中考數(shù)學(xué)模型專項(xiàng)突破：幾何中等分面積問(wèn)題（含答案及解析）

大招幾何中等分面積問(wèn)題

模型介紹

線段分三角形面積問(wèn)題.

團(tuán)當(dāng)三角形具有公共頂點(diǎn)，并且底邊共線時(shí)，三角形面積比等于底邊邊長(zhǎng)比.

例題精講

【例如圖，△ABC三邊的中線A。，BE,C尸的公共點(diǎn)為G,且AG：GD=2：1,若S

△ABC=12,則圖中陰影部分的面積是

A變式訓(xùn)練

【變式17].如圖，在AABC中，點(diǎn)D、E、尸分別是BC、A。、CE的中點(diǎn)，且SAABC=8C7層,

則SABEF的面積是（）

A

C.2cm2D.1cm2

【變式1-2].如圖，在直角坐標(biāo)系中，平行四邊形0A8C的頂點(diǎn)坐標(biāo)2(17,6),C(5,6),

【例2]如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，長(zhǎng)方形OA8C的頂點(diǎn)8的坐標(biāo)為(6,4),直

線y=-x+b恰好將長(zhǎng)方形OABC分成面積相等的兩部分，那么b=.

A變式訓(xùn)練

【變式27].如圖，在菱形48CD中，AB=6,ZB=60°，點(diǎn)E在邊4。上，S.AE=2.若

直線I經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,將該菱形的面積平分，并與菱形的另一邊交于點(diǎn)F,則線段EF的長(zhǎng)

為.

ED

【變式2-2].如圖，△ABC的面積為1,D、E分別為A3、AC的中點(diǎn)，F(xiàn)、G是8C邊上

的三等分點(diǎn).那么△。所的面積是多少？△OOE的面積是多少？

【變式2-3].如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，多邊形0A8CL比的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是

O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).

若直線I經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,3),且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，求直線/

的函數(shù)表達(dá)式.

1.如圖，長(zhǎng)方形ABCD的面積為3667??,E,F,G分別為AB,BC,C。的中點(diǎn)，H為

上任一點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為()

A.18cm2B.16cm2C.20cm2D.24cm2

2.已知梯形ABC。的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,0),B(5,0),C(2,2),D(0,2),

直線y=fcv+2將梯形分成面積相等的兩部分，則左的值為()

A.上B.上C.上D.上

3977

3.如圖，在△ABC中，ZBAC=9Q°,是高，BE是中線，CF是角平分線，B交A。

于點(diǎn)G,交BE于點(diǎn)H.

①△ABE的面積=ZkBCE的面積；②AF=FB；

③/FAG=2/ACF.以上說(shuō)法正確的是()

D.①②③

4.如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)。、E、尸分別為BC、AD,CE的中點(diǎn)，若陰影部分的面積

為14,則△ABC的面積為.

5.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形頂點(diǎn)A(0,0),C(10,4),直線

y=ax-2a-1將平行四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，求a的值.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形A8C。是正方形，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,4),直線y

=mx-2恰好把正方形ABC。的面積分成相等的兩部分，則m=.

7.已知平面上四點(diǎn)A(0,0),B(10,0),C(14,6),D(4,6),若直線y=g-3機(jī)-1

將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，則m的值為.

8.在△ABC中，BC=5,AC^12,AB=13,在AB、AC上分別取點(diǎn)。、E,使線段。E將

△ABC分成面積相等的兩部分，則這樣線段的最小值是.

9.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OA8C的頂點(diǎn)8的坐標(biāo)為(15,6),直線y」x+b恰好將

3

矩形045。分成面積相等的兩部分，那么b=

10.如圖，△ABC中，A￡）是中線，延長(zhǎng)到￡,使Z）E=AD,。下是△DCE的中線.已

知△ABC的面積為2,求：△C。尸的面積.

A

11.正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,將此正方形置于平面直角坐標(biāo)系中，使A8邊落在X軸的正

半軸上，且A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1,0）.

（1）直線y=名無(wú)生經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且與無(wú)軸交于點(diǎn)E,求四邊形AECD的面積；

33

（2）若直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,且將正方形A8CD分成面積相等的兩部分，求直線I的解析式；

（3）若直線/1經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（-尚，0）,且與直線y=3x平行，將（2）中直線/沿著y軸向

上平移2個(gè)單位交軸x于點(diǎn)交直線/1于點(diǎn)N,求△△〃廝的面積.

3

12.如圖，直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，把△OA8繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

得到△OCD

(1)求經(jīng)過(guò)A、B、。三點(diǎn)的拋物線的解析式；

(2)在所求的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使直線CP把△08分成面積相等的兩部分?

如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

13.已知菱形0ABe在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C(l,2),點(diǎn)A在x

軸上.點(diǎn)M(0,2).

備用圖1備用圖2

(1)點(diǎn)P是直線OB上的動(dòng)點(diǎn)，求PM+PC最小值.

(2)將直線y=-X-1向上平移，得到直線＞=丘+6.

①當(dāng)直線〉=代+6與線段OC有公共點(diǎn)時(shí)，結(jié)合圖象，直接寫出b的取值范圍.

②當(dāng)直線將四邊形0ABe分成面積相等的兩部分時(shí)，求％,b.

14.已知，丫=辦2+法-3過(guò)(2,-3),與X軸交于4(-1,0),8(X2,0),交y軸于C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)過(guò)點(diǎn)C作CD〃x軸，交拋物線于D,是否存在直線y^kx+1將四邊形ACDB分成

面積相等的兩部分，若存在，請(qǐng)求上的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若直線(-3<772<O)與線段AC、8c分別交于。、E兩點(diǎn)，則在x軸上是否

存在點(diǎn)P,使得△。尸E為等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)求P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

15.如圖，在RtZXABC中，NC=90°,AB=50,AC=30,矩形。EPG的頂點(diǎn)G與aABC

的頂點(diǎn)C重合，邊GD、GF分別與AC,8C重合.GD=12,GF=16,矩形。EFG沿射

線CB的方向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向以每秒5

個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)。作射線QKLAB,交折線BC-CA于點(diǎn)X,矩形DEFG、

點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，矩形OEPG也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)矩形。EFG、

點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是f秒G>0).

(1)求線段的長(zhǎng)；

(2)求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，矩形。EFG與Rt^ABC重疊部分的面積s與f的函數(shù)關(guān)系式(寫出

自變量的取值范圍)；

(3)射線QK能否把矩形。EFG分成面積相等的兩部分？若能，求出f值；若不能，說(shuō)

明理由；

(4)連接。H,當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出r值.

16.已知m,n是方程尤2-6x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且m<n.如圖，若拋物線I：y=-r+bx+c

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m,0),B(0,n).

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)(1)中的拋物線與無(wú)軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,拋物線的頂點(diǎn)為D,求C,。的坐標(biāo)

和△BCD的面積；

(3)己知尸是線段OC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作軸，交拋物線于點(diǎn)H,若直線8。把4

尸”分成面積相等的兩部分，求尸點(diǎn)的坐標(biāo).

17.【數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)】三角形的中線能將三角形分成面積相等的兩部分.

【經(jīng)驗(yàn)發(fā)展】面積比和線段比的聯(lián)系：如果兩個(gè)三角形的高相同，則它們的面積比等于

對(duì)應(yīng)底邊的比.

如圖1,△ABC的邊A3上有一點(diǎn)請(qǐng)證明：上小=迎.

^ABCMBM

【結(jié)論應(yīng)用】如圖2,△COE的面積為1,型=工，絲=」，求AABC的面積.

AC4CB3

【拓展延伸】如圖3,△ABC的邊AB上有一點(diǎn)。為CM上任意一點(diǎn)，請(qǐng)利用上述結(jié)

論，證明：:.=細(xì).

2ABDCBM

【遷移應(yīng)用】如圖4,△ABC中，M是AB的三等分點(diǎn)N是BC的中點(diǎn),

3

若△ABC的面積是1,請(qǐng)直接寫出四邊形BMDN的面積

c

CCC

D.

圖1圖2圖3圖4

18.已知拋物線y=-jC+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)ACm,0)、B(0,"),其中m、n是方程x2

-6x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且根

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)(1)中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,拋物線的頂點(diǎn)為。，求C、。點(diǎn)的坐

標(biāo)和△BCD的面積；

(3)尸是線段OC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尸打，尤軸，交拋物線于點(diǎn)X,若直線BC把

分成面積相等的兩部分，求尸點(diǎn)的坐標(biāo).

19.【背景知識(shí)】研究平面直角坐標(biāo)系，我們可以發(fā)現(xiàn)一條重要的規(guī)律：若平面直角坐標(biāo)系

上有兩個(gè)不同的點(diǎn)A(X4,%)、3(尤B,yB),則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)可以表示為(上立且

【簡(jiǎn)單應(yīng)用】如圖1,直線AB與〉軸交于點(diǎn)A(0,3),與x軸交于點(diǎn)3(4,0),過(guò)原

點(diǎn)O的直線L將△48。分成面積相等的兩部分，請(qǐng)求出直線L的解析式；

【探究升級(jí)】小明發(fā)現(xiàn)“若四邊形一條對(duì)角線平分四邊形的面積，則這條對(duì)角線必經(jīng)過(guò)

另一條對(duì)角線的中點(diǎn)”

如圖2,在四邊形A8CD中，對(duì)角線AC、3。相交于點(diǎn)。，SAABD=S^BCD.試說(shuō)明A。

=C。；

【綜合運(yùn)用】如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中A(1,4),B(3,-2),C(2m,-m+5),

若OC恰好平分四邊形04CB的面積，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

大招幾何中等分面積問(wèn)題

模型介紹

線段分三角形面積問(wèn)題.

團(tuán)當(dāng)三角形具有公共頂點(diǎn)，并且底邊共線時(shí)，三角形面積比等于底邊邊長(zhǎng)比.

例題精講

【例1】.如圖，△ABC三邊的中線A。，BE,C尸的公共點(diǎn)為G,且AG：GD=2：1,若S

△ABC=12,則圖中陰影部分的面積是^

解：:△ABC的三條中線A。、BE,交于點(diǎn)G,AG：GD=2：1,

：.AE=CE,

???S^CGE=S/\AGE=---S^ACFtS/\BGF=S^\BGD=---S^BCFt

33

VSACF=SABCF=—SABC=—X12=6,

A2A2

/.S^CGE=—S^ACF=-X6=2,S^BGF=-S^BCF=—X6=2,

3333

???S陰影

故答案為：4.

A變式訓(xùn)練

2

【變式1-11.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、尸分別是BC、AD.CE的中點(diǎn)，且SAABC=8c/n,

則SABEF的面積是（）

2

A.4c加2B.3cm2C.2cm2D.1cm

解：:,。是BC的中點(diǎn)，

??S^\ABD=S/^ACD=—S/\ABC>

2

是A。的中點(diǎn)，

S/\ABE=S^BDE——SAABD,S/\AEC=S/^CDE=—S/\ADC>

22

?.?產(chǎn)是EC的中點(diǎn),

??S/^BEF=SABCF=—S/^BCEJ

2

S^ABC=Scrr^,

?>S^BCE=4cm,

1.S^BCF=2crr^,故選：C.

【變式1-2].如圖，在直角坐標(biāo)系中，平行四邊形0A8C的頂點(diǎn)坐標(biāo)2(17,6),C(5,6),

J.BC//OA,DB=OD,DC=DA,

：.NMCD=/DAN,ZCMD=ZDNA,

：.△CMD/LAND,

.?.過(guò)。的任意直線都能把平行四邊形的面積分成面積相等的兩部分.

過(guò)。作DFLx軸于F,過(guò)2作BELx軸于E.

;平行四邊形OCBA,B(17,6),C(5,6),

：.DO=BD,DF//BE,

：.OF=EF,

：.DF=3,OF=-lx17=8.5,

2

：.D(8.5,3),

代入y=Lx+b得：3=」X8.5+Zb

-22

4

【例2].如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，長(zhǎng)方形0A3C的頂點(diǎn)8的坐標(biāo)為(6,4),直

線y=-x+b恰好將長(zhǎng)方形0A2C分成面積相等的兩部分，那么b=5.

解：：直線y=-x+b恰好將長(zhǎng)方形0ABe分成面積相等的兩部分

直線y=-x+b要經(jīng)過(guò)矩形的中心

?.?矩形的中心為（3,2）

把點(diǎn)（3,2）代入y=-x+6,解得：b=5.

A變式訓(xùn)練

【變式2-1].如圖，在菱形ABC。中，AB=6,ZB=60°,點(diǎn)E在邊上，且AE=2.若

直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,將該菱形的面積平分，并與菱形的另一邊交于點(diǎn)E則線段EF的長(zhǎng)為

2A/7_.

解：如圖，過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)E作AGLBC,于點(diǎn)G和”,

得矩形AGHE,

:在菱形ABC。中，43=6,ZB=60°,

：.BG=3,AG=3M=EH,

:.HC=BC-BG-GH=6-3-2=1,

平分菱形面積，EF經(jīng)過(guò)菱形對(duì)角線交點(diǎn)，

：.FC=AE=2,

：.FH=FC-HC=2-1=1,

在中，根據(jù)勾股定理，得

￡F=22

VEH+FH=。27+1=26.

故答案為：2。

【變式2-2].如圖，AABC的面積為1,D、￡分別為A3、AC的中點(diǎn)，F(xiàn)、G是BC邊上

的三等分點(diǎn).那么△DEF的面積是多少？△QOE的面積是多少？

A

解：①如圖，過(guò)點(diǎn)A作AQL8C于。，過(guò)點(diǎn)。作OML8C于M,

是8。的中點(diǎn)，

：.DM=^AQ,

2

/.三角形ABC的面積是=48CXAQ=1,

：.BCXAQ=2,

：￡>、E分別為A8、AC的中點(diǎn)，

：.DE=-^BC,

2

三角形?？诘拿娣e為=<￡>EXZ)M=工X?!X2CX工XAQ=1?；

22224

②生，F(xiàn)G=—,

23

?.?DE_3-~,

FG2

；.三角形DOE面積=三角形￡>所面積*s=a.

520

【變式2-3].如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，多邊形042CDE的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是

O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).

若直線I經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,3),且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，求直線I

的函數(shù)表達(dá)式.

解：如圖，延長(zhǎng)BC交x軸于點(diǎn)尸，連接08,AF,DF,CE,OF和CE相交于點(diǎn)N,

V0(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).

...四邊形OABF為矩形，四邊形CDEF為矩形，

...點(diǎn)M(2,3)是矩形048尸對(duì)角線的交點(diǎn)，即點(diǎn)M為矩形尸。的中心，

直線/把矩形ABFO分成面積相等的兩部分

又：點(diǎn)N(5,2)是矩形CDEF的中心，

過(guò)點(diǎn)N(5,2)的直線把矩形CDEP分成面積相等的兩部分.

直線即為所求的直線L

設(shè)直線/的解析式為

則2%+b=3,54+6=2,

解得左=」，6=旦

33

因此所求直線I的函數(shù)表達(dá)式是：>=-工x+旦.

33

n實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，長(zhǎng)方形ABCD的面積為3667??,E,F,G分別為AB,BC,C。的中點(diǎn)，H為AD

上任一點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為()

A.18cm2B.16cm2C.20cm2D.24cm2

解：設(shè)長(zhǎng)方形ABC。中，AD=a,AB=b,

則AE=^/J=GC,BF=^a,

22

?'?S陰=5長(zhǎng)方形A3CO-S^AEH-S^HFC-SAHCG,

=36--AE'AH-—FC-AB--HD'CG,

222

=36-^AD-AE-^-FC-AB,

22

=36--ab,

2

=18c根.2

故選：A.

2.已知梯形ABC。的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,0),B(5,0),C(2,2),D(0,2),

直線y=fcv+2將梯形分成面積相等的兩部分，則上的值為()

A.上B.上C.二D.上

3977

解：：梯形A8CD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,0),B(5,0),C(2,2),D(0,

2),

.?.梯形的面積為：⑸2)乂2=8,

2

..?直線y=E+2將梯形分成面積相等的兩部分，

.,.直線＞=日+2與A。、A3圍成的三角形的面積為4,

設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)(x,0),

(尤+1)X2=4,

2

，x=3,

???直線產(chǎn)區(qū)+2與x軸的交點(diǎn)為(3,0)

???0=3%+2

解得k=-2

3

故選：A.

BE是中線，CF是角平分線，CF交AD

于點(diǎn)G,交BE于點(diǎn)H.

①AABE的面積=的面積；②AF=FB；

@ZFAG=2ZACF.以上說(shuō)法正確的是（）

D.①②③

：.AE=EC,

：.△ABE的面積=2\8。石的面積,

故①符合題意；

若AF=FB,則尸是AB的中點(diǎn)，

尸是NACB的平分線，

BC=AC與BOAC矛盾,

故②不符合題意；

VZBAC=90°,

：.ZFAG+ZCAD=90°,

"：AD±BC,

：.ZCAD+ZACB=9Q°,

：.ZFAG=ZACD,

平分/ACB,

ZACD=2ZADF,

ZFAG=2ZACF,

故③符合題意；

故選：A.

4.如圖，在△ABC中，己知點(diǎn)。、E、尸分別為BC、AD,CE的中點(diǎn)，若陰影部分的面積

為4,則△ABC的面積為」

*"■5AABE=—SAABD,S/\ACE=--S/\ADCi

22

S^ABE+S/^ACE=—S^ABC,

2

SABCE=—5AABC,

2

:點(diǎn)尸是CE的中點(diǎn)，

SABEF=工SABCE,

2

S^ABC=4sABEF=4X4=16.

故答案為：16.

5.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形A8CD頂點(diǎn)A(0,0),C(10,4),直線

y=ax-2a-1將平行四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，求a的值.

解：連接AC、BD,AC與3。相交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M作軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CF

J_x軸于點(diǎn)F,

.?.AF=10,CF=4,…（2分）

?/四邊形ABCD為平行四邊形，

：.AM=CM,即&1=工

AC2

無(wú)軸，b」_x軸，

AZMEA=ZCE4=90°,

J.ME//CF,

：.ZAME=ZACF,ZAEM=ZAFC,

：.AAME^AACF,

=A,即E為AP的中點(diǎn)，

ACAF2

為的中位線，…（4分）

.*.A￡=AAF=5,ME=^CF=2,

22

?\M（5,2）,（6分）

??,直線2〃-1將平行四邊形A3CZ）分成面積相等的兩部分，

，直線y=ox-2〃-1經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,…（8分）

將M（5,2）代入y=〃x-2〃-1得：。=1.…（9分）

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形A5C0是正方形，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（4,4）,直線y

=mx-2恰好把正方形ABCO的面積分成相等的兩部分，則m=2.

解：:直線y=mx-2恰好把正方形ABCO的面積分成相等的兩部分

...直線必經(jīng)過(guò)正方形的中心

:點(diǎn)2的坐標(biāo)為(4,4)

中心為(2,2),代入直線中得：2=2m-2,m=2

7.已知平面上四點(diǎn)A(0,0),B(10,0),C(14,6),D(4,6),若直線>=3-3加-1

將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，則m的值為1.

解：：點(diǎn)A(0,0),B(10,0),C(14,6),D(4,6),

四邊形ABCD為平行四邊形，

直線y=mx-3m-1四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，

，直線-3機(jī)-1過(guò)矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)，

而平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(7,3),

Im-3m-1=3,

??7721.

故答案為：1.

8.在△ABC中，BC=5,AC=12,AB=13,在A8、AC上分別取點(diǎn)。、E,使線段OE將

△ABC分成面積相等的兩部分，則這樣線段的最小值是_jV3_.

解：VBC2+AC2=AB2,

.?.△ABC為直角三角形，

過(guò)。作DF_LAC于尸，設(shè)。廣=彳，則三=鯉，

512

：.AF=^X,

5

S^ADE=—X*AE=—SAABC=15,

22

.?.AE=毀，斯=9-衛(wèi)x,

xx5

：2221(歿-22)

.DE=DF+EF=X+￡X)=-^ix+-^--144=302+12^12J

X525x25X

故可得。爐最小值是12,

.?.DE最小值為2a.

故答案為：2如.

9.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形048c的頂點(diǎn)2的坐標(biāo)為(15,6),直線y1x+b恰好將

3

矩形0ABe分成面積相等的兩部分，那么b=_l_.

解：由B的坐標(biāo)（15,6）,得到矩形中心的坐標(biāo)為（7.5,3）,

直線y=lx+b恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分，

將（7.5,3）代入直線y=§x+b得：

3=」X7.5+6,

3

解得：6=工.

2

故答案為：-1.

2

10.如圖，ZkABC中，A。是中線，延長(zhǎng)到E,使。E=AD,OF是△OCE的中線.已

知△ABC的面積為2,求：△C。尸的面積.

解：是△ABC的中線，

SAACD=—SABC=—X2=l,

22A

：CO是△ACE的中線，

SACDE=SAACD=L

?/DF是△COE的中線，SKDF=—S^CDE=—X1=」.

222

.?.△CO尸的面積為工.

2

11.正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,將此正方形置于平面直角坐標(biāo)系中，使AB邊落在X軸的正

半軸上，且A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1,0）.

(1)直線y=&無(wú)望經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且與無(wú)軸交于點(diǎn)E,求四邊形AECD的面積；

33

(2)若直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,且將正方形ABCD分成面積相等的兩部分，求直線I的解析式；

(3)若直線/1經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(-尚，0),且與直線y=3x平行，將(2)中直線/沿著y軸向

上平移2個(gè)單位交軸尤于點(diǎn)交直線/1于點(diǎn)N,求的面積.

3

令>=4,即9X衛(wèi)=4,

33

解得：x=5,則3的坐標(biāo)是（5,0）；

令y=0,即4x衛(wèi)=0,

,33

解得：尤=2,則E的坐標(biāo)是（2,0）.

貝ijOB=5,OE=2,BE=OB-OA=5-2=3,

：.AE^AB-BE=4-3=1,

S四邊形AECD=^CAE+CD>AD=^-（4+1）X4=10；

22

(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E且將正方形ABC。分成面積相等的兩部分，則直線與CO的交點(diǎn)R必有

CF=AE=1,則/的坐標(biāo)是(4,4).

設(shè)直線的解析式是y=fcc+b,則

(4k+b=4

l2k+b=0'

解得：產(chǎn).

lb=-4

則直線/的解析式是：y=2x-4；

(3)"經(jīng)過(guò)點(diǎn)0)且與直線尸力平行,

設(shè)直線Z1的解析式是y\=kx+b,

則：k=3,

代入得：0=3X(-2)+b,

2

解得：b=，,

2

,2

已知將(2)中直線/沿著y軸向上平移個(gè)單位，則所得的直線的解析式是尸2廠4+全

即：y—2.x-3—,

3

當(dāng)y=0時(shí)，x=-1-,

：.M（旦，0）,

3

y=3x1,5

-

解方程組，得一X=-7T6,

y=2x-3—

oy=-19

即：N（-7立,-19）,

6

SAWF=—X[-§-（-旦）]X|-19|=361

232IT

答：△可“的面積是-^1.

12

12.如圖，直線y=2無(wú)+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，把△042繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°

得到△0CD

(1)求經(jīng)過(guò)A、B、。三點(diǎn)的拋物線的解析式；

(2)在所求的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使直線CP把△08分成面積相等的兩部分?

如果存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：（1）在>=級(jí)+4中，分別令y=0和x=0來(lái)得到：A（-2,0）、8（0,4）、

。點(diǎn)是因?yàn)樾D(zhuǎn)，OD=OB,所以，D點(diǎn)（4,0）；

C點(diǎn)也是因?yàn)樾D(zhuǎn)，OA=OC,所以，C點(diǎn)（0,2）；

設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、。的拋物線解析式為>=/+版+。，

則有：4a-2b+c=0①，c=4②，16a+4b+c=0③（3分）

解①②③得：a=-^",6=1,c=4,

2

拋物線的解析式為：y=-^x2+x+4-（4分）

（2）若存在點(diǎn)尸滿足條件，則直線CP必經(jīng)過(guò)。。的中點(diǎn)E（2,0）；（5分）

易知經(jīng)過(guò)C、E的直線為y=-x+2,（6分）

于是可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（m,-m+2）；

X各P（771,-帆+2）彳弋y=―x乙+x+4

得：1m2tm+4=-m+2，（7分）

整理，得：m2-4m-4=0,

?

解得：mi=2+2&，m2=2-2V2

所以滿足條件的點(diǎn)尸有兩個(gè)：P1（2+2&,-2&）,P2（2-2^2,2^）?（9分）

13.已知菱形0A8C在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C(l,2),點(diǎn)A在x

軸上.點(diǎn)M(0,2).

B

備用圖1各用圖2

(1)點(diǎn)P是直線。8上的動(dòng)點(diǎn)，求PM+PC最小值.

(2)將直線y=-尤-1向上平移，得到直線尸質(zhì)+6.

①當(dāng)直線與線段OC有公共點(diǎn)時(shí)，結(jié)合圖象，直接寫出6的取值范圍.

②當(dāng)直線y=kt+b將四邊形。1BC分成面積相等的兩部分時(shí)，求上b.

解：(1)由已知，OA=OC=<^22+12=-75,連接AC、AM,如圖1所示.

?.?四邊形。48c是菱形，

：.PC=PA,

：.PC+PM=PM+PA^AM,

即PC+PMWVOM2-K)A2=V22+(V5)2=3-

(2)?；y=fcc+b為y=-x-1平移得來(lái)的，

:.k=-1.

①依照題意畫出圖形，如圖2所示.

結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)點(diǎn)0在直線y=-x+6上時(shí)，6最小，止匕時(shí)b=0；

當(dāng)點(diǎn)C在直線y=-尤+6上時(shí)，6值最大，

?.?點(diǎn)C（1,2）,

；.2=-1+b,解得：6=3.

故0W6W3.

②連接AC、OB,設(shè)AC與的交點(diǎn)為D,當(dāng)直線y=-x+b過(guò)點(diǎn)。時(shí)，直線y=-x+b

將四邊形0ABe分成面積相等的兩部分，如圖3所示.

V0A=0C=V5>

.,.點(diǎn)A（V5>o）.

:四邊形。4BC為菱形，C（1,2）,A（疾,0）,

點(diǎn)。（止區(qū)，1）.

2

直線y=-x+b過(guò)點(diǎn)D,

.-.1=解得：/,=3+75_

22

當(dāng)直線y=fcc+b將四邊形048c分成面積相等的兩部分時(shí)，k=-\,6=之算.

(2)過(guò)點(diǎn)C作CO〃x軸，交拋物線于。，是否存在直線>=息+1將四邊形ACDB分成

面積相等的兩部分，若存在，請(qǐng)求上的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若直線(-3<m<0)與線段AC、BC分別交于。、￡兩點(diǎn)，則在x軸上是否

存在點(diǎn)P,使得為等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)求P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

.[4a+2b-3=-3

"la-b-3=0'

解得a=l,b=-2,

所以拋物線的解析式為：y=/-2x-3；

(2)設(shè)直線y=fcc+l與x軸交于點(diǎn)E,于CD交于點(diǎn)F,

A(-1,0),B(3,0),

E(二，0),F(-A,-3);

kk

s四邊形ACFE=」CCF+AE>OC=^-(1上)；

22K

s四邊形EFOB=2(DF+BE)?OC=3(5金)；

22K

即(1R)=(53),k=衛(wèi)

KK2

(3)存在點(diǎn)尸.直線y=機(jī)與y軸交點(diǎn)為F(0,m),

①當(dāng)OE為腰時(shí)，分別過(guò)。、E作。Pi_Lx軸于Pi,

作EP2，x軸于尸2；如圖，

則△OP1E和△OEP2均為等腰直角三角形，

又DPi=DE=EPz=OF=-m,又-XA=3+1=4,

又XECDsXBCA,即口盤也，

43

即m=P\(&,0),尸2(―,0)；

777

②當(dāng)。E為底時(shí)，過(guò)尸3作GP3LOE于G,如圖，

又DG=GE=GP3=OF=-m,由△ECOs^BCA,

43

即m=力；P3(―,0)

55

15.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=50,AC=30,矩形。EFG的頂點(diǎn)G與AABC

的頂點(diǎn)C重合，邊GD、GF分別與AC,8C重合.GD=12,GF=16,矩形。EEG沿射

線CB的方向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)2出發(fā)沿BA方向以每秒5

個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作射線QKLA8,交折線BC-CA于點(diǎn)”，矩形DEFG、

點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng),矩形OEPG也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)矩形DEFG,

點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是f秒G>0).

(1)求線段。廠的長(zhǎng)；

(2)求運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，矩形QEFG與Rt^ABC重疊部分的面積s與/的函數(shù)關(guān)系式(寫出

自變量的取值范圍)；

(3)射線。K能否把矩形。E/G分成面積相等的兩部分？若能，求出f值；若不能，說(shuō)

明理由；

解：(1)如圖1：連接。凡在Rt/XCQ尸中，CD=\2,CF=16,

根據(jù)勾股定理：

DF—d122+162=20；

(2)?.?在RtZXABC中，ZC=90°,AB=50,AC=30,

.?皿=、研2-A，2=4°,

根據(jù)題意得：當(dāng)/=強(qiáng)=10時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)；

5

如圖2：當(dāng)點(diǎn)E在A5上時(shí)，

VZC=90°,ZEFG=90°,

：.EF//AC,

：.△BEFs/\BAC,

：.EF：AC=BF：BC,

A12：30=8人40,

???8尸=16,

ACG=BC-BF-GF=40-16-16=8,

此時(shí)，/=8+4=2；

如圖3：當(dāng)尸與5重合時(shí)，

CG=BC-8G=40-16=24,

止匕時(shí)，/=24+4=6,

：tanNABC=￡=g，tanZGBD=^-=^,

BC4BG4

此時(shí)，點(diǎn)。在直線AB上；

①當(dāng)0<7W2時(shí)，s=S矩形DEFG=12X16=192,

②如圖4：當(dāng)2<fW6時(shí)，設(shè)矩形AEFG的邊交BC于點(diǎn)邊DE交AB于點(diǎn)、N

"：BF=24-4ftanB=典用

404

；.MF=^-(24-4f)=18-3r,

4

：.EM=EF-FM=12-(18-3f)=3f-6,

：.NE=^EM^4t-S,

3

；.s=S矩形。EFG-SAEMN=192-工EA/*EN=192-6(r-2)2,

2

③如圖5：當(dāng)6<fW10時(shí)，設(shè)。G與AB交于點(diǎn)M,BG=40-4r,

則MG=^BG=3Q-3f,

4

貝IS=SABMG=2BG?MG=」義(40-4f)(30-3力=6(10-Z)2；

22

(3)能，

如圖6：當(dāng)QK經(jīng)過(guò)矩形。EFG的對(duì)稱中心。時(shí)，就可以把矩形DEPG分成面積相等的

兩部分；

:在Rt/XGO尸與RtZkCAB中，tan/GOF=^=&=g，tanZB=-^=-^-,

GF164BC4

:?/GFD=/B,

：.DF//AB,

???—OF——HF,

QBBH

?.3=20,

：.OF=lO,

'：BF=24-4t,HF=-1-0F=-y-,QB=5t,

；.BH=BF+FH=24-4t+—,

2

25

.io_~T

解得：f=口;

41

(4)如圖7：過(guò)點(diǎn)。作MALLAB于N,交BC于

VZGMD+ZB=90°,ZGMD+ZGDM=9Q°,

：.ZGDM=ZB,

：.GM=GO?tanZGDM=旦X12=9,

4

DM=22

VDG-K；M=15，

VBG=40-At,

：.BM=BG+GM=4Q-4f+9=49-4t,

：.MN=BM-cosZB=^~(49-4?),

5

:.DN=MN-DM=3(49-40-15,

5

,/QH=與X5f=生3

444

'JDH//AB,

:.QH=DN,

則21r=3(49-4f)-15,

45

解得片明

41

故”直為生.

41

圖6圖7

16.已知m,w是方程/-6x+5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且〃z<〃.如圖，若拋物線/：y=-x2+bx+c

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（m,0）,B（0,"）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,拋物線的頂點(diǎn)為D,求C,。的坐標(biāo)

和△BC。的面積；

（3）已知尸是線段OC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PHLx軸，交拋物線于點(diǎn)H,若直線8。把4

PC”分成面積相等的兩部分，求尸點(diǎn)的坐標(biāo).

D?

解：⑴由方程7-6x+5=0得xi=l,x2=5,

?：m<n,

??Z21=1,〃=5,

.e.A(1,0),B(0,5).

把A(1,0),B(0,5)代入y=-/+6x+c得：J-1+b+c=0

Ic=5

解得修4,

Ic=5

拋物線的解析式y(tǒng)=-/-4x+5；

(2)C(-5,0),D(-2,9),

過(guò)。作DELx軸于E,

,:易得E(-2,0).

15+qi

.".SABCD^SACDE+S梯彩OBDE-SAOBC=-x3X9-H-y-X2aX5X5=15；

(3)設(shè)尸(a,0),則H(a,-a2-4a+5),由于直線3C把分成面積相等的兩

部分，

2

須且只須BC等分線段尸打，亦即尸X