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文檔簡介
福建省泉港區(qū)第二中學2025屆高三下學期聯(lián)合考試數(shù)學試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設是定義在實數(shù)集上的函數(shù),滿足條件是偶函數(shù),且當時,,則,,的大小關(guān)系是()A. B. C. D.2.已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線的離心率e的取值范圍是()A. B.(1,2), C. D.3.要得到函數(shù)的圖像,只需把函數(shù)的圖像()A.向左平移個單位 B.向左平移個單位C.向右平移個單位 D.向右平移個單位4.已知復數(shù)滿足,其中是虛數(shù)單位,則復數(shù)在復平面中對應的點到原點的距離為()A. B. C. D.5.明代數(shù)學家程大位(1533~1606年),有感于當時籌算方法的不便,用其畢生心血寫出《算法統(tǒng)宗》,可謂集成計算的鼻祖.如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問題.執(zhí)行該程序框圖,若輸出的的值為,則輸入的的值為()A. B. C. D.6.若復數(shù)()是純虛數(shù),則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.已知且,函數(shù),若,則()A.2 B. C. D.8.設,是雙曲線的左,右焦點,是坐標原點,過點作的一條漸近線的垂線,垂足為.若,則的離心率為()A. B. C. D.9.在中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,D是AB的中點,若,且,則面積的最大值是()A. B. C. D.10.記個兩兩無交集的區(qū)間的并集為階區(qū)間如為2階區(qū)間,設函數(shù),則不等式的解集為()A.2階區(qū)間 B.3階區(qū)間 C.4階區(qū)間 D.5階區(qū)間11.已知三棱錐且平面,其外接球體積為()A. B. C. D.12.已知實數(shù)滿足約束條件,則的最小值是A. B. C.1 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,是互相垂直的單位向量,若與λ的夾角為60°,則實數(shù)λ的值是__.14.設函數(shù),,其中.若存在唯一的整數(shù)使得,則實數(shù)的取值范圍是_____.15.己知雙曲線的左、右焦點分別為,直線是雙曲線過第一、三象限的漸近線,記直線的傾斜角為,直線,,垂足為,若在雙曲線上,則雙曲線的離心率為_______16.已知實數(shù),滿足,則的最大值為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求函數(shù)的值域.(2)設函數(shù),若,且的最小值為,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù)(1)若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍;(2)求證:19.(12分)設橢圓E:(a,b>0)過M(2,),N(,1)兩點,O為坐標原點,(1)求橢圓E的方程;(2)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且?若存在,寫出該圓的方程,若不存在說明理由.20.(12分)如圖,在平行四邊形中,,,現(xiàn)沿對角線將折起,使點A到達點P,點M,N分別在直線,上,且A,B,M,N四點共面.(1)求證:;(2)若平面平面,二面角平面角大小為,求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)已知集合,,,將的所有子集任意排列,得到一個有序集合組,其中.記集合中元素的個數(shù)為,,,規(guī)定空集中元素的個數(shù)為.當時,求的值;利用數(shù)學歸納法證明:不論為何值,總存在有序集合組,滿足任意,,都有.22.(10分)已知函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù).(1)若,討論的單調(diào)性;(2)若有兩個極值點,求的取值范圍,并證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】∵y=f(x+1)是偶函數(shù),∴f(-x+1)=f(x+1),即函數(shù)f(x)關(guān)于x=1對稱.
∵當x≥1時,為減函數(shù),∵f(log32)=f(2-log32)=f()且==log34,log34<<3,∴b>a>c,
故選C2、A【解析】
若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率.根據(jù)這個結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍.【詳解】已知雙曲線的右焦點為,若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率,,離心率,,故選:.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應用,解題時要注意挖掘隱含條件.3、A【解析】
運用輔助角公式將兩個函數(shù)公式進行變形得以及,按四個選項分別對變形,整理后與對比,從而可選出正確答案.【詳解】解:.對于A:可得.故選:A.【點睛】本題考查了三角函數(shù)圖像平移變換,考查了輔助角公式.本題的易錯點有兩個,一個是混淆了已知函數(shù)和目標函數(shù);二是在平移時,忘記乘了自變量前的系數(shù).4、B【解析】
利用復數(shù)的除法運算化簡z,復數(shù)在復平面中對應的點到原點的距離為利用模長公式即得解.【詳解】由題意知復數(shù)在復平面中對應的點到原點的距離為故選:B【點睛】本題考查了復數(shù)的除法運算,模長公式和幾何意義,考查了學生概念理解,數(shù)學運算,數(shù)形結(jié)合的能力,屬于基礎題.5、C【解析】
根據(jù)程序框圖依次計算得到答案.【詳解】,;,;,;,;,此時不滿足,跳出循環(huán),輸出結(jié)果為,由題意,得.故選:【點睛】本題考查了程序框圖的計算,意在考查學生的理解能力和計算能力.6、B【解析】
化簡復數(shù),由它是純虛數(shù),求得,從而確定對應的點的坐標.【詳解】是純虛數(shù),則,,,對應點為,在第二象限.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算,考查復數(shù)的概念與幾何意義.本題屬于基礎題.7、C【解析】
根據(jù)分段函數(shù)的解析式,知當時,且,由于,則,即可求出.【詳解】由題意知:當時,且由于,則可知:,則,∴,則,則.即.故選:C.【點睛】本題考查分段函數(shù)的應用,由分段函數(shù)解析式求自變量.8、B【解析】
設過點作的垂線,其方程為,聯(lián)立方程,求得,,即,由,列出相應方程,求出離心率.【詳解】解:不妨設過點作的垂線,其方程為,由解得,,即,由,所以有,化簡得,所以離心率.故選:B.【點睛】本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關(guān)系等基礎知識,考查運算求解、推理論證能力,屬于中檔題.9、A【解析】
根據(jù)正弦定理可得,求出,根據(jù)平方關(guān)系求出.由兩端平方,求的最大值,根據(jù)三角形面積公式,求出面積的最大值.【詳解】中,,由正弦定理可得,整理得,由余弦定理,得.D是AB的中點,且,,即,即,,當且僅當時,等號成立.的面積,所以面積的最大值為.故選:.【點睛】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數(shù)量積運算,屬于中檔題.10、D【解析】
可判斷函數(shù)為奇函數(shù),先討論當且時的導數(shù)情況,再畫出函數(shù)大致圖形,將所求區(qū)間端點值分別看作對應常函數(shù),再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【詳解】當且時,.令得.可得和的變化情況如下表:令,則原不等式變?yōu)椋蓤D像知的解集為,再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成,所以解集為5階區(qū)間.故選:D【點睛】本題考查由函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性求解對應自變量范圍,導數(shù)法研究函數(shù)增減性,數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于難題11、A【解析】
由,平面,可將三棱錐還原成長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,進而求解.【詳解】由題,因為,所以,設,則由,可得,解得,可將三棱錐還原成如圖所示的長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,設外接球的半徑為,則,所以,所以外接球的體積.故選:A【點睛】本題考查三棱錐的外接球體積,考查空間想象能力.12、B【解析】
作出該不等式組表示的平面區(qū)域,如下圖中陰影部分所示,設,則,易知當直線經(jīng)過點時,z取得最小值,由,解得,所以,所以,故選B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算與單位向量的定義,列出方程解方程即可求出λ的值.【詳解】解:由題意,設(1,0),(0,1),則(,﹣1),λ(1,λ);又夾角為60°,∴()?(λ)λ=2cos60°,即λ,解得λ.【點睛】本題考查了單位向量和平面向量數(shù)量積的運算問題,是中檔題.14、【解析】
根據(jù)分段函數(shù)的解析式畫出圖像,再根據(jù)存在唯一的整數(shù)使得數(shù)形結(jié)合列出臨界條件滿足的關(guān)系式求解即可.【詳解】解:函數(shù),且畫出的圖象如下:因為,且存在唯一的整數(shù)使得,故與在時無交點,,得;又,過定點又由圖像可知,若存在唯一的整數(shù)使得時,所以,存在唯一的整數(shù)使得所以.根據(jù)圖像可知,當時,恒成立.綜上所述,存在唯一的整數(shù)使得,此時故答案為:【點睛】本題主要考查了數(shù)形結(jié)合分析參數(shù)范圍的問題,需要根據(jù)題意分別分析定點右邊的整數(shù)點中為滿足條件的唯一整數(shù),再數(shù)形結(jié)合列出時的不等式求的范圍.屬于難題.15、【解析】
由,則,所以點,因為,可得,點坐標化簡為,代入雙曲線的方程求解.【詳解】設,則,即,解得,則,所以,即,代入雙曲線的方程可得,所以所以解得.故答案為:【點睛】本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系,及三角恒等變換,還考查了運算求解的能力和數(shù)形結(jié)合的思想,屬于中檔題.16、【解析】
畫出不等式組表示的平面區(qū)域,將目標函數(shù)理解為點與構(gòu)成直線的斜率,數(shù)形結(jié)合即可求得.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下所示:因為可以理解為點與構(gòu)成直線的斜率,數(shù)形結(jié)合可知,當且僅當目標函數(shù)過點時,斜率取得最大值,故的最大值為.故答案為:.【點睛】本題考查目標函數(shù)為斜率型的規(guī)劃問題,屬基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)令,求出的范圍,再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即可求出結(jié)論;(2)對分類討論,分別求出以及的最小值或范圍,與的最小值建立方程關(guān)系,求出的值,進而求出的取值關(guān)系.【詳解】(1)當時,,令,∵∴,而是增函數(shù),∴,∴函數(shù)的值域是.(2)當時,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的最小值為,在上單調(diào)遞增,最小值為,而的最小值為,所以這種情況不可能.當時,則在上單調(diào)遞減且沒有最小值,在上單調(diào)遞增最小值為,所以的最小值為,解得(滿足題意),所以,解得.所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查復合函數(shù)的值域與分段函數(shù)的最值,熟練掌握二次函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.18、(1);(2)見解析.【解析】
(1)將問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立,換元構(gòu)造新函數(shù)即可得解;(2)結(jié)合(1)可得,令,求導后證明其導函數(shù)單調(diào)遞增,結(jié)合,即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值,即可得證.【詳解】(1)對任意恒成立等價于對任意恒成立,令,,則,當時,,單調(diào)遞增;當時,,單調(diào)遞減;有最大值,.(2)證明:由(1)知,當時,即,,,令,則,令,則,在上是增函數(shù),又,當時,;當時,,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),,即,.【點睛】本題考查了利用導數(shù)解決恒成立問題,考查了利用導數(shù)證明不等式,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化化歸思想,屬于中檔題.19、(1)(2)【解析】試題分析:(1)因為橢圓E:(a,b>0)過M(2,),N(,1)兩點,所以解得所以橢圓E的方程為(2)假設存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即,則△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上,存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.考點:本題主要考查橢圓的標準方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,圓與橢圓的位置關(guān)系.點評:中檔題,涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題,往往要利用韋達定理.存在性問題,往往從假設存在出發(fā),運用題中條件探尋得到存在的是否條件具備.(2)小題解答中,集合韋達定理,應用平面向量知識證明了圓的存在性.20、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)根據(jù)余弦定理,可得,利用//,可得//平面,然后利用線面平行的性質(zhì)定理,//,最后可得結(jié)果.(2)根據(jù)二面角平面角大小為,可知N為的中點,然后利用建系,計算以及平面的一個法向量,利用向量的夾角公式,可得結(jié)果.【詳解】(1)不妨設,則,在中,,則,因為,所以,因為//,且A、B、M、N四點共面,所以//平面.又平面平面,所以//.而,.(2)因為平面平面,且,所以平面,,因為,所以平面,,因為,平面與平面夾角為,所以,在中,易知N為的中點,如圖,建立空間直角坐標系,則,,,,,
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