中考數(shù)學復習：圓重難點題型專訓（十大題型）（原卷版）

專題09圓重難點題型專訓（十大題型）

旨【題型目錄】

題型一圓的基本概念辨析

題型二求圓中弦的條數(shù)

題型三求過圓內(nèi)一點的最長弦

題型四圓的周長和面積問題

題型五點與圓的位置關(guān)系

題型六三角形的外接圓

題型七確定圓的條件

題型八圓中角度的計算

題型九圓中線段長度的計算

題型十求一點到圓上點距離的最值

【知識梳理】

41經(jīng)典例題一圓的基本概念辨析】

【例1】（2023秋?河北保定?九年級統(tǒng)考期末）下列說法：（1）長度相等的弧是等??；（2）相等的圓周角所

對的弧相等；（3）劣弧一定比優(yōu)弧短；（4）直徑是圓中最長的弦.其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

*【變式訓練】

1.0023春?安徽?九年級專題練習）圓。的直徑AB=26cm,點C是圓。上一點（不與點/、8重合），作8,N8

于點若CZ）=12cm,則的長是（）

A.8cmB.18cmC.8cm或18cmD.16cm

2.（2023春?山東濟南?九年級?？奸_學考試）如圖，正方形中，45=4,E點沿線段/。由/向。

運動（到。停止運動），/點沿線段由。向8運動（到8停止運動），兩點同時出發(fā)，速度相同，連接

EF,作尸于P點，則在整個運動過程中尸點的運動軌跡長為

3.（2023春?廣東河源?九年級?？茧A段練習）如圖所示，為。。的直徑，是。。的弦，AB,。。的

延長線交于點E，已知AB=2Z）E,AAEC=20°.求//OC的度數(shù).

_，3【經(jīng)典例題二求圓中弦的條數(shù)】

【例2】（2023?浙江?九年級假期作業(yè)）如圖，點A,O,。，點C,D,E以及點B,O,C分別在

一條直線上，則圓中弦的條數(shù)為（）

A.2條B.3條C.4條D.5條

W【變式訓練】

1.（2023秋?江蘇?九年級專題練習）點A、0、D與點B、O、C分別在同一直線上，圖中弦的條數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2023秋?九年級課時練習）如圖，圓中有一條直徑，—條弦，圓中以A為一個端點的優(yōu)弧有—條，劣

弧有一條.

3.（2023?浙江?九年級假期作業(yè)）如圖，“BC是。。內(nèi)接三角形，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求

畫圖.

圖1圖2

（1）在圖1中，畫山一條與3c相等的弦；

（2）在圖2中，畫出一個與全等的三角形.

1經(jīng)典例題三求過圓內(nèi)一點的最長弦】

【例3】（2023秋?全國?九年級專題練習）如圖，點48的坐標分別是/（4,0）,B（0,4）,點C為坐標

平面內(nèi)一動點，8c=2,點M為線段NC的中點，連接OM,則0M的最大值為（）

A.也+1B.V2+—C.2A/2+1D.2>/2——

*【變式訓練】

1.（2023秋?浙江?九年級專題練習）A、3是半徑為5c加的。。上兩個不同的點，則弦N3的取值范圍是

（）

A.AB>0B.0<AB<5C.0<AB<10D.0<^S<10

2.（2023秋?全國?九年級專題練習）下列說法中正確的有_（填序號）.

（1）直徑是圓中最大的弦；（2）長度相等的兩條弧一定是等弧；（3）半徑相等的兩個圓是等圓；（4）面積

相等的兩個圓是等圓；（5）同一條弦所對的兩條弧一定是等弧.

3.（2023秋?全國?九年級專題練習）如圖所示，48為。。的一條弦，點C為。。上一動點，且

ZBC4=30。，點E,尸分別是/C,的中點，直線E尸與。。交于G,，兩點，若。。的半徑為7,求

GE+切的最大值.

【經(jīng)典例題四圓的周長和面積問題】

【例4】（2023春?山東泰安?九年級校考期中）如圖兩個半徑都是4cm的圓外切于點C,一只螞蟻由點/開

始依《、B、C、D、E、F、C、G、/的順序沿著圓周上的8段長度相等的路徑繞行，螞蟻在這8段路徑上

不斷爬行，直到行走2006ncm后才停下來，則螞蟻停的那一個點為（）

A.。點B.K點C.尸點D.G點

*【變式訓練】

1.（2023春?四川?九年級專題練習）如圖，在A/B。中，乙408=90。，/9。=30。，BO=6,。。的面積

為12萬，點、M,N分別在。。、線段43上運動，則兒W長度的最小值等于（）

A.2

C.V3D.2A/3

4

2.（2023秋?甘肅天水?八年級?？计谀┤鐖D，已知在RZABC中，乙4c5=90。，分別以NC,BC,4B為

直徑作半圓，面積分別記為邑，S2,S3,若邑=9兀，則用+邑等于.

3.2023秋?上海徐匯?六年級上海市徐匯中學?？计谀┠惩瑢W用所學過的圓與扇形的知識設計了一個問號,

如圖中陰影部分所示，已知圖中的大圓半徑為4,兩個小圓的半徑均為2,請計算圖中陰影部分的周長和面

劣【經(jīng)典例題五點與圓的位置關(guān)系】

【例5】（2023秋?廣東惠州?九年級?？茧A段練習）如圖，在RtA48c中，/C=90。，NC=4,3c=7,點

。在邊2C上，CD=3,。/的半徑長為3,。。與。/相交，且點8在。。外，那么。。的半徑長「可能是

)

C.T=5D.r=7

【變式訓練】

1.（2023?山東泰安?統(tǒng)考三模）如圖‘拋物線＞="-4與x軸負半軸交于點/,P是以點CQ3）為圓心，2

為半徑的圓上的動點，0是線段尸/的中點，連接則線段。。的最小值是（）

A.一B.2C.2V5-2D.273-2

2

2.（2023?河南南陽?統(tǒng)考一模）如圖，點E是正方形/BCD邊2C上一動點（點E不與點3、C重合），連接

DE,過點/作〃，小交于尸，垂足為尸，連接尸C,已知正方形的邊長為2,則尸C的最小值

3.（2023秋?江蘇?九年級專題練習）在矩形23C。中，AB=6,ND=8.

AI------------------------\D

B'-----------1c

（1）若以A為圓心，8長為半徑作。/,則3、C、。與圓的位置關(guān)系是什么？

（2）若作。/,使3、C、D三點至少有一個點在ON內(nèi)，至少有一點在外，則。/的半徑「的取值范圍

是_?

1經(jīng)典例題六三角形的外接圓】

[例6]（2023秋?江蘇?九年級專題練習）如圖所示，的三個頂點的坐標分別為“（-1,3）、8（-2,-2）、

C（4,-2）,則O8C外接圓半徑的長為（

c.VioD.V13

W【變式訓練】

1.（2023春?全國?九年級專題練習）如圖，。。是等邊三角形/8C的外接圓，若。。的半徑為2,則

的面積為（）

A.叱B.V3C.2A/3D.36

2

2.（2023?廣東東莞?模擬預測）如圖，點。是等邊“BC內(nèi)部一動點，AB=6,連接4D,&）,CD,若

ZABD=ZBCD,則AD的長度最小值是.

3.（2023秋?全國?九年級專題練習）［探索發(fā)現(xiàn)］有張形狀為直角三角形的紙片，小俊同學想用些大小不同

的圓形紙片去覆蓋這張三角形紙片，經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，如圖1,以斜邊AB為直徑作圓，剛好是可以把

口△ABC覆蓋的面積最小的圓，稱之為最小覆蓋圓.

［理解應用］

我們也可以用一些大小不同的圓覆蓋銳角三角形和鈍角三角形，請你通過操作探究解決下列問題

（1）如圖2.在A48c中，ZA=1O5°，試用直尺和圓規(guī)作出這個三角形的最小覆蓋圓（不寫作法，保留作圖痕

跡）.

（2）如圖3,在AA5C中，zA=80°,zB=40°,AB=2也,請求出aABC的最小覆蓋圓的半徑

［拓展延伸］

（3）如圖4,在AA8C中，已知AB=15,AC=12,BC=9,半徑為1的。。在AA8C的內(nèi)部任意運動，則。。

覆蓋不到的面積是

圖2

一、【經(jīng)典例題七確定圓的條件】

【例7】（2023秋?九年級課前預習）下列說法中，真命題的個數(shù)是（）

①任何三角形有且只有一個外接圓；②任何圓有且只有一個內(nèi)接三角形；③三角形的外心不一定在三角形

內(nèi)；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤經(jīng)過三點確定一個圓；

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】①根據(jù)圓的確定，進行判斷即可；②根據(jù)三角形的定義進行判斷即可；③直角三角形的外心在斜

邊上，銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部，鈍角三角形的外心在三角形的外部，進行判斷；④根據(jù)三角形的

外心是三條邊的中垂線的交點，進行判斷即可；⑤不在同一條直線上的三個點確定一個圓.

【詳解】解：①任何三角形有且只有一個外接圓，是真命題；

②任何圓有無數(shù)個內(nèi)接三角形，原說法錯誤，是假命題；

③三角形的外心不一定在三角形內(nèi)，是真命題；

④三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，原說法錯誤，是假命題；

⑤不在同一條直線上的三個點確定一個圓，原說法錯誤，是假命題；

綜上，真命題的個數(shù)為2個；

故選B.

【點睛】本題考查三角形的外接圓和圓的確定.熟練掌握不在同一條直線上的三個點確定一個圓，三角形

的外心是三角形三邊的中垂線的交點，是解題的關(guān)鍵.

■【變式訓練】

1.（2023春?九年級課時練習）如圖，PA、尸3為OO的切線，切點分別為A、B,尸。交48于點C,PO

的延長線交OO于點D.下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.八郎/為等腰三角形B.43與尸。相互垂直平分

C.點A、B都在以尸O為直徑的圓上D.PC為△37”的邊N8上的中線

2.（2023秋?全國?九年級專題練習）如圖，在矩形/BCD中，E為月3的中點，P為8c邊上的任意一點,

把△尸3E沿PE折疊，得到△班E,連接CF.若48=10,SC=12,當取最小值時，AP的值等

于.

3.（2023秋?全國?九年級專題練習）已知等邊。8C的邊長為8,點尸是48邊上的一個動點（與點/、B

不重合）.

（1）如圖1.當P8=34P時，△APC的面積為；

（2）直線/是經(jīng)過點尸的一條直線，把段3C沿直線/折疊，點8的對應點是點2'.

①如圖2,當尸8=5時，若直線////C,求的長度；

②如圖3,當PB=6時，在直線/變化過程中.請直接寫出面積的最大值.

一31經(jīng)典例題八圓中角度的計算】

【例8】1（2023?甘肅白銀??？既＃┤鐖D，4B、C是圓。上的三點，且四邊形48co是平行四邊形,

。尸，OC交圓O于點凡則乙4。尸等于（）

D.60°

?【變式訓練】

1.（2023?四川廣元?統(tǒng)考一模）如圖，48為。。的直徑，CD是。。的弦，AB、的延長線交于點￡,已

知4B=2DE,ZAEC=20°,則//OC的度數(shù)為（）

C.60°D.80°

2.(2023秋?全國?九年級專題練習)如圖，在矩形48CD中，AB=6,BC=4,M,N分別是2C,CD±.

的動點，連接NM,BN交于點￡,且.NBND=NAMC.

(1)ZAEB=.

(2)連接CE,則CE的最小值為,

3.(2023秋?全國?九年級專題練習)如圖，在。。中，OALOB,C為。O上一點，連接OC,BC.

(1)^ZAOC-ZABC=30°,求N80C的度數(shù)；

⑵若AAOB的面積與B0C的面積之比為5:3,求空的值.

J【經(jīng)典例題九圓中線段長度的計算】

【例9】(2023?全國?九年級專題練習)如圖的方格紙中，每個方格的邊長為1,4、。兩點皆在格線的交點

上，今在此方格紙格線的交點上另外找兩點2、C,使得。BC的外心為。，求的長度為何（）

I--------1—I--------1—I--------1—I--------1

1：?。骸璡0-

A.4B.5C.y/10D.275

W【變式訓練】

1.（2023秋?江蘇?九年級專題練習）如圖，4B是。。的直徑，弦CDJL/3于點E.若OE=CE=2,則BE

的長為（）

A.V2B.2/-2C.1D.2

2.（2023春?貴州銅仁?九年級?？茧A段練習）如圖，在矩形A8CD中，/8=8,AD=6,M是4D邊上的

一點，將AB肪1沿5M對折至ABMN,連接ON,當DN的長最小時，則/〃的長是.

3.（2023秋?全國?九年級專題練習）如圖，^PAC=3Q°,在射線NC上順次截取=3cm,DB=10cm,

以DB為直徑作。。交射線/尸于E、尸兩點.求:

（1）圓心。到4P的距離.

⑵求力少的長.

一、【經(jīng)典例題十求一點到圓上點距離的最值】

【例10】（2023秋?江蘇?九年級專題練習）在同一平面內(nèi)，已知。。的半徑為2,圓心。到直線/的距離為

3,點尸為圓上的一個動點，則點P到直線/的最大距離是（）

A.2B.5C.6D.8

W【變式訓練】

1.（2023春?浙江?八年級專題練習）如圖，在平行四邊形Z5CQ中，ZB=60°,/8=4,AD=6,E是AB

邊的中點，廠是線段上的動點，將^￡8方沿E廠所在直線折疊得到連接87）,則9。的最小值

A.2V10-2B.6C.4D.2713-2

2.（2023?全國?九年級專題練習）如圖，在矩形4BC。中，AB=2,AD=5,動點尸在矩形的邊上沿

CfOf/運動.當點尸不與點/、8重合時，將沿/尸對折，得到A/9尸，連接C3',則在點尸

的運動過程中，線段的最小值為.

3.（2023?河北衡水?統(tǒng)考二模）如圖，A/8C和A/CD均為邊長為4的等邊三角形，點、M在邊BC上,￡是

42的中點，作點B關(guān)于EN的對稱點"，連接8Z和2'知.

（1）求證：四邊形/BCD是菱形；

（2）求夕C的最小值；

⑶若夕M與48垂直，求CM的長.

【重難點訓練】

1.（2023秋?九年級課時練習）直角三角形的兩條直角邊長分別是12cm,5cm,則這個直角三角形的外接

圓的半徑是（）

A.5cmB.6.5cmC.12cmD.13cm

2.（2023春?山東泰安?九年級?？计谥校┤鐖D中外接圓的圓心坐標是（）

A.(5,1)B.(4,2)C.(5,2)D.(5,3)

3.（2023?吉林長春?統(tǒng)考一模）如圖，點尸是。。外一點，分別以。、尸為圓心，大于:。P長為半徑作圓弧，

兩弧相交于點M和點N,直線交OP于點C,再以點C為圓心，以OC長為半徑作圓弧，交。。于點

連接尸/交血W于點3,連接。4OB.若/P=26。，則的大小為（）

4.（2023?上海?模擬預測）如圖，在RtZUBC中，ZC=90°,AC=4,3C=7,點。在邊3C上,

CD=3,的半徑長為3,。。與。4相交，且點8在。。外，那么。。的半徑長r可能是（）

A.r=lB.r=3C.r=5D.r=7

5.（2023秋?全國?九年級專題練習）如圖，。〃的半徑為4,圓心〃■的坐標為（6,8）,點尸是。M上的任意

一點，PAVPB,且尸/、尸3與x軸分別交于A、8兩點，若點A、點8關(guān)于原點。對稱，則42的最大值

為（）

D.28

6.（2023秋?浙江?九年級專題練習）一個直角三角形的兩條邊長是方程/-8x+12=0的兩個根，則此直角

三角形的外接圓的直徑為.

7.（2023春?安徽安慶?九年級統(tǒng)考期末）中，么（1,5）、3（1,1）、C（4,l）,則“BC外接圓圓心坐標

為.

8.（2023秋?全國?九年級專題練習）如圖，E是邊長為4的正方形48CD的邊CD上的一個動點，F(xiàn)是以8c

為直徑的半圓上的一個動點，連接/E,EF,則/E+EF的最小值是.

9.（2023?河南焦作?統(tǒng)考二模）如圖，在Rt448C中，AB=3,BC=4,DB=90°,正方形CDE尸的邊長

為1,將正方形CD環(huán)繞點C旋轉(zhuǎn)一周，點G為EF的中點，連接/G,則線段/G的取值范圍是.

10.（2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模）如圖，在直角坐標系中，已知點/（8,0）、點8（0,6）,。/的半徑為5