中考數(shù)學復習：平行線四大經(jīng)典模型重難點題型專訓（解析版）

專題02平行線四大經(jīng)典模型重難點題型專訓

囪【題型目錄】

題型一平行線基本模型之M模型

題型二平行線四大模型之鉛筆模型

題型三平行線四大模型之“雞翅”模型

題型四平行線四大模型之“骨折”模型

。［經(jīng)典例題一平行基本模型之M模型］

【結(jié)論1］若AB〃CD,則NB0C=NB+NC

【結(jié)論2］若NB0C=NB+NC,則AB〃CD.

【結(jié)論3】如圖所示，AB〃EF,則NB+ND=NC十NE

朝向左邊的角的和=朝向右邊的角的和

結(jié)論3的模型也稱為鋸齒模型;

鋸齒模型的變換解題思路

拆分成豬蹄模型和內(nèi)錯角拆分成2個豬蹄模型

【例。（2022春?山東濟寧?七年級統(tǒng)考階段練習）如圖所示，如果AB||CD,貝吐a、邛、勺之間的關系

為（）

A.Za+zp+zy=180°B.Na—180。

C.Za+zp—Zy=180°D.Za—zp—Zy=180°[

【答案】C

【分析】過E作EFIIAB,由平行線的質(zhì)可得EFIICD,Za+zAEF=180°,ZFED=Zy,由年=4AEF+NFED即

可得Na、zp>4之間的關系.

【詳解】解:過點E作EFIIAB,

??Za+4AEF=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），

?■?ABHCD,

???EFHCD,

???ZFED=ZEDC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

vzp=z.AEF+zFED,

又??,Zjy=Z_EDC,

.,.Za+zp-Zy=180°,

故選：C.

AB

/^a

E

D

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答此題的關鍵.

產(chǎn)【變式訓練】

【變式1］（2021春?全國?七年級專題練習）如圖，直線a//b,一塊含60。角的直角三角板ABC（/A=60。）

按如圖所示放置.若"=43。，貝此2的度數(shù)為（）

A.101°B.103°C.105°D.107°

【答案】B

【分析】如圖，首先證明NAMO42；然后運用對頂角的性質(zhì)求出NANM=43。，借助三角形外角的性質(zhì)求出

Z.AMO即可解決問題.

【詳解】解:如圖，???直線a||b,

.-.Z.AMO=Z2；

???zANM=zl,41=43°,

.-.ZANM=43°,

.-.ZAMO=ZA+ZANM=60°+43°=103°,

.-.Z2=ZAMO=103°.

故選：B.

【點睛】該題主要考查了平行線的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等幾何知識點及其應用問題;

牢固掌握平行線的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)等幾何知識點是靈活運用、解題的基礎.

【變式2】（2022秋?遼寧鞍山?八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知BE平分/ABC,OE平分

ZADC,ZBAD=80°,ZBCD=n。，則ZBE。的度數(shù)為.（用含"的式子表示）

B

【答案】40。+：”。

【分析】首先過點E作跖〃/B，由平行線的傳遞性得48〃CD〃EF,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，

得出/&力=/依？=4，ABAD=AADC=80°,由角平分線的定義得出443E=g〃。，NEDC=40。,再

由兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出==ZFED=ZEDC=40°,由/BED=N8斯+/EED即可

得出答案.

【詳解】解：如圖，過點E作跖〃則N8〃CD〃斯，

AB//CD,

：2BCD=UBC=rP,ABAD=AADC=80°,

又???BE平分/ABC,DE平分NADC,

ZABE=-AABC=-n°,

22

/EDC=-NADC=L80。=40°,

22

???ABIIEFIICD,

:.ZBEF=ZABE=-n°,

2

/FED=/EDC=40°,

ABED=ZFED+ZBEF=40°+-n°,

2

故答案為：40°+1M°.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解題關鍵是作出正確的輔助線，掌握平行線的性質(zhì)和

角平分線的定義.

【變式3】(2022春?山東聊城?七年級統(tǒng)考階段練習)已知直線48//C。，EF是截線，點M在直線42、CD

之間.

(1)如圖1,連接GM,HM.求證：KM=UGM+乙CHM；

(2)如圖2,在NG8C的角平分線上取兩點〃、Q,使得乙4GM=N〃G0.試判斷W與NGQ8之間的數(shù)量關

系，并說明理由.

【答案】(1)證明見詳解

⑵NGQH=18()o-/M；理由見詳解

【分析】(1)過點M作肱V〃帥，由4B〃CD,可矩MN〃AB〃CD.由此可知：AAGM=ZGMN,

ZCHM=ZHMN,故//GM+ZCHM=ZGMN+ZHMN=ZM；

(2)由(1)可知+.再由=/-AGM=/.HGQ,可知：

AM=AHGQ+AGHM,利用三角形內(nèi)角和是180。，可得NG0H=180。一/河.

(1)

解：如圖：過點〃■作跖V〃/8,

：.MN//AB//CD,

：.4AGM=ZGMN,NCHM=NHMN,

■：AM=NGMN+AHMN,

ZM=ZAGM+ZCHM.

(2)

解：ZGQH=\^°-ZM,理由如下:

如圖：過點胡作MV〃4B,

由（1）知NN=N/GM+/CW,

?:HM平分ZGHC,

：.ACHM=ZGHM,

■：Z-AGM=/-HGQ,

ZM=AHGQ+NGHM,

AHGQ+ZGHM+ZGQH=180°,

.-.ZGQH=^0°-ZM.

圖2

【點睛】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關系，正確的作出輔助線是解決本題的關鍵，同時

這也是比較常見的幾何模型“豬蹄模型”的應用.

?！窘?jīng)典例題二平行基本模型之鉛筆模型】

【結(jié)論1】如圖所示，AB/7CD,貝l]NB+NB0C+NC=360°

【結(jié)論2】如圖所示，NB+NB0C+NC=360°,貝1]AB〃CD.

變異的鉛筆頭：拐點數(shù)n,NA+...+NC=180。X(n+1)

拐點數(shù)：1拐點數(shù)：2拐點數(shù)：n

【例2】（2021?全國?九年級專題練習）如圖，兩直線AB、平行，則/1+/2+/3+/4+/5+/6=

().

A.630°B.720°C.800°D.900°

【答案】D

【詳解】分別過E點，尸點,G點、,H點作A1/2/3/4平行于AB

觀察圖形可知，圖中有5組同旁內(nèi)角,

則/l+/2+/3+/4+/5+/6=180°x5=900°.

故選D

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關鍵

口【變式訓練】

【變式1］（2022?全國?七年級假期作業(yè)）如圖，直線機〃*在RM/BC中，62=90°,點A落在直線加上,

2C與直線"交于點。，若/2=130。，則N1的度數(shù)為（）.

G

\2\

\\>B

m------------------------------

A

A.30°B.40°C.50°D.65°

【答案】B

【分析】由題意過點B作直線///加，利用平行線的判定定理和性質(zhì)定理進行分析即可得出答案.

【詳解】解：如圖，過點B作直線/〃加，

;直線m//n,IIIm,

???///〃，

.-.z2+z3=180°,

vz2=130°,

.?z3=50。，

vzB=90°,

.?.Z4=90°-50°=40°,

IIIm,

.,.zl=z.4=40°.

故選：B.

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)定理和判定定理，熟練掌握兩直線平行，平面內(nèi)其外一條直線平行于

其中一條直線則平行于另一條直線是解答此題的關鍵.

【變式2］（2020春?山西臨汾?七年級統(tǒng)考期末）如圖，一環(huán)湖公路的段為東西方向，經(jīng)過四次拐彎后,

又變成了東西方向的FE段，則/5+/C+/D+NE的度數(shù)是,

AB

__________/D

FE

【答案】540°

【分析】分別過點C,D作AB的平行線CG,DH,進而利用同旁內(nèi)角互補可得NB+NBCD+NCDE+NE

的大小.

【詳解】解：如圖，根據(jù)題意可知：ABHEF,

分別過點C,D作AB的平行線CG,DH,

所以ABIICGIIDHIIEF,

則NB+NBCG=180°,ZGCD+ZHDC=180°,ZHDE+ZDEF=180°,

.-.ZB+ZBCG+ZGCD+ZHDC+zHDE+zDEF=180°x3=540°,

???ZB+zBCD+zCDE+NE=540。.

故答案為：540。.

E

【點睛】考查了平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是作輔助線，利用平行線的性質(zhì)計算角的大小.

【變式3](2022春?江蘇揚州?七年級校考階段練習)已知直線ABIICD尸為平面內(nèi)一點，連接尸/、

PD.

(1)如圖1,己知乙4=50。，40=150。，求ZJPD的度數(shù)；

(2)如圖2,判斷乙P/2、4CDP、乙4電＞之間的數(shù)量關系為.

(3)如圖3,在(2)的條件下，AP1PD,DN平分4DC,若乙PAN+；4PAB=/LAPD,求乙4A?的度數(shù).

P

B

【答案】(1)乙4PD=80°；(2)^PAB+^CDP-^APD=180°；(3)AAND=45°.

【分析】(1)首先過點P作尸。ll/瓦則易得/RIPQIICD,然后由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補以及內(nèi)錯角相

等，即可求解；

(2)作PQII4B,易得4511尸QIICD,根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可證得"/8+NCZ)PZAPD=180。；

(3)先證明乙ODN=；￡PDC,利用(2)的結(jié)論即可求解.

【詳解】解：(1),?,41=50°,zZ)=150°,

過點尸作尸0198,

.■./L4=^4PQ=50°,

■：AB\iCD,

■.PQWCD,

.?.乙D+乙0蛇=180°,貝此。尸0=180°-150°=30°,

：./-APD=Z-APQ+/-DPQ=500+30°=^°；

(2)APAB+乙CDP-UPD=180°,

如圖，作尸。1148,

：/PAB=4PQ,

-AB\\CDf

-PQWCD,

???NCD尸+ZD尸0=180。，即乙002=]80。"。尸，

-Z-APD=/-APQ-￡.DPQ,

；?UPD=4AB-(180。-乙CDP)=^PAB+乙CDP-180°；

：?CPAB+乙CDP-UPD=180°；

⑶設尸。交4N于。，如圖，

N

??，APLPD,

“PO=90。，

由題知d/M?工乙。48=乙4尸。，^Z.PAN+-^PAB=90°,

22

又1/.POA+/LPAN=180?！鲆?P890。,

1

工人POA=一乙PAB,

2

,:(POA=(NOD,

工乙NOD=>CPAB,

2

???ZW平分ZPDC,

1

:,(ODN=-5DC,

2

：./LAND=\800?NNODYODN=180。-；(4AB+乙PDC),

由(2)得乙PAB+乙CDP-UPD=180°,

???乙PAB+乙PDC=180°+4PD,

山80。-1(乙PAB+乙PDC)

=180o-1(180°+Z^PD)

=180°-1(180°+90°)

=45°,

即乙4NZ)=45。.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義.注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想

的應用.

A【經(jīng)典例題三平行基本模型之“雞翅”模型】

【例3】（2022秋?全國?八年級專題練習）①如圖1,AB//CD,則44+NE+NC=360。；②如圖2,

AB//CD,則NP=N/-NC；③如圖3,AB//CD,則/￡=44+/1；④如圖4,直線48〃CD//

￡尸，點。在直線￡尸上，則N0-N夕+Ny=180。.以上結(jié)論正確的個數(shù)是（）

【答案】B

【分析】①過點￡作直線￡尸〃/瓦由平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可得出結(jié)論；

②如圖2,先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出N1=4C+NP,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可作出判斷;

③如圖3,過點E作直線EFII4B,由平行線的性質(zhì)可得出ZJ+乙4EC-41=180。，即得乙4EC=

180°+zl-〃

④如圖4,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出4=乙8。-，句+"0尸=180。，再利用角的關系解答即可.

【詳解】解：

①如圖1,過點E作直線跖||45,

-ABWCD.

.'.AB\\CD\\EFf

.??乙4+41=180。，Z2+ZC=18O°,

.,?乙A+乙B+乙AEC=360°,

故①錯誤；

②如圖2,vzl是△CEP的外角，

.,.zl=zC+zP,

-AB\\CDf

即乙尸=乙4-zC,

故②正確；

③如圖3,過點￡作直線跖||/8,

■■■ABWCD,

■■.ABWCDWEF,

.4+43=180°,Z1=Z2,

山+UEC-41=180°,

即A4EC=180°+Nl-AA,

故③錯誤；

④如圖4,???/3||跖，

，乙a=cBOF,

-CD\\EFf

.*.Zy+ZCOF=180°,

???乙BOF=￡COF+乙B，

：，COF=4-zp,

.,.Z.y+Z.a-Z.p=180°,

故④正確；

綜上結(jié)論正確的個數(shù)為2,

故選：B.

【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線

是解答此題的關鍵.

產(chǎn)【變式訓練】

【變式1］（2021秋?八年級課時練習）（1）已知：如圖（°）,直線求證：

ZABC+ZCDE=ZBCD；

（2）如圖（b）,如果點C在與助之外，其他條件不變，那么會有什么結(jié)果？你還能就本題作出什么

新的猜想？

【答案】（1）見解析；（2）當點C在與之外時，/ABC-/CDE=/BCD,見解析

【分析】（1）由題意首先過點C作CFII/5,由直線可得NBIICWIZJE,然后由兩直線平行，內(nèi)錯角

相等，即可i正得

（2）根據(jù)題意首先由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得UBCNBFD,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可證得

ZABC-Z.CDE=/-BCD.

【詳解】解：（1）證明：過點C作CWI/B,

■：AB^ED,

：.AB^ED^CF,

:.上BCF=，4BC,乙DCF=￡EDC,

:.UBC+乙CDE=4BCD；

(2)結(jié)論：UBC-乙CDE=LBCD,

證明：如圖：

■■■ABWED,

：./-ABC=Z.BFD,

在△￡（尸C中，Z.BFD=/-BCD+Z.CDE,

：./-ABC=/.BCD+Z.CDE,

:.UBC-乙CDE=ABCD.

若點C在直線AB與DE之間，猜想NABC+ZBCD+ZCDE=360°,

■■■ABWEDWCF,

；.NABC+NBCF=180°,ZCDE+ZDCF=180°,

???ZABC+ZBCD+ZCDE=NABC+ZBCF+ZDCF+ZCDE=360".

【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關鍵，注

意掌握輔助線的作法.

【變式2](2021春?廣東東莞?七年級東莞市光明中學?？计谥?(1)如圖(1)4B||CD,猜想NAPD與乙8、

乙0的關系，說出理由.

(2)觀察圖(2),已知/2IICD,猜想圖中的乙BPD與NB、乙0的關系，并說明理由.

(3)觀察圖(3)和(4),已知/8IICD,猜想圖中的N8PD與A8、乙D的關系，不需要說明理由.

(1)(2)(3)(4)

【答案】(1)乙8+NAP￡>+ND=360。，理由見解析；(2)ABPD=AB+^D,理由見解析；(3)乙8尸￡>=乙D-乙8或

乙BPD=4B-乙D,理由見解析

【分析】(1)過點尸作EFII/B,根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可求解；

(2)首先過點尸作PEII/3,由4BIIC。，可得尸EII/3IICD,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可得41=有,

N2=m則可求得N8PDZ8+ND.

(3)由/陰ICD,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得以PD與NB、乙0的關

系.

【詳解】解：(1)如圖(1)過點P作斯11/8,

；ZB+乙BPE=180°,

■■■ABWCD,EFWAB,

■■.EFWCD,

.“尸。+乙0=180°,

:.乙B+乙BPE+乙EPD+3=360°,

.-.A.B+^BPD+/：D=360°.

(2)N3PD=M+ND.

理由：如圖2,過點尸作PEII/8,

Q)

■■■ABWCD,

：.PE\\AB\\CD,

?,.zl=z5,Z-2=Z-D,

(BPD=(1+z2=z5+zD.

(3)如圖(3),乙BPD=乙D-乙B.

理由：???45IICZ),

?,.zl=zZ),

???乙\=LB+乙BPD,

^Z-D=Z-B+Z-BPD,

即乙BPD=乙D-4B；

如圖(4),乙BPD=LB-乙D.

理由：???/BIICD,

.??Zl=z5,

???cT=^D+乙BPD,

：/B=AD+Z^BPD,

即乙BPD=乙B-￡D.

【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì).此題難度不大，解題的關鍵是注意掌握平行線的

性質(zhì)，注意輔助線的作法.

【變式3](2022?全國?七年級假期作業(yè))已知，AE//BD,ZA=ZD.

(1)如圖1,求證：AB//CD；

(2)如圖2,作/A4E的平分線交CD于點尸，點G為48上一點，連接尸G,若/CFG的平分線交線段NG

于點b,連接NC,ZACE=ZBAC+ZBGM,過點H作，F(xiàn)H交尸G的延長線于點M,且

3NE-5NAFH=18°,求/E4F+/GMZ的度數(shù).

【答案】⑴見解析；（2）72°

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出44+4=180。，再根據(jù)等量代換可得48+/。=180。，最后根據(jù)平行線

的判定即可得證；

（2）過點E作EP//CD,延長DC至。，過點M作兒W///5,根據(jù)平行線的性質(zhì)及等量代換可得出

4ECQ=4BGM=2DFG,再根據(jù)平角的含義得出NEW=NC/G,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定

義可推出=NCFH,NCFA=NFAB；設2FAB=a/CFH=0,根據(jù)角的和差可得出

ZAEC=2NAFH,結(jié)合已知條件3//EC-5//切=180°可求得ZAFH=18°,最后根據(jù)垂線的含義及平行

線的性質(zhì)，即可得出答案.

【詳解】（1）證明：???/￡//8D

+4=180°

N4=ZD

.-.ZB+ZD=180°

AB//CD；

（2）過點E作瓦7/CD,延長DC至。，過點〃■作MN〃/8

AB!/CD

:.NQCA=NC4B,ZBGM=ZDFG,ZCFH=ZBHF,ZCFA=FAG

???/ACE=NBAC+ZBGM

ZECQ+ZQCA=ZBAC+ABGM

ZECQ=ZBGM=ZDFG

ZECQ+ECD=180°,ZDFG+CFG=180°

ZECF=/CFG

'：ABI/CD

ABHEP

/PEA=/EAB,/PEC=ZECF

?.?ZAEC=/PEC-ZPEA

ZAEC=ZECF-/EAB

/.ZECF=ZAEC+/EAB

?；AF平分NBAE

ZEAF=/FAB=-NEAB

2

???FH平分/CFG

ZCFH=/HFG=-ZCFG

2

QCD//AB

4BHF=/CFH,ZCFA=/FAB

設/FAB=a/CFH=。

ZAFH=ZCFH-ZCFA=ZCFH-/FAB

:.AAFH=/3-a,ZBHF=ZCFH=P

ZECF+2ZAFH=ZAEC+/EAB+2ZAFH=ZAEC+2/7

/.ZECF+2ZAFH=/￡+2ZBHF

ZAEC=2ZAFH

\'3ZAEC-5ZAFH=1SO°

:.ZAFH=IS°

???FH_LHM

ZFHM=90°

ZGHM=9O0-J3

?//CFM+/NMF=180。

/HMB=/HMN=90?！?

ZEAF=/FAB

/EAF=/CFA=/CFH—/AFH=0-18。

ZEAF+ZGMH=/7-18°+90°-/7=72°

/./EAF+/GMH=72。.

【點睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)，角平分線的定義，能靈活根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定進行推理是

解此題的關鍵.

_。【經(jīng)典例題四平行基本模型之“骨折”模型】

【例4】（2021?全國?九年級專題練習）如圖所示，ABWCD,”=37。，Z.C=20°,貝此功8的度數(shù)為

【答案】57°

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和180。以及平行線的性質(zhì)：1、如果兩直線平行，那么它們的同位角相等；2、如

果兩直線平行，那么它們的同旁內(nèi)角互補；3、如果兩直線平行，那么它們的內(nèi)錯角相等，據(jù)此計算即

可.

【詳解】解：設/￡、CD交于點、F,

?:jE=37。,20°,

.?.ZCF￡=180°-370-200=123°,

?&FD=123。,

-ABWCD,

.-.Z.AFD+Z.EAB=1SO°,

."/8=180。?123。=57。,

故答案為：57°.

【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，熟知平行的性質(zhì)是解題的關鍵.

W【變式訓練】

【變式1］（2022春?湖北黃岡?七年級?？计谥校┤鐖D，已知AB//DE,UBC=80°,NCDE=140。，則

乙BCD=.

【答案】40°

【分析】延長交8c于根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等證明乙8加。=乙48。，再求解/C龍0）,再利用三

角形的外角的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：延長助交BC于M,

AB//DE,

.-.ZBMD=ZABC=8O°,

ZCMD=180。-ZBMD=100°；

又"CDE=NCMD+NC,

ZBCD=ZCDE-ZCMD=140°-100°=40°.

故答案是：40°

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì).三角形的外角的性質(zhì)，鄰補角的定義，掌握以上知識是解題的關鍵.

【變式2］（2022春?江蘇鹽城?七年級景山中學?？茧A段練習）如圖，若ABUCD,則N1+N3/2的度數(shù)為

E、

1

【答案】180°

【分析】延長EA交CD于點F,則有乙2+4EFC=N3,然后根據(jù)/5//CQ可得乙1=NEFD,最后根據(jù)領補角及

等量代換可求解.

【詳解】解：延長EA交CD于點F,如圖所示：

???AB//CD,

zl=z.EFD,

:z2+zEFC=z3,

ZEFC=Z3-Z2,

???NEFC+NEFD=T80。,

N1+N3-N2=180。；

故答案為180°.

【點睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)是

解題的關鍵.

【變式3］（2021春?全國?七年級專題練習）（1）如圖，AB//CD,CF平分乙DCE,若上。CF=30°,4E=2Q°,

求乙43E的度數(shù);

E

(2)如圖，AB!/CD,乙EBF=2^ABF,CF平分乙DCE,若"'的2倍與NE的補角的和為190。，求乙48E的度

數(shù).

(3)如圖，尸為(2)中射線8E上一點，G是CD上任一點，尸。平分NAPG,GN//PQ,GM平分乙DGP,

若乙8=30。，求ZMGN的度數(shù).

【答案】(1)UBE=4Q°；(2)A48E=30°；(3)乙MGN=[5。.

【分析】(1)過￡作￡加〃N8,根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)和角平分線的定義解答即可；

(2)過E作瓦I/〃過/作/W〃/8,根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義以及解一元一次方程

解答即可；

(3)過P作電〃N2,根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相

鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定義解答即可.

【詳解】解：(1)過E作

圖1

-AB//CD,

-.CD//EM//AB.

?"BE=LBEM,3CE—CEM,

???C產(chǎn)平分

；/DCE=2乙DCF,

?.ZDCF=3。。,

???功?！?60。，

.?ZCW=6O。，

又"CEB=20。,

工人BEM=^CEM-乙CEB=40°,

?45￡=40。；

(2)過E作過戶作

圖2

?"EBF=24BF,

???設乙EBF=2x,貝lj4BE=3x,

■:CF平分3CE,

???設乙DCF=4ECF=y,則乙DCE=2y,

-AB//CD,

?.EM//AB//CD,

：.5CE=*2EM=2y,(BEM=4BE=3x,

：.乙CEB=cCEM-Z-BEM=2y-3x,

同理NCF5=y-x,

?：2人CFB+(180°-￡.CEB}=190。,

.*.2(y-x)+180°-(2y-3x)=190。，

AX—10°,

山BE=3x=30o；

(3)過夕作電〃45,

DGC

Q

圖3

,:GM平分(DGP,

:?沒3GM=々PGM=y,則乙DG尸=2)，

,：PQ平分尸G,

:?設乙BPQ=^GPQ=x,則N8PG=2X,

-PQ//GN,

：.^PGN=^GPQ=x,

-AB//CD,

.'.PL//AB//CDf

：/GPL=3GP=2y,

乙BPL=UBP=30。,

???△BPL=(GPL-"PG,

??-30o=2y-lx,

?,-y-x=15°,

?:(MGN=(PGM-乙PGN=y-x,

:山GN=\5。.

【點睛】此題考查平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，解題關鍵在于作輔助線

和掌握判定定理.

1.如圖，已知4列。￡,41=30。，Z2=35°,則必CE的度數(shù)為()

AB

A.70°B.65°C.35°D.50°

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和乙1=30。，乙2=35。，可以得到乙8CE的度數(shù)，本題得以解決.

【詳解】解：作“1143,

-ABWE,

?-CFWDE,

??.Z1=Z-BCF,ZFC￡=Z2,

vzl=300,Z2=35°,

.-.z5CF=30o,ZFC￡=35°,

：/BCE=65。,

故選：B.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答.

2.如圖，已知AB//CD,則/a,N/3,々之間的等量關系為（）

A.Na+N4-々=180°B.N#+Ny-Na=180°

C.Na+N〃+Ny=360。D.Na+NQ+Ny=180°

【答案】C

【分析】過點E作EFIIAB,則EFIICD,然后通過平行線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：過點E作EFIIAB,則EFIICD,如圖，

vABIIEFIICD,

.,.Z.y+Z.FED=180°,

,.,Z.ABE+Z.FEB=180°,Z.ABE=z.a,Z.FED+zFEB=Zp,

Z.y+Z.FED+2.ABE+Z.FEB=360°,

Za+zp+Z.y=360°,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答此題的關鍵.

3.如圖所示，若ABIIEF,用含口、尸、7的式子表示x,應為（）

C.180°-?-/+/7D.180°+a+/7-/

【答案】C

【分析】過C作CDIIAB,過M作MNIIEF,推出AB||CD||MN||EF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

?+zBCD=180°,ZDCM=ZCMN,NNMF=7,求出NBCD=18(F-a,NDCM=NCMN=〃-7,即可得出答

案.

【詳解】過C作CDIIAB,過M作MNIIEF,

■??ABHEF,

??.ABHCDIIMNIIEF,

.?.?+zBCD=180°,ZDCM=ZCMN,Z.NMF=7,

.-.zBCD=180°-?,ZDCM=ZCMN=^-7,

x=ZBCD+ZDCM=180°-a-y+/7,

故選：C.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的應用，主要考查了學生的推理能力.

4.如圖，直線Zl=30°,則N2+N3=()

A.150°B.180°C.210°D.240°

【答案】C

【分析】根據(jù)題意作直線/平行于直線//和b再根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：作直線/平行于直線h和b

Zl=Z4=30°,Z3+Z5=180°.

Z2=Z4+Z5,

Z2+Z3=Z4+Z5+Z3=30°+180°=210°.

故選C.

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行同旁內(nèi)角互補，兩直線平行內(nèi)錯角相等是解題關

鍵.

5.如圖所示,h\\l2,21=105°,Z2=14O°,則23的度數(shù)為()

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】C

【分析】首先過點4作/列。,由。陸，即可得/用冏上,然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補,即可求得

N4與45的度數(shù)，又由平角的定義，即可求得N3的度數(shù).

【詳解】解：

過點4作/3|比,

,"'Z/ll/j,

???/抑/川5

.?.Z1+z4=180°,z2+z5=l80°,

???zl=105°,z2=140°,

.?.z4=75o,z5=40°,

??24+45+43=180。，

.?23=65°；

故選：C.

【點睛】本題考查的知識點是平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練的掌握平行線的性質(zhì).

6.如圖，ABIICD,ZBED=61°,NABE的平分線與NC,DE的平分線交于點F,貝此DFB=()

CD

AB

A.149°B.149.5°C.150°D.150.5°

【答案】B

【分析】過點E作EGIIAB,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得“NABE+Z_BEG=180。，/GED+ZEDC=180。"，根據(jù)角的

計算以及角平分線的定義可得2FBE+NEDF=iABE+NCDE）”，再依據(jù)四邊形內(nèi)角和為360。結(jié)合角的計

算即可得出結(jié)論.

【詳解】如圖，過點E作EGIIAB,

???ABHCD,

.-.ABHCDHGE,

???NABE+NBEG=180°,ZGED+ZEDC=18O°,

.-.ZABE+ZCDE+ZBED=36O°；

又?.ZBED=61。，

.-.ZABE+ZCDE=299°.

??■ZABE和NCDE的平分線相交于F,

???zFBE+zEDF=y（zABE+zCDE）=149.5°,

???四邊形的BFDE的內(nèi)角和為360°,

.-.zBFD=360o-149.5°-61o=149.5°.

故選B.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及四邊形內(nèi)角和為360。，解決該題型題目時，根

據(jù)平行線的性質(zhì)得出相等（或互補）的角是關鍵.

7.如圖，乙BCD=90。,ABWDE,則a與夕一定滿足的等式是（）

A.a+/=180°B.a+￡=90°C.￡=3aD.a-￡=90°

【答案】D

【分析】過C作CFIMB,根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行得到/BILDEIICF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

Zl=ZJ3,2]=180。-/2,作差即可.

【詳解】詳：過C作CFII/3,

"ABWE,

.■■ABWE^CF,

：.Z1=Z/?,Za=180°-Z2,

.-.Za-Z^=180o-Z2-Zl=180°-NBCD=90°,

故選：D.

【點睛】考查平行公理已經(jīng)平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是注意輔助線的作法，作出輔助線.

8.如圖，兩直線/8、C。平行，貝|/1+/2+/3+/4+/5+/6=().

A.630°B.720°C.800°D.900°

【答案】D

【詳解】分別過E點，尸點,G點、,H點作IA,L2,L3,IA平行于AB

觀察圖形可知，圖中有5組同旁內(nèi)角，

貝|]/1+/2+/3+/4+/5+/6=180°x5=900°.

故選D

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，添加輔助線是解題的關鍵

9.如圖，玲玲在美術課上用絲線繡成了一個“2"，ABWDE,AA=30°,乙4CE=110。，則NE的度數(shù)為()

D

AB

A.30°B.150°C.120°D.100°

【答案】D

【詳解】過。作CQI/5,

-ABWE,

???4B||O￡1|CQ,

???乙4=30。，

???々=乙0。=30。，乙七+4七。。=180。，

vzJC￡=110°,

.-.Z^C2=110°-30o=80°,

.-.Z^=180°-80°=100°,

故選D.

10.如圖，已知直線a||b,41=40。，42=60。.則43等于（）

【答案】A

【詳解】解：過點C作CDIIa,

va||b,

/.CDIIallb,

.-.zACD=zl=40°,zBCD=z2=60°,

??.z3=zACD+zBCD=l00°.

故選A.

【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì).

11.如圖，ABWEF,設NC=90。，那么x,y,z的關系式為

【答案】y=90°-x+z.

【分析】作CG%8,DH//EF,由4B//EF,可得N2〃CG/Zffl%E產(chǎn)，根據(jù)平行線性質(zhì)可得4=41,乙CDHF,

乙HDE=5由NC=90°,可得N1+N2=90°,由ZJ=ZZ+N2,可證"=々+90°-〃即可.

【詳解】解：作CG〃48,DH//EF,

■■■AB//EF,

■■.AB//CG//HD//EF,

???Zx=Z1,zCDH=Z-2,Z-HDE=Z-z

?"CD=90。

??21+42=90。,

Zy=ZCDH+Z.HDE=Z-z+Z-2,

vz2=900-zl=900-zx,

???々=42+90°".

即y=90°-x+z.

AB

G

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)，利用輔助線畫出準確圖形是解題關鍵.

12.如圖，直線a與乙的一邊射線CM相交，41=130。，向下平移直線a得到直線6,與03的另一

邊射線08相交，貝此2+/3=

【答案】230°

【分析】過點。作OC//a,利用平移的性質(zhì)得到。例，可得判斷OC〃人根據(jù)平行線的性質(zhì)得

Z1+ZAOC^180°,NCO8+/3=180。，可得到4+N2+N3=360。，從而得出N2+N3的度數(shù).

【詳解】解：過點。作067/a,

???直線a向下平移得到直線b,

allb,

/.OCIlb,

Z1+ZAOC=180°f/COB+/3=180。，

.?.Nl+N2+N3=360。，

Z2+Z3=360°-Zl=230°.

故答案為：230。.

A

a

b

【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，過拐點作已知直線的平行線是解題的關鍵.

13.如圖，在中，NC=24,AB=25,BC=1.在48上取一點E,/C上取一點尸，連接￡尸，若

/EFC=125°,過點3作80//E尸，且點。在的右側(cè)，則/CBD的度數(shù)為.

【答案】35°

【分析】在“3C中，由三邊的長度可得出/€:2+8。2=/左，進而可得出“Be為直角三角形且

NACB=90°,由于平行線之間有拐點，所以過點C作CM//E尸交于點貝ijCM//BD,利用平行的性

質(zhì)可得出NMC尸的度數(shù)，結(jié)合=尸可求出Z8CM的度數(shù)，再利用“兩直線平行，內(nèi)錯

角相等”即可求出NCBD的度數(shù).

【詳解】解：在“3C中，AC=24,AB=25,BC=1,

242+72=625=252,即AC2+BC2=AB2,

A48c為直角三角形且ZACB=90°.

過點C作CM//E/交48于點則CM//BD,如下圖所示，

???CMHEF,ZEFC=125°,

ZMCF=180°-NEFC=55。,

ZBCM=ZACB-ZMCF=35°.

又?:CM//BD.

ZCBD=ZBCM=35°.

故答案為：35。.

A

BD

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理以及平行線的性質(zhì)，利用勾股定理的逆定理，找出/ZC8=90。并知

道過拐點作已知直線的平行線是解題的關鍵.

14.一大門的欄桿如圖所示，A4垂直地面/E于點CD平行于地面/E,則乙42C+乙BCD=.

【答案】270°

【分析】過8作8尸II/E,則CDIIAFII/E.根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】過3作BFII4E,

,.31AE,

則CDWBFWAE,

CD

AE

.?288+41=180°,

又1ABIAE,

???AB1BF,

“5尸=90。，

???■5c+458=90。+180。=270。.

故答案為：270.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.正確作出輔助線是解題的關鍵.

15.如圖，在五邊形NBCDE中滿足/5//CD,則圖形中的x的值是

U

【答案】85

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)先求NB的度數(shù)，再根據(jù)五邊形的內(nèi)角和公式求x的值即可.

【詳解】解：TABIICD,ZC=6O°,

.?ZB=180°-NC=120°.

(5-2)X180°=XO+150O+125O+60O+120°.

???x=85.

故答案為：85.

【點睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握平行線的性質(zhì)和多邊形內(nèi)角和定理是解題的關鍵.

16.如圖，AB//CD,N/=15",NC=25/iJ/W=

【答案】40°

【分析】首先過點加作由/3〃C￡>,即可得MN//48//CD,然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相

等，即可求得的度數(shù).

【詳解】解:過點M作〃/3,

???AB//CD,

MN11AB11CD,

:.Z1=ZA=15°,Z2=ZC=25°,

ZAMC=Z1+Z2=150+25°=40°.

故答案為：40°.

遨

【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì).此題比較簡單，解題的關鍵是注意兩直線平行，內(nèi)錯角相等定理的應

用與輔助線的作法.

17.如圖，AB//CD,EF平分/BED,NDEF+ND=66°,NB-ND=28°,PJlJABED=

CD

【答案】80°

【分析】過E點作瓦⑷N3,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得以即=乙8+〃，利用角平分線的定義可求得

Z5+3ZZ)=132°,結(jié)合N8-ZD=28。即可求解.

【詳解】解：過￡點作EMI4B,

■■Z.B=Z-BEM,

?：AB^CD,

■■.EMWCD,

：-LMED=/LD,

：?Z.BED=Z-B+Z-D,

?:EF平分4BED,

:/DEF4乙BED,

vZ-DEF+Z.D=66°,

：.g有ED+3=66。,

；.乙BED+23=132°,

即N8+3〃)=132°,

vz5-zZ>=28°,

?"=54。，ZZ)=26°,

?ZBED=81.

故答案為：80°.

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，作出輔助線證出乙8￡。=以+乙0是解題的關鍵.

18.已知直線allb,將一塊含30。角的直角三角板ABC按如圖所示方式放置(NBAC=30。)，并且頂點A,

C分別落在直線a,b上，若Nl=22。，貝吐2的度數(shù)是.

【答案】38°

【分析】過點B作BD||a,可得NABD=N1=22。，a||b,可得BD||b,進而可求42的度數(shù).

【詳解】如圖，過點B作BD||a,

.-.ZABD=Z1=22°,

,?,a||b,

.-.BDIIb,

.?.Z2=ZDBC=ZABC-ZABD=60°-220=38°.

故答案為：38。.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解決本題的關鍵是掌握平行線的性質(zhì).

19.如圖1,已知/5IICZ),45=30。，ZD=12O°；

圖1圖2

(1)若NE=60。，則/尸=；

(2)請?zhí)剿鱊E與乙F之間滿足的數(shù)量關系？說明理由；

⑶如圖2,已知EP平分乙BEF,FG平分乙EFD,反向延長尸G交EP于點P,求N尸的度數(shù).

【答案】(1)90。

⑵"=4+30。，理由見解析

(3)15°

【分析】(1)如圖1，分別過點E,尸作瓦W7/4B,FN//AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N8=4EN=30。,

NMEF=NEFN,/D+NDFN=180°,代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；

(2)如圖1,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/2=/8EM=30。，2MEF=NEFN,由/8//CD,AB//FN,得到

CD//FN,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ZD+ZDFN=180°,于是得到結(jié)論；

(3)如圖2,過點尸作尸H//EP,設NBEF=2x。,則/即D=(2x+30)。，根據(jù)角平分線的定義得到

4PEF=-NBEF=%。，ZEFG=|NEFD=(x+15)。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到2PEF=NEFH=X。，

22

ZP=ZHFG,于是得到結(jié)論.

(1)

解：如圖1,分別過點E,F作EMIIAB,FN//AB,

EM//AB//FN,

NB=NBEM=30°,ZMEF=ZEFN,

又?：ABIICD,AB//FN,

:.CD//FN,

:.ND+NDFN=18O°,

又?.?/0=120。，

ZDFN=60°,

NBEF=NMEF+30°,ZEFD=ZEFN+60°,

NEFD=NMEF+60°

ZEFD=ZBEF+30°=90°；

故答案為：90°；

(2)

解：如圖1,分別過點E,F作EM//AB,FN//AB,

:.EM//AB//FN,

.?.NB=NBEM=30。,ZMEF=AEFN,

又??,ABIICD,AB//FN,

:.CD//FN,

/.ND+NDFNH8。。,

又???ND=120。，

/DFN=60°,

..NBEF=NMEF+30。,ZEFD=ZEFN+60°,

/.ZEFD=ZMEF+60°,

??.ZEFD=ZBEF+30°；

(3)

解：如圖2,過點尸作尸〃//石尸，

由(2)知，NEFD=/BEF+30。,

設/BEF=2x。,則NEFD=(2x+30)。，

???EP平分/BEF,GF①分NEFD,

:"PEF=1Z.BEF=x°,ZEFG=；ZEFD=(x+15)0,

'：FH//EP,

/.ZPEF=ZEFH=x°,/P=/HFG,

???ZHFG=ZEFG-/EFH=15°,

圖1圖2

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關鍵.

20.如圖1,ABIICD,E是AB,CD之間的一點.

BBB

(1)判定N84B,NCD￡與乙之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；

(2)如圖2,若乙BAE,NCDE的角平分線交于點尸，直接寫出乙4FD與一之間的數(shù)量關系；

(3)將圖2中的射線。C沿翻折交/尸于點G得圖3,若々G。的余角等于2/￡的補角，求乙8/E的大

小.

【答案】⑴NBAE+NCDE=ZAED；

⑵NAFD=；NAED；

⑶NB/E=60。

【分析】(1)作EWI/8,如圖1,則MIICD,利用平行線的性質(zhì)得N1=N￡/E,乙2=KDE,從而得到

KBAE+乙CDE=UED

(2)如圖2,由(1)的結(jié)論得乙4尸。=：乙84E,乙CDF=3乙CDE,則乙4陽=：(乙BAE+乙CDE),加上(1)

的結(jié)論得到乙4陽=。UED；