許昌市2025屆高三第一次質(zhì)量檢測（一模） 數(shù)學試卷（含答案解析）

豫西北教研聯(lián)盟(許洛平)2024-2025學年

高三第一次質(zhì)量檢測

數(shù)學

注意事項:2024.10.29

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知向量a=(x.-3),b=(3x,x+2),若a-b=0,貝()x=

A.-1B.2C.2或TD.2或-2

2.已知集合A={x||〈x<2},B={x[l<x<a},若BUA,則實數(shù)a的取值范圍是

A.(2,+8)B.(1,2]C.(-8,2]D.[2,+8)

3.已知sin(a+J=—|,則sin2a=

1188

A.-B.—nC.D.

9999

4.下列選項中，p是q的充要條件的是

A.已知非零向量(a,b,c,p:a-c=b-c,q:a=b

B.已知xER,p-.x2+2x—3<0,q:0<x<1

C.在AABC中,p:A>B,q:sinA>sinB

D.直線Zt：ax+2y+6=0,l2：x+(a-l)y+3=0,p:lil|l2,q：a=2

5.已知/(%)=ln(x+71+久2),則y(%2-8)+f(2x)>。的解集為

A.{x|-2<x<4}B.{x|-4<x<2}

C.{x|xN4或爛-2}D.{x|xN2或爛-4}

丫2“2__

6.過雙曲線C:右一2=1(a>b>0)的右焦點F的直線1與C交于A,B兩點，若線段AB的長度取最

azbz

小值時，直線1恰有兩條，則雙曲線C的離心率為

A.V2B,V3C.2D.V5

數(shù)學第1頁(共4頁)

7.已知數(shù)列{&J,{b"中，Qi=2,bi=6,an+1=2anfbn+1=2bn-。九，若an=b九，則m=

A.4B.5C.6D.7

8.已知加0,若函數(shù)/(%)="(a-2)%+ln%,%>。沒有零點，則實數(shù)a的取值范圍是

(ln(-x+1)—axex,x<0

A.(e,+8)B.(1,e)C.(0,1)D.(1,+8)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.已知ab=工且a,be(0,1),則

4

A.a2+b2—B.b+—Q>—C.—+—4D.ci^1+b—

293ab4

10.在平面直角坐標系中，角a的頂點為坐標原點O,始邊為X軸的非負半軸，終邊與以O(shè)為圓心，1為半

徑的圓交于點A(受，射線OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)29后交圓O于點B,若點B的縱坐標為y,設(shè)y=f

(0),則

AA.a--57r

6

B.f⑻=sin(28-勻

C.函數(shù)y=f(0)的單調(diào)遞增區(qū)間為［一看+上兀吟+卜兀］，卜eZ

D.f(0)的對稱中心為償+容0),kCZ

11.在棱長為2的正方體ABCD-AiB￡iDi中，E為棱CC1的中點，P為線段A1E上的動點，Q為底面ABC

D(含邊界)上的動點,且平面AiQCL平面AiDC,則

A.直線BP與平面BCC、Bi所成角的最大值為-

4

B.點Q的軌跡長度為V5

C.三棱錐Q-AiDiE的體積為定值

D.若布=無◎，且PQ〃平面ADDiAi,則X的取值范圍為倬，1)

數(shù)學第2頁供4頁)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知復數(shù)z滿足z（4-3i）=2+i,則|z|=.

13.設(shè)拋物線C-.y2=4%的焦點為F,直線l：4x-5y+4=0與C的一個交點為M,直線MF與C的另一個交點為

N,則|MN|=.

14.已知三棱錐P-ABC、AC=2V2,PB=2,AB±BC,二面角P-AB-C的大小為60°,當三棱錐P-ABC的體

積取得最大值時，其外接球的表面積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）

設(shè)F1,F2為橢圓+真=1（a>b>0）的左、右焦點，點G（g1）在橢圓C上，點G關(guān)于原點

的對稱點為H,四邊形GF1HF2的面積為遮

（1）求橢圓C的方程；

12V2

（2）過點Fz作直線1與C交于A,B兩點,AFiAB的面積為，求1的方程.

16.(15分)

已知函數(shù)/(%)=ysinx+cos2今在4ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且/(B)=|.

⑴求B;

⑵若2〃=2c2+因求管的值.

數(shù)學第3頁（共4頁）

17.（15分）

如圖，四棱錐P-ABCD中,PAXPD,APCD為等邊三角形，四邊形ABCD為直角梯形,AB〃CD,AB±BC,

18.（17分）

已知函數(shù)/（%）=-^-ax.

（1）若f（x）在點（1,f（l））處的切線方程為％—y+工=0,求a的值；

e

⑵若aW—白,判斷函數(shù)f（X）的單調(diào)性；

e2

（3）當a=0時，證明：（em/（x）<（1-m）x+病淇中0WxW2,0<m<2.

19.（17分）

已知有窮數(shù)列田,?2）…，an（n^4）的各項均為正整數(shù)，記集合M=[X\X=^,l<i<j<n]

的元素個數(shù)為card（M）.

⑴若數(shù)列｛加｝為1,2,4,8,試寫出集合M,并求card（M）的值；

⑵若｛an｝是遞增數(shù)列且card（M）=nT,求證：是等比數(shù)列；

（3）判斷card（M）是否存在最大值，若存在，試說明理由.

數(shù)學第4頁（共4頁）

豫西北教研聯(lián)盟(許洛平)2024—2025學年

高三第一次質(zhì)量檢測

數(shù)學

注意事項：

i.答卷前，考生務必將自己的姓名、潴考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛笫把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。

寫在本試卷上無效,

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題:本題共8小題，每題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的。

閡1.已知向13a=(x.-3)@=(3x,x+2),若a?6=0,則工=

翅A.-1B.2C.2或-1D.2或-2

曲2.2知集合4={工11。<2},B=314<a}，若8C4,則實數(shù)a的取值范圍是

A.(2,+oo)B.(1,2]C.(-8,2]D.[2,+oo)

3.已知sin(a+?)=,5l!lsin2a=

-E

然

A1B.-ICD.-A

葡9999

4.下列選項中,p是q的充要條件的是

A.已知非零向舟a@,c,p：a-c=b?c,q：a=b

B.已知二eR,p：，+2x-3<0,q：0<x<l

C.在△48C中,p：/i〉8,q：siiL4>sinB

D.直線Zj：ax+2y+6=0,Z7：x+(a-1)y+3=0,p：ZI//l29q：a=2

5.已知/(%)=卜(彳+/R7),則/(/-8)4/(右)\0的解集為

A.{久1-2這工近4}B.{xl-4這xW2}

C.{工丘>4或工近-2}D.{工hN2或xW-4}

6.過雙曲線C：、-《=1(a>0,b>0)的右焦點F的直線，與C交于4潭兩點,若線段AB的

ab

長度取最小值時，直線I恰有兩條，則雙曲線C的離心率為

A.-J2B.43C.2D.6

數(shù)學第1頁(共4頁)

7.已知數(shù)列{〃,}.{〃“}中山=2也=6.j=2a.也，產(chǎn)26,二,若則m=

A.4B.5C.6D.7

2

-ox-(a-2)x+lnxtx>0

沒有零點,則實數(shù)a的取值范圍是

Iln(-x+1)-axe1,x<0

A.(e,+oo)B.(l,e)C.(OJ)D.(l,+?)

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求。全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.已知而二1且w(0,1),則

4

A.a2+b2B.b+-^-a>-^-C.—+:N4D.a2+Z?^—

293a64

10.在平面直角坐標系中，角a的頂點為坐標原點。，始邊為工軸的非負半軸，終邊與以。為

圓心，1為半徑的圓交于點,-yj,射線ON繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)23后交圓。于點8,

若點B的縱坐標為y,設(shè)y=/(8),則

5ir

A.a=—

6

TT

B./(0)=sin(2(9—)

6

<TT7T

C.函數(shù)y=f(夕)的單調(diào)遞增區(qū)間為——+/{IT+ATTeZ

_63

D./(6)的對稱中心為(1+],()),hZ

11.在校長為2的正方體48co-48C*中,E為棱CG的中點/為線段4E上的動點,Q

為底面ABCD(含邊界)上的動點,且平面AiQCJ.平面4DC,則

A.直線BP與平面BCClBl所成角的最大值為；

B.點Q的軌跡長度為6

C.三棱錐的體積為定值

D.若彳=A辜，且PQ〃平面AD伉兒，則人的取值范圍為

數(shù)學第2頁(共4頁)

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分。

12.已知復數(shù)z數(shù)足z(4-3i)=2+i,則卜|=.

13.設(shè)拋物線C：/=4.t的焦點為F,直線】：4.t-5y+4=0與C的一個交點為M,宜線MF與C

的另一個交點為N,則］MN|=.

14.已知三極錐2-45心化=271/8=2,/1￡_18(?,二面角P-/18-C的大小為60°,當三梭錐

P-ABC的體積取得最大隹［時,其外接球的表面積為____..

四、解答題:本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)

設(shè)"，生為橢圓C：g+￡=1(a>6>0)的左、右焦點，點,g)在橢圓C上，點G關(guān)

于原點的對稱點為H,四邊形GF\H%的面積為。.

(1)求橢圓(；的方程；

(2)過點入作直線，與C交于4,B兩點，△FJB的面積為苧，求I的方程?

16.(15分)

nr

已知函數(shù)/(x)=~^-sin夕+cos2?■，在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為且

/")=看

⑴求8;

(2)若2A=2c2+ac,求史收的值.

ri

數(shù)學第3頁(共4頁)

17.（15分）

如圖，四梭他Pd8co中,P4_LP。，△0C0為等邊三加形，四邊形ABCD為亢角梯形,

AB//CD,ABA.BC,CD=2AB=2.

(I)證明:平面PADJ.平面PDC;

(2)若尸人與平面ABCD所成的加為60。，求平而

PBC與平面PAD夾角的余弦衽

18.（17分）

已知函數(shù)/（x）=[-ax.

e

(1)若/(x)在點(1,/(1))處的切線方程為X-?」=0,求a的值;

e

(2)若aW-；,判斷函數(shù)/(工)的單調(diào)性；

e

(3)當a=0時,證明:e"/(4)W(,其中0W%W2,0<m<2.

19.(17分)

已知有窮數(shù)列a,a“(心4)的各項均為正整數(shù),記集合M=卜片，,1Wiqwj的

元素個數(shù)為card(M).

(1)若數(shù)列｛aj為1,2,4,8,試寫出集合M,并求card(M)的值；

⑵若｛4｝是遞增數(shù)列且wd(M)=,1,求證:｛%｝是等比數(shù)列；

(3)判斷card(M)是否存在最大值，若存在,試說明理由.

數(shù)學第4頁(共4頁)

豫西北聯(lián)盟第一次聯(lián)考數(shù)學答案

一、選擇題

1.C2.C3B4.C5,D6.A7.B8.D

二、選擇題

9.ACD10.BC11.ABD

三、填空題

V52528

13?—14.—n

543

四、解答題

15.解：(1)設(shè)橢圓。的焦距為2c(c>0),因為|OG|=|OH|JO￡|二|OQ|,

所以四邊形G片舊居為平行四邊形，其面積設(shè)為S,則

S=2c-^-=y/3,所以c=l,..................................................................................2分

2

所以/_/=。2=1,.................................................................................................3分

33

又”+木=1,解得/=46=3.............................................................................4分

所以橢圓。的方程為=+上=1.............................................................................5分

43

(2)易知)的斜率不為不設(shè)/：工=吵+1,/(知乂),3(々/2)，

得（3加2+4）y2+6my-9=Q,

y?-67w—9

所以乂+%=即卬2=病丁7分

所以M-8|=加弘+%)2一例必=嗜了，?9分

由5的公=；|月月恒一對=1野+：=

10分

解得加=±1,12分

所以/的方程為x-y-l=0或x+y-l=013分

16.解：（1）因為/（x）=；-sinx+cos2]=sin?2分

所以由/（B）=sin（5+［）+；=!■得sin（3+［）=l

4分

,,.__/L.7C卜7C77t

因為0<_8<九，所以二VB+^V-^?6分

666

所以5+巴=二，B=-.?7分

623

1a2+c2-b2

(2)由(1)得cosB8分

22ac

22c?+ac

..a+c2l---------a2一絲

故____________2即2

2ac2lac2

即故”九

11分

2c422

把a='c代入2/=2。2+雙，可得b="c，

13分

22

3不

所以a+匕萬0+三c3+不.15分

cc2

17.（1）證明：取DC的中點廠，連接/￡尸尸，則"_L0c.

又"DC為等邊三角形,PF1DC,

所以平面以R,所以以_LOC............3分

又以LPD,

所以E4L平面尸DC,以u平面7M。，

平面P4D_L平面尸。C............6

分

⑵由（1）知CD1平面R4F,.,.平面匈'1平面45CD,

則點尸在平面48CD內(nèi)的射影在直線4F上，即為直線R4與平面4BCD所成的

角，則"1F=6O°,7分

由（1）知以1平面加C,..E4177"

又APCZ）為邊長為2的等邊三角形，則尸尸=J?

則PA=\,AF=2=>BC=2,.......8分

以產(chǎn)為原點，4,刈所在直線為軸，過點尸在面必中做

FE的垂線作為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，如圖所示，

過P作尸GIZb,交4尸于G,則PG=

又0(1,0,013(120),40,2,0),￡>(-1,0,0),麗=1,；，-菖；比=(0,-2,0).........9分

設(shè)平面P3C的法向量為”=(不，必,zj

nLPB{nPB=01石+1乂_正馬=0

22

"，比=["?前=()n]7v0，令4=2,則石=6■，必=0,

I[-2乂=U

?.”=(石,0,2)...............11分

又應=（0,；,一4],AD=（-1-2,0）

（22）

設(shè)平面以。的法向量為m=（與，%/2）

1G

mlPAm-PA=0z=0

___=<___=2

/一,令Zz=l,貝11%=—2血,》2=石

m1ADmAD=0

-x2-2y2

.?.?1=12百,Q,1）..............13分

設(shè)平面P5C與平面E4。的夾角為a

綜上，平面P5C與平面24。的夾角余弦值為............15分

7

18.解：（1）因為/（》）=/一族，XGR,

所以/'（工）=[^一。，.........1分

e

故/'。）=一1又/（1）=：一?！?........2分

所以/（X）在點（1,/。））處的切線方程為—g-a）=（-a＞（x-l）...............................3

分

即ar+y—1=0,由已知得。二一1?.................4

e

3

分

Y*1-y

(2)因為/(x)-av,所以/'(x)=—■—a，

ee

令夕(x)=/3,則

,(\-l-(l-x)x-2

°(x)=-^=丁'■

依題意，當x>2時，d(x)>0,所以/'(x)在(2,+00)上單調(diào)遞增;

當x<2時，夕'(x)<0,所以/'(x)在(-00,2)上單調(diào)遞減.......................6分

所以/'(乃.=/'(2)=-3-。，...............7分

e

因為則/口焉20,則/'(X)20恒成立，

e

所以在R上單調(diào)遞增........8分

(3)欲證6"'?/(丫)4。-/?)》+而2成立，即證/(x)4l^x+q成立.

設(shè)尸(丫)=與一學丫一《，其中F(加)=0..............10分

exewem

則F(x)=^------,XGR................11分

ee

設(shè)G(x)=—-------,其中G(加)=0,

ee

則G'(x)=q="(x),...............12分

e

由(2)知，G(x)在(ro,2)單調(diào)遞減；在(2,+8)單調(diào)遞增；...............13分

所以G(x)在［0,2］單調(diào)遞減，且G(ffl)=0,0<m<2................14分

故當04x<m時，G(x)>0,即/(x)>0,則R(x)在［0,用)單調(diào)遞增；

當加<x42時，G(x)<0,即尸(x)<0,則F(x)在(凡2］單調(diào)遞減.............15分

故廠(x)在丫=加處取極大值，且極大值為F(m)=0,

當且僅當丫=用時，F(xiàn)(x)=0..............16分

所以當xw［0,2］時，尸(丫)4斤(加)=0恒成立，即/(x)w=^x+二■恒成立,

emem

4

即e'”?/（%）<（1—心）工+用2成立................17分

248488

19.解：（1）因為——2,——4f—=8,——2,——4,——2,......................2分

111224

所以集合河={2,4,8},所以ca"（M）=3......................4分

（2）證明：因為{q}是遞增數(shù)列，且=

因為{%}是遞增數(shù)列，所以生<&<包<3<”,

4444

所以之”幺，…烏出且互不相等，所以以=，生,且,….............6

qqqq[qqq/

分

又因為&<4

a2a2a2ai

所以生幺昌…，組鄉(xiāng)GM且互不相等,所以〃=p?，&生…鄉(xiāng),殳］.....8

生/a2a241%a2a2a24J

分

所以&二生，旦=幺，況也，

a2%a2axa2q

而|、jq-a2a4_a2_a2

。24%4%%

所以，=*=…=?,所以應}為等比數(shù)列............10分

(3)card(A/)存在最大值"(”；)..................11分

理由如下：

不妨取。={4,&,???,4},其中4均為質(zhì)數(shù).

因為A/=<xx=—,l^z<j<n'f

q

則3,3,…，與1■，爭GM且爭,3,…，與，爭互不相同，有〃一1個元素；

axaxaxa}a}a}axax

5

同理，

爭，爭，…,芻。,爭且今,3,…，與1?，冬互不相同，共有〃-2個元素;

a2a2a2a2a2a2a2a2

d.或d,d?_.d.gd“八d?

三-,丁,一,一丁n，丁wM且丁,77,,??,1］一,‘互不相同，共有〃一3個元素;

a3a3a3a3a3a3a3a3

丁匚￡何互不相同，有1個元素.......15分

"一】

a/、

根據(jù)質(zhì)數(shù)的性質(zhì)知，,。4，＜/4〃）互不相同，

故card（M=（”1）+（〃―2）+…+2+1=〃（7）.

故card。/）有最大值巳與ill.......

17分

（注：第三問學生其他解答可對應酌情給分）

6

豫西北聯(lián)盟第一次聯(lián)考數(shù)學答案

一、選擇題

1.C2.C3B4.C5.D6.A7.B8.D

二、選擇題

9.ACD10.BC11.ABD

三、填空題

12.—13.25/414.-7T

5—3

四、解答題

15.解：(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c(c>0),因為||OG|=|。小,|。川=|。0|,

所以四邊形GF1HF2為平行四邊形，其面積設(shè)為S,則

所以c=l,...............................................................................................................2分

分.................................................................所以

又解得...........................................................4分

所以橢圓C的方程為.............................................5分

⑵易知1的斜率不為0,設(shè)l:x=my+1,A(Xi,y，，B(X2,yz),

x=my+1

%2,y2q,得(3m2+4)y2+6my-9=0,

{T+T=1

所以分.................................................................7

所以分.................................................................9

由分.............................................................10

解得m=±1,12

所以1的方程為x-y-l=0或x+y-l=0............................................................................13

16.解：(1)因為/(%)=^sinx+cos?2=sin(%+巴)+工，一2分

所以由f(B)=sin(B+勺+[=日得sin(B+g=14分

1

因為0<B<7i,所以巴<8+2<衛(wèi)-------6分

666

所以B+?=MB=]7分

623

（2）由（1）得cosB=:=J?士，故分

22ac2ac28

11分

所以

把a=-c代入2b2=2c?+ac,可得b=￥c,M15分

2c13分

jc+冬=3+V7.

17.(1)證明：取DC的中點F,連接AF,PF,貝IJAFLDC.

又4PDC為等邊三角形，PFXDC,

所以CD,平面PAF,所以PA±DC.3

分

又PA_LPD,

所以PAJ_平面PDC,PAu平面PAD,平面PADJ_平面

PDC.6

分

⑵由(1)知CD,平面PAF,二平面PAF，平面ABCD,則點P在平面ABCD內(nèi)的射影在直線AF

上，即NPAF為直線PA與平面ABCD所成的角，則NPAF=60°,

.7分

由（1）知PA_L平面PDC,..PAXPF,

又4PCD為邊長為2的等邊三角形，貝PF=遮

貝！IPA=1,AF=2=BC=2,8分

G

以F為原點，F(xiàn)C,FA所在直線為x,v軸,過點F在面PAF中做FE的垂線作為z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系，如圖所示，過P作PGLAF,交AF于G,則PG=

今GF=|,P(O|,)

2

又分.............................................................9

設(shè)平面PBC的法向量為n=(%vyi-zi)

nLPB\nPB=O]x,+-y,--z}=0

--n彳一22

nl.BC[n-BC-0[一2M=o令z1=2,則久1=低月=0,

:n=(V3<0<2)...................11分

乂PA==(-l>-2-0)

設(shè)平面PAD的法向量為m=(%2>y2<z2)

_^Z2/Z2—1,貝U%2=-2A/3,72=V3

mlPA=〈m-P_A=0=

m1ADm-AD=0[f-2%=°

3分.............................................................1

設(shè)平面PBC與平面PAD的夾角為a

|Imn.4V7

則micosa=-----=-p—=—

|m||n|V7x47

綜上，平面PBC與平面PAD的夾角余弦值

.15

為

18.解：(1)因為/(久)=*—a居久CR,

所以.............................................................1

f(1)=-a又.......................................................2

所以f(x)在點(l,f(1))處的切線方程為.................................3

分

即由已知得a=T4

3

分

(2)因為所以/z(x)=—a,

令(p(x)=f(x),則

5

依題意，當x>2時,(p'(x)>0,所以f(x)在(2,+oo)上單調(diào)遞增；

當x〈2時,(p’(x)<0,所以F(x)在(-8,2)上單調(diào)遞減分.................6

分................................................................7

因為?！匆弧t/'(%)即日>0,則f(x)K)恒成立，

所以f(x)在R上單調(diào)遞增................................................8

(3)欲證em-/(%)<(1-m)x+6?成立，即證/(%)<%+躲成立.

設(shè)F(x)=5一三？％-三,其中F(m)=0.