七年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略湘教版-專題08 解題技巧專題：特殊的因式分解法壓軸題四種模型全攻略（原卷版）

專題08解題技巧專題：特殊的因式分解法壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用整體法提公因式因式分解】 1【考點(diǎn)二十字相乘法因式分解】 5【考點(diǎn)三分組分解法因式分解】 9【考點(diǎn)四因式分解的應(yīng)用】 13【典型例題】【考點(diǎn)一利用整體法提公因式因式分解】例題：（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）把多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果是.【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）因式分解：．2．（2024上·河南安陽·八年級?？计谀┮蚴椒纸猓?1)；(2)．3．（2023上·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期中）因式分解：(1)(2)4．（2023上·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期末）【閱讀材料】因式分解：．解：將“”看成整體，令，則原式．再將“”還原，原式．上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法．【問題解決】(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)證明：若為正整數(shù)，則代數(shù)式的值一定是某個整數(shù)的平方．5．（2024上·湖北省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期末）閱讀以下材料材料：因式分解：解：將“”看成整體，令，則原式再將“”還原，得原式上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：(1)因式分解：________；(2)因式分解：；(3)求證：無論n為何值，式子的值一定是一個不小于1的數(shù)．【考點(diǎn)二十字相乘法因式分解】例題：（2024上·廣東珠海·八年級統(tǒng)考期末）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，是常見的一類多項(xiàng)式，對這類多項(xiàng)式常采用十字相乘法和配方法來進(jìn)行因式分解．請閱讀材料，按要求回答問題．材料一：分解因式：解：材料二：分解因式：解：原式(1)按照材料一提供的方法分解因式：；(2)按照材料二提供的方法分解因式：．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·北京東城·八年級統(tǒng)考期末）利用整式的乘法運(yùn)算法則推導(dǎo)得出：．我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．通過觀察可把看作以x為未知數(shù)，a、b、c、d為常數(shù)的二次三項(xiàng)式，此種因式分解是把二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾?xiàng)的系數(shù)，分解過程可形象地表述為“豎乘得首、尾，叉乘湊中項(xiàng)”，如圖1，這種分解的方法稱為十字相乘法．例如，將二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)2與常數(shù)項(xiàng)12分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸?，如圖2，則．根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)用十字相乘法分解因式：；(2)用十字相乘法分解因式：；(3)結(jié)合本題知識，分解因式：．2．（2024上·山西朔州·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)我們在學(xué)習(xí)整式乘法時，常常通過數(shù)形結(jié)合理解掌握運(yùn)算方法．例如圖（1）反映了單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算方法，即：．任務(wù)一：觀察圖（2）完成填空：．將上式逆向變形即可把等式左邊的多項(xiàng)式因式分解為右邊的，像這樣我們可將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式．例如，將式子分解因式．這個式子的二次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，因此可利用上述方法直接可得．上述分解因式的過程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)，如圖（3）這樣我們便可直接得到任務(wù)二：利用上述方法分解因式（1）（2）我們常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多項(xiàng)式用上述方法無法分解，例如，我們細(xì)心觀察就會發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以分解，后兩項(xiàng)也可以分解，分別分解后會產(chǎn)生公因式就可以完整的分解了，具體分解過程如下：這種方法叫分組分解法．任務(wù)三：請利用這種方法因式分解下列多項(xiàng)式：；【考點(diǎn)三分組分解法因式分解】例題：（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）閱讀下列文字與例題：將一個多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法稱作分組分解．例如：以下兩個式子的分解因式的方法就稱為分組分解法．①；②試用上述方法分解因式：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多項(xiàng)式用上述方法無法分解，例如，我們細(xì)心觀察就會發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以分解，后兩項(xiàng)也可以分解，分別分解后會產(chǎn)生公因式就可以完整的分解了，具體分解過程如下：

這種方法叫分組分解法，請利用這種方法因式分解下列多項(xiàng)式：(1)；(2)．2．（2023下·全國·七年級假期作業(yè)）觀察下列因式分解的過程：①（分成兩組）（直接提取公因式）；②（分成兩組）（直接運(yùn)用公式）．請仿照上述因式分解的方法，把下列各式因式分解：(1)；(2)．3．（2024上·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將因式分解．【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式；解法二：原式．【感悟】對項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式無法直接進(jìn)行因式分解時，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類比】（1）請用分組分解法將因式分解；【挑戰(zhàn)】（2）請用分組分解法將因式分解；（3）若，，請用分組分解法先將因式分解，再求值．【考點(diǎn)四因式分解的應(yīng)用】例題：（2023上·河南安陽·八年級?？计谀╅喿x材料：利用公式法，可以將一些形如的多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項(xiàng)式的配方法，運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．例如：．根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)分解因式：；(2)求多項(xiàng)式的最小值；(3)已知，，是的三邊長，且滿足，求的周長．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期末）先閱讀下面的材料，再完成后面的任務(wù)．材料一材料二如果把一個多項(xiàng)式各個項(xiàng)分組并提出公因式后，它們的另一個因式正好相同，那么這個多項(xiàng)式就可以利用分組的方法來分解