蘇科版八年級數(shù)學上冊壓軸題解題技巧：勾股定理與面積問題、方程思想壓軸題七種模型全攻略（原卷版+解析）

專題11解題技巧專題：勾股定理與面積問題、方程思想壓軸

題七種模型全攻略

寧甜【考點導航】

目錄

【典型例題】.............................................................................1

【類型一二角形中，利用面積求斜邊上的高】.................................................1

【考點二結合乘法公式巧求面積或長度】.....................................................3

【考點三巧妙割補求面積1...................................................................................................3

【考點四“勾股樹”及其拓展類型求面積1.............................................................................5

【考點五幾何圖形中的方程思想一折疊問題（利用等邊建立方程）】.............................7

【考點六幾何圖形中的方程思想一公邊問題（利用公邊建立方程）1...........................................9

【考點七實際問題中的方程思想】...........................................................9

【典型例題】

【類型一三角形中，利用面積求斜邊上的高】

例題：（2023春,新疆阿克蘇?八年級校聯(lián)考階段練習）若一個直角三角形的兩條直角邊長分別是5cm和12cm,

則斜邊上的高為多少（）

60

13C.6D.—

1313

【變式訓練】

1.（2023春?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在2x2的方格中，小正方形的邊長是1,點A、B、C

都在格點上，則AC邊上的高為（）

A.75B.—A/2

2

2.（2023春?遼寧朝陽?八年級校考期中）如果一個等腰三角形的腰長為13,底邊長為24,那么它底邊上的

高為（）

A.12B.24D.5

3.（2022?全國?八年級課時練習）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1.點A、B,C都在格點上,

若BD是0A2C的高，則BD的長為.

4.（2023春?安徽合肥?八年級?？计谀┤鐖D所示，在邊長為單位1的網(wǎng)格中，AABC是格點圖形，求“LBC

中4B邊上的高.

5.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=8,在△ABE中，OE是AB邊上的高，DE=12,S^ABE=60.

I￡>\/

CB

⑴求BC的長.

⑵求斜邊AB邊上的高.

6.（2023秋?全國?八年級專題練習）在AABC中，ZC=90°,AC=3,CB=4,CD是斜邊A3上高.

（1）求44BC的面積；

⑵求斜邊AB；

（3）求高CD.

【類型二結合乘法公式巧求面積或長度】

例題：己知在R/AABC中，ZC=90°,ZA,/B,NC所對的邊分別為a,b,c,若a+b=10cm,c=8cm,則用^ABC

的面積為（)

A.9cm2B.18cm2C.24cm2D.36cm2

【變式訓練】

1.在AABC中,是BC邊上的高,AD=4,AB=4y/10,AC=5,貝I|AABC的面積為()

4.18B.24C.18或24D.18或30

3.直角AABC三邊長分別是x,x+1和5,貝LABC的面積為.

【類型三巧妙割補求面積】

例題：（2023春?河南許昌?八年級校考期中）如圖，在四邊形ABCD中，已知？390?,ZACB=30°,AB=6,

AD=13,CD=5.

BC

⑴求證：AACD是直角三角形;

⑵求四邊形ABCD的面積.

【變式訓練】

1.（2023春,內(nèi)蒙古呼倫貝爾?八年級?？计谥校┤鐖D所示，是一塊地的平面圖，其中AD=4米，CD=3米,

AB=13米，3c=12米，ZADC=90°,求這塊地的面積.

2.（2023春?安徽馬鞍山?八年級?？计谀┮阎?。，6,c是AABC的三邊，且a=2指，b=3戈,c=族.

⑴試判斷的形狀，并說明理由；

⑵求AABC的面積.

3.（2023春?山東苗澤?八年級?？茧A段練習）四邊形草地ABC。中，己知AB=3m,BC=4m,CD=12m,

DA=13m,且/ABC為直角.

⑴求這個四邊形草地的面積；

⑵如果清理草地雜草，每平方米需要人工費20元，清理完這塊草地雜草需要多少錢?

4.（2022春?重慶黎江?八年級?？茧A段練習）計算：如圖，每個小正方形的邊長都為1.

⑴求線段。與的長；

⑵求四邊形ABCD的面積;

⑶求證：48=90。.

【類型四“勾股樹”及其拓展類型求面積】

例題：（2023秋?重慶渝中?八年級重慶巴蜀中學?？计谀┤鐖D，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形

都是直角三角形，若正方形A、8、C、。的面積分別是6、10、4、6,則最大正方形E的面積是（）

A.20B.26C.30D.52

【變式訓練】

1.（2023?廣西柳州?校考一模）如圖，NBDE=90°,正方形3EGC和正方形AFE。的面積分別是289和225,

則以3。為直徑的半圓的面積是（）

2.（2023春?全國?八年級專題練習）如圖，以RSABC的三邊向外作正方形，其面積分別為凡下?,邑且

H=4,邑=8,則X=；以RJABC的三邊向外作等邊三角形，其面積分別為就,邑，邑，則M，邑,S3

三者之間的關系為.

3.（2023春?八年級課時練習）已知：在RSA5c中，ZC=90°,/A、/B、NC所對的邊分別記作°、b、

c.如圖1,分別以AABC的三條邊為邊長向外作正方形，其正方形的面積由小到大分別記作豆、邑、S3,

貝I］有百+S?=$3,

圖2

⑴如圖2,分別以AABC的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分航、邑、S3,請問'+S2與

S3有怎樣的數(shù)量關系，并證明你的結論；

⑵分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示，其面積由小到大分別記作SI、S2Sm根據(jù)（2）

中的探索，直接回答SI+￡與S3有怎樣的數(shù)量關系；

（3）若RbA5c中，AC=6,BC=8,求出圖4中陰影部分的面積.

4.（2023春?江西南昌?八年級南昌市第三中學?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愖顐ゴ蟮氖畟€科學發(fā)現(xiàn)之一，西方

國家稱之為畢達哥拉斯定理.在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五"的記載，我國漢代數(shù)

學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅"弦圖"（如圖1）,后人稱之為"趙爽弦圖"，流傳至今.

圖5圖6圖7

⑴①如圖2,3,4,以直角二角形的二邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊二角形，面積分

別為SI,邑，S,，利用勾股定理，判斷這3個圖形中面積關系滿足H+Sz=S3的有個.

②如圖5,分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為加,

邑，直角三角形面積為S3,也滿足H+S2=S嗎？若滿足，請證明；若不滿足，請求出豆，邑，邑的數(shù)量

關系.

⑵如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這

一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”.在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設大正方形M的邊

長為定值加，四個小正方形A,B,C,。的邊長分別為a,b,c,d,則/+62+。2+屋=.

【類型五幾何圖形中的方程思想一折疊問題（利用等邊建立方程）】

例題：（2023春?河南許昌?八年級統(tǒng)考期中）已知直角三角形紙片ABC的兩直角邊長分別為6,8,現(xiàn)將

按如圖所示的方式折疊，使點A與點3重合，則CE的長是（

C

25

D.

T

【變式訓練】

1.（2023春,湖北咸寧?八年級?？茧A段練習）如圖，有一塊直角三角形紙片，NC=90。，AC=4,BC=3,

將斜邊A3翻折，使點8落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為AD,則3。的長為（）

35

A.—B.1.5C.—D.3

43

2.（2023春?山東苗澤?八年級統(tǒng)考期中）如圖，Rt/VLBC中，？390?,Afi=4,BC=6,將AABC折疊,

使點C與AB的中點O重合，折痕交AC于點"，交BC于點N,則線段CN的長為.

3.（2023,遼寧葫蘆島?統(tǒng)考二模）如圖，在Rt^ABC中，/。=90。,44=30。,3c=2,點。是AC的中點,

點E是斜邊上一動點，沿。E所在直線把VADE翻折到的位置，4D交AB于點尸.若△BA'F為

直角三角形，則AE的長為

4.（2022秋?河北張家口?八年級統(tǒng)考期中）在“1BC中，NC=90。，點。、E分別在AC、AB邊上（不與端

點重合）.將VADE沿DE折疊，點A落在A的位置.

①直接寫出AC的長;

②求△BCD的面積.

⑵當/A=37°.

①A與點E在直線AC的異側(cè)時.如圖②，直接寫出NA'EB-NA'DC的大小；

②A與點E在直線AC的同側(cè)時，且AADE的一邊與BC平行，直接寫出44DE的度數(shù).

【類型六幾何圖形中的方程思想一公邊問題（利用公邊建立方程）】

例題：如圖，在0ABe中，AB=1Q,BC=9,AC=17,則8c邊上的高為

【變式訓練】

1.己知：如圖，在44BC中，ZC=90°,也是AABC的角平分線，CD=3,BD=5,則AC=

2.如圖，在RtZkABC和Rt^ADE中，ZB=ZD=90°,AC=AE,BC=DE,延長BC,DE交于點、M.

⑴求證：點A在NM的平分線上；

(2)^AC//DM,AB=12,BM=18,求BC的長.

【類型七實際問題中的方程思想】

例題：（2022?全國?八年級）明朝數(shù)學家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計算秋千繩索長度的詞

《西江月》："平地秋千未起，踏板一尺離地,送行二步恰竿齊，五尺板高離地……”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖,

秋千繩索OA懸掛于。點，靜止時豎直下垂,A點為踏板位置，踏板離地高度為一尺（AC=1尺）.將它往

前推進兩步（EB回OC于點E,且EB=10尺）,踏板升高到點8位置，此時踏板離地五尺（BD=CE=5尺）,

則秋千繩索（04或。2）長尺.

【變式訓練】

1.（2022?全國,八年級課時練習）如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離

為2寸，點C和點。距離門檻AB都為1尺（1尺=10寸），則的長是（）

圖1圖2

4.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸

2.（2022?河南?金明中小學八年級期中）《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，有題譯文如下：今有門，不知

其高寬；有竿，不知其長短.橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高短2尺；斜放，門對角線長恰好

是竿長的0倍.問門高、門寬各為多少？

3.（2022?重慶市求精中學校八年級期中）在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水點4

B,其中AB=AC,由于某種原由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水

點H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH,測得CB=1.5千米，C〃=L2千米，"8=0.9千米.

⑴問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請通過計算加以說明.

⑵求原來的路線AC的長.

4.(2022?浙江?浦江縣實驗中學八年級期中)圖1是一張可以折疊的小床展開后支撐起來放在地面的示意圖，

此時點A、B、C在同一直線上，且財8=90。，圖2是小床支撐腳CD折疊的示意圖，在折疊過程中，0ACD

變形為四邊形最后折疊形成一條線段班＞".某家裝廠設計的折疊床是A8=4cm,8c=8c機，

(1)此時CD為cm；

(2)折疊時，當時，四邊形4BCD的面積為cm2.

圖1圖2

專題11解題技巧專題：勾股定理與面積問題、方程思想壓軸

題七種模型全攻略

寧甜【考點導航】

目錄

【典型例題】.............................................................................1

【類型一二角形中，利用面積求斜邊上的高】.................................................1

【考點二結合乘法公式巧求面積或長度】.....................................................3

【考點三巧妙割補求面積1...................................................................................................3

【考點四“勾股樹”及其拓展類型求面積1.............................................................................5

【考點五幾何圖形中的方程思想一折疊問題（利用等邊建立方程）】.............................7

【考點六幾何圖形中的方程思想一公邊問題（利用公邊建立方程）1...........................................9

【考點七實際問題中的方程思想】...........................................................9

【典型例題】

【類型一三角形中，利用面積求斜邊上的高】

例題：（2023春,新疆阿克蘇?八年級校聯(lián)考階段練習）若一個直角三角形的兩條直角邊長分別是5cm和12cm,

則斜邊上的高為多少（）

/

C

.13C.6D.—

13

【答案】D

【分析】設斜邊上的高為km,利用勾股定理可求出斜邊的長，利用面積法即可求出。的值，可得答案.

【詳解】團直角三角形的兩條直角邊分別為5cm,12cm,

斜邊長為7122+52=13cm，

???直角三角形的面積為qxl2x5=|xl3%,

解得：/z=^|（cm）,

故選：D.

【點睛】本題考查勾股定理，直角三角形兩直角邊邊長的平方和等于斜邊邊長的平方；靈活運用三角形的

面積的兩種不同的表示方法得到等量關系是解題關鍵.

【變式訓練】

1.（2023春?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在2x2的方格中，小正方形的邊長是1,點A、B、C

都在格點上，則AC邊上的高為（）

A.y[5B.-A/2C.也D.-

252

【答案】C

【分析】根據(jù)圖形，可以求出AABC的面積，然后即可求出AC邊上的高.

1113

【詳解】解：△ABC的面積：2x2——xlx2——xlxl——xlx2=--,

2222

設AC邊上的高為x,由題意得：

-Xy/5-X=—,

22

3A/5

x---，

5

故選：C.

【點睛】本題考查了勾股定理、正方形面積、三角形面積，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合思

想解答.

2.（2023春?遼寧朝陽?八年級?？计谥校┤绻粋€等腰三角形的腰長為13,底邊長為24,那么它底邊上的

高為（）

A.12B.24C.6D.5

【答案】D

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出8D,再用勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖所示

根據(jù)題意得，AB=AC=13,BC=24,AD±BC.

S1BD=-BC=12,

2

在RtdWB中，根據(jù)勾股定理得，AD2+BD2=AB\

0AD=VAB2-BD2=7132-122=5-

即：底邊上的高為5,

故選：D.

【點睛】此題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確作出圖形、熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是關

鍵.

3.（2022?全國?八年級課時練習）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1.點A、B,C都在格點上,

若BD是0ABe的高，則BD的長為.

【答案】遞##3石

55

【解析】

【分析】

根據(jù)勾股定理計算AC的長，利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結論.

【詳解】

】解：由勾股定理得：3也+42=2君，

0SAABC=3x4-；x1x2-；x3x2-；x2x4=4,

嗎4。8。=4,

01x275BD=4,

回配）=逑，

5

故答案為：生5.

5

【點睛】

本題考查了勾股定理，三角形的面積的計算，掌握勾股定理是解題的關鍵.

4.（2023春?安徽合肥?八年級?？计谀┤鐖D所示，在邊長為單位1的網(wǎng)格中，AABC是格點圖形，求ULBC

中AB邊上的高.

9

【答案】AABC中A3邊上的高為；

【分析】如圖所述，過點A作AD,BC的延長于點。，過點C作CE/AS于點E,可得AD,BC,3。的長,

在RtA4B￡＞中，可求出A3的長，根據(jù)jMcngBCADngABCE,即三角形的等面積法即可求解.

【詳解】解：如圖所述，過點A作AOL8C的延長于點O,過點C作CE1AB于點E,

回AABC是格點圖形，每個小正方形的邊長為單位1,

0AD=3,BC=3,應）=4,

團在RtAABD中，AB=yjAD2+BD2=732+42=5>

0S△ADRC=2-BCAD=-2ABCE,

BCAD3x39

團CE=

AB~~T~5

9

回AABC中A3邊上的圖為g.

【點睛】本題主要考查格點三角形，勾股定理，等面積法求高等知識的綜合，掌握以上知識是解題的關鍵.

5.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=8,在八四“中，DE是AB邊上的高，DE=12,S^ABE=60.

⑴求BC的長.

⑵求斜邊AB邊上的高.

【答案】⑴3C=6

⑵斜邊AB邊上的高是4.8

【分析】（1）根據(jù)在△/演中，OE是A3邊上的高，DE=U,S^ABE=60,可以計算出AB的長，然后根

據(jù)勾股定理即可得到AB的長;

（2）根據(jù)等面積法，可以求得斜邊邊上的高.

【詳解】（1）解：（1）回在△ABE中，￡>￡■是AB邊上的高，DE=12,=60,

d產(chǎn)=60,即"；12=60,解得Afi=io,

團在RtAlBC中，/C=90?,AC=8,

回BC=yJAB2-AC2=V102-82=6；

（2）解：作CF/AB于點F,

AC-CBAB.CF

回48=10*=8,及？=6,

22

8x610xCF

0——=-----------

22

解得CR=4.8,即斜邊AB邊上的高是4.8.

【點睛】本題考查勾股定理，三角形的面積，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答.

6.(2023秋,全國?八年級專題練習)在AABC中，NC=9O。，AC=3,CB=4,CO是斜邊AB上高.

⑴求AABC的面積；

⑵求斜邊AB；

(3)求高CO.

【答案】(1)AABC的面積為6

⑵斜邊AB為5

⑶高8的長為?12

【分析】(1)根據(jù)三角面積公式底乘高除以2求出即可.

(2)根據(jù)勾股定理求出A3.

(3)根據(jù)等面積法求出高CD.

【詳解】(1)AABC的面積=LXACXBC=LX3X4=6.

22

故AABC的面積是6；

(2)在RtMBC中，ZC=90°,AC=3,CB=4,

團AB="+42=5；

(3)團一xACxBC=—xCDxAB,

22

0lx3x4=-x5xC￡),

22

12

解得。。=了.

故高8的長為牛12.

【點睛】此題考查了求三角形面積、勾股定理，解題的關鍵是熟悉三角形面積公式、勾股定理.

【類型二結合乘法公式巧求面積或長度】

例題：已知在R〃ABC中，ZC=90°,ZA,/B,NC所對的邊分別為a,b,c,若a+6=10cm,c=8cm,貝I]

的面積為()

A.9cm2B.18cm2C.24cm2D.36cm2

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可知，RhABC的面積為結合已知條件，根據(jù)完全平方公式變形求值即可

【詳解】

解：???RQABC中，NC=90°,NA,/B,NC所對的邊分別為小瓦C,

a2+b2=c2

sa+b=10cm,c=8cm

132ab=（a+6）2_（42+匕2）=+一°2=ioo_64=36

1

■-S^ABC=^ab=9cm

故選：A.

【點睛】

本題考查了勾股定理，完全平方公式變形求值，解題的關鍵是完全平方公式的變形.

【變式訓練】

1.在AABC中，AD是8C邊上的高，AD=4,AB=4^10,AC=5,則AABC的面積為（）

A.18B.24C.18或24D.18或30

【答案】D

【解析】

【分析】

由勾股定理分別求出80和CD,分AO在三角形的內(nèi)部和AO在三角形的外部兩種情況，由三角形面積公式計算即可.

【詳解】

解：在R/HABO中，

由勾股定理得：BD=^AB2-AD-=12,

在M0ACD中，

由勾股定理得：CD=^AC2-AD2=752-42=3'

分兩種情況：

①如圖1,當AO在0ABe的內(nèi)部時，BC=12+3=15,

則EL4BC的面積BCxAD=；xl5x4=30；

②如圖2,當4。在HABC的外部時，BC=12-3=9,

圖2

則0ABe的面積=；BCxAD=；x9x4=18；

綜上所述，HABC的面積為30或18,

故選：D.

【點睛】

本題考查的是勾股定理、三角形面積以及分類討論等知識，熟練掌握勾股定理，進行分類討論是解題的關鍵.

3.直角AABC三邊長分別是x,x+1和5,則AABC的面積為.

【答案】6或30

【解析】

【分析】

根據(jù)AABC是直角三角形，則在中分類討論，運用勾股定理即可求出答案.

【詳解】

解：A43c是直角三角形，則在AA3C中即可運用勾股定理，不確定x+1與5哪一個大，所以討論：

(1)若x+l<5,則存在f+(x+l)2=52,

解得x=3,

SAABC=g*3x4=6；

(2)若x+l>5,貝ij(尤+1)2-爐=52,

解得光=12

SAABC=^x5xl2=30.

AABC的面積為6或30.

故答案為：6或30.

【點睛】

本題主要考查直角三角形中勾股定理的應用，本題中討論x+1與5的大小是解題的關鍵.

【類型三巧妙割補求面積】

例題：(2023春?河南許昌?八年級?？计谥?如圖，在四邊形A8CD中，已知？390?,ZACB=30°,AB=6,

(1)求證：AACD是直角三角形；

(2)求四邊形ABCD的面積.

【答案】⑴見解析

⑵18有+30

【分析】⑴根據(jù)30。角的直角三角形的性質(zhì)得到AC=2AB=12,再根據(jù)跟勾股定理的逆定理即可得證;

(2)根據(jù)勾股定理得到BC=6g,再利用三角形的面積公式即可得到結論.

【詳解】(1)證明：E?B90?,ZACB=30°,AB=6,

0AC=2AB=12,

在AACD中，AC=12,AD=13,CD=5,

回52+122=132,BPAC1+CD2=AD2,

回AACD是直角三角形；

(2)解：回在AABC中，?B90?,AB=6,AC=12,

^BC=4AC1-AB1=A/122-62=6A/3，

=~BC1AB,倉眩百6=18百，

又ElSVACD=gAC-CD=gx5xl2=30,

=1873+30.

形ABC。=S4ABe+S^ACD

回四邊形ABCD為186+30.

【點睛】本題考查勾股定理，勾股定理的逆定理，30。角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積.熟練掌握勾

股定理的逆定理是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2023春?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?八年級?？计谥校┤鐖D所示，是一塊地的平面圖，其中AD=4米，CD=3米，

48=13米，BC=12米，ZADC=90°,求這塊地的面積.

【分析】連接AC,根據(jù)勾股定理求出AC=JA￡）2+CD2=5米,AC2+BC2=AB2,NACB=90。，根

據(jù)直角三角形的面積公式求出結果即可.

【詳解】解：如圖，連接AC,如圖所示:

■.■ZADC=90°,AE>=4米，CD=3米,

：.AC=YJAD2+CD2=5*-

?.?AB=13米，3C=12米，

AC2+BC2=AB2,

:.ZACB=9Q°,

，這塊地的面積為：

S^C-S^CD=^AC-BC-^AD-CD

=-x5xl2--x3x4

22

=24（平方米）.

【點睛】本題主要考查了勾股定理和逆定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理，在一個直角三角形

中，兩條直角邊分別為服6,斜邊為C,那么.如果一個三角形的三條邊a、b、c滿足/+62=°2,

那么這個三角形為直角三角形.

2.（2023春?安徽馬鞍山?八年級?？计谀┘褐?。，b,。是AABC的三邊，且。=2有，b=3娓,c=A/66-

⑴試判斷445C的形狀，并說明理由；

⑵求&4BC的面積.

【答案】（I）AABC是直角三角形，理由見解析

（2）972

【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理進行計算即可求解；

（2）根據(jù)三角形的面積公式進行計算即可求解.

【詳解】（1）解：AABC是直角三角形.理由：

22

Sia==12,。2=（3"）=54,c=^A/66^=66,

!3a2+b2=c2,

團AABC是直角三角形，且NC是直角；

（2）解：44BC的面積=；x2百x3卡=9尤.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵.

3.（2023春?山東荷澤?八年級?？茧A段練習）四邊形草地ABCD中，已知AB=3m,BC=4m,CD=12m,

DA=13m,且/ABC為直角.

⑴求這個四邊形草地的面積；

⑵如果清理草地雜草，每平方米需要人工費20元，清理完這塊草地雜草需要多少錢？

【答案】⑴36m2

（2）清理完這塊草地雜草需要720元錢

【分析】（1）連接AC,根據(jù)勾股定理求出AC,再根據(jù)勾股定理逆定理得出NACD=90。，最后根據(jù)

S四邊形A5CD=^AAfiC+即可求解;

(2)根據(jù)每平方米需要人工費20元，即可解答.

【詳解】(1)解：連接AC,

回AB=3m,BC=4m,/ABC為直角，

0AC=^AB2+BC2=A/32+42=5(m),

團CD=12m,ZM=13m,

團AC2+CD2=52+122=169=AZ)2,

團NACD=90。，

團S四邊所BsMSAABc+SAACDngARBC+gACCDngxSxd+gxSxlZnSGSf).

（2）解：20x36=720（元），

答：清理完這塊草地雜草需要720元錢.

【點睛】本題主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解題的關鍵是掌握直角三角形兩直角邊的平方和

等于斜邊平方，兩邊平方和等于第三邊平方的三角形是直角三角形.

4.（2022春?重慶黎江?八年級?？茧A段練習）計算：如圖，每個小正方形的邊長都為1.

⑴求線段C。與BC的長；

⑵求四邊形ABCD的面積；

⑶求證：NBCD=90°.

【答案】⑴BC=26CD=A/5

⑶見解析

【分析】（1）根據(jù)勾股定理解答即可；

（2）運用分割法解答即可；

（3）連接3D,根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可.

【詳解】（1）團每個小正方形的邊長都為1,

0BC=A/22+42=2A/5>CZ)=>/22+l2=>/5

(2)S四邊形ABCD=5x5--xlx5--xlx4-lxl--xlx2--x2x4

=25---2-l-l-4

2

_29

(3)連接BD,

回30=疹百=5,

0BC2+CD2=（275）2+（V5）2=25,BD2=5?=25,

SBC2+CD2=BD2,

回△BCD是直角三角形，且3D為斜邊，

0ZBCD=9O°.

【點睛】此題考查勾股定理和勾股定理的逆定理，關鍵是根據(jù)勾股定理得出各邊的長解答.

【類型四“勾股樹”及其拓展類型求面積】

例題：（2023秋?重慶渝中?八年級重慶巴蜀中學?？计谀┤鐖D，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形

都是直角三角形，若正方形A、B、C、。的面積分別是6、10、4、6,則最大正方形E的面積是（）

A.20B.26C.30D.52

【答案】B

【分析】根據(jù)正方形的面積公式并結合勾股定理，能夠?qū)С稣叫蜛,B,C,。的面積和即為最大正方形

的面積即可.

【詳解】解：如圖：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得：

=SA+SB+Sc+SD

=6+10+4+6

=26

故選艮

【點睛】本題考查勾股定理，熟悉勾股定理的幾何意義是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2023?廣西柳州??？家荒＃┤鐖D，NBDE=90。,正方形BEGC和正方形AFED的面積分別是289和225,

則以3D為直徑的半圓的面積是（）

【答案】B

【分析】利用勾股定理求出3D,再求半圓的面積即可.

【詳解】解：回正方形BEGC和正方形的面積分別是289和225,

0BE2=289,DE2=225,

0ZBDE=90°,

^BD=4BE1-DE1=A/289-225=8,

回以為直徑的半圓的面積為：x；r=8萬；

故選艮

【點睛】本題考查勾股定理.熟練掌握勾股定理，是解題的關鍵.

2.（2023春?全國?八年級專題練習）如圖，以RtAABC的三邊向外作正方形，其面積分別為工,邑，邑且

5=4,S?=8,貝丫3=;以RIAABC的三邊向外作等邊三角形,其面積分別為H,S3,則H,邑,邑

三者之間的關系為.

【答案】12;51+52=53

【分析】首先根據(jù)正方形面積公式得到三個正方形的面積與R/fflABC的三邊關系，然后根據(jù)勾股定理找到

RO42c的三邊之間的關系，并由此得到三個正方形的面積關系，最后算出S3的值；第二空同理根據(jù)正三角

形面積公式與勾股定理，得到Si,S2,S3三者之間的關系，完成解答.

【詳解】解：MC、BC、A8都是正方形的邊長，

22

05i=AC2,S2=BC,S3=AB,

又回0ABe是直角三角形，

SIAC^+B^AB2,

回冬=4+8=12,

又SR/SABC三邊向外作等邊三角形，其面積為Si,S2,S3,

ESi=-xACxACx—=—xAC2,

224

同理可得：S2=&BO,S3=BXAB2,

44

回0ABC是直角三角形，

0AC2+BC2=AB2,

團Si+82=53.

故答案是：12,Si+S2=W.

【點睛】本題考查勾股定理和正方形、正三角形的計算，解題的關鍵在于靈活運用勾股定理.

3.（2023春?八年級課時練習）已知：在RSABC中，ZC=90°,-4、NB、NC所對的邊分別記作。、b、

c.如圖1,分別以AABC的三條邊為邊長向外作正方形，其正方形的面積由小到大分別記作號、S2、S3,

貝I］有百+S?=$3,

圖4

⑴如圖2,分別以AABC的三條邊為直徑向外作半圓，其半圓的面積由小到大分百、邑、S3,請問4+邑與

S3有怎樣的數(shù)量關系，并證明你的結論；

⑵分別以直角三角形的三條邊為直徑作半圓，如圖3所示，其面積由小到大分別記作Sl、S2Sa,根據(jù)（2）

中的探索，直接回答E+S2與S3有怎樣的數(shù)量關系；

（3）若中，AC=6,BC=8,求出圖4中陰影部分的面積.

【答案】⑴凡+邑=$3,證明見解析

⑵-3

⑶24

22

【分析】（1）由扇形的面積公式可知5=：萬AC?,S2=^BC,S3=^AB,在R/0ABC中，由勾股定理

060

得即亂+52=53；

（2）根據(jù)（1）中的求解即可得出答案；

（3）利用（2）中的結論進行求解.

2

【詳解】（1）解：①???H+$2='萬小/，s3=-^c

888

根據(jù)勾股定理可知：cr+b^c2,

5]+S2=S3;

（2）解：由（1）知，同理根據(jù)根據(jù)勾股定理：a2+b2=c2,從而可得＜+S2=S3；

⑶解：由⑵知加影=岳+邑-⑸-S“8C）=%ABC=；X6X8=24.

【點睛】本題考查勾股定理的應用，解題關鍵是對勾股定理的熟練掌握及靈活運用.

4.（2023春?江西南昌?八年級南昌市第三中學?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愖顐ゴ蟮氖畟€科學發(fā)現(xiàn)之一，西方

國家稱之為畢達哥拉斯定理.在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)

學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅"弦圖"（如圖1）,后人稱之為"趙爽弦圖"，流傳至今.

⑴①如圖2,3,4,以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分

別為S-S3,利用勾股定理，判斷這3個圖形中面積關系滿足，+S?=S3的有個.

②如圖5,分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設圖中兩個月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為航,

邑，直角三角形面積為S3,也滿足H+S?=$3嗎？若滿足，請證明；若不滿足，請求出S-邑，的數(shù)量

關系.

（2）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這

一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”.在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設大正方形〃的邊

長為定值機，四個小正方形A,B,C,。的邊長分別為a,b,c,d,則/+〃+才=.

【答案】⑴①3；②滿足，證明見解析

⑵加

【分析】（1）設兩直角邊分別為x,y,斜邊為z,用x,y,z分別表示正方形、圓、等邊三角形的面積，

根據(jù)V+y2=z2,求解％S2,S3之間的關系，進而可得結果；②根據(jù)合+62=。2,

卜&ab_,??_?

??%（父"化]a,bab,S=丁，可r得HS]+Sz=S3；

S,+S,=',+''+-------'^―二—2

1222222

22222

（2）由題意知，SA=a,SB=b,Sc=c,SD=d,（SA+SB）+（5c+Sfl）=SM-m,代入求解即可.

【詳解】（1）①解：設兩直角邊分別為x,y,斜邊為z,

221

則圖2中，H=x,S2=y,S3=z,

團f+y2=z2,

團H+82=83,故圖2符合題意;

同乃x21〃~y2萬（無2+y2）

8888

SSl+S2=S3,故圖3符合題意；

=-y-ysin60°=^^,S.=-z-z-sin60°=^^-

圖4中，S.=—x-x-sin60°=>

1242-4324

同氐②?指16（丁+了）乓

4+4~44

<as1+s2=s3,故圖4符合題意;

回這3個圖形中面積關系滿足H+$2=$3的有3個,

故答案為：3；

②解：滿足，證明如下：

由日百*上口2i2211s_ab

由病思知。2+"2=/,I2J（2）ab（2）ab，53=—,

+30=----------1------------1-----------------二—2

1222222

田耳+邑=邑;

2222

（2）解：由題意知，SA=a,SB=b-,Sc=c,SD=d,（SA+SB）+（SC+SD）=SM=m,

^\a2+b2+c2+d2=m2,

故答案為：病.

【點睛】本題考查了勾股定理，勾股樹.解題的關鍵在于正確的表示各部分的面積.

【類型五幾何圖形中的方程思想一折疊問題（利用等邊建立方程）】

例題：（2023春?河南許昌?八年級統(tǒng)考期中）已知直角三角形紙片ABC的兩直角邊長分別為6,8,現(xiàn)將AABC

按如圖所示的方式折疊，使點A與點2重合，則CE的長是（）

c

【答案】B

【分析】根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)可知，AE=BE,設4￡=無，則=CE=8—x,再RtA^CE中利用

勾股定理即可求出CE的長度.

【詳解】解：回△ADE翻折后與完全重合，

^AE=BE,

設=貝l|3E=x,CE=8-x,

222

團在RtABCE中，CE=BE-BC,

即（8—4=x?—6?,

7

解得，x=-,

4

7

0C￡=-.

4

故選：B

【點睛】本題考查了圖形的翻折變換，解題中應注意折疊是一種對稱變換，屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性

質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變.

【變式訓練】

1.（2023春?湖北咸寧?八年級?？茧A段練習）如圖，有一塊直角三角形紙片，NC=90。，AC=4,BC=3,

將斜邊A3翻折，使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為AD,則的長為（）

35

A.—B.1.5C.—D.3

43

【答案】C

【分析】利用勾股定理求得AB=5,由折疊的性質(zhì)可得TW=AE=5,DB=DE,求得CE=1,設DB=DE=X,

則CD=3-尤，根據(jù)勾股定理可得F+（3-X）2=X2,進而求解即可.

【詳解】解：fflZC=90°,AC=4,BC=3,

0AB=A/32+42=5>

由折疊的性質(zhì)得，AB=AE=5,DB=DE,

ECE=1,

設DB=DE=x,貝!]CD=3-x,

在R/ACED中,l2+（3-x）2=x2,

解得x=g,

故選：C.

【點