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文檔簡介
函數(shù)逼近與計算03Chapter3.1引言3.1引言本章繼續(xù)討論用簡單函數(shù)近似代替較復雜函數(shù)的問題.上章提到的插值就是近似代替的方法之一,插值的近似標準是在插值點處誤差為零.但在實際應用中,有時不要求具體某些點誤差為零,而要求考慮整體的誤差限制,這就引出了擬合和逼近的概念.對離散型函數(shù)(即數(shù)表形式的函數(shù))考慮數(shù)據(jù)較多的情況.若將每個點都當作插值節(jié)點,則插值函數(shù)是一個次數(shù)很高的多項式,比較復雜.而且由于龍格振蕩現(xiàn)象,這個高次的插值多項式可能并不接近原函數(shù).同時由于數(shù)表中的點一般是由觀察測量所得,往往帶有隨機誤差,要求近似函數(shù)過所有的點既不現(xiàn)實也不必要.3.1引言3.1引言目標函數(shù)集合簡單函數(shù)集合
3.1引言何為”逼近”?如何逼近?無窮范數(shù):
平方范數(shù):
一致逼近平方逼近3.1引言存在性▲1834年入波恩大學學習法律和財政?!?/p>
1842~1856年,中學教師。▲
1856年柏林科學院,1864年升為教授?!?/p>
1854年解決了橢圓積分的逆轉問題,引起數(shù)學界的重視。▲
1856年解決了橢圓積分的雅可比逆轉問題,建立了橢圓函數(shù)新結構的定理,一致收斂的解析函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的解析性的定理,圓環(huán)上解析函數(shù)的級數(shù)展開定理等。3.1引言存在性
3.1引言存在性
3.1引言存在性
3.2最佳一致逼近多項式3.2最佳一致逼近多項式
即
使得
3.2最佳一致逼近多項式1、Chebyshev給出如下概念
3.2最佳一致逼近多項式2、Chebyshev得到如下結論
3.2最佳一致逼近多項式以最佳一次逼近多項式為例
3.2最佳一致逼近多項式以最佳一次逼近多項式為例
得
3.2最佳一致逼近多項式求解最佳一次一致逼近多項式步驟
3.2最佳一致逼近多項式
由
得
即
解因此
所求一次最佳逼近多項式為3.2最佳一致逼近多項式Matlab程序x=0:0.1:1;y1=sqrt(1+x.*x);y2=0.414*x+0.955;plot(x,y1);holdonplot(x,y2);3.2最佳一致逼近多項式
由
得
解因此
所求一次最佳逼近多項式為
3.3最佳平方逼近3.3最佳平方逼近定義內積
記內積則稱內積的定義
關于內積、范數(shù)的詳盡內容可參見《高等代數(shù)》或《線性代數(shù)》等相關書籍。3.3最佳平方逼近
即一般的最佳平方逼近問題
3.3最佳平方逼近
多元函數(shù)求極值令
則
即3.3最佳平方逼近
得
即
3.3最佳平方逼近如果取
則希爾伯特矩陣3.3最佳平方逼近顧最佳平方逼近函數(shù)計算步驟
(1)確定
3.3最佳平方逼近
解:則
由法方程
解得
3.3最佳平方逼近3.3最佳平方逼近如果令
即
則解得
從而3.3最佳平方逼近3.3最佳平方逼近
解得
所以
解得
所以
3.3最佳平方逼近
正交多項式函數(shù)系
3.3最佳平方逼近
解
3.4正交多項式3.4正交多項式
正交函數(shù)族
若內積
例如,三角函數(shù)族1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…就是在區(qū)間[-π,π]上的正交函數(shù)族。3.4正交多項式正交多項式定義
3.4正交多項式勒讓德多項式
勒讓德多項式有下述幾個重要性質:
性質1.正交性
3.4正交多項式勒讓德多項式性質3.遞推關系
3.5曲線擬合的最小二乘法3.5曲線擬合的最小二乘法引例:考察某種纖維的強度y與其拉伸倍數(shù)x的關系,下表是實際測定的24個纖維樣品的強度與相應的拉伸倍數(shù)的記錄:
3.5曲線擬合的最小二乘法纖維強度隨拉伸倍數(shù)增加而增加并且24個點大致分布在一條直線附近
必須找到一種度量標準來衡量什么曲線最接近所有數(shù)據(jù)點.3.5曲線擬合的最小二乘法常見做法:
太復雜
不可導,求解困難
最小二乘法
3.5曲線擬合的最小二乘法
一般的曲線擬合問題
注:更一般地,考慮加權平方和
3.5曲線擬合的最小二乘法
多元函數(shù)求極值令
則
即
3.5曲線擬合的最小二乘法
得
即
離散點標號基函數(shù)標號3.5曲線擬合的最小二乘法
3.5曲線擬合的最小二乘法
ixiyilnyixi2xjlnyi01.005.101.6291.00001.62911.255.791.7561.56252.19521.506.531.8762.25002.81431.747.452.0083.06253.51442.008.462.1354.00004.270
3.5曲線擬合的最小二乘法
3.5曲線擬合的最小二乘法S*1(x)=1.6238+3.365953xS*2(x)=
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