數(shù)與式（數(shù)字、圖形規(guī)律題）-2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題分類（原卷版）

專題02數(shù)與式（數(shù)字、圖形規(guī)律題）

一、單選題

1.（2019?湖南株洲?中考真題）從-1,1,2,4四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)（記作為也）構(gòu)成一個數(shù)組

MK=｛ak,bk｝（其中4=1,2,…,S,且將｛做,砧與他“｝視為同一個數(shù)組），若滿足：對于任意的M=｛%聞

和Afj=｛q,4｝（iw都有q+b尸叫，貝!|S的最大值（）

A.10B.6C.5D.4

2.（2019?湖北?中考真題）一列數(shù)按某規(guī)律排列如下：1121231234…，若第”個數(shù)為彳5，則〃=

12132143217

（）

A.50B.60C.62D.71

3.（2005?江蘇淮安?中考真題）已知一列數(shù)：1,-2,3,-4,5,-6,7,...將這列數(shù)排成下列形式：

第1行1

第2行-23

第3行-45-6

第4行7-89-10

第5行11-1213-1415

按照上述規(guī)律排下去，那么第10行從左邊數(shù)第5個數(shù)等于

A.50B.-50C.60D.-60

4.（2020?西藏?中考真題）觀察下列兩行數(shù)：

1,3,5,7,9,11,13,15,17,...

1,4,7,10,13,16,19,22,25,...

探究發(fā)現(xiàn)：第1個相同的數(shù)是1,第2個相同的數(shù)是7,…，若第n個相同的數(shù)是103,則n等于（）

A.18B.19C.20D.21

5.（2020?湖北?中考真題）根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第n個圖中出現(xiàn)數(shù)字396,則〃=（）

A.17B.18C.19D.20

6.(2020?甘肅天水?中考真題)觀察等式2+22=23-2;2+22+23=24-2:2+22+23+24=25-2:...B

知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)210°,2M,*2,…,*9,22。。，若，。。=5,用含S的式子表示這組數(shù)據(jù)的和是(

A.2s2-SB.2S2+SC.2S2-2SD.2S2~1S-2

7.（2019?湖北?中考真題）“分母有理化”是我們常用的一種化簡的方法，如:

2+V3(2+73)(2+73)

=7+46，除此之外,我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無

2-也(2-6)(2+向

理數(shù)，如：對于，3+/-，3-石，設(shè)龍=+逐一,3-石，易知>53-人，故x>0,由

x2=(7J+V5-73-75)2=3+V5+3-V5-2^/(3+75)(3-75)=2,解得》=也，即

根據(jù)以上方法’化簡注

,3+_J3=V2+，6-3百-/6+3石后的結(jié)果為（)

A.5+3指B.5+V6C.5-V6D.5-376

8.（2020?浙江紹興?模擬預(yù)測）如圖，直角三角形紙片N8C中，AB=6,4C=8,D為斜邊8C中點，第1

次將紙片折疊，使點/與點。重合，折痕與4D交于點8；設(shè)月。的中點為2,第2次將紙片折疊，使點/

與點2重合，折痕與交于點片；設(shè)￡2的中點為4,第3次將紙片折疊，使點/與點2重合，折痕

與工。交于點月，則的長為（）

A.B.空^C.D.

26X52625X523

9.（2018?山東濟南?三模）世界上著名的萊布尼茨三角形如下圖所示：則排在第10行從左邊數(shù)第4個位置

上的數(shù)是（）

一B-----C-----D-----

90,360?840?504

10.（2020?湖北武漢?模擬預(yù)測）直線〉=f+〃分別與％軸，歹軸交于點A,B,在內(nèi)，橫、縱坐標(biāo)

111

均為整數(shù)的點叫做“好點”.分別記〃=1,2,3,…時,”08內(nèi)的“好點”數(shù)為％,。2，〃3,…，貝?。荨?—+■??+——二

Q4^"2,0

（）

,19「17人30r36

A.—B.—C.—D.—

991919

11.（2019?重慶市育才中學(xué)三模）如圖所示的圖形都由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律所組成的，若按此規(guī)律

排列下去，則第7個圖形中小圓圈的個數(shù)為（）

OO

oOOOOOO

OoOOOOOOOOO

0OOOOOOOOOOOOO…

OOOOOOOOOOOOOO

0O00000O

第1個圖第2個圖第3個圖第4個圖

A.46B.52C.56D.60

12.（2020?全國?三模）已知A48C的面積為1,如圖1,點。，￡分別是邊8C,NC的中點，圖中陰影部

分的面積為H，如圖2,點D,E分別是邊8C,4C的三等分點，圖中陰影部分的面積為反，如圖3,點

D,E分別是邊BC,NC的四等分點,圖中陰影部分的面積為S3……請用含"（”為正整數(shù)）的代數(shù)式表

示S”為（）

n2n2nri

A，（.+1）2B?（2.+1）2*（〃+l）2D?Q〃+1）2

3c917

13.（2020?湖北?武漢市洪山中學(xué)模擬預(yù)測）有一列數(shù)：■…它有一定的規(guī)律性.若把第一個數(shù)記

24816

為第二個數(shù)記為a?,...............第n個數(shù)記為an，則％+出+/+…+。2020的值是（）

A.2020B.2021-^^c-2020-D.2021-^p

14.（2020?山東莒縣?模擬預(yù)測）將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去，若有序數(shù)對（小心）表示第〃排，從

左到右第加個數(shù)，如（4,3）表示8,已知1+2+3+...+〃=則表示2020的有序數(shù)對是（）.

1……第一排

32……第二排

456……第三排

10987第四排

A.(64,4)B.(65,4)C.(64,61)D.(65,61)

15.2020?湖南資興?一模）下圖是蜘蛛結(jié)網(wǎng)過程示意圖，一只蜘蛛先以。為起點結(jié)六條線04OB,OC,OD,

OEQF后,再從線04上某點開始按逆時針方向依次在ON,OB,OC,OD,OE,OF,OA,…上結(jié)

網(wǎng)，若將各線上的結(jié)點依次記為1、2、3、4、5、6、7、8、…，那么第2020個結(jié)點在（）

A.線。1上B.線OD上C.線。K上D.線。尸上

16.（2021?浙江?一模）如圖所示，將形狀、大小完全相同的“?”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形，第1幅

圖形中“?，，的個數(shù)為4,第2幅圖形中“?”的個數(shù)為電，第3幅圖形中“?”的個數(shù)為生，…，以此類推，貝I

1111

1+1+丁+…+『的值為t（）

2061「589431

A.B.C.-----

2184840760

二、填空題

17.（2021?湖北恩施?中考真題）古希臘數(shù)學(xué)家定義了五邊形數(shù)，如下表所示，將點按照表中方式排列成五

邊形點陣，圖形中的點的個數(shù)即五邊形數(shù)；

■?■??■?

????????????????

圖形???????????????

??????????????????

五邊形數(shù)1512223551

將五邊形數(shù)1,5,12,22,35,51,排成如下數(shù)表；1第一行

512第二行

223551第三行

觀察這個數(shù)表，則這個數(shù)表中的第八行從左至右第2個數(shù)為.

18.（2020?黑龍江大慶?中考真題）如圖，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律

擺下去，則第20個圖需要黑色棋子的個數(shù)為.

19.（2019?湖北恩施?中考真題）觀察下列一組數(shù)的排列規(guī)律:

112121123412145

3,5?5?9,9,3，n?U?17?17J33?33，iT?33,33

那么，這一組數(shù)的第2019個數(shù)是.

20.（2011?四川南充?中考真題）長為1,寬為a的矩形紙片如圖那樣折一下，剪下一個邊長

等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形

寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去.若在第n此操作后，剩下的矩形為正方形，則操作

終止.當(dāng)n=3時，a的值為

第一次操作第二次操作

21.（2018?湖南婁底?中考真題）設(shè)%,%,4KK是一列正整數(shù)，其中外表示第一個數(shù)，出表示第二個數(shù)，依

此類推，%表示第"個數(shù)（，是正整數(shù)），已知q=1,4%=（%「1戶（%-1孔貝1］。刈8=.

22.（2015?湖南郴州?中考真題）請觀察下列等式的規(guī)律：

1X3233X5235

八」，，—，

5X72577X9279

則一--+―-—+―-—++--------

1X33X55X7…99X101

23.2020?遼寧本溪?一模）如圖，直線y=x+2與J軸相交于點4,過點4作x軸的平行線交直線＞=gx+l

于點片，過點Bx作歹軸的平行線交直線y=x+2于點&,再過點4作x軸的平行線交直線＞=gx+1于點

B2,過點鳥及作7軸的平行線交直線y=x+2于點4,…，依此類推，得到直線y=x+2上的點4，4,

4，…，與直線y=*x+l上的點名，B2,四，…，則4-4,的長為.

24.（2020?遼寧立山?模擬預(yù)測）如圖，等腰4ABC中,ZB=9O°AB=4,以A為圓心，直角邊AB為半徑作

弧，交AC于Ci，作。41AB于B],設(shè)弧BCi、CiB^B|B圍成的面積為Si.然后再以A為圓心AB1為

半徑作弧，交AC于C2，作Cz與lAB于Bi，設(shè)弧C2B2,與片圍成的面積為S?,按此規(guī)律，得到的陰

影面積y=.

25.Q021?山東濱州一模）已知k為正整數(shù)，無論k取何值，直線4：＞=丘+%+1與直線4：y=/+l）x+%+2

都交于一個固定的點，這個點的坐標(biāo)是；記直線4和4與x軸圍成的三角形面積為S*,則'=,

S[+邑+$3+…+Hoo的值為.

26.（2020?四川青白江?三模）如圖，等腰RtMBC中，乙4c5=90。，AC=BC=1,且/C邊在直線a上，

^AABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到位置①可得到點Pi，此時AP尸41;將位置①的三角形繞點巳順時針旋轉(zhuǎn)

到位置②，可得到點尸2,此時/巳=1+行；將位置②的三角形繞點尸2順時針旋轉(zhuǎn)到位置③，可得到點

B，此時/巳=2+收；....按此規(guī)律繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，直至得到點尸2020為止，則在2020=.

27.（2017?河北?模擬預(yù)測）觀察下列等式:

第1個等式:

第2個等式:

第3個等式:5看"日

第4個等式:a『冊=#-2,

按上述規(guī)律，回答以下問題：

（1）請寫出第n個等式：an=.

（2）a!+a2+a3+...+an=

28.（2019?四川岳池?中考模擬）將數(shù)1個1,2個;，3個（，…，n個!（n為正整數(shù)）順次排成一列：1、

23n

LLLL1.一、一…，I己％=I,。？==大，…，S]=,*S*2=4+出，*S*3=%+。2+?…，

《、3、3、§、3nn22

S〃=%+&+…,則S2019=

、解答題

29.（2021?山東青島?中考真題）問題提出：

最長邊長為128的整數(shù)邊三角形有多少個？（整數(shù)邊三角形是指三邊長度都是整數(shù)的三角形.）

問題探究：

為了探究規(guī)律，我們先從最簡單的情形入手，從中找到解決問題的方法，最后得出一般性的結(jié)論.

（1）如表①，最長邊長為1的整數(shù)邊三角形，顯然，最短邊長是1,第三邊長也是1.按照（最長邊長，最

短邊長，第三邊長）的形式記為（LU）,有1個，所以總共有1x1=1個整數(shù)邊三角形.

表①

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式

11(1,1,1)11個11x1

（2）如表②，最長邊長為2的整數(shù)邊三角形，最短邊長是1或2.根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，當(dāng)

最短邊長為1時，第三邊長只能是2,記為（2,1,2）,有1個；當(dāng)最短邊長為2時，顯然第三邊長也是2,記

為（2,2,2）,有1個，所以總共有1+I=lx2=2個整數(shù)邊三角形.

表②

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式

1（2,1,2）1

22個11x2

2（2,2,2）1

（3）下面在表③中總結(jié)最長邊長為3的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況:

表③

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式

1（3,1,3）1

32個22x2

2（3,2,2）,（3,2,3）2

3（3,3,3）1

（4）下面在表④中總結(jié)最長邊長為4的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況:

表④

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式

41（4,1,4）13個22x3

2（4,2,3）,（4,2,4）2

3（4,3,3）,（4,3,4）2

4（4,4,4）1

（5）請在表⑤中總結(jié)最長邊長為5的整數(shù)邊三角形個數(shù)情況并填空:

表⑤

最長邊長最短邊長（最長邊長，最短邊長，第三邊長）整數(shù)邊三角形個數(shù)計算方法算式

1（5,1,5）1

2（5,2,4）,（5,2,5）2

3

5————

4（5,4,4）（5,4,5）2

5（5,5,5）1

問題解決：

（1）最長邊長為6的整數(shù)邊三角形有個.

（2）在整數(shù)邊三角形中，設(shè)最長邊長為"，總結(jié)上述探究過程，當(dāng)〃為奇數(shù)或〃為偶數(shù)時，整數(shù)邊三角形

個數(shù)的規(guī)律一樣嗎？請寫出最長邊長為"的整數(shù)邊三角形的個數(shù).

（3）最長邊長為128的整數(shù)邊三角形有個.

拓展延伸:

在直三棱柱中，若所有棱長均為整數(shù)，則最長棱長為9的直三棱柱有個.

30.(2020?山東青島?中考真題)實際問題：

某商場為鼓勵消費，設(shè)計了投資活動.方案如下：根據(jù)不同的消費金額，每次抽獎時可以從100張面值分

別為1元、2元、3元....100元的獎券中(面值為整數(shù))，一次任意抽取2張、3張、4張、…等若干張

獎券，獎券的面值金額之和即為優(yōu)惠金額.某顧客獲得了一次抽取5張獎券的機會，小明想知道該顧客共

有多少種不同的優(yōu)惠金額？

問題建模：

從1,2,3,?(〃為整數(shù)，且"23)這"個整數(shù)中任取個整數(shù)，這。個整數(shù)之和共有多少

種不同的結(jié)果？

模型探究：

我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進，從中找出解決問題的方法.

探究一：

(1)從1,2,3這3個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？

表①

所取的2個整數(shù)1,21,3,2,3

2個整數(shù)之和345

如表①，所取的2個整數(shù)之和可以為3,4,5,也就是從3到5的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3,最大是5,所

以共有3種不同的結(jié)果.

(2)從1,2,3,4這4個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有多少種不同的結(jié)果？

表②

所取的2個整數(shù)1,21,3,1,42,32,43,4

2個整數(shù)之和345567

如表②，所取的2個整數(shù)之和可以為3,4,5,6,7,也就是從3到7的連續(xù)整數(shù)，其中最小是3,最大是

7,所以共有5種不同的結(jié)果.

(3)從1,2,3,4,5這5個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.

（4）從1,2,3,…，"（”為整數(shù)，且〃23）這"個整數(shù)中任取2個整數(shù)，這2個整數(shù)之和共有

種不同的結(jié)果.

探究二：

（1）從1,2,3,4這4個整數(shù)中任取3個整數(shù)，這3個整數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.

（2）從1,2,3,…，"（"為整數(shù)，且〃》4）這"個整數(shù)中任取3個整數(shù)，這3個整數(shù)之和共有

種不同的結(jié)果.

探究三：

從1,2,3,”（〃為整數(shù)，且"25）這〃個整數(shù)中任取4個整數(shù)，這4個整數(shù)之和共有種不同

的結(jié)果.

歸納結(jié)論：

從1,2,3,…，?（"為整數(shù)，且力23）這〃個整數(shù)中任取個整數(shù)，這。個整數(shù)之和共有

種不同的結(jié)果.

問題解決：

從100張面值分別為1元、2元、3元....100元的獎券中（面值為整數(shù)），一次任意抽取5張獎券，共有

種不同的優(yōu)惠金額.

拓展延伸：

（1）從1,2,3,36這36個整數(shù)中任取多少個整數(shù)，使得取出的這些整數(shù)之和共有204種不同的結(jié)

果？（寫出解答過程）

（2）從3,4,5,…，?+3（”為整數(shù)，且"22）這（"+1）個整數(shù)中任取+個整數(shù)，這。個整

數(shù)之和共有種不同的結(jié)果.

31.（2017?安徽?中考真題）【閱讀理解】

我們知道，酶感布餐帶醞唾置B那么那喟螯圖翳喟”需逑結(jié)果等于多少呢？

在圖1所示三角形數(shù)陣中，第1行圓圈中的數(shù)為1,即】一；第2行兩個圓圈中數(shù)的和為一,」，即

2-;……；第〃行K個圓圈中數(shù)的和為幽即，」.這樣，該三角形數(shù)陣中共有空止個圓圈,

所有圓圈中數(shù)的和為瘠嚼霄哪雪缽三融,

【規(guī)律探究】

將桑拿教學(xué)數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖所示的三角形數(shù)陣，觀察這三個三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)

(如第,：1行的第一個圓圈中的數(shù)分別為，，1,2,，；),發(fā)現(xiàn)每個位置上三個圓圈中數(shù)的和均為_________.

由此可得，這三個三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為：尊卜&鬻噓劈修蝙，口.因此，

【解決問題】

1,一?—+…+!iii-

根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，計算.■'的結(jié)果為.

32.(2016?云南?中考真題)有一列按一定順序和規(guī)律排列的數(shù)：

第一個數(shù)是忐；

第二個數(shù)是忐

第三個數(shù)是由

對任何正整數(shù)n,第n個數(shù)與第(n+1)個數(shù)的和等于2

nX(n+2)

(1)經(jīng)過探究，我們發(fā)現(xiàn):1L_1

1X2~122X3-233X「34

設(shè)這列數(shù)的第5個數(shù)為a,那么a>^-gaM-g，哪個正確？

565656

請你直接寫出正確的結(jié)論；

（2）請你觀察第1個數(shù)、第2個數(shù)、第3個數(shù)，猜想這列數(shù)的第n個數(shù)（即用正整數(shù)n表示第n數(shù)），并

（n+1）個數(shù)的和等于-「一”；

且證明你的猜想滿足“第n個數(shù)與第

（）

nXn+2

(3)設(shè)M表示‘5","v，1

-2,這2016個數(shù)的和，即+1_

I22232201620162,

求證:2016<￥^4031

20172016'

33.（2021?安徽包河?三模）觀察以下等式：第1個等式：42+32=52；第2個等式82+152=172；第3個等式:

122+352=372；第4個等式：162+632=652；……；按照以上規(guī)律,解決下列問題:

U）寫出第5個等式：；

（2）寫出你猜想的第〃個等式：（用含〃的等式表示），并證明.

34.（2021?山東?青島市嶗山區(qū)教育教學(xué)研究室一模）問題提出：在平面上，給出“個圓把平面至多分割成

多少個區(qū)域？

問題探究：

為探究規(guī)律，我們采用一般問題