)及其拉普拉斯變換X(s),給出如下條件：9.16有一單位沖激響應(yīng)為h(t)的因果線性時不變系統(tǒng)S,其輸入x(t)和輸出y(t)由如下線9.17有一因果線性時不變系統(tǒng)S,其方框圖表示如圖9-5所示，試確定描述該系統(tǒng)輸入x(t)到輸出y(t)的微分方程。9.18考慮習(xí)題3.20所討論的RLC電路所代表的因果線性時不變系統(tǒng)。9.19確定下列各信號的單邊拉普拉斯變換，并給出相應(yīng)的收斂域：9.20考慮習(xí)題3.19的RL電路。9.22對下列每個拉普拉斯變換及其收斂域，確定時間函數(shù)x(t):9.23對于下面關(guān)于x(t)的每一種說法，和圖9-10中4個零-極點圖中的每一個，確定在收9.24本題中認為拉普拉斯變換的收斂域總是包括jo軸的。9.25利用9.4節(jié)建立的傅里葉變換的幾何確定法，對圖9-14中的每個零-極點圖畫出有關(guān)9.26考慮一個信號y(t),它與兩個信號x1(t)和x2(t)的關(guān)系是y(t)=x1(t-2)*x2(-t+3)其中x1(t)=e-2tu(t)且x2(t)9.27關(guān)于一個拉普拉斯變換為X(s)的實信號x(t),給出下列5個條件：9.28考慮一個線性時不變系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零-極點圖如圖9-16所示。9.30壓力計可以用一個線性時不變系統(tǒng)來仿真，對于一個單位階躍的輸入，其響應(yīng)為(1-e-t-te-t)u(t)。現(xiàn)在某一輸入x(t)下，觀察到的輸出是(2-3e-t+e-3t)u(t)。9.31有一個連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，其輸入x(t)和輸出y(t)由下列微分方程所關(guān)聯(lián)：9.32一個單位沖激響應(yīng)為h(t)的因果線性時不變系統(tǒng)有下列性質(zhì)：9.33有一個因果線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是9.34假設(shè)關(guān)于一個單位沖激響應(yīng)為h(t)和有理系統(tǒng)函數(shù)為H(s)的因果穩(wěn)定線性時不變系統(tǒng)9.36本題要討論輸入為x(t),輸出為y(t)且系統(tǒng)函數(shù)為9.37畫出具有下列系統(tǒng)函數(shù)的因果線性時不變系統(tǒng)的直接型表示：9.38有一個四階因果線性時不變系統(tǒng)S,其系統(tǒng)函數(shù)為9.40考慮由下列微分方程表征的系統(tǒng)s:9.41(a)證明：若x(t)是偶函數(shù)，即x(t)=x(-t),則X(s)=X(-s)。9.45對于圖9-26所示的線性時不變系統(tǒng)，已知下列情況：之一是一個沖激δ(t),而其余的則是的復(fù)指數(shù)形式，這里s0是一個復(fù)常數(shù)。系統(tǒng)的輸出是9.47設(shè)信號y(t)=e-2tu(t)是系統(tǒng)函數(shù)為的因果全通系統(tǒng)的輸出。9.48一個線性時不變系統(tǒng)H(s)的逆系統(tǒng)是這樣定義的系統(tǒng)：當(dāng)它與H(s)級聯(lián)后所得到的總系統(tǒng)函數(shù)為1,或者說，總的系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是一個單位沖激函數(shù)。9.49一種系統(tǒng)稱為最小時延系統(tǒng)或最小相位系統(tǒng)，有時是通過這一說法來定義的：這些系9.50關(guān)于線性時不變系統(tǒng)，判斷下列每9.51有一個因果穩(wěn)定系統(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)h(t)是實值函數(shù)，系統(tǒng)函數(shù)為H(s)。已知H(s)是有理的，它的極點之一在(-1+j),零點之一在(3+j),并且在無限遠處只有兩個零9.52正如9.5節(jié)所指出的，拉普拉斯變換的許多性質(zhì)和推導(dǎo)都與對應(yīng)的傅里葉變換的性質(zhì)9.53正如9.5.10節(jié)所提到的，初值定理指的是，對一個拉普拉斯變換為X(s)的信號x(t),若t<0時x(t)=0,那么x(t)的初值，即x(0+)可以由X(s)通過關(guān)系9.54有一個拉普拉斯變換為X(s)的實值信號x(t),9.55在9.6節(jié)中，教材表9.2中列出了幾個拉普拉斯變換對，并具體指出了從變換對1到9是如何從例9.1和例9.14,以及結(jié)合教材表9.1的各種性質(zhì)得到的。利用教材表9.1的各個性質(zhì)，證明變換對10～16是如何根據(jù)教材表9.2中的變換對1～9來得到的。9.56對于某一具體的復(fù)數(shù)s,若變換的模是有限的，即若IX(s)|<○,就認為這個拉普拉斯9.57一個信號x(t)的拉普拉斯變換X(s)有4個極點，而零點個數(shù)未知；又知信號x(t)在t=0有一個沖激。明9.59若x(s)是x(t)的單邊拉普拉斯變換，利用x(s)求下列各信號的單邊拉普拉斯變換：經(jīng)線路被送回來，再次在發(fā)射端被反射，又返回到接收端。這樣的過程可以用圖9-31所示的單位沖激響應(yīng)系統(tǒng)來仿真，圖中已假定只接收到一個回波。參數(shù)T相當(dāng)于沿通信信道的9.62在信號設(shè)計和分析的一些應(yīng)用中，會遇到這樣一類信號9.63在濾波器設(shè)計中，將一個低通濾波器轉(zhuǎn)換到一個高通濾波器(反之亦然),往往是可能的，而且也很方便?，F(xiàn)用H(s)代表原濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)，用G(s)代表已被轉(zhuǎn)換的濾波器9.65(a)求圖9-38所示RLC電路關(guān)于vi(t)和v0(t)之間的微分方程。9.66考慮圖9-39所示RL電路。假設(shè)電流i(t)在開關(guān)位于A時已到達穩(wěn)態(tài)。在t=0,開關(guān)第10章z變換10.1試對下列和式，為保證收斂確定在r=|z上的限制：10.3設(shè)信號x[n]為10.5對下列信號z變換的每個代數(shù)表示式，確定在有限z平面內(nèi)的零點個數(shù)和在無限遠點10.6設(shè)x[a]是一個絕對可和的信號，其有理z變換為X(z)。若已知X(z)在z=1/2有10.7假設(shè)X[n]的z變換代數(shù)表示式是10.8設(shè)x[n]的有理z變換X(z)有一個極點在z=1/2,已知是絕對可和的，而不是絕對可10.10有一個信號x[n]的z變換的代數(shù)表示式為10.11求下面X(z)的逆變換：10.12根據(jù)由零-極點圖對傅里葉變換的幾何解釋，確定下列每個z變換其對應(yīng)的是否都有10.15設(shè)y[n]為10.16考慮穩(wěn)定線性時不變系統(tǒng)的下列系統(tǒng)函數(shù)，不用求逆變換，試判斷系統(tǒng)是10.17關(guān)于一個單位脈沖響應(yīng)為h[n],z變換為H(z)的線性時不變系統(tǒng)S,已知下列510.18有一個因果線性時不變系統(tǒng)，其輸入x[n]和輸出y[n]由圖10-3的方框圖表示，10.19求下列每個信號的單邊z變換，并標出相應(yīng)的收斂域：10.20一個系統(tǒng)的輸入x[n]和輸出y[n]由下列差分方程表示：10.21求出下列每個序列的z變換，畫出零-極點圖，指出收斂域，并指出序列的傅里葉變10.22求下列各序列的z變換。將全部和式均以閉式表示，畫出零-極點圖，指出收斂10.23對下列每個z變換，分別用部分分式展開法和長除法求逆變換：10.24利用指定的方法，求下列各z變換對應(yīng)的序列：10.25一個右邊序列x[n]的z變換為10.26一個左邊序列x[n]的z變換為10.27一個右邊序列x[n]的z變換為10.29利用10.4節(jié)討論的頻率響應(yīng)的幾何求值法，對圖10-8的每個零10.30有一個信號y[n].它與另兩個信號x1[n]和x2[n]的關(guān)系是10.32考慮一個線性時不變系統(tǒng)，其單位脈沖響應(yīng)為10.33(a)求由差分10.35考慮一個線性時不變系統(tǒng)，其輸入x[n]和輸出y[n]滿足10.37一個因果線性時不變系統(tǒng)的輸入x[n]和10.38考慮一個因果線性時不變系統(tǒng)s,其輸入為x[n],系統(tǒng)函數(shù)表示為10.40求習(xí)題10.21中每個序列的單邊z變換。10.42對下面給出的各差分方程、輸入x[n]和初始條件，利用單邊z變換求零輸入響應(yīng)和10.43考慮一個偶序列即它的有理z變換為X(z)10.44設(shè)x[n]是一個離散時間信號，其z變換為X(z),對下列信號利用X(z)求其z變10.45確定下列變換中的哪一個能夠是一個離散時間線性系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)，這些系統(tǒng)不一10.47關(guān)于一個輸入為x[n],輸出為y[n]的離散時間線性時不變系統(tǒng)，已10.48假設(shè)一個二階因果線性時不變系統(tǒng)已經(jīng)設(shè)計或具有實值單位脈沖響應(yīng)h1[n]和一個有理系統(tǒng)函數(shù)H1(z),H1(z)的零-極點圖如圖10-17(a)所示?，F(xiàn)在要考慮另一個二階因果系統(tǒng)，其單位脈沖響應(yīng)為h2[n],有理系統(tǒng)函數(shù)為H2(z),H2(z)的零-極點圖如圖10-17(b)所示。求一個序列g(shù)[n],使下面三個條件都得到滿足：10.4910.2節(jié)的性質(zhì)4是，若x[n]是一個右邊序列，并且|z|=rO的圓在收斂域內(nèi)，則全部|z|證明是與9.2節(jié)的性質(zhì)4有關(guān)拉普拉斯變換的討論緊密并行的。這是，考慮一個右邊序列10.50一個離散時間系統(tǒng)，其零-極點圖如圖10-18(a)所示，因為無論頻率為什么,頻10.51有一個實值序列x[n],其有理z變換為X(z)。10.52序列例x1[n]的z變換為X1(z),另一個序列x2[n]的z變換為X2(z),,證明并由此證明：若有一個極點(零點),那么X2(z)一定有一個極點(零點)10.53(a)完成教材表10.1中下列性質(zhì)的證明：10.56在10.5.7節(jié)曾提到z變換的卷積性質(zhì)，為了證明這個性質(zhì)成立，現(xiàn)從卷積和表示式10.58一個最小相位系統(tǒng)是這樣一個系統(tǒng)，它是因果穩(wěn)定的，而它的逆系統(tǒng)也是因果穩(wěn)定的。試確定一個最小相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，其零極點在z平面內(nèi)的位置應(yīng)受到的必要限制。10.59考慮圖10-19所示的數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)。10.60信號x[n]的單邊z變換是。證明的單邊z變換是。10.61若為z[n]的單邊z變換，利用，求下列序列的單邊z變換：10.62序列x[n]的自相關(guān)序列定義為利用x[n]的z變換確定的z變換。10.63利用冪級數(shù)展開式10.64首先對X(z)微分，再利用z變換的適當(dāng)性質(zhì)，求下列每個z變換所對應(yīng)的序列：10.65雙線性變換(bilineartransfnation)是一個從有理拉普拉斯變換Hc(s)求得一個有理z第11章線性反饋系統(tǒng)11.1考慮圖11-1所示的離散時間線性時不變系統(tǒng)的互聯(lián)，試將總系統(tǒng)函數(shù)用HO(z),11.2考慮圖11-2所示連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的互聯(lián)，試將總系統(tǒng)函數(shù)用H1(s),H2(s),11.3考慮圖11-3(a)中的連續(xù)時間反饋系統(tǒng)，其11.5考慮圖11-3(b)中的離散時間反饋系統(tǒng)，其11.6考慮圖11-3(b)中的離散時間反饋系統(tǒng)，其11.7假設(shè)一個反饋系統(tǒng)的閉環(huán)極點滿足利用根軌跡法確定保證該反饋系統(tǒng)是穩(wěn)定的K值11.8假設(shè)一個反饋系統(tǒng)的閉環(huán)極點滿足利用根軌跡法確定保證該反饋系統(tǒng)是穩(wěn)11.9假設(shè)一個反饋系統(tǒng)的閉環(huán)極點滿足利用根軌跡法確定：是否存在可調(diào)節(jié)增益K的任何值，使得該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)含有形式的振蕩分量?這里00≠0。11.10對應(yīng)于G(s)H(s)=-1/K的根軌跡圖如圖11-7所示。圖11-7中對于根軌跡的每一分支的起點(K=0)和終點都用符號“”標出，標出G(s)H(s)的極點和零點。11.11假設(shè)一個離散時間反饋系統(tǒng)的閉環(huán)極點滿足利用根軌跡法確定該系統(tǒng)是穩(wěn)定的K的11.12z=1/2,z=1/4,z=0和z=-1/2這四個點中的每一個都是G(z)H(z)的一個單階極點或零點，此外還知道G(z)H(z)僅有兩個極點。根據(jù)對全部K值，對應(yīng)于的根軌跡都位于實軸上這一事實，關(guān)于G(z)H(Z)的極點和零點能夠推出什么樣的信息。11.13考慮圖11-10所示的一個離散時間系統(tǒng)的方框圖，利用根軌跡法確定保證該系統(tǒng)是穩(wěn)定的K值。11.14設(shè)C是一條閉合路徑，它就位于p平面的單位圓上，現(xiàn)將p以順時針方向繞C一周以求得W(p)。對于下列每一個W(p)的表示式，確定W(p)的圖以順時針方向環(huán)繞原點的凈次數(shù)。11.15考慮一個連續(xù)時間反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)極點滿足利用奈奎斯特圖和奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)確定該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的K值范圍。11.16考慮一個連續(xù)時間反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)極點滿足，利用奈奎斯特圖和奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)確定該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的K值范圍。11.17考慮一個連續(xù)時間反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)極點滿足利用奈奎斯特圖和奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)確定該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的K值范圍。11.18考慮一個離散時間反饋系統(tǒng)，其閉環(huán)極點滿足：利用奈奎斯特圖和奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)確定該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的K值范圍。11.19考慮一個反饋系統(tǒng)，既可以是連續(xù)時間的，也可以是離散時間的，假設(shè)該系統(tǒng)的奈奎斯特圖穿過-1/K點，對于這個增益值，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，還是不穩(wěn)定的?為什么?11.20考慮圖11-3(a)所示的基本連續(xù)時間反饋系統(tǒng)，確定下列H(s)和Gs)的增益和相位11.21考慮圖11-16所示的反饋系統(tǒng)，試對下列K值，求該系統(tǒng)的閉環(huán)極點和零點：11.22考慮圖11-3(a)所示的基本反饋系統(tǒng)，求下列每個正向通路和反饋通路系統(tǒng)函數(shù)的閉環(huán)系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)：11.23考慮圖11-3(b)所示的基本反饋系統(tǒng)，求下列每個正向通路和反饋通路系統(tǒng)函數(shù)的閉環(huán)系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)：11.24對下列每一種情況分別畫出K>0和K<0時的根軌跡：11.25對下列每一種情況分別畫出K>0和K<0時的根軌跡：11.26有一個反饋系統(tǒng)，其分別就下列所給的幾組a和b的值，畫出K>0和K<0時的根軌跡圖：11.27有一個反饋系統(tǒng)，其11.28畫出下列每一個Gs)H(s)的奈奎斯特圖，并利用連續(xù)時間奈奎斯特判據(jù)確定閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的K值范圍(如果存在)。注意：在作奈奎斯特圖時，先畫出相應(yīng)的伯德圖并求出GGjo)HGjo)為實數(shù)的w值是有幫助的。11.29考慮圖11-3(a)所示的基本連續(xù)時間反饋系統(tǒng)，對下列每一種G(s)和H(s),畫出對數(shù)幅-相圖，并大致確定增益和相位裕度。應(yīng)用第6章建立的伯德圖直線近似有助于畫出對數(shù)幅-相圖。然而當(dāng)有欠阻尼的二階項存在時，要仔細考慮在轉(zhuǎn)折頻率附近真正的頻率響應(yīng)與它的近似值之間的偏差如何。11.30畫出下列每一個G(z)H(z)的奈奎斯特圖，并利用離散時間奈奎斯特判據(jù)確定閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的K值范圍(如果存在)。注意：畫奈奎斯特圖時，先畫出作為頻率函數(shù)的模和相位圖，或者至少計算出在幾個點上的，并求出G(ejo)H(ejo)為實數(shù)的の值是有11.31考慮圖11-3(b)所示的基本離散時間反饋系統(tǒng)，對下列每一種C(z)和H(z),11.32(a)考慮圖11-25(b)所示的反饋系統(tǒng)，其11.33考慮圖11-25(a)所示的反饋系統(tǒng)，并假設(shè)11.34在11.3節(jié)曾導(dǎo)出幾個性質(zhì)，這些性質(zhì)在確定一個反饋系統(tǒng)的根軌跡時是很有用的。11.35(a)再次考慮例11.2的反饋系統(tǒng)：11.37系統(tǒng)設(shè)計者必須始終要考慮的一個問題是：11.38考慮圖11-3(b)所示的反饋系統(tǒng)，其且。11.39考慮圖11-35所示的反饋系統(tǒng)，其11.40考慮圖11-37給出的離散時間反饋系統(tǒng)。這個系統(tǒng)在正向通路中阻尼得不夠好，希而言，畫出K>0時的根軌跡，并標出使阻尼能得到明顯改善的增益值K。11.42再次考慮例11.3的離散時間反饋系統(tǒng)11.4411.4節(jié)曾提到過，連續(xù)時間奈奎斯特判據(jù)可以推廣到Gs)H(s)允許在jo軸上有極點11.46有一個連續(xù)時間反饋系統(tǒng)如圖11-45(a)所示。11.47在11.5節(jié)結(jié)束時曾提到，相位和增益裕度可以提供充分的條件，以保證一個穩(wěn)定系統(tǒng)將仍然是穩(wěn)定的。這并不意味著：(a)減小增益，不會使反饋系統(tǒng)變成不穩(wěn)定的，或者 特判據(jù)可以推廣到允許C(z)H(z)在單位圓上有極點的情況。考慮一個離散時間反饋系統(tǒng)，其11.49本題要給出一個說明性的例子，表明如何給出這樣一個放大器的模型，該放大器的輸入是兩個電壓v2(t)和v1(t)之差，輸出電壓v0(t)的典型值在1～103的范圍內(nèi)，而K的典型值是106。利用習(xí)題11.50(a)的結(jié)果，對這個K值，并在R2/R1=1,然后等于103時，計算出真正的系統(tǒng)函數(shù)；并將所得出的每一個值11.52考慮圖11-52所示的電路。這個電路是在圖11-51(b)中用而得到的。利用習(xí)題11.50的結(jié)果，證明該系統(tǒng)特性近似為一個積分器。在什么頻率范圍內(nèi)(用K,R和C表示)這個近似特性被破環(huán)?11.53考慮圖11-53(a)所示的電路，該電路由圖11-51(b)用Z1(s)=R,并以具有指數(shù)11.54本題要說明利用正反饋來產(chǎn)生振蕩信號。11.55(a)考慮圖11-55(a)所示的非遞歸離散時間線性時不變?yōu)V波器。圍繞這個非遞歸系統(tǒng)通過應(yīng)用反饋，可以實現(xiàn)一個遞歸濾波器其中H(z)是圖11-55(a)的非遞歸線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。試求該反饋系統(tǒng)總的系11.56考慮安裝在一個可移動小車上的倒立擺系統(tǒng)，如圖11-56所示。這里已經(jīng)將這個擺x(t)代表由任何擾動(如一陣微風(fēng))引起的角加速度。11.57本題要考慮設(shè)計跟蹤系統(tǒng)的幾個例子。對于圖11-58所示的系統(tǒng)，其中Hp(s)是一個其輸出要被控制的系統(tǒng)，Hc(s)是要設(shè)計的補償器。在選擇Hc(s)時，其目的是想讓輸出y(t)11.58在習(xí)題11.57中討論了存在于反饋系統(tǒng)中階躍輸入，并具有穩(wěn)態(tài)誤差為零。本題將推廣這一想法?，F(xiàn)考慮圖11-59顯示的反饋系統(tǒng)。11.59(a)考慮圖11-60所示的離散時間反饋系統(tǒng)。假設(shè)7.1復(fù)習(xí)筆記1.沖激串采樣(1)沖激串采樣的定義沖激串采樣是指用一個周期沖激串p(t)去乘待采樣的連續(xù)時間信號x(t)。該周期沖激串p(t)稱為采樣函數(shù)，周期T稱為采樣周期，而p(t)的基波頻率o=2π/T稱為采(2)采樣過程(圖7-1)其中即x,(1)=x(I)p(I)由相乘性質(zhì)有即Xp(jo)是頻率w的周期函數(shù)，它由一組移位的X(jo)的疊加組成，但在幅度上標以1/T的圖7-1沖激串采樣(3)采樣定理已知這些樣本值，重建x(t)的辦法：產(chǎn)生一個周期沖激串，其沖激幅度就是這些依次而來的2.零階保持采樣(1)零階保持的含義(圖7-2)圖7-2利用零階保持采樣(2)零階保持采樣的過程有矩形的單位沖激響應(yīng))來得到。①用一個單位沖激響應(yīng)為hr(t),頻率響應(yīng)為H?(jo)的線性時不變系統(tǒng)來處理xo(t)。若H的截止頻率等于ws/2,則緊跟在一個零階保持系統(tǒng)后面的重建濾波器的理想模和相位特性如圖7-4所示。零階保持輸出本身就被認為是一種對原始信號的充分近似，用不著附加圖7-3作為沖激串采樣，再緊跟一個具有矩形單位圖7-4為零階保持采樣重建信號的重建濾波器的模和相位特性1.零階保持2.線性內(nèi)插(一階保持)(1)線性內(nèi)插是將相鄰的樣本點用直線直接連起來。(2)利用理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)的內(nèi)插(即帶限內(nèi)插):按照上式在wc=ws/2時的重建過程如圖7-5所示。3.高階保持不在Xo(jo)中重復(fù)，因此利用低通濾波不能把x(t)從采樣信號中恢復(fù)出來，這時單項發(fā)生重1.對連續(xù)時間信號的處理方法(圖7-6)圖7-6連續(xù)時間信號的離散時間處理(2)把從連續(xù)時間到離散時間的變換表示成一個周期采樣的過程，再緊跟著一個把沖激串圖7-7用一個周期沖激串采樣，再跟著一個到離散時間序列的轉(zhuǎn)換。(b)兩種采樣率的xp(t),虛線包絡(luò)代表xe(t);(c)兩種不同采樣率的輸出序列。對應(yīng)，而在時間間隔上等于采樣周期T。②在從沖激串到離散時間序列的轉(zhuǎn)換中，得到xa[n];這是以xe(t)的樣本值為序列值的同一序列，但是其單位間隔采用新的自變量n。連續(xù)時間的頻率變量用w表示，將離散時間的頻率變量用Ω表示。2.Xe(jo)、Xp(jo)和Xa(ei2)的關(guān)系xc(t)和y.(t)的連續(xù)時間傅里葉變換分別用xc(jo)和Ye(jo)表示；而xa[n]和里葉變換分別用一E=和一表示。又δ(t-nT)的傅里葉變換是e-jonT,所以現(xiàn)在考慮xa[n]的離散時間傅里葉變換，即因為xa[n]=xe(nT)因此得到(2)Xe(jo)、Xp(jo)和Xa(ei2)三者之間的關(guān)系②xa[n]和xr(t)之間的頻譜關(guān)系，是通過先把xc(t)的頻譜Xe(jo)按3.利用離散時間濾波器過濾連續(xù)時間信號的系統(tǒng)圖7-9利用離散時間濾波器過濾連續(xù)時間信號的系統(tǒng)圖7-10圖7-9所示系統(tǒng)的頻域說明。(c)離散時間序列xa[n]的譜；(d)Ha(ei2)和Xa(ei2)相乘后得到的Ya(ei2);(e)Hp(jw)和Xp(jo)相乘后得到的Yp(jo);(f)He(jo)和X.(jo)相乘后得到的Ye(jo)。(1)圖7-10左邊是某一代表性的頻譜X.(jo)、Xp(jo)和X?(ei"),其中假定oM<os/2,所以沒有混疊發(fā)生。相應(yīng)于時間濾波器輸出的譜ya(ei2)是Xa(ei2)和Ha(ei2)相乘，如圖7-10(d)(2)變換到Y(jié)e(jo)就相應(yīng)于進行頻率尺度的變換，然后進行低通濾波，所得到的頻譜分別如圖7-10(e)和圖7-10(f)所示。(3)因為Ya(ei2)是兩個互為重疊的頻譜積，如圖7-10(d)所示，所以對兩者都應(yīng)施加頻(4)將圖7-10(a)和(f)講行比較，可得一,在輸入是充分帶限的，并滿足采樣定理的條件下，圖7-10的整個系統(tǒng)事實上就等效于一個相應(yīng)為He(jo)的連續(xù)時間系統(tǒng)，而He(jo)與離散時間頻率響應(yīng)Ha(ei°)的關(guān)系為4.數(shù)字微分器(1)連續(xù)時間微分濾波器的頻率響應(yīng)(2)截止頻率為wc的帶限微分器的頻率響應(yīng)(3)ws=20c時相應(yīng)的離散時間的頻率響應(yīng)Ha(ei2)因此只要xe(t)的采樣中沒有混疊產(chǎn)生，ye(t)一定是x(圖7-11連續(xù)時間理想帶限微分器的頻率響應(yīng)He(jw)=jo,|o|<we圖7-12用于實現(xiàn)一個連續(xù)時間帶限微分器的離散時間濾波器的頻率響應(yīng)5.半采樣間隔延時(1)在輸入xe(t)是帶限的，且采樣率足夠高以避免混疊的條件下(2)根據(jù)時移性質(zhì)，頻率響應(yīng)為(3)截止頻率為we的帶限微分器的頻率響應(yīng)(圖7-13(a))。要被實現(xiàn)的等效連續(xù)時間Oc是該連續(xù)時間濾波器的截止頻率。即He(jo)對于帶限內(nèi)的信號就相應(yīng)于一個時間移位，而對于比wc高的頻率則全部濾除。(4)若取采樣頻率ws=20,則相應(yīng)的離散時間頻率響應(yīng)(圖7-13(b))為：圖7-13(5)半采樣間隔延時時，即1.脈沖串采樣(1)采樣過程由采樣過程形成的新序列xp[n]在采樣周期N的整倍數(shù)點上就等于原來的序列x[n],而在采(2)和一=的關(guān)系采樣序列p[n]的傅里葉變換是式中采樣頻率=。于是有圖7-14一個離散時間信號經(jīng)脈沖串采樣后的頻域效果(d)在一=時已采樣信號的頻譜，這時發(fā)生了混疊。(3)信號的恢復(fù)(圖7-15)這樣三就能利用增益為N,截止頻率大于@m而小于一三的低通濾波器從一E中恢(b)信號一的頻譜；(c)一F的頻譜；(d)截止頻率為一的理想低通濾波器的頻率響應(yīng)；(e)重建信號的頻譜。(4)該低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)重建的序列或者等效地寫成上式代表一種理想的帶限內(nèi)插，從而要求實現(xiàn)一個理想低通濾波器。在一般應(yīng)用中，往往使用一個適當(dāng)近似的低通濾波器，這時等效的內(nèi)插公式為其中一F是內(nèi)插濾波器的單位脈沖響應(yīng)。2.離散時間抽取與內(nèi)插(1)離散時間抽取或因為和一在N的整數(shù)倍上都是相等的，可等效為所以二者的關(guān)系為已采樣序列一回和抽取序列一E=的頻譜差別只體現(xiàn)在頻率尺度上或歸一化上。如果原來的頻譜一E-被適當(dāng)?shù)貛?，以至于在一中不存在混疊，抽取的效果是將原來序列的頻譜擴展到一個較寬的頻帶部分。b.為了避免在抽取過程中產(chǎn)生混疊，原序列一E三的一=就不能占滿整個頻帶。即，如果序列能夠被抽取而又不引入混疊，那么原來的連續(xù)時間信號是被過采樣了的，從而原采樣率可以減小而不會發(fā)生混疊。因此，抽取的過程往往就稱為減采樣。(2)內(nèi)插(或增采樣)內(nèi)插(或增采樣)是把一個序列轉(zhuǎn)換到一個較高的等效采樣率上的過程，基本上是抽取或減采樣的逆過程。由xb[n]可形成序列xp[n],這只需要在xb[n]的每一個序列值之間插入(N-1)個幅度為零的序列值即可。然后可以利用低通濾波從xp[n]中得到這個已被內(nèi)插了的序列x[n]。7.2課后習(xí)題詳解基本題時，x(t)能用它的樣本值唯一確定。問目在什么w值下保證為零?解：因為為實函數(shù)，故三是偶函數(shù)。由題意及采樣定理知的最大角頻率7.2連續(xù)時間信號x(t)從一個截止頻率為==的理想低通濾波器的輸出得到，如果對x(t)完成沖激串采樣，那么下列采樣周期中的哪一些可能保證x(t)在利用一個合適的低通濾波器后能從它的樣本中得到恢復(fù)?頻率就為一=采樣定理知，若對其進行沖激采樣且欲由其采樣點恢復(fù)出x(t),由此可見(b)x(t)的頻譜函數(shù)為由此可見7.4設(shè)x(t)是一個奈奎斯特率為wo的信號，試確定下列各信號的奈奎斯特率：二最大頻率為三，從而可推知其奈奎斯特頻率為解：p(t)是一沖激串，間隔=對x(t)用p(t-1)進行沖激采注意三是x(t)的奈奎斯特頻率，這意味著x(t)的最大頻率為，當(dāng)以p(t-1)對x(t)進行采樣樣使后中的每個的復(fù)制項—均有不同的相移需設(shè)置為常數(shù)T,相位頻譜為0即可，即濾波器的頻率響應(yīng)為xi(t)帶限于@1,x2(t)帶限于02,即圖7-1解：因從而有一X?(jw)=0,lwl≥·X?(jw)=0,即o(t)的最大角頻率為一于是由采樣定理知，對の(t)采樣的最小角頻率為從而可求得最大采樣時間間隔圖7-2令=代表用采樣周期T=0.2的周期沖激串對x(t)進行采樣的結(jié)果。當(dāng)采樣時間間隔T=0.2時，采樣角頻率=造成的頻譜函數(shù)二如圖7-4所示處由于出現(xiàn)混疊，相互抵消顯然，由于頻譜發(fā)生混疊，為了保證當(dāng)最大只能等于激串采樣就不會有混疊。答：(a)因為信號的頻譜函數(shù)為,即一不是帶限信號，所以無論采樣頻率多高，采樣的時間間隔多么小，采樣必然會導(dǎo)致頻譜的混疊。這個論斷是錯誤的。(b)因為頻譜函數(shù)為說明x(t)是帶限的，且最高頻率為@,發(fā)生。這個論斷是正確的。(c)設(shè)對x(t)進行沖激串采樣得到信號(t),易知現(xiàn)已知,如圖7-5所示。若采樣時間間隔一，那么。此時一如圖7-6所示，可見并無混疊發(fā)生。那么,當(dāng)時，就更不會出現(xiàn)混疊了。所以此論斷是正確的。圖7-5圖7-67.11設(shè)是一連續(xù)時間信號，它的傅里葉變換具有如下特點：某一離散時間信號經(jīng)由而得到。試對下列每一個有關(guān)一E的傅里葉變換E所給限制，確定在同上的相應(yīng)限制：(b)對所有w,三最大值是1(a)要讓X(e)為實函數(shù)，則一為實函數(shù)(b)對所有w,X(e")的最大值是1綜上所述：7.12有一離散時間信號其傅里葉變換一具有如下性質(zhì)：其中T=10?3。確定xe(t)的傅里葉變換一=保證為零的o值.7.13參照如圖7-7所示的濾波方法，假定所用的采樣周期為T,輸入xe(t)為帶限，而有=。若整個系統(tǒng)具有試求圖7-7中離散時間濾波圖7-7由xe(t)可得對應(yīng)的離散時間信號序列xa[n]同理可由y.(t)可得對應(yīng)的離散時間信由上式可得當(dāng)n=2時，等式右邊恒為0,當(dāng)n≠2時，上式的極限為二，故7.14假定在上題中有重做習(xí)題7.13。解：令,則總輸出由xe(t)可得離散時間序列xa[n]7.15對一F=進行脈沖串采樣，得到圖7-9因為此信號的傅里葉變換是矩形波，當(dāng)?shù)谌齻€條件。綜上所求的一為,求單位脈沖響應(yīng)為h[2n]的濾波器的頻率響應(yīng)。解：抽樣分兩步進行，第一步進行脈沖抽樣，得到：的傅里葉變換為：圖7-8擴展2倍得到的，圖像如圖7-9所示。故h[2n]理想低通濾波器，截止頻率為π/2,通帶增益為1。以得到一個2倍的增采樣序列，求對應(yīng)于這個增采樣單位脈沖響應(yīng)的頻率響應(yīng)。圖7-10通帶增益為2的理想低通濾波器。7.19考慮如圖7-11所示的系統(tǒng)，輸入為x[n],輸出為y[n]。零值插入系統(tǒng)在每一序列x[n]圖7-11(a)各部分輸出信號如圖7-12(a)所示。。又由可得(b)各部分輸出信號如圖7-12(b)所示。圖7-127.20有兩個離散時間系統(tǒng)S?和S?用于實現(xiàn)一個截止頻率為π/4的理想低通濾波器。系統(tǒng)S?如圖7-13(a)所示，系統(tǒng)S?如圖7-13(b)所示。在這些圖中，SA相應(yīng)于一個零值插入系統(tǒng)，在每一個輸入樣本之后插入一個零值點；而SB相應(yīng)于一個抽取系統(tǒng)(a)S?相應(yīng)于所要求的理想低通濾波器嗎?(b)S?相應(yīng)于所要求的理想低通濾波器嗎?圖7-13解：(a)假設(shè)一=如圖7-14所示，則傅里葉變換一是∈的輸出信號，傅里葉變換第一個低通濾波器的輸出，=是「的輸出信號，傅里葉變換F是第二個低通濾波器的輸出，如圖7-14所示。顯然S?不能實現(xiàn)理想低通濾波器的功能。圖7-147.21一信號x(t),其傅里葉變換為X(jo),對x(t)進行沖激串采樣，產(chǎn)生一E=為解：采樣時間間隔一==,則采樣頻率(a)由所給條件知，x(t)的奈奎斯特頻率為,因采樣頻率否也為0,故無法確定信號x(t)的奈奎斯特頻率，所以無法保證能由xp(t)恢復(fù)x(t)。(d)因為x(t)是實信號，所以二是偶函數(shù)，即當(dāng)，則可推知當(dāng) 采樣頻率一a=,故由采樣定理知，x(t)可由xp(t)恢復(fù)得到。,,,由于采0,故無法確定x(t)的奈奎斯特頻率，即無法保證能由xp(t)恢復(fù)x(t)。7.22信號y(t)由兩個均為帶限的信號x?(t)和x?(t)卷積而成，即采樣，以得到。試給出y(t)保證能從yp(t)中恢復(fù)出來的采樣周期T的范圍。l恢復(fù)。7.23如圖7-15所示是一個用交替符號沖激串來采樣信號的系統(tǒng)。輸入信號的傅里葉變換X(jo)如圖7-15(c)所示。(b)對于1,確定一個能從xp(t)中恢復(fù)x(t)的系統(tǒng)。(c)對于一E=,確定一個能從y(t)中恢復(fù)x(t)的系統(tǒng)。(d)確定x(t)既能從xp(t)又能從y(t)中恢復(fù)的最大△值(相對于om)。圖7-15解：(a)由圖7-15(a)所示系統(tǒng)知，xp(t)=x(t)p(t),從而有p(t)是個周期信號，周期為2△,其傅里葉系數(shù)為:即—==,從而得xp(JO)的圖形如圖7-16所示。圖7-16圖7-17。圖7-21圖7-21如圖7-22所示。圖7-22若要不發(fā)生頻域混疊，應(yīng)有,從而得到在這種情況下的T的最大值圖7-237.25如圖7-24所示是一個采樣器緊跟著一個用于從樣本xp(t)中恢復(fù)出x(t)的理想低通濾波器。根據(jù)采樣定理知道，若一于x(t)中存在的最高頻率的2倍—那么重建信號xr(t)就一定等于x(t)。如果在x(t即一為了得到這一結(jié)果，將xr(t)用x(t)的樣本值表示成只要考慮到一的都有圖7-24因此成立。7.26采樣定理表明，一個信號必須以大于它的2倍帶寬的采樣率來采樣(或者等效為大于它的最高頻率的2倍)。這就意味著，如果有一個信號x(t)的頻譜如圖7-25(a)所示，那么就必須用大于202的采樣率對x(t)進行采樣。然而，因為這個信號的大部分能量是集中在一個窄帶范圍內(nèi)的，因此似乎有理由期望能用一個低于2倍最集中于某一頻帶范圍內(nèi)的信號往往稱為帶通信號(bandoasssitmal)。有各種辦法來對這樣的信號進行采樣，一般統(tǒng)稱為帶通采樣(bandasssamoline)技術(shù)。為了研究有可能存一個小于總帶寬的采樣率下對一個帶通信號進行采樣，考慮如圖7-25所圖7-25圖7-26當(dāng)T增加時，:三趨于0。當(dāng)一時，有混疊現(xiàn)象。作出此時的圖像，可得這種方法先將x(t)乘以一個復(fù)指數(shù)，然后再對乘積采樣。采樣系統(tǒng)如圖7-27(a)所示。由于x(t)為實函數(shù)，且一F僅在=時為非零，頻率0選為 低通濾波器H?Gjo)的截止頻率為二=(a)若XGjo)如圖7-27(b)所示，畫出一(b)確定最大的采樣周期T,以使可以從xp(t)中恢復(fù)x(t)。(c)確定一個從xp(t)中恢復(fù)x(t)的系統(tǒng)。圖7-27三是低通濾圖7-28(b)3的奈奎斯特率為一以使能從xp(t)中恢復(fù)x(t)。(c)從xp(t)中恢復(fù)x(t)的系統(tǒng)如圖7-29所示。圖7-297.28如圖7-30所示的系統(tǒng)將一個連續(xù)時間信號轉(zhuǎn)換為一個離散時間信號。輸入x(t)是周期的頻率響應(yīng)如圖7-30(b)所示，采樣周期—T圖7-30解：(a)因為x(t)的周期To=0.1s,故其基頻=其中低通濾波器的截止頻率因而xc(t)的傅里葉變換為圖7-31又都是由沖激串組成的。在圖7-31(a)所示系統(tǒng)中，將沖激串xe(t)變?yōu)殡x散序列x[n],只下面求x[n]的周期。不難知xe(t)的傅里葉級數(shù)為可將上式右端作為周期序列x[n]的傅里葉級數(shù)。因有(b)在(a)中已得到x[n]的傅里葉級數(shù)為即x[n]的傅里葉系數(shù)為7.29如圖7-32(a)所示系統(tǒng)利用離散時間濾波器過濾連續(xù)時間信號。若一如圖7-32由沖激串xp(t)轉(zhuǎn)換為序列x[n],在頻域中進行了頻率歸一化，即若將Xp(jo)表示為Xp(jΩ),而x[n]的頻譜函數(shù)用X(e)表示，則X(eO)如圖7-33(b)所示。Y(ei)如圖7-33(c)所示。由序列y[n]轉(zhuǎn)換為沖激串yp(t),若yp(t)的頻譜函數(shù)用Yp(jΩ)表示，則Yp(jΩ)如圖7-33(d)所示(圖中Ω換成為o)。圖7-34yp(t)再通過截止頻率為,通帶增益為T的低通濾波器，得到y(tǒng)e(t),易知如圖7-33(e)所示。圖7-337.30如圖7-34所示系統(tǒng)由一個連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)接一個采樣器，轉(zhuǎn)換為一個序列，解：(a)因為連續(xù)LTI系統(tǒng)的輸入-輸出方程為可得其系統(tǒng)函數(shù)為(b)由于y[n]是對yc(t)進行沖激串采樣得到的序列，故于是有且7.31如圖7-35所示系統(tǒng)利用一個數(shù)字濾波器h[n]來處理連續(xù)時間信號，該數(shù)字濾波器是線性的，因果的且滿足如下差分方程：圖7-35對于帶限輸入的信號，即==圖中的系統(tǒng)等效為一個連續(xù)時間LTI系統(tǒng)。確定從輸入xe(t)到輸出ye(t)的整個系統(tǒng)的等效頻率響應(yīng)He(jo)。解：為了區(qū)分數(shù)字頻率和模擬頻率，以下過程中用w表示模擬頻率，用Ω表示數(shù)字頻率。對于數(shù)字濾波器，由其輸入-輸出方程可知其頻率響應(yīng)為于是得y[n]的頻譜函數(shù)為且,試給出一個低通濾波器的頻率響應(yīng)一三使得當(dāng)該濾波器的輸入如圖7-36所示圖7-36顯然為了得到，低通濾波器的截止頻率為三，通帶增益為4。即7.33傅里葉變換為x(ei)的信號x[n]具有如下性質(zhì)：對于什么樣的○值，可以保證一個截止頻率為三，通帶增益為3的理想低通濾波器的脈沖響應(yīng)為試求L和M的值。憂解：要使一的非零部分占滿到一B三的區(qū)域，x[n]必須減采樣二倍。又因為信號不能直接減采樣一個非整數(shù)倍，因此需要先增采樣3倍，再減采樣倍。即L=3,M=14。(b)序列一E三和一==如圖7-38(b)所示圖7-39因為x(t)的奈奎斯特頻率為,所以可以從x,(1)中恢復(fù)信號。從7.2小節(jié)知設(shè)7.37只要平均采樣密度為每秒2(W/2π)個樣本，那么一個帶限于o||<W的信號就能夠從(2)p(t)縣一個非均勻間隔的周期沖激串，如圖7-39(b)所示。(3)f(t)是一個周期性波形，其周期由于f(t)與一個沖激串相乘，因而只在t=0和t=△時的值f(O)=a和f(△)=b才有意義。(5)是一個理想低通濾波器，即其中K是一個常數(shù)(可能是復(fù)數(shù))。(a)求p(t),yi(t),y?(t)和y?t)的傅里葉變換。(b)給出作為△的函數(shù)的a,b和K值，以使對任何帶限信號x(t)和任何△,其中因此其中因此其中又因此當(dāng)一時，有因為時，有故7.38往往需要在示波器的屏幕上顯示出具有極短時間的一些波形部分(例如，千分之幾毫微秒量級),由于最快的示波器的上升時間也比這個時間長，因此這種波形無法直接顯示。圖7-40(a)就是用來對快速變化的波形x(t)進行采樣，采樣時每個周期采一次，但在相鄰如果讓所得到的沖激串通過一個合適的低通內(nèi)插濾波器，那么輸出y(t)將正比于減慢了的，或者在時間上被展寬了的原始快變化波形，即y(t)正比于x(at),其中a<1。試求出△的取值范圍，使得圖7-40(b)中的y(t)正比于x(at),a<1;同時，用T和△確定a的值。圖7-40圖7-41明顯不能得到△=0,從圖7-41可以得到所以從圖7-41還可以得到7.39信號xp(t)是對一個頻率等于采樣頻率op一半的正弦信號x(t)進行沖激串采樣得到的，即(a)求一個g(t),使得有(b)證明一上式右邊在n=0,±1,±2…...時為0。7.40考慮一個圓盤，在該圓盤上畫有一個正弦曲線的4個周期。圓盤以近似15r/s的速度旋轉(zhuǎn)，因此當(dāng)通過一個窄縫看時，正弦曲線具有60Hz的頻率。整個裝置如圖7-42所示。設(shè)為了符號上的方便，現(xiàn)將v(t)歸一化，以使A=1。在60Hz頻率下，人的眼睛是不可能跟蹤v(t)的變化的，現(xiàn)假定這一效果可以通過把眼睛模型化為截止頻率為20Hz的理想低通濾波對正弦曲線的采樣可以用一個頻閃燈照亮圓盤來完成，因此光照度i(t)可以用一個沖激串來其中1/T是頻閃頻率(Hz)。所得到的已采樣信號是乘積V(o)和I(jo)分別記為r(t)、v(t)和i(t)的傅里葉變換。(a)畫出V(jo),并明確指出參量φ和wo的影響。個最大T值時的R(jo)。如果采樣周期T取得大于(c)中所確定的值，將會發(fā)生頻譜混疊。由于混疊的結(jié)果，感覺其中Aa是va(t)的視在振幅，Oa是va(t)的視在頻率，是它的視在相位。解：(a)VGjo)的傅里葉變換如圖7-43(a)所示圖7-43(b)低通濾波器的截止頻率為。(e)依題意R(jw)如圖7-43(e)所示。些回波。例如，圖7-44(a)示意了一個系統(tǒng)，在該系統(tǒng)中接收機同時接收到信號x(t)和一并用合適的數(shù)字濾波器h[n]對接收機的輸出進行處理，如圖7-44(b)所示。圖7-44(a)若并取采樣周期等于To(即T=To),試確定數(shù)字濾波器h[n]的差分方程，以使ye(t)正比于x(t)。(c)現(xiàn)在假定I試選擇采樣周期T、低通濾波器增益A和數(shù)字濾波器h[n]的頻率響應(yīng)，使得y.(t)正比于x(t)。解：本題中為了避免混淆，采用Ω表示離散時間頻率。為,所以只要y[n]=x[n],就有y.(t)=x(t),故所以數(shù)字濾波器h[n]的差分方程為(b)從圖7-44(a)和(b)可得其中是連續(xù)時間系統(tǒng)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)。又要使,比較上述兩式得又為了滿足上述這些條件，需要一，且當(dāng)時有7.42考慮一帶限信號xe(t),以高于奈奎斯特率對其采樣，然后將相隔T秒的各樣本按圖7-45轉(zhuǎn)換為一個序列x[n]。試確定序列的能量Ed原始信號的能量Ec和采樣間隔T之間的關(guān)系。序列x[n]的能量定義為圖7-45解：本題中為了避免混淆，采用Ω表示離散時間頻率。7.43如圖7-46(a)所示系統(tǒng)的輸入和輸出都是離散時間信號。離散時間輸入x[n]轉(zhuǎn)換為又被轉(zhuǎn)換成離散時間信號y[n]。其中輸入為xe(t)且輸出為y.(t)的線性時不變系統(tǒng)是因果的，整個系統(tǒng)等效為一個因果離散時間線性時不變系統(tǒng)，如圖7-46(b)所示。試確定該等效線性時不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(eia)和單位脈沖響應(yīng)h[n]。圖7-46因為,所以且當(dāng)時，;其他值為0。因此當(dāng)時，;其他表示一的傅里葉變換，可以看做一個低通濾波器(截止頻率為一),抽樣周因此7.44設(shè)想要設(shè)計一個連續(xù)時間正弦信號發(fā)生器，該發(fā)生器對==內(nèi)的任何頻率都x[1],…,x[N-1],其中每隔T秒輸出一個被x[k]的值加權(quán)了的沖激，這(a)證明：通過調(diào)整T,可以調(diào)節(jié)被采樣的余弦信號的頻率，也就是證明(b)概略畫出產(chǎn)生連續(xù)時間正弦波的整個系統(tǒng)示于圖7-47(a),圖7-47中HGjo)是一個具有單位增益的參數(shù)wc是需要確定的，使得y(t)在所需的頻(e)對在(a)中所確定范圍內(nèi)的任何T值，確定最小的N值和we的某個值，使y(t)在該系統(tǒng)將信號進行歸一化，如圖7-47(b)所示。求此系統(tǒng)GGjo)。圖7-47則=1,則令T的范圍為-,在處可得到最大角頻率①2,在一三處可得到最小角頻率①1,即。如圖7-48所示。圖7-48N的最小值為3。通過對|==抽樣，有使得Y(t)在w?是正弦信號，濾除字濾波器h[n]的輸入輸出關(guān)系為圖7-49(a)若從xe(t)到xp(t)的變換中避免混疊發(fā)生，所允許的最大T值是什么?(b)確定由式(P7.45-1)給出的離散時間線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。(c)確定是否有任何T值能使若有，求出最大的T值；若沒有，陳述理由，并說明應(yīng)該如何選擇T,才能使式(P7.45-2)最接近成立(這一部分要仔細想想，否則很容易導(dǎo)出錯誤結(jié)論)。(b)依題意(c)依題意因此(P7.45-2)式為得為了避免在o=0發(fā)生混疊，需要使,即二，且根據(jù)式(7-46)和式(7-47),該濾波器的輸出可表示為m為任意正或負的整數(shù)。圖7-50其中m=k時為1,否則為0。因此7.47假設(shè)x[n]的傅里葉變換在內(nèi)為零.證明：證明：定義一個信號從7.5.1小節(jié)知，的傅里葉變換為當(dāng)時，,所以不會發(fā)生混疊，如圖7-51所示。圖7-51因此,必須對機施加什么樣的另外限制?解：的圖像如圖7-52所示注意-對一每隔4個脈沖采樣一次，如果一是(如圖7-52所示),-1)個零值序列，而有(c)若一==如圖7-53所示，N=3,畫出,則輸出為,即系統(tǒng)A是線性的。Cb)考慮如圖7-54所示的信號,輸出x,[n]如圖7-54所示?，F(xiàn)定義一個新的輸入],輸出響應(yīng)xA[n]如圖7-54所示。很明顯E,變的。(c)因為,所以一F如圖7-54所示。(d)如圖7-54所示圖7-547.50在本題中考慮與在7.2.1節(jié)和7.2節(jié)中討論的連續(xù)時間零階和一階保持相對應(yīng)的離散時間零階保持和一階保持問題。設(shè)x[n]為一序列，按圖7-55(b)所指出的對它進行離散時間采樣。假定滿足離散時間采樣定理中的條件，且這里ws是采樣頻率，并且有么,原信號x[n]就可用理想低通濾波器由一完全恢復(fù)，這如同在7.5節(jié)中所討論的相應(yīng)于帶限內(nèi)插。零階保持代表一種近似內(nèi)插，借此每個樣本被重復(fù)(或保持)N-1次，圖7-56(a)給出N=3的情況。一階保持則代表樣本之間的線性內(nèi)插，也如圖7-56(a)所示。(a)零階保持(ZOH)可以表示成式(7-47)的內(nèi)插，或等效為圖7-56(b)所示的系統(tǒng)。對采樣周期為N的一般情況，試確定并畫出ho[n]。(b)如圖7-56(c)所示，利用一個合適的線性時不變?yōu)V波器一以從零階保持序列(c)一階保持(FOH)可以表示成式(7-47)的內(nèi)插，或等效為如圖7-56(d)所示的系統(tǒng)。對采樣周期為N的一般情況，試確定并畫出h?[n]。(d)利用一個合適的，頻率響應(yīng)為一：=的線性時不變?yōu)V波器，可以從一階保持序列圖7-55(b)離散時間采樣圖7-55圖7-56圖7-56(e)(b)要使當(dāng)時，,否則為0,其中ws/2=π/N,且則(d)同(b)要使當(dāng)時，否則為0,根據(jù)(c)有則7.51正如圖7-57所示和7.5.2節(jié)所討論的，以整數(shù)因子N內(nèi)插或增采樣的過程可以看成兩種運算的級聯(lián)。對于真正的帶限內(nèi)插，圖7-57中的濾波器H(ei@)是一個理想低通濾波器。但在任何實際應(yīng)用中，就有必要實現(xiàn)一個近似的低通濾波器。在本題中要研究的是，在這些近似濾波器的設(shè)計上往往要施加一些有用的限制條件。(a)假定一|=用一個零相位的FIR濾波器來近似，這個濾波器是用這樣的約束條件來設(shè)計的：原始序列一=的值得到真正的重現(xiàn)，即這就保證了雖然在原始序列值之間的內(nèi)插并不完善，但原始序列值在內(nèi)插中得到真正重現(xiàn)。為了保證對任何序列E=式(P7.51-1)都嚴格成立，試確定對低通濾波器單位脈沖響(b)現(xiàn)在假設(shè)內(nèi)插是用一個長度為N的線性相位、因果、對稱的FIR濾波器來進行的，即其中一E是實函數(shù)。這個濾波器按下述條件來設(shè)計：使原始序列值得到真正重現(xiàn)，確定這是否意味著對濾波器的長度N是奇數(shù)還是偶數(shù)施加了什么限制。(c)再次假定內(nèi)插是用線性相位、因果、對稱的FIR濾波器來進行的，因而其中==是實函數(shù)。該濾波器按下述條件來設(shè)計：使原始序列值得到真正重現(xiàn)，但具有一個延遲M,而M不一定就等于相位特性斜率的負值，即確定這是否意味著對濾波器的長度N是奇數(shù)還是偶數(shù)施加了什么限制。圖7-57增采樣解：(a)可能有一(b)N必須為奇數(shù)，題中仁是一個整數(shù)。如果N是偶數(shù)，則作不是整數(shù)。如果仁是一個整數(shù)，移動h[n]會使h[n]成為偶序列，故不可能使N為偶數(shù)。(c)N可以為奇數(shù)也可以為偶數(shù)，題中作是一個小數(shù)，從而可以設(shè)計一個線性、因果、對稱的FIR偶數(shù)長度濾波器。7.52在本題中要建立與時域采樣定理對頻域樣本得到重建。為了得到這一結(jié)果，考慮圖7-58中的頻域采樣。,其中，(c)證明：若x(t)在時不限制為零，就不能從一E中恢復(fù)x(t)。圖7-58解：因為因為x(t)是時限的，即假設(shè)x(t)如圖7-59(a)所示，如圖7-59(b)所示。很明顯通過乘以下面的函數(shù)，可從使x(t)從一F中恢復(fù)圖7-59(c)如果x(t)在=限制為零，X(t)如圖7-59(c)所示。很明顯，(1)發(fā)生7.3名?？佳姓骖}詳解1.信號的奈奎斯特抽樣頻率為E,則信號的奈奎斯特抽樣頻率為()。[北京航空航天大學(xué)2007研]E.都不對2.若信號一F的奈奎斯特采樣頻率為F,則信號的奈奎斯特采樣頻率為()。[北京郵電大學(xué)2009研]B.f【答案】C查看答案其最高頻率為I,則其奈奎斯特采樣頻率為()。[西南交通大學(xué)2006研]B.C.【答案】A查看答案【解析】根據(jù)時域和頻域之間關(guān)系，可知若時域擴展，則頻域壓縮。所以若一=的頻帶寬度二、判斷題某連續(xù)時間信號進行理想采樣，采樣間隔,則連續(xù)域內(nèi)的頻率點1000Hz對應(yīng)于離散域內(nèi)的角頻率值為0.25F。()[華南理工大學(xué)2008研]【答案】錯查看答案【解析】由離散域角頻率-=與連續(xù)域角頻率-=的關(guān)系,得三、填空題1.帶限信號f(t)的最高頻率為同，若對一在時域進行理想抽若對以二三進行抽樣，低通濾波器的截止頻率-F應(yīng)滿足。[中國傳媒大學(xué)2009研]【答案】1000Hz;500Hz~750Hz查看答案【解析】若f(t)的最高頻率為一,則一的最高頻率為的最高頻率為,所以的最高頻率為100Hz,則的最高頻率為。所以抽樣頻率應(yīng)滿足,則低通濾波器的截止頻率F應(yīng)滿足2.對理想抽樣的不失真抽樣間隔為。[四川大學(xué)2007研]【答案】二查看答案【解析】可將化為2個相同的采樣函數(shù)相乘的形式，再令每一個取樣函數(shù)的最高頻率一E三，則利用公式,可得：3.已知信號f(t)的最高頻率100Hz,則對信號進行均勻取樣時，其奈奎斯特(Nyquist)間隔抽樣間隔等于。[西安電子科技大學(xué)2010研]【答案】0.01s查看答案【解析】由題設(shè)可知，對于八，。因此對于(時域展寬，頻率壓縮；相反，時域壓縮，頻率展寬)。所以l,則什么叫信號的“抽樣”?根據(jù)抽樣脈沖序列的不同，抽樣分為哪兩種形式?[重慶大學(xué)2009研]答：信號的抽樣是利用抽樣脈沖序列p(t)從連續(xù)信號f(t)抽取一系列的離散樣值，這種離散信號通常稱為抽樣信號。根據(jù)抽樣脈沖序列信號的不同可以分為矩形脈沖抽樣，沖擊抽樣。1.如圖7-1(a)所示系統(tǒng)，激勵1,系統(tǒng)一的頻譜特性如圖7-1(b)o(1)畫出一F=的頻譜圖；(2)欲從一==中無失真地恢復(fù)一E=,求最大抽樣周期；(3)畫出在奈奎斯特抽樣頻率時一的頻譜圖；(4)在奈奎斯特抽樣頻率下，欲使響應(yīng)信號應(yīng)具有什么樣的特性?(5)若如