數(shù)列求和問題（解析版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第27講數(shù)列求和問題

（7類核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點(diǎn)分布

考題示例考點(diǎn)分析

2024年天津卷，第19題,15由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等

分比數(shù)列前n項(xiàng)和裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和

2023年天津卷，第19題,15等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等差

分?jǐn)?shù)列前n項(xiàng)和寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

2023年天津卷，第5題,5等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)

2022年天津卷，第18題,15等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算錯(cuò)位

分相減法求和分組（并項(xiàng)）法求和

2021年天津卷，第19題,15等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算由定義判定等比數(shù)列錯(cuò)位相減法求和

分?jǐn)?shù)列不等式恒成立問題

2020年天津卷，第19題,15等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等差數(shù)列前n項(xiàng)和等比數(shù)列通項(xiàng)公

分式的基本量計(jì)算分組（并項(xiàng)）法求和

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較高，分值為15分

【備考策略】1.理解、掌握集數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，能夠利用證明等差數(shù)列與等比數(shù)列

2.能掌握數(shù)列的求和公式

3.具備數(shù)形函數(shù)的思想，會借用函數(shù)的特征求解數(shù)列的單調(diào)性與最值

4.會解數(shù)列的奇偶項(xiàng)求和與公共項(xiàng)等問題。

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列的遞推公式，求解數(shù)的通項(xiàng)與求和問題。

加.考點(diǎn)梳理?

考點(diǎn)一、分組與并項(xiàng)求和法

考點(diǎn)二、錯(cuò)位相減法

1.公式法考點(diǎn)三、裂項(xiàng)相消法

2.分組求和法.

知識點(diǎn).數(shù)列求和的幾種常用方法?3.錯(cuò)位相減法考點(diǎn)四、倒序相加法

考點(diǎn)五、奇偶項(xiàng)求和法

{4.裂項(xiàng)相消法

考點(diǎn)六、數(shù)列公共項(xiàng)問題

考點(diǎn)七、數(shù)列增減項(xiàng)問題

知識講解

知識點(diǎn).數(shù)列求和的幾種常用方法

1.公式法

直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前"項(xiàng)和公式求和.

①等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式：

-nal2-2,

②等比數(shù)列的前八項(xiàng)和公式：

"nalt(q=1)

Sn=_%一%也,豐

.1-q-1-q?)

2.分組求和法與并項(xiàng)求和法

①分組求和法

若一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后

相加減.

②并項(xiàng)求和法

一個(gè)數(shù)列的前力項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如斯=(-1)%")類型，可采用兩項(xiàng)合并

求解.

3.錯(cuò)位相減法

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即

可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.

4.裂項(xiàng)相消法

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.

常見的裂項(xiàng)技巧：

?nn~\-1nn~\-V

@nn+2=2^-^+2)

③2〃-12〃+1-2(2九-12〃+J

1—yjn+1—y[n.

/+1

號1」「」一]

nn~\~ln+22_nn+1〃+ln+2

考點(diǎn)一、分組與并項(xiàng)求和法

典例引領(lǐng)

1.（2022?天津?高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，｛,｝是等比數(shù)列，且的=br=a2-b2=a3-b3=1.

（1）求｛a九｝與｛b｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)｛a九｝的前n項(xiàng)和為男,求證：（S九+i+an+1）bn=Sn+1bn+1-Snbn；

（3）求2%Ja/c+i一（一i）%口尻.

n-1

【答案】（l）%i=2n-l,bn=2

⑵證明見解析

（6n-2）4n+1+8

（）9

【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行基本量運(yùn)算即可得解；

（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；

2k-1fc+1

（3）先求得[a2k-（-l）a2fc-i]^2fc-i+[a2k+i—（一1）2%2m62/0,進(jìn)而由并項(xiàng)求和可得&=-4,

再結(jié)合錯(cuò)位相減法可得解.

【詳解】(1)設(shè)｛&J公差為d,｛4｝公比為q,則a九=1+(九-l)d,bn=q"T,

由02—b2=CL3—b3=1可得92'4今d=q=2(d=q=0舍去)，

1+ZcZ—q=1

n-1

所以a九=2n—l,bn=2；

(2)證明：因?yàn)?+i=2%H0,所以要證(S九+i+%+1)%=SH+I^+I-S"打，

即證(S九+i4~a?i+i)b九=2bH—Snbnf即證S7T+1+a7T+i—2Sn+1—Sn,

即證a九+1=S九+1—Snj

而Q?i+1=^n+l—S九業(yè)然成_\7*，所以(S^i+i+=^n+l^n+1—'"?i；

(3)因?yàn)閇。2上—(-1)2"一"2上-1]力2上-1+[a2k+l-(-l)2ka2fc]^2fc

=(4fc-1+4fc-3)x22k-24-[4/c+1-(4k-1)]x22fc-*1=2k?小，

所以2%』以+1—(一1)%上]瓦=Sfc=i[(a2k-(-l)2/C-la2fc-l)^2k-l+(a2k+l~(~V2ka2k)^2k]

=2"2k4,

設(shè)"=2：="4k

所以乃=2X4+4X42+6X43+-+2nx4n,

則4二=2X42+4X43+6X44+???+2nx4n+1,

作差得一3"=2(4+42+43+44+…+4")-2n-4n+1=>"(一力―2nx4n+1

1—4

_(2-6n)4n+1-8

-3'

所以T”=(6吁2)「,

所以[以+]一(一1)%周尻=(6w-2)ri+8

2.(2019?天津?高考真題)設(shè)｛%J是等差數(shù)列,｛匕｝是等比數(shù)列.已知的=4'=6,b2=2a2-2也=2a3+

4.

(I)求｛an｝和物。的通項(xiàng)公式;

(II)設(shè)數(shù)列｛5｝滿足q=1,cn=0，f：:苫，其中k￡N*.

(i)求數(shù)列｛a2n(。2支-1)｝的通項(xiàng)公式;

(ii)求W，a,;c,；(nGN*).

nnn+1n+]

【答案】(I)an=3n+l；fan=3x2(II)(i)a2n(c2n-1)=9x4-l(ii)3x4+3X2-18(neN*)

【分析】(I)由題意首先求得公比和公差，然后確定數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；

(11)結(jié)合(I)中的結(jié)論可得數(shù)列他2“。2"-1)｝的通項(xiàng)公式，結(jié)合所得的通項(xiàng)公式對所求的數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行

a2lc2i(neN*)的值.

i=l

【詳解】(I)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列｛%｝的公比為q.

俄日而言汨f6q=2(4+d)-2=6+2d缶“14d=3

依題意得%2=2(4+2d)+4=12+4d,解得用=2'

n-1n

故a九=4+(n—l)x3=3n+l,bn=6x2=3x2.

所以，｛冊｝的通項(xiàng)公式為=3n+1,｛%｝的通項(xiàng)公式為小=3x2n.

nnn

(n)(i)Q2”c2n-1)=a2n(bn-1)=(3x2+1)(3x2-1)=9x4-1.

所以，數(shù)列｛a2n(c2rl—1)｝的通項(xiàng)公式為a2n(c2n-1)=9x471—1.

acl

_^a2t^=2^^[a2t+-1)]=221a^=1A2~1)

=1+^?x3)+2M(9X4?_1)

4(1-4”)

=(3x2n+1+n-6)+9x；_J-n

=3x4n+1+3x2n+1-18(nGN*).

【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識.考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和

數(shù)列求和的基本方法以及運(yùn)算求解能力.

即時(shí)檢測

■一

1.(24-25高三上?廣西?階段練習(xí))已知函數(shù)/(久)=ln(|±D+久一1,則22°：/(亳)=()

2023

B.-2023C.-1012D.-2024

A.2

【答案】A

【分析】先根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)％G(0,1)時(shí),/(1-%)+/(%)=-1,最后應(yīng)用分組求和即可.

【詳解】當(dāng)％E(0,1)時(shí)，1—%E(0,1),<0,f(%)=In+%—1,

所以/(I-%)+f(%)=In——+1—x—1+ln---Fx—1=In(—,--)—1=-1,

則Xif島)=/島)+f島)+…+，囂)

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是分析得/(I-%)+/(%)=-1,從而得解.

an+1,cinV3,

幺c>&記｛%｝的前幾項(xiàng)和為無，若的=1,

｛3，三3，

則S50=;若ai=|,keN*,貝!)S3k+i=?

【答案】996k

【分析】根據(jù)題意，當(dāng)?shù)?1時(shí)，得到數(shù)列｛&J是以1,2,3為周期的周期數(shù)列，進(jìn)而求得Sso的值，當(dāng)0<的<1

時(shí)，得到。3k1+。3上+。3日1=券+6,進(jìn)而求得S3L+1的值.

CLn+1,CLn<3,

｛&c,2記｛%J的前幾項(xiàng)和為治,

若=1,。2=。1+1=1+1=2,&3=。2+1=2+1=3,

則。4=半=1'a5=a4+l=l+l=2/a6=a5+l=2+l=3,

可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列｛%J是以123為周期的周期數(shù)列，一個(gè)周期的和為1+2+3=6,

所以S50=16((11+g+。3)+%+。2=16x6+1+2=99；

當(dāng)0<%V1時(shí)，g=+1，。3=+2,。4=%+3>3,

。5=j=j+1<3,%=@5+l=\+2v3,a?=寸+3>3,…，

a3fc-i=而三十La3k=布+4a3k+i=聲T+3,…，

因?yàn)?<%<1時(shí)，可得0〈墨VI,則以三個(gè)為一組循環(huán)，

且的k-1+a3k+a3k+i=3X+1+2+3=^27+6，

則S3/C+I=+(。2+%+。4)+…+(a3k-l+a3k+a3k+l)

411

=%+(3%+6)+(的+6)+—F(fc_2+6)=(1+3+1+-+—F仆2)十i+6k

3[1—⑥町1111

=｛1+-不一｝@1+6々=3一天T+6k.

3

故答案為：y—^77+6k.

2

3.(24-25高三上?湖南長沙?開學(xué)考試)已知數(shù)列｛&J的前幾項(xiàng)和為Sn=n-n,nEN+.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)g=2。"，證明｛g｝是等比數(shù)列；

7

(3)設(shè)c”=bn+n,求數(shù)列｛&｝的前幾項(xiàng)和k

【答案】(l)an=2幾一2

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)an=Sn-Sn_i分段求出數(shù)列通項(xiàng);

(2)應(yīng)用等比數(shù)列定義證明即可；

(3)應(yīng)用等差、等比求和公式分組求和即可.

【詳解】(1)當(dāng)九=1時(shí)，al=SI=1—1=。，

當(dāng)n>2時(shí)，cm=Sn—Sn—l［(n2—n)—(n—I)2+(n—1~)］—2n—2,

因此數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式為廝=2n-2；

2n2

(2)bn=2?！?2-,

因?yàn)楹?嘩售=4是常數(shù)，neN*,

故｛5｝是等比數(shù)列；

(3)｛6n｝是等比數(shù)列，首項(xiàng)是&=2。1=2。=1,公比是4,

rln

bn=b1-4T=2al?空-1=4T,

n-1

cn—4+n,

所以T_L(I")(l+n>n_4"-ln(n+l)

n—1-42-32

4.(24-25高三上?江蘇南京?階段練習(xí))己知｛即｝是各項(xiàng)均為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為治,

且=3,的,￡13,成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)定義在數(shù)列｛即｝中，使log3(an+1)為整數(shù)的a“叫做“調(diào)和數(shù)”，求在區(qū)間［1,2024］內(nèi)所有“調(diào)和數(shù)”之和.

【答案】(l)an=n+l

(2)1086

【分析】(1)結(jié)合等比中項(xiàng)的知識求得等差數(shù)列的公差，從而求得通項(xiàng)公式.

(2)利用列舉法寫出“調(diào)和數(shù)”，結(jié)合等比數(shù)列前幾項(xiàng)和公式求得及.

【詳解】⑴因?yàn)榈?。3，。7成等比數(shù)列，

所以a專=a1?CLy)

因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

所以［a2=+d—3

l(Gti+2d)2—ar-Qar+6d)'

所以｛憶；，

所以與=a1+(n—l)d=n+1.

b

(2)設(shè)b=log3(an+1),所以an=3—1,

令1WbW2022,且b為整數(shù)，

6767

XSlog33=l,log33=729,log33=2187,log33<2022<log33,

所以b可以取1,2,3,4,5,6,

此時(shí)廝分別為31-1,32-1,33-1,34-l,35-l,36-l,

所以區(qū)間［1,2024］內(nèi)所有“調(diào)和數(shù)”之和

*=(31-1)+&-1)+(33-1)+(34-1)+(35-1)+(36一1)

=(31+32+33+34+35+36)-6

3(1-36)

=----------------O

1-3

=1086.

考點(diǎn)二、錯(cuò)位相減法

■典-例-_引__領(lǐng)___

1.(2020?全國?高考真題)設(shè)｛即｝是公比不為1的等比數(shù)列，%為g，內(nèi)的等差中項(xiàng).

(1)求｛an｝的公比;

(2)若％=1,求數(shù)列｛九an｝的前幾項(xiàng)和.

【答案】(1)一2；(2)Sn=i-(i+3；)(-2)：

【分析】(1)由已知結(jié)合等差中項(xiàng)關(guān)系，建立公比q的方程，求解即可得出結(jié)論；

(2)由(1)結(jié)合條件得出｛即｝的通項(xiàng)，根據(jù)｛na"的通項(xiàng)公式特征，用錯(cuò)位相減法，即可求出結(jié)論.

【詳解】(1)設(shè)的公比為q,%為即，。3的等差中項(xiàng)，

2al=a2+。3,=°，?,?I2+q—2=0,

qW1,???q=-2；

711

(2)設(shè)｛幾冊｝的前71項(xiàng)和為％,=ltan=(-2)-,

71

Sn=1x1+2x(—2)+3x(-2)2+…+71(—2)—1,①

3nln

—2Sn=1X(-2)+2X(-2)2+3X(―2)+…(M—1)(—2)+n(-2)f②

n

①一②得，3Sn=l+(-2)+(-2)2+…+(-2廣-1-n(-2)

_l-(-2)nz八九_l-(l+3n)(-2)n

一年7一九(-2)--------3--------'

【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算、等差中項(xiàng)的性質(zhì)，以及錯(cuò)位相減法求和，考查計(jì)算求

解能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.(24-25高三上?四川達(dá)州?開學(xué)考試)已知數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和為%,且2Sn+9=3與+4Tl.

(1)求數(shù)列｛%J的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛以廝-2)｝的前n項(xiàng)和七.

【答案】(l)an=3"+2

(2n-l)3n+1+3

(2叫=----4-----

【分析】(1)根據(jù)%,斯的關(guān)系，作差可得｛冊-2｝為等比數(shù)列，即可由等比通項(xiàng)求解，

(2)利用錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可求解.

【詳解】(1)當(dāng)?1=1時(shí)，2al+9=3a1+4,即的=5,

當(dāng)n>2時(shí)，25n+9=3an+4n①，+9=3tzn_1+4(n—1)②，

①-②得:2an=3an_3an_1+4,即即=3on_^—4,所以斯—2=3(an_^—2).

因?yàn)?-2=5-2=3,

所以數(shù)列｛6-2｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.

貝110^-2=3%即an=3n+2.

n

(2)由(1)得，n(an-2)=n-3,

所以〃=1x3+2x32+3x33+■■■+nx3n,

37^=1x32+2X33+???+(n-1)X3n+nX3n+1,

n+12nn+1n+1

故2*=nx3-(3+3+--?+3)=nx3-^112=(n-x3+

3—1\2/2

所以Tn=On-】)”一.

4

即時(shí)檢測

1.(23-24高三下?江蘇南通?階段練習(xí))已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛即｝的前幾項(xiàng)和為工,且a2=3,即=圖+

戶二(nGN*且n>2).

(1)求｛5｝的通項(xiàng)公式；

(2)若g=引設(shè)數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和心,求證：*<3.

【答案】⑴即-2n—1

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)anuSn-Snr的關(guān)系可得｛圖｝為等差數(shù)列，即可求解為=足，進(jìn)而可得a”=2n-l,

(2)利用錯(cuò)位相減法求和，即可求證.

【詳解】(1)當(dāng)n=2時(shí)，a?=居+如，

即3=,3+%+y[a[,解得的=1.

因?yàn)閍n=Sn-Sn_i(n>2),

所以Q九=-d+yjSn—J(n>2),

又+JS九t(n>2,n￡N*),an>0,

所以用一向二=1(n>2),

又=V^i=VT=1,

所以數(shù)列｛店｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

所以=1+(71—1)=71,所以%=幾2.

22

當(dāng)n之2時(shí)，an=Sn-Sn_t=n—(n—l)=2n—1,

當(dāng)九=1時(shí)，的=1,滿足上式,

所以數(shù)列｛%J的通項(xiàng)公式為冊=2n-l.

（2）由⑴知匕=愛=祭

所以=瓦+力2+力3+…+g=[+卷+卷+…+摩士

1,3,52n-l

所以1n=-H----7H----7+…H-----

2223242n+1

2n-l—Y)”

匚1,2,2,,22n-l.,1,1,.111271—132?1+3

所以=&+天+/+…+喬-^7=1+w+齊+…+布一習(xí)n+1

2-1-122n+122n+1

所以*=3-簧，

由于簧>0,所以"=3—箸<3

2.（2024.河南周口.模擬預(yù)測）記治為正項(xiàng)等比數(shù)列5｝的前n項(xiàng)和，已知S?=|,=蔣，neW*.

⑴求數(shù)列｛冊｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)得=2n-1,7；為數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和，證明：|<7；<3.

【答案】（1）廝=（I）"

（2）證明見解析

【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列｛&J的公比為q（q>0）,結(jié)合等比數(shù)列求和公式可得的,q,即可得結(jié)果;

（2）由⑴得，b=宏，利用錯(cuò)位相減法可得〃=3-（2n+3）?（?,進(jìn)而分析證明.

【詳解】⑴設(shè)等比數(shù)列｛即｝的公比為q（q>0）,由S2=：,S4=普可知，q大1,

416

-_3

得1+//解得q=>負(fù)值舍去），

｛~16

1-q

將q=Y弋入也產(chǎn)=；，解得的=

Z1—Q42

所以數(shù)列｛冊｝的通項(xiàng)公式為廝=a"T=（j）n.

（2）由（1）得，辦=第，

則（=]+?+…+笥=可得|乃=京+卷+…+端9，

兩式相減可得加=|+]+蠢+…+/一

30C/l\n+1

1」2n+15_(2n+3)七)

2

可得及=3-（2n+3〔G）“<3.

因?yàn)樾?等>。，可知數(shù)列伍｝為遞增數(shù)列，則7“271=點(diǎn)

綜上可得:W&<3.

3.（24-25高三上?全國?單元測試）已知數(shù)列｛a九｝滿足=2,nan+1-（n+l）an="黑；）,九€N+.

（1）求｛a九｝的通項(xiàng)公式；

（2）求｛廝｝的前幾項(xiàng)和土.

【答案】（1）。九=4n—日工

⑵%=累+2恤+1）-8

【分析】（1）由幾即+i—5+1）冊=寫季整理得+/=零+泰，故｛詈+￡》｝為常數(shù)列，由題得

n+1

出+京=4,整理后即可求解.

（2）由錯(cuò)位相減法和分組求和法即可求解.

【詳解】（1）由？—（71+1）廝="；：[；）

4Ban+l__111

何?1+1~~n~2rlT―2n-22n—1

故鬻+圭=中++，由此可得片+/｝為常數(shù)列，

1

又的=2,則詈+會=@1+京=4,

即冊=4n-^.

(2)由(1)知a九—4H-2n_2，

由等差數(shù)列求和公式，知4(1+24---Fn)=2n(n+1),記A=2n(n+1),

記B=~7+彳+W+…-I—^~2'

2T2°212n-2

皿/_1,23,n

-

則—2="2°rd-217-^—227+H—2zntr>

兩式相減得？=2++/+/+…+擊)一/三=4一/J

故B=8一幽

所以｛即｝的前幾項(xiàng)和%=4—8=累+2n（n+1）-8.

4.（24-25高三上?天津?開學(xué)考試）設(shè)｛即｝是等比數(shù)列，公比大于0,其前幾項(xiàng)和為%（neN*）,｛%｝是等差數(shù)

歹（I.EIL矢口a1=1,（Z3=a?+2,<24=63+65，=64+2b6■

（1）求｛a。｝和｛4｝的通項(xiàng)公式;

⑵求況血應(yīng).

【答案】(1)冊=2"t；bn=n.

⑵溫=1尻?Sk=2+O-1)?2"+1-|n(n+1)

【分析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,q>0,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得q,可得所求等比數(shù)列的通項(xiàng)公

式，設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，可得d,可得所求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式可得％,由數(shù)列的分組求和和錯(cuò)位相減法求和，化簡可得所求和.

【詳解】(1)因?yàn)椋矗堑缺葦?shù)列，公比q大于0,%=1,a3=a2+2,

可得q2—q—2=0,解得q=2(—1舍去)，

所以即=2"T,因?yàn)椋?｝是公差為d的等差數(shù)列，a4=b3+&5,劭=①+2公，

可得以+生=8,b4+2b6=16,

則/=4,b6=6,可得d=1,

則匕=①+八—4=九；

(2)因?yàn)镾n=?§=2般一1,

所以￡2=1bk,S/e=(l，2+2,4+3,8+…+n，2n)—(1+2+3+…+n),

設(shè)〃=l-2+2-4+3-8+---+n-2n,

2〃=1?4+2?8+3?16+…+展2"+】，

nn+1

相減可得一4t=2+4+8+…+2”—n-2+i=2([j)一n-2,

化為7k=2+(n-l)-2n+i,

n+1

則bk-Sk=2+(n-1)-2-|n(n+1).

考點(diǎn)三、裂項(xiàng)相消法

典例引領(lǐng)

1.(2021?浙江.高考真題)已知數(shù)列5｝滿足的=1,即+1=J^SeN*).記數(shù)列｛廝｝的前n項(xiàng)和為%,則

()

3Q9

A.-<Si。。<3B.3<Si。。<4C.4<Sloo<-D.-<S100<5

【答案】A

【分析】顯然可知，S100>利用倒數(shù)法得到工=23-；，再放縮可得金<口+；，

2an+lanVan\Van?)4yt！n+1-Jan2

由累加法可得廝>』，進(jìn)而由冊+1=洋局部放縮可得皿<吟，然后利用累乘法求得廝<…，：",

(Tli1JliylCi-fl71T3\TlT1)(Tl十ZJ

最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得到I。。<3,從而得解.

【詳解】因?yàn)锧1=1,。九+1=號=(t1WN*),所以。九>0,S100>

1+janz

1

由冊+1=氤=亳

4

根據(jù)累加法可得，白<1+==申,022）,當(dāng)n=l時(shí)白=毛,

yjCl-n22y/d12

則口工字，當(dāng)且僅當(dāng)n=l時(shí)等號成立，

Van2

、4._anann+1

'.即2際R.""+】=IT為二^=^^廝

7i+n+l

.一+1vn+1

an—n+3

由累乘法可得anW（n+i；n+2），5N2）,且量=（1+1；1+2），

則"―西當(dāng)且僅當(dāng)n=l時(shí)取等號，

由裂項(xiàng)求和法得:

所以Sioow6cAl++…+全-圭）=6（：-需）<3,即|<Sioo<3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過倒數(shù)法先找到阿，問二的不等關(guān)系，再由累加法可求得廝2益不，由題目

條件可知要證Si。。小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到an,an+1的不等關(guān)系，改變不等式的方向得到與<

而低壇，最后由裂項(xiàng)相消法求得S】oo<3.

2.（2022.全國.高考真題）記立為數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和，已知的=1,晚｝是公差為豹勺等差數(shù)列.

⑴求｛a九｝的通項(xiàng)公式;

（2）證明：-+-+???+—<2.

ala2an

【答案】（l）an=^12

（2）見解析

【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得名=1+^5-1）=干，得到%=若&,利用和與項(xiàng)的關(guān)

a九3j3

2

系得到當(dāng)7122時(shí)，an=Sn-Sn_i=婦|&—（計(jì)歲…,進(jìn)而得:/;=合，利用累乘法求得%，二也畀,

檢驗(yàn)對于71=1也成立，得到｛&J的通項(xiàng)公式為=的#;

（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到工+工+…+三=2（1--進(jìn)而證得.

a】a2an\n+1/

【詳解】（1）=1,.*.Si=a=1,.*.—=1,

rai

又???佛｝是公差為抽等差數(shù)列，

l+i（n-l）=—,??.S九=

CLfi333

.?.當(dāng)nN2時(shí)，Sn_i=5+"】

(?i+2)an(n+l)ani

,,an=S九_5九一］=

33

整理得：(n—l)an=(n+l)an_15

即工=半

an-l九一1

。2義。3

CL-yi~XX...X?x-^-

ala2an-2an-l

.34nn+1n(n+l)

=1X-X-X...X-----X------=

12n-2n-12，

顯然對于九=1也成立,

，｛%i｝的通項(xiàng)公式的i=嗎+D；

(2)-=-^-=2(i-—\

an\nn+1/

—=2［(1-9+(*)+30總］=2(1-總＜2

。2an

即時(shí)檢測

1.（24-25高三?上海?課堂例題）在（2—為"的展開式中，若/的系數(shù)為廝522）,則竺+^+…

02a3

+力=

an

【答案］即s

n

n2nTl

【分析】運(yùn)用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求出。式九22）,再對藍(lán)+5+…+紜裂項(xiàng)相消求和即可.

【詳解】根據(jù)題意運(yùn)用二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式知道即=C含標(biāo)2=n（n_1）.2n-3,

則二=88_8

n-3

ann(n-l)-2n(n-l)n-1n

則學(xué)+《+...+n=28888888_8_8(n-l)

-----1----------1----------r*■?---------=o----=-------

。2a3an2-123-134-14n-1nnn

故答案為：及口.

n

2.（24-25高三上?湖南長沙?開學(xué)考試）若數(shù)列｛/J的通項(xiàng)公式為與=導(dǎo)而，則其前10項(xiàng)和為（）

C

A.-B?芳-SD-V

2

【答案】C

【分析】利用裂項(xiàng)相消法求和即可求和.

【詳解】由于a九=~~-=----

“n(n+l)nn+1

故其前10項(xiàng)和為1_|+|號+…+2一2=1一2=菖

故選：C.

3.（24-25高三上?江蘇南京?階段練習(xí)）記遞增的等差數(shù)列｛&J的前幾項(xiàng)和為%,已知Ss=85,且怒=7%.

⑴求心和無;

(2)設(shè)勾=求數(shù)列｛與｝的前n項(xiàng)和7；.

anan+l

2

【答案】(1)&九=6n—1；Sn=3n+2n

(2)7\=」一

7n6n+5

【分析】(1)利用等差數(shù)列性質(zhì)求出通項(xiàng)公式和前幾項(xiàng)和；

(2)利用裂項(xiàng)相消法求和即可.

【詳解】(1)設(shè)｛即｝的公差為d,因?yàn)镾5=%^=5a3=85,所以。3=",

又。6=7的，所以17+3d=7(17—2d),解得d=6,

所以G九=a3+(n—3)d=17+(n—3)x6=6n—1,

anan+1(6?i-l)(67i+5)6

1.11,,11,1

11+1117++6n-76n-l+6n-l

4.(24-25高三上?江蘇無錫?開學(xué)考試)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為%,S3=620,Sn+1=5s7t+20.

(1)求證：｛S^+5｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛a九｝的通項(xiàng)公式；

(3)若匕=logs詈,數(shù)列｛b九｝的前n項(xiàng)和為G求，+*---1■白

4ii,213ln

【答案】(1)證明見解析

n

(2)an=4x5

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列定義證明即可;

(2)應(yīng)用前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式關(guān)系計(jì)算即可;

(3)先求等差數(shù)列的和，再應(yīng)用裂項(xiàng)相消求和.

【詳解】(1)因?yàn)榘?也上”=5,

S九+5Sn+5

S3+5=⑸+5)x52=625,Si+5=25

所以｛S九+5｝是首項(xiàng)為25公比為5的等比數(shù)列.

n+1n+1

(2)S九+5=25x5九t=5fSn=5-5,

n+1nn+1nn

當(dāng)九>2時(shí)，an=Sn-S吁1=(5-5)-(5-5)=5-5=4x5,

當(dāng)n=1時(shí)，=511=52—5=20,

n

an=4x5

(3)因?yàn)樨?logs詈=log55n=71,

n(l+n)12

所以7k==2G-a)，

2n(l+n)

Tn

…+—[(1++(；；)+…+(；+)]

/1\2n

=2(I_E)=E

考點(diǎn)四、倒序相加法

典例引領(lǐng)

1.(24-25高三上?廣東?開學(xué)考試)若f(x)=(x-1)3+2(x—1)—ln￡+2,數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,且

Si=M25n=nan+1,則求J/Q)+f(a2o_i)]=()

A.76B.38C.19D.0

【答案】A

【分析】由題意可知函數(shù)〃%)關(guān)于(1,2)對稱，然后再通過2S“=nan+i，求解數(shù)列｛&J的通項(xiàng)，進(jìn)而求解

比1[/3)+f(a2o-i)].

【詳解】因?yàn)?(%)=(x-I)3+2(%-1)-ln-^-+2,

2-X

所以/(%)+/(2—x)=(x—I)3+2(%—1)—ln^-+2+(1—%)3+2(1—%)—+2=4

2—x%

所以"x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)對稱，

因?yàn)?szi=71azi+i，

所以2s71T=(n-l)an(n>2),

所以2s九一2Sn_x=nan+1-(n-l)an(n>2),

所以2。九=nan+1—(n—l)an(n>2),

所以皿=幺(九22),

n+ln

又Si=2szi=nan+1,

所以的=Ma2=*

所以安M所以“梟

所以4+a2o-i=2aio—2,+f(.a2o-t)=4，

所以￡2[<3)+"。21)]=￡24=76.

故選:A.

2.(2024高三?上海?專題練習(xí))已知函數(shù)/(X)=去。6R),若等比數(shù)列｛a*｝滿足的。2020=1，則f(%)+

"。2)+"。3)+…+/a020)=()

20201

A.2020B.—C.2D.-

22

【答案】A

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知條件，利用倒序相加法，求和即可.

【詳解】等比數(shù)列｛七｝滿足的。2020=1，則的。2020=a2a2019=…=1，

函數(shù)/'（%）=備（久eR）,

f（%）+f（。2。2。）=3+、=2（2+。*/。2）=2,

八八202"1+a2l+a20002+a升諼ooo

所以2[/（%）+f（a2）+f（a3）+…+f（a2020）]=2020x[/（%）+f（a2020）]=2020x2,

-a

所以/（%_）+f（a2）+/（。3）T---1f（2020）=2020.

故選：A.

1.（2024?四川成都.模擬預(yù)測）已知〃x）=/3—3/,財(cái)島）+f島）+…+/（翳）=（）

A.-8088B.-8090C.-8092D.-8094

【答案】D

【分析】先得到/（%）+/（2-%）=-4,然后利用倒序相加來求和即可.

【詳解】/（I一x）+f（l+x）=（1-%）3-3（1-%）2+（1+%）3-3（1+%）2=-4,

即/（x）+/（2-x）=-4

設(shè)“=/島）+/（急）+…+f（SS）+f（翳）①，

則"=f（翳）+f（翳）+…+，（短）+，（盛）②

①+②得2M=[f島）+f（翳）]+[f島）+/（磊）]+…+[f（翳）+f島）]+[f（翳）+

/島）]

=-4x4045,

所以M=-8090,

又俏）="2）=8-12=—%

所以/島）+）島）+…+f（翳）=-8090-4=-8094.

故選：D.

2.（23-24高三上?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）已知｛加｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，且a1oi2=1，若函數(shù)/（久）=寧-21n久+

1>貝!+/（。2）+…+/（口2023）=（）

2023

A.2023B.2024C.—D,1012

【答案】A

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得由?。2023=a2，a2022=a3,a2021=…=^1012=匕再由題意可得出/（%）+

fG)=2,由倒序相加法可求出答案.

【詳解】因?yàn)椋?J為正項(xiàng)等比數(shù)列，且&oi2=l，

所以的,。2023=a2,。2022=a3'。2021=…=a1012=1，

由/(%)=-21nx+1可得/0=Q1—21n：+1=+2