旋轉(zhuǎn)綜合題拓展訓(xùn)練（解析版）-2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊（人教版）

旋轉(zhuǎn)綜合題拓展訓(xùn)練(9考點(diǎn)60題)

目錄與鏈接

考點(diǎn)一、線段的旋轉(zhuǎn)問題........................................................2

考點(diǎn)二、三角形的旋轉(zhuǎn)..........................................................19

考點(diǎn)三、四邊形的旋轉(zhuǎn)..........................................................38

考點(diǎn)四、一次函數(shù)的圖象旋轉(zhuǎn)問題................................................53

考點(diǎn)五、二次函數(shù)背景下的旋轉(zhuǎn)問題..............................................66

考點(diǎn)六、二次函數(shù)的中心對稱問題................................................84

考點(diǎn)七、與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的最值問題................................................108

考點(diǎn)八、利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造圖形解決問題............................................128

考點(diǎn)九、旋轉(zhuǎn)規(guī)律探究........................................................146

考點(diǎn)一、線段的旋轉(zhuǎn)問題

1.(23-24八年級下?四川成都?期末)如圖，等腰直角中，AC=BC,將線段CN繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)c。

(0<a<90)得到線段。'，作點(diǎn)/關(guān)于線段C4所在直線的對稱點(diǎn)E,連接/￡和BE,分別交線段。'

所在直線于點(diǎn)M和點(diǎn)尸，若CF=1,FM=3,則■的長為.

【答案】4V2

【分析】過點(diǎn)C作。7,CH交朋于點(diǎn)，，連接加，根據(jù)題意得到/尸==易證

NCAF=ZCEF，由等腰三角形的性質(zhì)推出NCBE=NCEB，推出ZCAF=ZCBE，證明"FC知BHC(AAS),

得到CF=CH,//=8",進(jìn)而證明ASF是等腰直角三角形，即可證明A/MF是等腰直角三角形，推出利

用勾股定理即可求出FH=V2CF=42,AF=拒MF=372,即可求出BF的長.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作交5E于點(diǎn)“，連接腸,

A

???點(diǎn)、E與點(diǎn)4關(guān)于線段CH所在直線對稱,

...AF=EF,AC=CE,

ZCAE=/CEA,ZFAE=ZFEA,

??.ZCAF=ZCEF,

?;BC=AC,AC=CE,

CE=BC,

??./CBE=/CEB,

ZCAF=ZCBE,

???ZACF+ZACH=ZBCH+ZACH=90°,

:.ZACF=ZBCH,

/.^AFC^BHC(AAS),

/.CF=CH,AF=BH,

△CHF是等腰直角三角形，

:.NCFH=/CHF=45。,

ZBHC=ZAFC=180°-ZCHF=135。，

ZAFM=45°

???△/MF是等腰直角三角形，

MF=AM

CF=1,FM=3,

FH=kF、CH2=&F=叵AF7MF?+AM?=6MF=3亞,

BF=BH+FH=AF+FH=A4I，

故答案為：4A/2.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理，對稱的性質(zhì)，正

確作出輔助線構(gòu)造三角形全等時解題的關(guān)鍵.

2.（23-24八年級下?重慶九龍坡?期末）如圖，在矩形Z8C。中，/8=4,3。=46，點(diǎn)P是3c邊上一點(diǎn),

連接"，以/為中心，將線段"繞點(diǎn)/逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到工。，連接C。、DQ,且4BC0=/DC。，則

【答案】4V6-4V2/-4V2+4V6

【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、

含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，是綜合性強(qiáng)的填空壓軸題，得到點(diǎn)Q的

運(yùn)動路線是解答的關(guān)鍵.

連接/C,取NC的中點(diǎn)O,連接30,證明是等邊三角形，得到48/0=60。，利用含30度角的直

角三角形的性質(zhì)求得=殍，則/￡=用，證明A胡尸經(jīng)ACUQ（SAS）得至ijNAOQ=ZABP=90。，則點(diǎn)Q

在射線OE上運(yùn)動，由已知得到/DC0=3/28=45。，過。作于M,QNLCD千N,DN=x,

則M0=x,CN=4-x,利用勾股定理結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)得到CQ=0（4-x）,00=導(dǎo)一號x,

在RtAC。。中，利用勾股定理結(jié)合平方根解方程求解x值即可解答.

【詳解】解：連接/C,取/C的中點(diǎn)。，連接30,則CM=OC,

在矩形/BCD中，4B=CD=4,BC=AD=473,NABC=NBAD=NADC=NBCD=9?！?

：.AC=ylAB2+BC2=J42+（4廚=8,

OA=OC=OB=AB=4

：.^ABO是等邊三角形，

ZBAO=60°,則NOAD=30°,

連接。。并延長交4D于￡,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得/尸/。=60。，AP=AQ,

/.ZBAP=AOAQ=60°-ZPAO,

AB=OA

在ABAP和A。/。中，-ZBAP=ZOAQ,

AP=AQ

：.血尸知O/0（SAS）,

：.ZAOQ=ZABP=90°,

：.AE=20E

：.由OA2+OE2=AE2得42+OE2=（2O￡）2

解得?！?生8,則4片=巡

33

，點(diǎn)0在射線QE上運(yùn)動，

,.?ZBCQ=ZDCQ

：.ZDCQ=1/BCD=45°,

過。作于QNICD^N,則四邊形是矩形,

:.QM=DN,

設(shè),DN=x,則M0=x,CN=4—x,

在Rt^CN0中，ZNQC=90°-ZNCQ=45°=ZNCQ,

：.QN=CN=4-x,

：.CQ=y]CN2+QN2=V2CAA=V2（4-x）,

在RMMQE中，ZMEQ=90°-ZOAE=60°,則/M0E=3O。，

：.QE=2MEf

^QM2+ME2=QE2^x2+ME2=（2ME^,

解得〃￡=走％,則0月=撞工，

33

?ccc口czr4G2V3

??OQ=OE-QE=—-------x,

在RtACOQ中，由℃2+002=C02得42+j迪一9x]=[72（

、33J

整理，得x?-16x+16=0,即（x-8）~=48,

x=8±4V3,又0<x<4,

/.x=8-473,

C0=V2（4-x）=V2（-4+473）=476-472.

BP,

故答案為：45/6-4亞.

3.(22-23八年級下?安徽阜陽?期末)如圖①，在矩形/3CD中，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)尸在邊2C上，連接

DE,DF,EF,已知NE，3=2NCD冗

CFBCFBE'CFB

圖①圖②圖③

(1)求證：DF平分NCFE；

(2)如圖②，若矩形/3C。為正方形，求4DE的度數(shù)；

⑶如圖③，在(2)的基礎(chǔ)上，將點(diǎn)E繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)￡的對應(yīng)點(diǎn)落到點(diǎn)E',已知點(diǎn)E’恰好落在

邊3c的延長線上，連接DE'，EE',若EE'=86，求的面積.

【答案】(1)見解析

(2)45°

(3)32

【分析】此題考查了全等三角形的的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì).

(1)設(shè)/CD尸=a,貝I]NE五8=2NCD尸=2a,得到NCED=90。一1,ADFE=90°-a,即可得到

NDFE=NDFE,結(jié)論得證；

(2)過點(diǎn)。作ZV7_L于77,證明尸(AAS),則CD=DH,NCDF=NFDH,證明

“DE注AHDE(HL),則NHDE=ZADE,則NFDH+NEDH=NCDF+/4DE=；/4DC=45。,即可得到

答案；

(3)證明RMDCE'空RMD/E(HL),plljAEDC=AEDA,得到△￡?)￡是等腰直角三角形，即可得到

DE=DE'=8.

【詳解】(1)證明：設(shè)NCDF=a,則NE尸8=2NCDF=2々，

:四邊形48CD矩形，

ZC=90°,

：.ZCFD=90°-ZCDF=90°-a,

：.ZDFE=180°-ZDFC-ZBFE=180。-(90°-tz)-2a=90。-a

ZDFE=ZDFE,

；.DF平分NCFE；

(2)過點(diǎn)。作Z)//_LE尸于X,

DA

：.ZC=ZDGF=90°,

由(1)可知，ZDFE=ZDFE,

又,:DF=DF

：.AC/)F^AHDF(AAS),

.?.CD=DH,/CDF=ZFDH,

???四邊形是正方形，

.?.CD=DA,ZA=ZCDA=90°

???DA=DH,

*：DE=DE

：.小ADE知HDE(HL),

：.ZHDE=NADE,

???ZFDH+ZEDH=/CDF+/ADE=-/ADC=45°,

2

???ZFDE=/FDH+ZEDH=45°

(3)將點(diǎn)E繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)落到點(diǎn)E',

?*-DE=DE'，

?/DC=DA,ZA=ZDCB=NDCE'=90°

RtAOCENRtALME(HL),

ZEDC=ZEDA,

：.NCDE'+ZCDE=NADE+ZCDE=90°,

ZE'DE=90°

AE'DE是等腰直角三角形，

/.DE=DE'=—EE'=—x8y[2

22

ADEE'的面積=—DE'-DE=—x8x8=32

22

4.(23-24八年級下?江蘇無錫?期末)如圖1,在中，對角線/C,AD相交于點(diǎn)O,且

AD=BD=258。，4D,點(diǎn)E為線段NO上一動點(diǎn)，連接。E,將。E繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到。尸,

連接職.

圖1圖2

(1)求證：BF=AE；

(2)求證：BF1AC■,

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)下落在△03C的外面，8尸交NC于點(diǎn)/，且能構(gòu)成四邊形OEMF時，四邊形。及I"的面

積是否發(fā)生變化？若不變，請末出這個值，若變化，請說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

(3)不變；4

【分析】(1)可證得NADE=NAD尸，進(jìn)而證得△4DE名ABO尸，從而AF=/￡；

(2)由(1)得MDEaBDF,從而NDBF=NDAE,因?yàn)镹8OG=4。。，從而N8GO=NAD8=90。,

從而得出班71/C；

(3)連接DM，作DHLDM，交/C于4,作。。_L"C于。，可證得ixDEH會ADFM,從而S四邊形曲尸=SLDHM

進(jìn)一步得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：???DE繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到。尸，

/./EDF=90。,DE=DF,

?「BD1AD,

ZADB=90。,

ZEDF=ZADB,

/.ZEDF-/BDE=ZADB-/BDE,

/ADE=ZBDF,

???AD=BD,

:.AADE%BDF(SAS),

:.BF=AE；

(2)證明：如圖1,

設(shè)直線昉交4C于G,

由(1)得，2ADE會/\BDF,

/.(DBF=ZDAE,

NBOG=NAOD,

ZBGO=ZADB=90°,

BFLAC；

(3)解：如圖2.四邊形Z>￡MF的面積不變，理由如下，

連接。M，作。交AC于H,作。。_L/C于0,

:./HDM=/EDF=900,DE=DF,

：.ZHDE=ZMDF=90°-/EDM,

由(2)可知，BFLAC,

/EMF=90。,

/EMF+/EDF=18。。,

在四邊形DEMF中，/尸+/DEM=360°_(/EMF+ZEDF)=360°-180°=180°,

?/ZDEH+ADEM=180°,

/./DEH=ZF,

???DE=DF,

:ADEH咨ADFM(ASA),

二?S四邊形1c-SEHM，DH=DM,

：.QH=QMf

:.DQ=^HM,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

.\OD=OB=-BD=4s,

2

NADB=90°,

CM=+OD?=J(2后+(后=5,

由=得：

5DQ=2A/5x75,

..DQ=2,

1,

2

.-.S.DHM=-HM-DQ^DQ=4,

四邊形OEMF的面積為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)、勾股定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形.

5.(22-23七年級下?上海?期末)已知在以8C中，NA4c=90。，N8=/C,點(diǎn)。為直線BC上一動點(diǎn)(點(diǎn)

。不與點(diǎn)3、C重合)，將射線D4繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)45。得到DP,直線。尸與射線NC交于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作

的垂線，交直線3C于點(diǎn)尸；

p

Si圖2

(1)如圖，若點(diǎn)。在線段3c上，且4D=Z)E,求證：^AFC^CDE；

(2)若點(diǎn)。在線段8c的延長線上，且=那么第(1)小問的結(jié)論還成立嗎？請說明理由;

(3)若點(diǎn)。在直線3c上運(yùn)動，當(dāng)△/尸C是等腰三角形時，直接寫出/D4c的度數(shù).

【答案】(1)見解析

⑵AAFCdDEC,見解析

⑶"/C=112.5?；?2.5。

【分析】本題考查了幾何變換綜合題，掌握全等的方法，掌握等腰三角形的性質(zhì)，是解題關(guān)鍵.

(1)由沏_1上，得NDAF=45°.由/O=^ZDAE=ZDEA,NC4F=NCDE.由

ZCAF+ZDAF=ZEDC+ZADE,得G4=CD.故絲△￡)￡(7.

(2)由/。=。石，NADP=45°,得ND4E=NDE4=22.5°.由/P_LOE,得

ZPAE=67.5°.NF4B=225。.由//BC=45°,得/尸=22.5°,ZADC=22.5°,得AF=AD=DE.故

△AFC咨4DEC.

(3)①當(dāng)G4=C尸時，由//C尸=45°,得NC/F=NCF/=67.5。.ZBAF=22.5°,ZE=22.5°,

ZCDE=ZACF-ZE=22.5°.由N/DP="EC=45。，ZDAB=ZCDE=22.5°,故

ZDAC=ZDAB+ABAC=112.5°.②當(dāng)C/=CF時，如圖所示.同①，ZDAC=ZDAF-ZFAC=45°-22.5°=22.5°.

【詳解】⑴證明：：/A4c=90。，AB=AC,

：.ZABC=ZACB45°,

AFYDE,

ZDAF=45°.

AD=DE,

ZDAE=NDEA,

ZDAF+NFAC=NDAE=NDEA=ZACB+NEDC,

ZCAF=ZCDE.

?/ZCAF+ZDAF=ZEDC+ZADE,BPACAD=ZCDA,

/.CA=CD.

在△力■?和△OEC中,

ACAF=/CDE

<CA=CD,

ZACF=/DCE

.."FC知DEC(ASA).

(2)解：結(jié)論成立，

理由：如圖，

VZADP=45°f

/DAE+/DEA=ZADP=45°,

'：AD=DE,

/DAE=/DEA=22.5°.

vAPA.DE,

NPAE=67.5°.

/FAB=180°-ABAC-/PAE=22.5°.

???ZABC=45°,

ZF=/ABC-/FAB=22.5°,

???ZADC=ZACB-ZDAC=22.5°,

/./F=ZADC,

/.AF=AD=DE.

ZACF=ZDCE=45°

在尸。和△QEC中，＜ZAFC=ZDEC

AF=DE

..△4/C絲△Z)EC(AAS).

(3)①當(dāng)C4=C尸時，如圖所示.

?;N4CF=45。,

.\ZCAF=ZCFA=67.5°.

ZBAF=22.5°,ZE=22.5°,

/.NCDE=ZACF-ZE=22.5°.

ZADP=ZABC=45°,

ZADB+ZCDE=ZADB+/DAB,

/DAB=ZCDE=22.5°,

ZDAC=/DAB+ABAC=112.5°.

②當(dāng)C4=W時，如圖所示.

同①，ADAC=ADAF-ZFAC=45°-22.5°=22.5°.

綜上所述，4UC=112.5?；?2.5°.

6.(23-24九年級上?四川成者R?開學(xué)考試)【閱讀理解】已知N為平面內(nèi)不重合的兩點(diǎn).給出以下定義:

將〃繞N順時針旋轉(zhuǎn)。(0。＜戊＜360。)的過程記作變換(N,a).例如：在平面直角坐標(biāo)系x。中，已知點(diǎn)

N(2,0),則。經(jīng)過變換(N,90。)后所得的點(diǎn)5的坐標(biāo)為(2,1).

【遷移應(yīng)用】如圖，在平面直角坐標(biāo)系工。中，直線歹=2x+b分別與％軸，y軸交于點(diǎn)4(-1,0),B,設(shè)4

經(jīng)過變換(a180。)后得到C.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

⑵過C作軸于。，點(diǎn)E是線段C。上一動點(diǎn)，設(shè)￡經(jīng)過變換(590。)后得到點(diǎn)尸，連接班，BF.

(i)若尸的面積為3,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(ii)設(shè)點(diǎn)。是y軸上一動點(diǎn)，當(dāng)以/,B,F,M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】(1)C的坐標(biāo)為(1,4)

(2)i)F(|,1)；ii)〃的坐標(biāo)為(0,1)或(0,-1)或(0,3)

【分析】(1)求出歹=2x+2,8(0,2),根據(jù)A經(jīng)過變換(民180。)后得到C,可知8為/C的中點(diǎn)，即得C

的坐標(biāo)為(1,4)；

(2)i)過￡作軸于K,過尸作軸于H,交直線N2于T,由E經(jīng)過變換(990。)后得到點(diǎn)

F,可證AEKB空A8/7F(AAS),有EK=1=BH,OH=OB-BH=2-\=\,T,尸的縱坐標(biāo)都為1,設(shè)廠億1),則

C+1，根據(jù)△北產(chǎn)的面積為3,得;(t+；)x2=3,F(1,1)；

fm=—1

ii)設(shè)尸(掰,D,M(0,n),分三種情況：當(dāng)尸43為對角線時，F(xiàn)M,48的中點(diǎn)重合，，當(dāng)

+〃=2

fm—1=0[m=-1

FA,MB為對角線時，,c，當(dāng)FB,為對角線時，,.,分別解方程組可得答案.

【詳解】(1)把4—1,0)代入y=2x+b得：0=—2+b,

解得6=2,

y=2x+2,

令x=0得尸2,

???5(0,2),

?.?/經(jīng)過變換(民180。)后得到

:.A,B,C共線，S.BA=BC,

:.B為AC的中點(diǎn)，

?/0x2—(—1)=1,2x2—0=4,

??.C的坐標(biāo)為(1,4)；

(2)i)過E作EK_L＞軸于K,過戶作軸于“，交直線4g于T,如圖:

/.ZEBF=90°,BE=BF,

AKBE=90°-/HBF=ABFH,

???/EKB=90°=ZBHF,

:AEKB知BHF(AAS),

:.EK=BH,

vC(l,4),

：.EK=\=BH,

???5(0,2),

:.OH=OB-BH=2-\=\,

：.T,廠的縱坐標(biāo)都為1,

在y=2x+2中，令)=1得工=-,，

設(shè)尸&1),則尸7=，+；,

???△/昉的面積為3,

-{BH+OH)=3,gp!(?+1)x2=3,

解得"g，

.?飛，】)；

ii)由i)知尸的縱坐標(biāo)為1,設(shè)尸(加/)，M(O,n),

又4-1,0),8(0,2),

當(dāng)萬陽，為對角線時，F(xiàn)M,的中點(diǎn)重合,

[m=-1[m=-1

?-?L)，解得i，

\\+n-2[n=1

當(dāng)E4,MS為對角線時，

fm-1=0fm=1

,「，解得I,

\\-n+2[n=-1

當(dāng)E8,M4為對角線時，

，M(0,3)；

綜上所述,〃的坐標(biāo)為(0,1)或(0,-1)或(0,3).

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征，三角形面積，平行四

邊形等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度.

7.(23-24八年級下?湖北武漢?期末)問題探究如圖1,在正方形/BCD中，對角線/C,8。相交于點(diǎn)

O.在線段/O上任取一點(diǎn)P(端點(diǎn)除外)，連接尸DPB.將線段。尸繞點(diǎn)尸逆時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。落在加

的延長線上的點(diǎn)。處.

(1)求證：PD=PB；

(2)探究4。與。尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

遷移探究如圖2,將正方形48co換成菱形N3CD,且N4BC=60。，其他條件不變.試探究與CP的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖1圖2

【答案】(1)見解析；(2)AQ=42OP,見解析；遷移探究：AQ=CP,見解析

【分析】(1)證明AD/P絲AB/P(SAS),則尸￡)=尸8；

(2)如圖1,過P作尸G1/C交4B于G,貝!]/PGZ=90°-/P/G=45o=/P/G,PA=PG,過P作尸77_L4B

于H,由旋轉(zhuǎn)可得，PQ=PD=PB,由尸/=PG,可得QH=BH,AH=GH,則。N=3G,如圖，過G作

GI1BD于I,則四邊形OPG/是矩形，IG=OP,由4G3=45。=/ffiG,可得/G=/8,貝U

AQ=BG=yJlG2+IB2=揚(yáng)G=V20P；

遷移探究由四邊形ABCD是菱形，ZABC=60°,證明^ABC是等邊三角形,則/CBA=ZACB=/CAB=60°,

AC=AB,如圖2,過P作尸G||8C,則//GP=/23C=60。，證明aP/G是等邊三角形，PA=PG=AG,

如圖2,過戶作尸于H,同理(2)可得。N=BG,由48=/C,AP=AG,可得BG=CP,進(jìn)而可

得4Q=CP.

【詳解】(1)證明：?.?四邊形/BCD是正方形，

AD=AB,ZDAP=NBAP=45°,

又,:AP=AP,

:.ADAP知BAP(SAS),

PD=PB.

(2)解：AQ=42.OP,理由如下;

圖1

/LPGA=90°-NPAG=45°=/PAG,

PA=PG,

過尸作尸〃_L月8于7/,

由旋轉(zhuǎn)可得，PQ=PD=PB,

又；PA=PG,

：.QH=BH,AH=GH,

：.QH-AH=BH-GH,gpQA=BG,

如圖，過G作G/13。于/,則四邊形。尸G/是矩形,

IG=0P,

,：ZABO=45°,

：.ZIGB=45°=ZIBG,

：.IG=IB,

AQ=BG=yllG2+IB2=&G=COP，

：.AQ=5OP；

遷移探究解：AQ=CP,理由如下：

???四邊形/BCD是菱形，

AB=CB,

?.*/ABC=60°,

???力5c是等邊三角形，

AZCBA=ZACB=ZCAB=60°,AC=AB,

如圖2,過尸作尸G||BC,則/4GP=N/3C=60。,

圖2

.二△PNG是等邊三角形，PA=PG=AG,

如圖2,過尸作尸于4,

PQ=PD=PB,PA=PG,

：.QH=BH,AH=GH,

QH-AH=BH-GH,即。/=8G,

,/AB=AC,AP=AG,

：.AB-AG=AC-AP,BPBG=CP,

：.AQ=CP.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，

矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識.熟練掌握正方形的性質(zhì)，

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形

的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)二、三角形的旋轉(zhuǎn)

8.（22-23八年級下?廣東深圳?期中）如圖，將兩個全等的等腰直角三角形擺成如圖所示的樣子，其中

AB=AC=AG=FG,ZBAC=ZAGF=90°,AF,/G分別與3C交于D,E兩點(diǎn)，將繞著點(diǎn)A順時

針旋轉(zhuǎn)90°得到AABH,則下列結(jié)論：①BHLBC；②D4平分NHDE；③若3。=3,CE=4,貝ljN8=2M；

④若AB=BE,則S△加其中正確的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，根

據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小可得A/3"和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角

相等可得=然后求出NE4尸=45。判斷出①正確；根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DH=DE,

ZADH=ZADE,判斷出②正確；利用勾股定理得到48=6血，過E作EN1/C于點(diǎn)N,再利用勾股定理

求出血/=2瓦，故③正確；根據(jù)角的度數(shù)得到=然后利用“角角邊”證明^ABD^AACE

全等，根據(jù)三角形面積公式即可求得，判斷出④錯誤，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】VAB=AC=AG=FG,ZBAC=ZAGF=90°,

ZABC=ZC=ZFAG=45°,BC=&B，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知"BHHACE,

：.ZABH=ZACE=45°,BH=CE,AH=AE,NBAH=NCAE,

NHBD=AABH+AABC=45°+45°=90°,

BHLBC,故①正確；

■:ZBAH=ZCAE,

ZBAH+ABAD=NCAE+ABAD=ABAC-ZFAG=45°,即ZDAH=45。,

ADAH=NDAE,

AD=AD

在&ADH和△/￡>￡中，"ADAH=NDAE,

AH=AE

：."DH知ADE(SAS),

：.DH=DE,NADH=ZADE,

；.AD平分NHDE,故②正確；

在RtARD”中,BD-+BH-=DH2，

,?BH=CE,DH=DE,

BD2+BH2=DH2，

當(dāng)BD=3,CE=4時，32+42=DE2

DE=5,

BC=BD+DE+CE=\2,

BC=6AB=12,

AB=6A/2>

AC=AB=6A/2,

過E作ENL/C于點(diǎn)N,

皮4

B/DE\C

F

：.ZENC=ZANE=90°,

ZC=/NEC=45°,

Z.CN=EN,

：.由勾股定理得：EC1=CN2+EN2,

,/CN=EN=2>/2，

AN=AC-CN=6也-26=46，

在RtZ\4NE1中，由勾股定理得：AE=y/AN2+EN2=J(4A/2+(272=2^/10,

/.AH=AE=2V10>故③正確;

?/BA=BE,ZABC=45°,

8

：.NBAE=ZBEA=l。-//旺=67.5。,

2

?：ZDAE=45°,

：.NADE=180°-ZDAE-ZBEA=67.5°,

ZADE=ABEA,NADB=180°-ZADE,ZAEC=180°-ZBEA,

：.NADB=NAEC,

ZADB=ZAEC

在△48。和中，■/ABD=NACE,

AB=AC

△ABD知ACE(AAS),

,:BD=CE,BD2+CE2=DE2,

DE=y/2BD,

設(shè)A到BC邊距離為〃,

,**Sc=BDxh,S"4DE=3義DExh,

cBDy/2

2AABD

c~DE~^2

3ADE

,C_6C

故④錯誤;

**VABD~2AADE

綜上①②③正確,

故選：C.

9.(2024?浙江?模擬預(yù)測)在AA8C中，ZABC=90°,AB=BC.將A48c繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)a

(0°<a<180°),直線C8與直線交于點(diǎn)尸，點(diǎn)、B,廠間的距離記為跳■，點(diǎn)￡尸間的距離記為跖.給

出下面四個結(jié)論：①環(huán)的值一直變大；②E尸的值先變小再變大；③當(dāng)0。<a<90。時，AF-E尸的值保持

不變；④當(dāng)90。<a<180。，8尸-￡1廠的值保持不變；上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是

D

E,

BC

【答案】①②④

【分析】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，當(dāng)0°<&<180。時，8尸的值由0會逐漸變大，可

判斷①；而當(dāng)《=90。0寸，跖=0可知E尸的值先變小再變大，可判斷②；當(dāng)90。<。<180。時，在尸C上取點(diǎn)

G,使尸G=F￡,連接NG,AF,證明RM48尸烏RM/D尸(HL),有BF=DF,知

BF-EF=DF-EF=DE,可判斷③錯誤，④正確；掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：當(dāng)0°<a<180。時，即的值一直變大，故①正確；

當(dāng)0。<1<90。時，E尸的值逐步變?。划?dāng)a=90。時，EF=Q；當(dāng)90。<a<180。時，E尸的值逐步變大，故②

正確；

當(dāng)0。<1<90。時，連接相，如圖1,

由題意得，ZABF=ZADF=90°,AB=AD,DE=BC,

jAF=AF

在RS4B下和Rt^ADF中，〈,

[AB=AD

RtzUBP竺RM4D尸(HL),

BF=DF,

：.BF+EF=DF+EF=DE,

BF+EF的值保持不變，故③錯誤；

當(dāng)90。<。<180。時，在尸C上取點(diǎn)G,使尸G=EE,連接/G,AF,如圖2,

由題意得，^ABF=ZADF=90°,AB=AD,DE=BC,

\AF=AF

在和RIA/DF中，，，

[AB=AD

：.RtA/3/0RtA2D尸(HL),

：.BF=DF,

：.BF-EF=DF-EF=DE,

.?.3尸-E尸的值保持不變，故④正確；

正確的有①②④，

故答案為：①②④.

10.(22-23八年級下?四川成都?期中)如圖，O8C和是兩個不全等的等腰直角三角形，其中

/ABC=ZADE=90。,AD=ED,4B=BC,連接CE,點(diǎn)M是CE的中點(diǎn)，連接。M,BM.

圖1圖2圖3

(1)若點(diǎn)。在邊/C上，如圖1,試探究MDMB之間的關(guān)系，并說明理由；

⑵若將圖1中的繞點(diǎn)/逆時針旋轉(zhuǎn)&。(0。＜&。＜45。)，如圖2,那么(1),中的結(jié)論是否仍成立？如

果成立，請說明理由；如果不成立，請寫出新結(jié)論并證明；

⑶若將圖1中的"OE繞點(diǎn)/逆時針旋轉(zhuǎn)90。，如圖3,AD=2g,BC=8,求2M的長.

【答案】(1)應(yīng)攸且8M工。加，理由見解析

(2)(1)中的結(jié)論仍成立，理由見解析

(3)BM=275

【分析】(1)根據(jù)斜邊中線等于斜邊的一半即可證明相等，再根據(jù)等邊對等角結(jié)合三角形外角的定義與性

質(zhì)可得ZBMD=ZBME+ZDME=2(ZBCM+ZDCM)=2ZACB=90°,問題得證；

(2)延長。河至點(diǎn)G,使得DM=MG,連接3G、CG、EG、CD、BD,延長ED交/C于點(diǎn)N,先證

明四邊形COEG是平行四邊形，即有4N￡=N/CG,CG=DE=AD,表示出

NBAD=45°-(90°-2AND)=ZAND-45°,再結(jié)合NBCG=ZACG-ZACB=ZACG-45°,

ZANE=ZACG,可得NBCG=NB4D,即可證明,問題隨之得解；

(3)延長OW交NC于點(diǎn)X,證明DE〃/C,再證明AOEW2AHCM.即可得,

DM=HM=^DH.求出/〃=/C-CH=60,再在RtzX/￡4T)中，由勾股定理得

DH=y/AD2+AH2=475＞可求解.

【詳解】(1)BM=DM,理由：

?.?N4BC=90。，點(diǎn)Af是CE的中點(diǎn)，

.,.在RtZ\C3E中，BM《CE=CM,

同理在Rt^CDE中可得：DM=*E=CM,

：.BM=DM,

???BM=CM,

：.ZCBM=/BCM,

???ZBME=/CBM+/BCM=2ZBCM,

同理可得：ZDME=2ZDCM,

??.ZBMD=ZBME+ZDME="BCM+ZDCM)=2/ACB=90°,

BM1DM,

綜上：BM=DM,BM_LDM；

(2)成立，理由如下：

延長。河至點(diǎn)G,使得。M=MG,連接BG、CG、EG、CD、BD,延長石。交ZC于點(diǎn)N,如圖,

???點(diǎn)河是CE分的中點(diǎn)，

???EM=MC,

又?:DM=MG,

：.四邊形CDEG是平行四邊形，

:,CG=DE,CGIDE、

：.ZANE=ZACGfCG=DE=AD,

?:NADE=ZADN=90°,

???ZDAN=900-ZAND,

'：ABAD=ABAC-/DAN,

：./BAD=45°-(90°-ZAND)=ZAND-45°,

???/BCG=NACG-ZACB=ZACG-45°,ZANE=ZACG,

.??/BCG=/BAD,

又?:AB=CB,CG=AD,

:sBCG-BAD,

:?BD=BG,ZABD=ZCBG,

...AABD+ZCBD=ZCBG+ZCBD,

???/ABC=/DBG=90°,

???△DBG是等腰直角三角形，

?:DM=MG,

：.DG±BM,BM=DM=MG=-DG,

2

:.BM=DM,BM±DM；

(3)延長。州交/C于點(diǎn)H,

AB=BC,AD=DE,AAED=ZACB=45°,

由旋轉(zhuǎn)可得，^CAD=90°,即/EZX4=/C4D=90。，

CE//AD,

：./EDM=ZCHM,ADEM=ZDCH,

為CE中點(diǎn)，

EM=CM.

:.xDEMAHCM.

：.CH=DE,DM=HM,

即C〃=Z)E=N。，DM=HM=^DH.

2

VAD=242,5C=8,

CH=2V2，ZC=VIBC=8也，

,AH=AC-CH=642,

.?.在RtZk7Z4Z)中，由勾股定理得DH=YAD。+AH?=4八，

；.DM=-DH=2y[5,

2

：.BM=DM=2y/5.

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題目，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形和全等三角形的判定與性質(zhì)，及

勾股定理的運(yùn)用，要掌握等腰三角形和全等三角形的性質(zhì)及其判定定理并會靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

11.(22-23八年級下?廣東深圳?期中)如圖1,已知RtA48C中，4B=BC,AC=2,把一塊含30。角的三

角板。斯的直角頂點(diǎn)。放在/C的中點(diǎn)上(直角三角板的短直角邊為長直角邊為。尸)，點(diǎn)C在DE

上點(diǎn)8在。尸上.

圖3

(1)求重疊部分△8。的面積;

(2)如圖2,將直角三角板DE尸繞。點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)30度，DE交BC于點(diǎn)、M,DF交AB于點(diǎn)、N,

①請說明=

②在此條件下重疊部分的面積會發(fā)生變化嗎？若發(fā)生變化，若不發(fā)生變化，請說明理由;

(3)如圖3,將直角三角板DE尸繞。點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)a度(0<a<90),DE交BC于點(diǎn)、M,DF交AB

于點(diǎn)N,則=的結(jié)論仍成立嗎？重疊部分的面積會變嗎？(請直接寫出結(jié)論不需說明理由)

【答案】⑴A3CD的面積是十

(2)①說明見解析；②在此條件下重疊部分的面積不發(fā)生變化，理由見解析

(3)。河=。四的結(jié)論仍成立，重疊部分的面積不會變

【分析】本題主要考查了等腰直角三角形和三角形全等.熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的

判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，作出輔助線，是解決本題的關(guān)鍵.

(1)判斷重疊部分△BCD是一個等腰直角三角形，求出其直角邊，即可求解；

(2)①連接AD,先證得3D=CD,/C=NABD,進(jìn)而求出ACDM絲AADN(ASA),即可得到DM=DN；

②利用①中的結(jié)論△CDMQABDN即可得出答案；

(3)證明過程類似(2),根據(jù)(2)中的結(jié)論，可以直接寫出.

【詳解】(1)；RtZX/3C中，ZABC=9Q°,AB=BC,。是/C的中點(diǎn)，AC=2,

：.BD1AC,BD=CD=-AC=1,

2

則%s=gcD.&)=g；

(2)①連接AD,

中，ZABC=90°fAB=BC,

：.ZA=ZC=45°,

???。是4C的中點(diǎn)，AC=2,

：.BDVAC,ZABD=ZCBD=-AABC=45°,BD=CD^-AC=1

22

:./C=/ABD,

???ZEDF=ZCDB=90°f

：.ZBDN+ZBDM=ZCDM+ZBDM,

???ZCDM=4BDN,

.??KDMaBDN(ASA),

:.DM=DN；

②面積不變.理由：

■:叢CDM經(jīng)ABDN,

???vQ^CDM--vQ&BDN，

(3)0M=ON的結(jié)論仍成立，S四邊形8皿N=g，重疊部分的面積不變.理由:

連接3。，

???RtZ\/8C中，ZABC=90°,AB=BC,

：.ZA=ZC=45°,

???。是ZC的中點(diǎn)，AC=2,

：.ZABD=ZCBD=-ZABC=45°,BD=CD=-AC=1,BDLAC,

22

:?/C=/ABD,/BDC=90。,

：./EDF=/CDB=9。。,

：.ZBDN+ZBDM=ZCDM+ZBDM,

???ZCDM=/BDN,

ACDM^BDN(ASA),

,?DM=DN,S^CDM=SABDN)

,,S四邊形BATON=S^BDM+SSBDN=S'BDM+S、CDM=S、BCD=]?

12.（23-24八年級下?山西晉城?階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐：問題情境：

在數(shù)學(xué)活動課上，老師要求同學(xué)們以矩形為背景探究幾何圖形運(yùn)動變化中的數(shù)學(xué)結(jié)論.如圖1,在矩形

/BCD中，點(diǎn)。為對角線8。的中點(diǎn)，點(diǎn)￡在邊上，且BE=BO,線段￡0的延長線交C。于點(diǎn)E

（1）如果AB=4,AD=3,則AE=_.

操作探究：

（2）“善思”小組的同學(xué)將圖1中的△3OE繞點(diǎn)2順時針旋轉(zhuǎn)（設(shè)點(diǎn)。，E的對應(yīng)點(diǎn)分別為。'，￡'）,在分析

旋轉(zhuǎn)到不同位置時的情形后，提出如下問題，請你解答：

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)E'落在3c邊上時，0'￡'所在的直線與跖存在什么樣的位置關(guān)系？并說明理由

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)。落在的延長線上時，連接CE',判斷四邊形OBE'C的形狀，直接寫出結(jié)果，無需說

明理由.

圖2圖3

①O'EUEF,理由見解析②四邊形OBE'C為菱形，理由見解析

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，菱形的判定等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，并

靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵.

（1）勾股定理求出8。的長，得到。的長，進(jìn)而得到5E的長，用43-BE求出/E的長即可；

（2）延長?！辍?￡,交于點(diǎn)G,根據(jù)角的和差關(guān)系，結(jié)合矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及四邊形的內(nèi)角和

為360度，推出/OGO'=360。-//一/3O'E'=90°,即可得出結(jié)論；

②證明ACBO^CBE',得到OB=OC=CE'=BE',即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）二.矩形/8C。，點(diǎn)。為對角線8。的中點(diǎn)，

??.ZA=90°,OB=-BD,

2

AB=4,AD=3f

??BD=J32+42=5，

OB=—,

2

BE=BO二,

2

3

??.AE=AB-BE=~-

2

3

故答案為：—；

(2)①OE上EF,理由如下:

延長。交于點(diǎn)G,

\?OB=BE,

：./BOE=ZBEO,

/FOB+/BOE=180。,

???矩形NBC。，

/ABC=90。,

：.ZOBE+ZOBC=90°f

???旋轉(zhuǎn)，

??.ZOfBEf=/OBE,/BOE=/BOE,

：./O'BE，+ZOBC=90°,/FOB+NBO'E'=180。，

???ZOBOr=90°,

???/OG。'=360。-/FOB-ZOBOr-/BOE=90°

???OELEF；

②四邊形OBE'C為菱形；理由如下：

???旋轉(zhuǎn)，

.?.OB=O'B=BE=BE',ZEBO=/E'OB,

:矩形A8CZ),

：.ZABC=90°,OC=OB,

:點(diǎn)O'落在48的延長線上,

/.ZCBO'=90°,

：./OBE+ZOBC=ZO'BE'+NCBE'=90°,

NOBC=ZCBE',

又：OB=BE',BC=BC,

：.ACBO%CBE',

：.OC=CE',

：.OB=OC=CE'=BE',

???四邊形OBE'C為菱形.

13.(23-24八年級下?遼寧大連?階段練習(xí))圖形的變換是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容，在中考前的探究專題

課上，小亮老師帶領(lǐng)同學(xué)們對以下圖形進(jìn)行了變換探究.如圖在RtZ\/