隱圓與蒙日圓問題（學生版）-2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

重難點24隱圓與蒙日圓問題【六大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1隱圓類型一：到定點的距離等于定長】..................................................2

【題型2隱圓類型二：到兩定點距離的平方和為定值】............................................2

【題型3隱圓類型三：到兩定點的夾角為直角】..................................................3

【題型4隱圓類型四：定弦定角、數(shù)量積定值】..................................................3

【題型5阿波羅尼斯圓】.......................................................................4

【題型6蒙日圓］.............................................................................5

?命題規(guī)律

1、隱圓與蒙日圓問題

從近幾年的高考情況來看，在近幾年全國各地的解析幾何試題中可以發(fā)現(xiàn)許多試題涉及隱圓、蒙日圓,

這些問題聚焦了軌跡方程、定值、定點、弦長、面積等解析幾何的核心問題，難度為中高檔，需要靈活求

解.

?方法技巧總結(jié)

【知識點1隱圓與阿波羅尼斯圓】

1.隱圓問題

在題設(shè)中沒有明確給出圓的相關(guān)信息，而是隱含在題目中，要通過分析、轉(zhuǎn)化、發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程)，

從而最終利用圓的知識來求解，我們稱這類問題為“隱圓問題”.

2.隱圓問題的幾大類型

(1)隱圓類型一：到定點的距離等于定長；

(2)隱圓類型二：到兩定點距離的平方和為定值；

(3)隱圓類型三：到兩定點的夾角為直角；

(4)隱圓類型四：對角互補、數(shù)量積定值；

(5)隱圓類型五：阿波羅尼斯圓.

3,阿波羅尼斯圓

“阿波羅尼斯圓''的定義：平面內(nèi)到兩個定點/(-a,0),2(°,0)(。＞0)的距離之比為正數(shù)力(理1)的點的軌跡是

以C(多上1。,0)為圓心，召7為半徑的圓，即為阿波羅尼斯圓?

【知識點2蒙日圓】

1.蒙日圓

在橢圓i+￡=1(。＞6＞0)上，任意兩條相互垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓

的中心，半徑等于橢圓長半軸與短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個圓叫蒙日圓.

設(shè)尸為蒙日圓上任一點，過點P作橢圓的兩條切線，交橢圓于點4B,。為原點，如圖.

【題型1隱圓類型一：到定點的距離等于定長】

【例1】（2024?全國?二模）已知直線=tx+5（teR）與直線4：%+ty—t+4=0（teR）相交于點P,且

點P到點Q（a,3）的距離等于1,則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.[-2V2-3,-2V2-1]

B.[-272-3,272-1]

C.[-2V2-3,-2V2-1]U[2V2+1.2V2+3]

D.[-2V2-3,-2V2-1]U[2V2-3,2V2-1]

【變式1-1]（24-25高三上?江西南昌?開學考試）已知橢圓1的右焦點為凡貝！IE上滿足|PF|=百

43

的P點有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式1-2]（2024?陜西咸陽?模擬預測）已知不是兩個單位向量，且忖+同=\a-b\,若向量西蔭足后―方―

同=2,則|?|的最大值為（）

A.2-V2B.2+V2C.V2D.2近

【變式1-3]（23-24高三下?湖南長沙?階段練習）已知”（句,乃），可。2，乃）是圓。（X+2尸+（y-4>=1

上的兩個不同的點，若|MN|=&,則％-yi|+|久2-丫21的取值范圍為（）

A.[10,14]B.[8,16]C.[5V2,742]D.[4位,8a]

【題型2隱圓類型二：到兩定點距離的平方和為定值】

【例2】（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）平面上一動點P滿足：|PM|2+|PN|2=6且M（—l,0）,N（l,0）,則動

點P的軌跡方程為（）

A.（x+I）2+y2=3B.（%—I）2+y2=3

C./+產(chǎn)=2D.x2+y2—3

【變式2-l】（2024?河南?三模）在平面a內(nèi)，已知線段4B的長為4,點P為平面a內(nèi)一點，且|P*2+|Pfi|2=10；

則NP4B的最大值為（）

【變式2-2]（24-25高二上?江蘇徐州?階段練習）在平面直角坐標系久。y中，已知點4（2,0）,若點M滿足“壽+

MO2=10,則點M的軌跡方程是.

【變式2-3]（23-24高二上?福建廈門?期末）已知圓。:/+y=1和圓。]：（久—2）2+產(chǎn)=1,過動點p分別

作圓。，圓。1的切線24,PB（A,B為切點），且|P*2+仍切2=18,則|P4|的最大值為.

【題型3隱圓類型三：到兩定點的夾角為直角】

【例3】（2024?浙江嘉興?二模）已知圓C:（x—5）2+（y+2）2=?&>（））,力（―6,0）,B（0,8）,若圓C上存在點

P使得P41PB,貝懺的取值范圍為（）

A.（0,5]B.[5,15]C.[10,15]D.[15,+oo）

【變式3-1]（2024?北京平谷?模擬預測）設(shè)點力（1,0）,動直線/：x+ay+2a-l=0,作力M11于點

則點M到坐標原點。距離的最小值為（）

A.1B.V2+1C.V2-1D.V3

【變式3-2]（23-24高三下?江蘇揚州?開學考試）在平面直角坐標系xOy中，己知M,N為圓/+y2=9上兩

點，點4（1,2）,且4M14V,則線段MN的長的取值范圍是（）

A.[4-V2,4+V2]B.[V13-V2,V13+V2]

C.[4-V5,4+V5]D.[V13-V5,V13+V5]

【變式3-3]（2024?廣西南寧?二模）已知直線y=fee+印0）與x軸和y軸分別交于4,B兩點，且|力B|=

2V2,動點C滿足C41CB,則當匕根變化時，點C到點的距離的最大值為（）

A.4V2B.3V2C.2V2D.V2

【題型4隱圓類型四：定弦定角、數(shù)量積定值】

2

【例4】（2024?北京?三模）已知圓+。一1）2=1和兩點力（一。0）,8（。0）&>0）,若圓C上存

在點P,使得可?麗=0,貝亞的取值范圍為（）

A.（0,1]B.[1,3]C.[2,3]D.[3,4]

【變式4-1]（2024?全國?模擬預測）M點是圓C:（x+2）2+產(chǎn)=1上任意一點，AB為圓的:Q—2>+產(chǎn)=3

的弦，且|4B|=2a,N為4B的中點，則|MN|的最小值為（）

A.1B.2C.3D.47

【變式4-2]（2024?江西贛州?一模）在邊長為4的正方體裕⑺-久%的小中，點E是BC的中點，點P是側(cè)

面力內(nèi)的動點（含四條邊），且tan/APD=4tan/EPB,貝摩的軌跡長度為（）

A.三B.空C.-D.巴

9999

【變式4-3］（2024?河南關(guān)B州?二模）在平面直角坐標系宣》中，設(shè)A（2,4）,B（—2,—4）,動點P滿足

PO-PA^-1,則tan/PB。的最大值為（）

A2V2In4V29k2V41cV2

A.-----B.-----C------D.—

2129412

【題型5阿波羅尼斯圓】

【例5】（23-24高二上?遼寧沈陽?期中）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，阿波羅尼斯圓是他的研究成果

之一，指的是：已知動點M與兩定點。，尸的距離之比需=4（4>0,4片1）,那么點M的軌跡就是阿波羅

尼斯圓.已知動點M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為/+產(chǎn)=1,0為x軸上一定點，P（-p0）,且4=2,

則點。的坐標為（）

A.（-1,0）B.（1,0）C.（-2,0）D.（2,0）

【變式5-1］（23-24高二上?江西南昌?階段練習）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德

并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓

錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：己知動點M與兩定點0,P的距離之比匿=4

（4>0,4K1）,那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，已知動點的M與定點Q（m,0）和定點P（-a0）的距

離之比為2,其方程為刀2+>2=1,若點則2|MP|+|MB|的最小值為（）

A.V6B.V7C.V10D.V11

【變式5-2］（23-24高二上?陜西咸陽?階段練習）古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯（約公元前262?公元前190

年）的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學的重要成果.其中有這樣一個結(jié)論:平面內(nèi)與兩點距離的比為常數(shù)4Q牛

1）的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓.已知點。（0,0）,力（3,0）,動點P（x,y）滿足黑=3則點

I產(chǎn)力I乙

P的軌跡與圓C：（x—2）2+y2=1的公切線的條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式5-3］（23-24高二上?湖南益陽?期末）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德并稱

為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐

曲線》一書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知動點M與兩定點。P的距離之比靄=4（4>

0,471）,那么點”的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為/+y2=i,其

中，定點Q為X軸上一點，定點P的坐標為（—,,0）,4=3,若點則31Mpi+|MB|的最小值為（）

A.V10B.VilC.V15D.V17

【題型6蒙日圓】

【例6】（23-24高三上?安徽六安?階段練習）橢圓5+《=l（a〉0,6>0,a46）任意兩條相互垂直的切線

的交點軌跡為圓：x2+y2=a2+h2,這個圓稱為橢圓的蒙日圓.在圓-4尸+（y-3A=N（廠>0）上總

存在點P,使得過點P能作橢圓/+1=1的兩條相互垂直的切線，貝懺的取值范圍是（）

A.[1,7]B.[1,9]C.[3,7]D.[3,9]

【變式6-1]（2024?貴州銅仁?二模）法國數(shù)學家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)

現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日

圓.若橢圓「橐+==l（a>6>0）的蒙日圓為C:x2+y2=#，過C上的動點M作r的兩條切線，分別與C交

于P,Q兩點，直線PQ交r于力，B兩點，則橢圓r的離心率為（）

A.包B.3C.3D.立

2233

【變式6?2】（2024高三?山東?專題練習）“蒙日圓”涉及幾何學中的一個著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓

上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日圓.若橢圓C：三+旺=1

a+1a

（a>0）的離心率為a則橢圓C的蒙日圓方程為（）

A.x2+y2=9B.x2+y2=7C.x2+y2=5D.x2+y2=4

【變式6-3]（23-24高二上?江蘇徐州?期中）畫法幾何學的創(chuàng)始人——法國數(shù)學家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：與

橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日

22

圓.已知橢圓a+方=l（a>b>0）的蒙日圓方程為第2+y2=a2+h2.若圓（％-3）2+（y-A）2=9與橢圓

f+y2=1的蒙日圓有且僅有一個公共點，則久的值為（）

A.±3B.±4C.±5D.2V5

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（24-25高二上?江蘇徐州?階段練習）已知動點M與兩個定點。（0,0）,力（3,0）的距離之比為2,那么直線。M

的斜率的取值范圍是（）

A.[2V6,6V2]B.[-y,y]C.[-y,y]D.

2.（23-24高三上?重慶?期中）已知。為拋物線C:必=4%上的動點，動點M滿足到點/（2,0）的距離

與到點網(wǎng)歹是C的焦點）的距離之比為y,貝！JIQM+3I的最小值是（）

A.3-V2B.4-V2C.4+V2D.4

3.（23-24高二下?貴州六盤水?期末）已知線段力B的長度為4,動點M與點力的距離是它與點B的距離的四

倍，則力B面積的最大值為（）

A.8V2B.8C.4V2D.y

4.（23-24高二上?河北石家莊?期末）在平面直角坐標系內(nèi)，曲線/=y+l與x軸相交于4,2兩點，P

是平面內(nèi)一點，且滿足|P*=&|PB|,則48面積的最大值是（）

A.V3B.2V3C.V2D.2近

5.（23-24高二下?陜西寶雞?期中）已知點/為直線3x+4y—5=0上一動點，點P（>n+2,l—n）,B（2,0）,

且滿足爪2+n2=2n-4m-4,則2|4P|+|BP|的最小值為（）

A.-B.-C.—D.-

5355

6.（2024?廣東?二模）法國數(shù)學家加斯帕爾?蒙日在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條相互垂直切線的交點

軌跡為圓，我們通常稱這個圓為該橢圓的蒙日圓.根據(jù)此背景，設(shè)M為橢圓。乂2+弓=1的一個外切長方形

（M的四條邊所在直線均與橢圓C相切），若M在第一象限內(nèi)的一個頂點縱坐標為2,則M的面積為（）

A.13V3B.26C..D.音

7.（23-24高二下?浙江?期中）在中，BC=2,/.BAC=。為5c中點，在△4BC所在平面內(nèi)有一

動點尸滿足麗?麗=麗?麗，則存?前的最大值為（）

A.—B.—C.V3D.—

333

8.（23-24高二下?山東青島?開學考試）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞

歷山大時期數(shù)學三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點P到兩個定點的距離之比為常數(shù)4（2>0,且,

那么點P的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點C到4（-1,0）,B（l,0）的距離之比為百，則點C到直

線無一2y+8=0的距離的最小值為（）

A.2V5-V3B.V5-V3

C.2V5D.V3

二、多選題

9.（23-24高二上?福建泉州?期中）古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯（約公元前262?前190）發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到

兩個定點的距離之比為定值4（4K1）的點的軌跡是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波

羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系xOy中，已知A（—1,0），5（2,0）,動點P滿足￡5［直線I:mx—y+

"IL

爪+1=0,貝ij（）

A.直線2過定點（—1,1）

B.動點P的軌跡方程為。+2）2+y2=4

C.動點P到直線Z的距離的最大值為迎+1

D.若點。的坐標為（—1,1）,則|PD|+21PAi的最小值為標

10.（2024?山西太原?二模）已知兩定點力（一2,0）,B（l,0）,動點M滿足條件|M川=2|MB|,其軌跡是曲線

C,過8作直線/交曲線C于尸，。兩點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.|PQ|取值范圍是［2舊,4］

B.當點4,B,P,。不共線時，△4PQ面積的最大值為6

C.當直線I斜率k力0時，AB平分NPAQ

D.tan乙P4Q最大值為機

11.（23-24高二上?江蘇蘇州?階段練習）畫法幾何的創(chuàng)始人一法國數(shù)學家蒙日發(fā)現(xiàn)：在橢圓C：S+/=

l（a>b>0）中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于長、

短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個圓就稱為橢圓。的蒙日圓，其圓方程為久2+y2=02+。2.已知橢圓C

的離心率為乎，點/,8均在橢圓C上，直線久+ay-4=0,則下列描述正確的為（）

A.點A與橢圓C的蒙日圓上任意一點的距離最小值為b

B.若/上恰有一點P滿足：過P作橢圓C的兩條切線互相垂直，則橢圓C的方程為9+y=1

C.若I上任意一點。都滿足9-QB>0,則0<b<l

D.若6=1,橢圓。的蒙日圓上存在點M滿足MALMB,則△AOB面積的最大值為日

三、填空題

12.（24-25高二上?江蘇徐州?階段練習）已知點力（—3,0）,8（1,0）,平面內(nèi)的動點P滿足PB-3P4=0,則

點P的軌跡形成的圖形周長是.

13.（23-24高二下?湖南?開學考試）古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯（約公元前262?公元前190年）的著作《圓

錐曲線論》是古代數(shù)學的重要成果，其中有這樣一個結(jié)論：平面內(nèi)與兩點距離的比為常數(shù)乂441)的點的軌

跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓，已知點。(0,0),力(3,0),動點P(x,y)滿足翳=:，則點P的軌跡與

圓C:0-1)2+y2=1的公切線的條數(shù)為.

14.(23-24高二上?山東棗莊?階段練習)蒙日是法國著名的數(shù)學家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切

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線的交點的軌跡是圓，所以這個圓又被叫做“蒙日圓”，已知點/、3為橢圓(0<fo<V3)上任

意兩個