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山西省晉中市榆社縣2025屆高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù),則()A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱 D.函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱2.等差數(shù)列中,已知,且,則數(shù)列的前項(xiàng)和中最小的是()A.或 B. C. D.3.設(shè)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),函數(shù),若,則()A. B. C. D.4.設(shè)、,數(shù)列滿足,,,則()A.對(duì)于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立B.對(duì)于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立C.對(duì)于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立D.對(duì)于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立5.如圖,在中,,且,則()A.1 B. C. D.6.某幾何體的三視圖如圖所示,三視圖是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形和邊長(zhǎng)為1的正方形,則該幾何體中最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為().A. B. C.1 D.7.在中,,,,則邊上的高為()A. B.2 C. D.8.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為則()A. B.C. D.9.已知函數(shù),且關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍().A. B. C. D.10.若,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件11.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(,)對(duì)應(yīng)向量(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),設(shè),以射線Ox為始邊,OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為,則,法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理:,,則,由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式:,已知,則()A. B.4 C. D.1612.下列函數(shù)中,在區(qū)間上為減函數(shù)的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.從集合中隨機(jī)取一個(gè)元素,記為,從集合中隨機(jī)取一個(gè)元素,記為,則的概率為_(kāi)______.14.如圖,在△ABC中,E為邊AC上一點(diǎn),且,P為BE上一點(diǎn),且滿足,則的最小值為_(kāi)_____.15.如圖,兩個(gè)同心圓的半徑分別為和,為大圓的一條直徑,過(guò)點(diǎn)作小圓的切線交大圓于另一點(diǎn),切點(diǎn)為,點(diǎn)為劣弧上的任一點(diǎn)(不包括兩點(diǎn)),則的最大值是__________.16.已知半徑為的圓周上有一定點(diǎn),在圓周上等可能地任意取一點(diǎn)與點(diǎn)連接,則所得弦長(zhǎng)介于與之間的概率為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,且.(1)求角A的大?。唬?)若,的平分線與交于點(diǎn)D,與的外接圓交于點(diǎn)E(異于點(diǎn)A),,求的值.18.(12分)已知,.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)的三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)邊分別為、、,若且,求面積的取值范圍.19.(12分)已知直線l的極坐標(biāo)方程為,圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)請(qǐng)分別把直線l和圓C的方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)求直線l被圓截得的弦長(zhǎng).20.(12分)已知函數(shù)()的圖象在處的切線為(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)求的值;(2)若,且對(duì)任意恒成立,求的最大值.21.(12分)已知橢圓的左頂點(diǎn)為,左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與左、右頂點(diǎn)重合),且的周長(zhǎng)為6,點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,直線交于點(diǎn).(1)求橢圓方程;(2)若直線與橢圓交于另一點(diǎn),且,求點(diǎn)的坐標(biāo).22.(10分)如圖,在正四棱錐中,,點(diǎn)、分別在線段、上,.(1)若,求證:⊥;(2)若二面角的大小為,求線段的長(zhǎng).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
依題意可得,即函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱,再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),即可判斷函數(shù)的單調(diào)性;【詳解】解:由,,所以函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱,又,在上不單調(diào).故正確的只有C,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性的判定,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
設(shè)公差為,則由題意可得,解得,可得.令
,可得
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,由此可得數(shù)列前項(xiàng)和中最小的.【詳解】解:等差數(shù)列中,已知,且,設(shè)公差為,
則,解得
,.
令
,可得,故當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
故數(shù)列前項(xiàng)和中最小的是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.3、D【解析】
利用與的關(guān)系,求得的值.【詳解】依題意,所以故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
取,可排除AB;由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列的單調(diào)情況,進(jìn)而得到要使,只需,由此可得到答案.【詳解】取,,數(shù)列恒單調(diào)遞增,且不存在最大值,故排除AB選項(xiàng);由蛛網(wǎng)圖可知,存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn),且,,因?yàn)楫?dāng)時(shí),數(shù)列單調(diào)遞增,則;當(dāng)時(shí),數(shù)列單調(diào)遞減,則;所以要使,只需要,故,化簡(jiǎn)得且.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查遞推數(shù)列的綜合運(yùn)用,考查邏輯推理能力,屬于難題.5、C【解析】
由題可,所以將已知式子中的向量用表示,可得到的關(guān)系,再由三點(diǎn)共線,又得到一個(gè)關(guān)于的關(guān)系,從而可求得答案【詳解】由,則,即,所以,又共線,則.故選:C【點(diǎn)睛】此題考查的是平面向量基本定理的有關(guān)知識(shí),結(jié)合圖形尋找各向量間的關(guān)系,屬于中檔題.6、B【解析】
首先由三視圖還原幾何體,進(jìn)一步求出幾何體的棱長(zhǎng).【詳解】解:根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示,所以,該四棱錐體的最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體,考查運(yùn)算能力和推理能力,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】
結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,求得邊長(zhǎng),由此求得邊上的高.【詳解】過(guò)作,交的延長(zhǎng)線于.由于,所以為鈍角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即邊上的高為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,屬于中檔題.8、B【解析】
根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)模的求法,代入化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,,∵,代入可得,解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的幾何意義,復(fù)數(shù)模的求法及共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
根據(jù)條件可知方程有且只有一個(gè)實(shí)根等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn),作出圖象,數(shù)形結(jié)合即可.【詳解】解:因?yàn)闂l件等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn),作出圖象如圖,由圖可知,,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象與方程零點(diǎn)之間的關(guān)系,數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
本題根據(jù)基本不等式,結(jié)合選項(xiàng),判斷得出充分性成立,利用“特殊值法”,通過(guò)特取的值,推出矛盾,確定必要性不成立.題目有一定難度,注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.【詳解】當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),有,解得,充分性成立;當(dāng)時(shí),滿足,但此時(shí),必要性不成立,綜上所述,“”是“”的充分不必要條件.【點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有,一是基本不等式掌握不熟,導(dǎo)致判斷失誤;二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”,通過(guò)特取的值,從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.11、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式:,直接求解即可.【詳解】,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的新定義題目、同時(shí)考查了復(fù)數(shù)模的求法,解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理,將復(fù)數(shù)化為棣莫弗定理形式,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)中函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);對(duì)于B選項(xiàng),函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);對(duì)于C選項(xiàng),函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù);對(duì)于D選項(xiàng),函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷,熟悉一些常見(jiàn)的基本初等函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先求出隨機(jī)抽取a,b的所有事件數(shù),再求出滿足的事件數(shù),根據(jù)古典概型公式求出結(jié)果.【詳解】解:從集合中隨機(jī)取一個(gè)元素,記為,從集合中隨機(jī)取一個(gè)元素,記為,則的事件數(shù)為9個(gè),即為,,,其中滿足的有,,,共有8個(gè),故的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的計(jì)算,解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確列舉出所有事件數(shù).14、【解析】試題分析:根據(jù)題意有,因?yàn)槿c(diǎn)共線,所以有,從而有,所以的最小值是.考點(diǎn):向量的運(yùn)算,基本不等式.【方法點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用基本不等式求最值的問(wèn)題,屬于中檔題目,在解題的過(guò)程中,關(guān)鍵步驟在于對(duì)題中條件的轉(zhuǎn)化,根據(jù)三點(diǎn)共線,結(jié)合向量的性質(zhì)可知,從而等價(jià)于已知兩個(gè)正數(shù)的整式形式和為定值,求分式形式和的最值的問(wèn)題,兩式乘積,最后應(yīng)用基本不等式求得結(jié)果,最后再加,得出最后的答案.15、【解析】
以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在的直線為軸,的垂直平分線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,從而可得、,,,然后利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得,再根據(jù)輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在的直線為軸,的垂直平分線為軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則、,由,且,所以,所以,即又平分,所以,則,設(shè),則,,所以,所以,,所以的最大值是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、利用向量解決幾何問(wèn)題,同時(shí)考查了輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.16、【解析】在圓上其他位置任取一點(diǎn)B,設(shè)圓半徑為R,其中滿足條件AB弦長(zhǎng)介于與之間的弧長(zhǎng)為?2πR,則AB弦的長(zhǎng)度大于等于半徑長(zhǎng)度的概率P==;故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)由,利用正弦定理轉(zhuǎn)化整理為,再利用余弦定理求解.(2)根據(jù),利用兩角和的余弦得到,利用數(shù)形結(jié)合,設(shè),在中,由正弦定理求得,在中,求得再求解.【詳解】(1)因?yàn)椋?,即,即,所?(2)∵,.所以,從而.所以,.不妨設(shè),O為外接圓圓心則AO=1,,.在中,由正弦定理知,有.即;在中,由,,從而.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的模的幾何意義,還考查了數(shù)形結(jié)合的方法,屬于中檔題.18、(1);(2).【解析】
(1)利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為,然后解不等式,可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由求得,利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的取值范圍,再結(jié)合三角形的面積公式可求得面積的取值范圍.【詳解】(1),解不等式,解得.因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由題意,則,,,,解得.由余弦定理得,又,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以,的面積.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解,同時(shí)也考查了三角形面積取值范圍的計(jì)算,涉及余弦定理和基本不等式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.19、(1).x2+y2=1.(2)16【解析】
(1)直接利用極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程公式化簡(jiǎn)得到答案.(2)圓心到直線的距離為,故弦長(zhǎng)為得到答案.【詳解】(1),即,即,即.,故.(2)圓心到直線的距離為,故弦長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程,圓的弦長(zhǎng),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.20、(1)a=-1,b=1;(2)-1.【解析】(1)對(duì)求導(dǎo)得,根據(jù)函數(shù)的圖象在處的切線為,列出方程組,即可求出的值;(2)由(1)可得,根據(jù)對(duì)任意恒成立,等價(jià)于對(duì)任意恒成立,構(gòu)造,求出的單調(diào)性,由,,,,可得存在唯一的零點(diǎn),使得,利用單調(diào)性可求出,即可求出的最大值.(1),.由題意知.(2)由(1)知:,∴對(duì)任意恒成立對(duì)任意恒成立對(duì)任意恒成立.令,則.由于,所以在上單調(diào)遞增.又,,,,所以存在唯一的,使得,且當(dāng)時(shí),,時(shí),.即在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.所以.又,即,∴.∴.∵,∴.又因?yàn)閷?duì)任意恒成立,又,∴.點(diǎn)睛:利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問(wèn)題,首先要構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構(gòu)造函數(shù),直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.21、(1);(2)或【解析】
(1)根據(jù)的周長(zhǎng)為,結(jié)合離心率,求出,即可求出方程;(2)設(shè),則,求出直線方程,若斜率不存在,求出坐標(biāo),直接驗(yàn)證是否滿足題意,若斜率存在,求出其方程,與直線方程聯(lián)立,求出點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)和三點(diǎn)共線,將點(diǎn)坐標(biāo)用表示,坐標(biāo)代入橢圓方程,即可求解.【詳解】(1)因?yàn)闄E圓的離心率為,的周長(zhǎng)為6,設(shè)橢圓的焦距為,則解得,,,所以橢圓方程為.(2)設(shè),則,且,所以的方程為①.若,則的方程為②,由對(duì)稱性不妨令點(diǎn)在軸上方,則,,聯(lián)立①,②解得即.的方程為,代入橢圓方程得,整理得,或,.,不符合條件.若,則的方程為,即③.聯(lián)立①,③可解得所以.因?yàn)椋O(shè)所以,即.又因?yàn)槲挥谳S異側(cè),所以.因?yàn)槿c(diǎn)共線,即應(yīng)與共線,所以,即,所以,又,所以,解得,所以,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及應(yīng)用、直線與橢圓的位置關(guān)系,考查分類討論思想和計(jì)算求解能力,屬于較難題.22、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】試題分析:由于圖形是正四棱錐,因此設(shè)AC、BD交點(diǎn)為O,則以O(shè)A為x軸正方向,以O(shè)B為y軸正方向,OP為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,可用空間向量法解決問(wèn)題.(1)只要證明=0即可證明垂直;(2)設(shè)=λ,得M(λ,0,1-λ),然后求出平面MBD的法向量,而平面ABD的法向量為,利用法向量夾角與二面角相等或互補(bǔ)可求得.試題解析:(1)連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O,以O(shè)A為x軸正
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