數(shù)值分析 課件ch8-常微分方程數(shù)值解法

常微分方程數(shù)值解法08Chapter8.1引言8.1引言在工程和科學計算中，所建立的各種常微分方程的初值或邊值問題，除很少幾類的特殊方程能給出解析解，絕大多數(shù)的方程是很難甚至不可能給出解析解的，其主要原因在于積分工具的局限性。

因此，人們轉向用數(shù)值方法去解常微分方程，并獲得相當大的成功，討論和研究常微分方程的數(shù)值解法是有重要意義的。8.1引言常微分方程與解為n階常微分方程。

8.1引言

方程的通解滿足定解條件的解微分關系（方程）解的圖示8.1引言一階常微分方程的初值問題

實際中常常需要求解常微分方程的定解，這類問題最簡單的形式是一階方程的初值問題：定解條件（初始條件）8.1引言

僅有極少數(shù)的方程可以通過“常數(shù)變易法”、“可分離變量法”等特殊方法求得初等函數(shù)形式的解，絕大部分方程至今無法理論求解。如

等等實際問題中歸結出來的微分方程主要靠數(shù)值解法.8.1引言數(shù)值解的思想

兩種：單步法、多步法8.1引言*數(shù)學界關注工程師關注如果找不到解函數(shù)數(shù)學界還關注：解的存在性解的唯一性解的光滑性解的振動性解的周期性解的穩(wěn)定性解的混沌性……8.2初值問題數(shù)值解法的構造8.2初值問題數(shù)值解法的構造Taylor展開可借助Taylor展開（導數(shù)法）、差商法、積分法實現(xiàn)離散化來構造求積公式

Euler格式截斷誤差8.2初值問題數(shù)值解法的構造

18世紀最杰出的數(shù)學家之一，13歲時入讀巴塞爾大學，15歲大學畢業(yè)，16歲獲得碩士學位。

1727年-1741年（20歲-34歲）在彼得堡科學院從事研究工作，在分析學、數(shù)論、力學方面均有出色成就，并應俄國政府要求，解決了不少地圖學、造船業(yè)等實際問題。

24歲晉升物理學教授。

1735年（28歲）右眼失明。

1741年-1766（34歲-59歲）任德國科學院物理數(shù)學所所長，任職25年。在行星運動、剛體運動、熱力學、彈道學、人口學、微分方程、曲面微分幾何等研究領域均有開創(chuàng)性的工作。

1766年應沙皇禮聘重回彼得堡，在1771年（64歲）左眼失明。

Euler是數(shù)學史上最多產(chǎn)的數(shù)學家，平均以每年800頁的速度寫出創(chuàng)造性論文。他去世后，人們用35年整理出他的研究成果74卷。

8.2初值問題數(shù)值解法的構造差商法

用向前差分近似導數(shù)

Euler公式

用向后差分近似導數(shù)

向后Euler公式

8.2初值問題數(shù)值解法的構造積分法對方程兩邊取積分取不同的數(shù)值積分可得不同的求解公式

用左矩形公式Euler公式

用右矩形公式

向后Euler公式用梯形公式

梯形公式8.2初值問題數(shù)值解法的構造

幾何意義

Euler法

折線法8.2初值問題數(shù)值解法的構造

梯形公式—顯、隱式兩種算法的平均

8.2初值問題數(shù)值解法的構造預估校正法(改進Eluer法)

改進Euler法

平均斜率折線法

8.2初值問題數(shù)值解法的構造

例8.2.1:初值問題Bernoulli方程

Euler格式為

8.2初值問題數(shù)值解法的構造依次計算下去，部分計算結果見下表.

xn

歐拉公式數(shù)值解yn準確解y(xn)

誤差0.20.40.60.81.01.1918181.3582131.5089661.6497831.7847701.1832161.3416411.4832401.6124521.7320510.0086020.0165720.0257260.0373310.052719

8.2初值問題數(shù)值解法的構造Euler值8.2初值問題數(shù)值解法的構造

改進的Euler格式為

xn

改進Euler數(shù)值解yn準確解y(xn)

誤差0.20.40.60.81.01.18411.34341.48601.61531.73791.1832161.3416411.4832401.6124521.7320510.00090.00180.00280.00280.0058同歐拉法的計算結果比較，明顯改善了精度.歐拉公式數(shù)值解yn1.1918181.3582131.5089661.6497831.7847708.2初值問題數(shù)值解法的構造8.2初值問題數(shù)值解法的構造例8.2.2：用Euler方法求解初值問題

EulerExactError-1-10-0.9-0.9090.009-0.8199-0.83330.0134

解：8.2初值問題數(shù)值解法的構造截斷誤差與代數(shù)精度

8.2初值問題數(shù)值解法的構造Euler格式的誤差

8.2初值問題數(shù)值解法的構造改進Euler格式的誤差

為便于處理，通常假定

否則見P108

8.2初值問題數(shù)值解法的構造

比較

得8.2初值問題數(shù)值解法的構造

8.2初值問題數(shù)值解法的構造例8.2.3：已知初值問題

8.3Runge-Kutta方法8.3Runge-Kutta方法構造高階單步法的直接方法由Taylor公式

其局部截斷誤差為

8.3Runge-Kutta方法基本思想

8.3Runge-Kutta方法

R-K公式

8.3Runge-Kutta方法常數(shù)的確定確定的原則是使精度盡可能高以二階為例

首先

8.3Runge-Kutta方法

希望

8.3Runge-Kutta方法

改進歐拉公式

中點公式8.3Runge-Kutta方法最常用的R-K公式——標準4階R-K公式

輸入a，b，n，y0h=(b-a)/n，x0=afori=1,i<=n,i++K1=f(x0,y0)K2=f(x0+h/2,y0+h*K1/2)K3=f(x0+h/2,y0+h*K2/2)K4=f(x0+h,y0+h*K3)x0=x0+hy0=y0+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6輸出x0，y08.3Runge-Kutta方法例8.3.1：用標準4階R-K公式求

8.3Runge-Kutta方法

8.4線性多步法8.4線性多步法

一般形式：

8.4線性多步法數(shù)值積分法

8.4線性多步法

其局部截斷誤差4階Adams顯式公式

8.4線性多步法

其局部截斷誤差

注1：隱式公式的顯化:(預測校正)

注2：并非所有線性多步法公式都可用數(shù)值積分法得到，但都可用Taylor展開法得到。8.4線性多步法Taylor展開法

代入多步法公式

8.4線性多步法得

8.4線性多步法

對應相等，即有方程組:

此時有

8.4線性多步法在

8.4線性多步法米爾尼(Milne)公式

即

此時截斷誤差

為4階精度。顯式公式8.4線性多步法

隱式公式截斷誤差

8.4線性多步法Milne顯：

Hamming隱：

顯化得Milne-Hamming公式：

8.5邊值問題的數(shù)值解法8.5邊值問題的數(shù)值解法基本思想：運用數(shù)值微分將導數(shù)用離散點上函數(shù)值表示，從而將邊值問題的微分方程和邊界條件轉化為只含有限個未知數(shù)的差分方程組，并將此差分方程組的解作為該邊值問題的數(shù)值解。二階常微分方程的第一邊