重慶市2024-2025學(xué)年高三年級上冊11月期中調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題【含解析】

2025年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

11月調(diào)研測試卷數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)測試卷共4頁，滿分150分.考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號、姓名、班級填寫在答題卡上.考生要認真核對答題卡

上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，用0.5毫米的黑色墨水簽字

筆在答題卡上書寫作答.若在試題卷上作答，答案無效.

3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1

1.已知i為虛數(shù)單位，zl+2i,則目=()

5353

【答案】C

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)的除法運算以及模的運算公式即可得解

1l-2il-2i12.

［詳解［由2_］+21_(1+20(1_20_5I*

故選：C

2.已知集合”={0,1,2,3,4,5},^={x|(x+l)(x-3)<0},則()

A.{3}B.{2,3}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}

【答案】D

【解析】

【分析】化簡集合N,然后根據(jù)交集的定義求解即可

【詳解】^={x|(x+l)(x-3)<0}={x|-l<x<3},

又"={0,1,2,3,4,5},所以”nN={(M,2,3},

故選：D

3.已知。>6,c<<7<0,則()

A.a+c>b+dB.a+c2>b+d2C.ac>bdD.ac2>bd2

【答案】B

【解析】

【分析】由不等式的性質(zhì)可得B；舉出反例可得A、C、D.

【詳解】對A：取。=1,b=Q,。=一2,d=7,止匕時Q+c=b+d=-1,故A錯誤；

對B：由cvdvO,貝Ue?〉屋,又a>b,故4+02>6+/，故B正確;

對C：取。=1,b=0,c=—2,d=—1,止匕時ac=—2<=0,故C錯誤；

=

對D：取。=—1,b=-2,c=—2,dJ此時QC?=-4<bd?=-2,故D錯誤;

故選：B.

,、11

4.已知數(shù)列{。〃}滿足：%=3,—+-=1,則4=()

anan+l

32

A-B.-C.2D.3

,23

【答案】A

【解析】

11,

【分析】由一+—=1可得%=%+2,再借助為求出4即可得解.

anan+\

1111111

【詳解】由——+---=1,則----+----=1,故——=----即an=an+2

anan+\an+l%+24。〃+2

1i11123

則。6=。4=。2，又—=1=]_彳=7，故。6=。2=1.

a2ax332

故選：A.

5.已知平面上的兩個非零向量Z，B滿足口―可?口+2可=73=7,貝（）

【答案】B

【解析】

【分析】借助向量數(shù)量積公式計算可得口=血利’再利用向量夾角公式計算即可得.

【詳解】由(14?2耳=@+/—2用=7九故口=閭,

則cos伍3)=年"=J]|_|=立,又｛a,》e[0,兀],故(2范)=：.

、/卜用四牛忖2'/L」\/4

故選：B

6.已知實數(shù)a〉0,且awl,若函數(shù)〃x)=aX+log"X在(1,2)上存在零點，則()

224

A,a+logfl2<0B,a-log2a<0C,a+logfl2>0D.a-logfl2<0

【答案】A

【解析】

【分析】分?！?、0<。<1進行討論，結(jié)合/(x)的單調(diào)性與零點的存在性定理可判斷A,亦可得

0<a<l,由0<a<1結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)進行分析可判斷B、C、D.

【詳解】當(dāng)。〉1時，易得/(%)=優(yōu)+唾尸在(0,+8)上單調(diào)遞增，

則需/(l)=a+log〃l=a<0,與a〉l矛盾，故舍去，

當(dāng)0<a<1時，易得f(x)=a'+logax在(0,+8)上單調(diào)遞減，

2

則需/⑴=a+logj=a>0,/(2)=a+logfl2<0,故A正確；

由0<a<1,則—logntz>tz—0>0,故B錯誤；

42

a+logfl2<a+logfl2<0,故C錯誤；

a-logfl2>a-0>0,故D錯誤.

故選：A.

7.設(shè)△⑷BC的三個內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,若in-=—，且

s23

a?—2ac+2c2—6c+9=0,則6=()

A.372B.4C.2A/3D.V3

【答案】C

【解析】

【分析】把題設(shè)條件變形可得a=c=3,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，在直角ABDC中即可求出

【詳解】由/一24+2c2—60+9=0變形得("-2ac+c2)+(c2-6c+9)=0,

所以(a—C)2+(C—3『=0,得。=。=3,所以△4SC是以2為頂角的等腰三角形,

如圖，取ZC中點。，所以BDLNC,且NCBD，NB

2

在直角△8￡>C中，in-=—，

s23

所以b=2|CD|=2忸qsin/CAD=2asinm=2x3x，=2g

故選：C

8.已知實數(shù)a,b,C滿足：a2+2b2=9>3Z)2+4c2=48-5c2+6a2=5b貝U3a—2b+c的最大值為

()

A.6B.9C.10D.15

【答案】C

【解析】

2

【分析】由題意可計算出/、/、c,即可得3a-26+c的最大值.

【詳解】由6+2〃=9，則6a2+12〃=54,X5c2+6a2=51.貝(112/一5c2=3,

由3/+4。2=48,則12r+16。2=192,故21c2=189,即/=9,

則/=48-4°-生=4,則/=9一2/=1，

33

則。=±1,b=+2,c=±3,

故Ga—Zb+cL=3xl-2x(-2)+3=10.

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.

9.已知p：“VxeN,2x+l是奇數(shù)“，g："HxeN,3x+l是偶數(shù)”，則（）

A.」P：VxeN,2x+l是偶數(shù)"B.M：“3ceN,2x+l是偶數(shù)”

C.「q：“mxeN,3x+l是奇數(shù)”D.「q：“VxeN,3x+l是奇數(shù)”

【答案】BD

【解析】

【分析】由全稱命題與特稱命題否定的定義判斷即可得.

【詳解】由於“VxeN,2x+l是奇數(shù)”，q：K3xeN,3x+l是偶數(shù)”，

貝U可：3xeN,2x+l是偶數(shù)”，f：“VxeN,3x+l是奇數(shù)”，

故B、D正確；A、C錯誤.

故選：BD.

10.已知等比數(shù)列｛%｝的公比q=—；,其前〃項和記為S",且§6=21,則（）

A.a4a8=1B.ana2C.Sn<21D.Sn>16

【答案】ABD

【解析】

【分析】借助等比數(shù)列求和公式可計算出數(shù)列｛%J的通項公式，借助通項公式即可得A；借助作差法后對〃

分奇偶進行討論可得B；求出S,后對〃分奇偶討論可得C、D.

【詳解】由題意可得S=—L一-一L=_<_a2=也=21，即為=32,

「T3"

故%=翌.臼=-[J]，

對人“十7][-7]4卜,

故A正確；

對B,q“2=-V1；y=16-16

若"為奇數(shù)，貝1J%=16-[-；]=16+/^)

>0,

若〃為偶數(shù)，則—。2=16—[―g]=16-2'，隨"的增大而增大,

tian-a2>a2-a2=0,故B正確;

2

;

64

s64

614+>3一

33?2?,且隨"的增大而減小，

64?

S<64

64-一

33?23,隨〃的增大而增大，

則當(dāng)”=1時，J有最大值，即S"VS]=32,

當(dāng)〃=2時，S〃有最小值，即S〃2S1=16,

故C錯誤，D正確.

故選：ABD.

11.設(shè)aeR,函數(shù)/(X)=—/+"一2,則()

A,當(dāng)a<0時，函數(shù)/(x)為單調(diào)遞增函數(shù)

B.點(0,-2)為函數(shù)y=/(x)圖象的對稱中心

C.存在使得函數(shù)y=/(x)圖象關(guān)于直線x=b對稱

D.函數(shù)/(x)有三個零點的充要條件是a〉3

【答案】BCD

【解析】

【分析】求導(dǎo)可得/'(月=-3/+*可判斷A錯誤；利用對稱中心定義可知滿足/(力+/(-力=-4,

可知B正確;利用軸對稱函數(shù)定義可知存在a,6滿足口43廿時使得函數(shù)V=/(x)圖象關(guān)于直線x=b對稱，

即C正確；由三次函數(shù)性質(zhì)利用導(dǎo)函數(shù)求得/(x)的單調(diào)性，再根據(jù)極值的符號即可判斷D正確.

【詳解】易知/'(x)=-3/+%

對于A,當(dāng)a<0時，可知/'(x)=-3/+。<0恒成立，因此函數(shù)/(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，即A錯誤；

對于B,由/(x)=-x3+ax-2可得f(x)+f(-x)=-x3+ax-2-(-x)3-ax-2=-4,

即可得對于VxeR都滿足/(x)+/(-"=-4,所以點(0,—2)為y=/(x)圖象的對稱中心，可得B正

確;

對于C,若函數(shù)y=/(x)圖象關(guān)于直線X=b對稱，則滿足/(x)=/(2b—X),

又/(2b-x)=-(23-X)3+a(2b-x)-2,可得-x，+ax=-［2b-x^+a(2b-x),

整理2(6—x乂f_2bx+4b2—a)=0,當(dāng)4/-a2Z?時，

即時，只有滿足x=b時/(x)=/(2b—x)成立，

因此存在a,6滿足a<3Z?時使得函數(shù)J=/(x)圖象關(guān)于直線x=b對稱，即C正確；

對于D,由A選項可知當(dāng)aW0時，=-3/+a<0恒成立，E總數(shù)/(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，不合題

忌；

所以a〉0,令/'(》)=一3/+。=0,解得》=或》=—

易知xe一叫一或xejj|^+oo時，f'(x)<0,當(dāng)xe—/-'J時，/'(1)>°；

因此可得/(x)在一°°，—和jJ^，+G0上單調(diào)遞減，在一

上單調(diào)遞增；

V3,

即/(X)在X=、和X=-A出分別取得極大值和極小值；

(一日七甘-毛-2<°

若函數(shù)/⑺有三個零點，可得:、，解得a>3；

，福Y卜。卜>。

因此充分性成立；

當(dāng)a>3時，可知/(x)在一叫一J"［。1+°°上單調(diào)遞減，在—A'jf］上單調(diào)遞增；

且極小值=—"jf—2<。'極大值=—/Z卜〉。,

由三次函數(shù)性質(zhì)可知此時/(x)有三個零點，即必要性成立，

所以函數(shù)/(x)有三個零點的充要條件是a>3,即D正確.

故選：BCD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：在求解三次函數(shù)零點個數(shù)時，關(guān)鍵是根據(jù)單調(diào)性限定出極值的符號，解不等式即可

得出參數(shù)取值范圍.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知平面直角坐標(biāo)系中，向量2=(—1,2),單位向量加=(》/)滿足|￡+4=*4，則x的值可以是

.(寫出一個正確結(jié)果即可)

【答案】2叵(或一垣).

55

【解析】

【分析】借助模長與數(shù)量積的關(guān)系計算可得鼠否=o，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式與單位向量定義計算即

可得解.

【詳解】由則(3+可2=(1?，即W+273+W、,一2H+W，

即73=0，即有。范=—x+2y=0,又W=JK+y2=d4y2+>2=1,

則y=±*，則x=2y=±2：.

故答案為：巫(或一垣).

55

13.已知/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時，f(x)=ex+l+2x,則/(1)=.

【答案】1

【解析】

【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)可得/(1)=一/(一1).

【詳解】由奇函數(shù)性質(zhì)可得/(I)=-/(-1)=-e-1+1-2x(-1)=-1+2=1.

故答案為：1.

14.已知函數(shù)/(x)=asinx,aeZ.若y=/(/(x))的零點恰為y=/(x)的零點，則a的最大值是

【答案】3

【解析】

【分析】設(shè)/={x|/(x)=0},5=(x|/(/(x))=0},根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)及集合間的基本關(guān)系計算即

可.

顯然，集合/非空.

當(dāng)a=0時，顯然A=B,

以下設(shè)awO,

此時A=｛x|asinx=0｝,B=^x|asin(asinx)=o｝=｛x|asinx=E，kez).

易知，6口/當(dāng)且僅當(dāng)對任意的xeR,有asiiuwE(keZ,左wO),

即時＜冗,故整數(shù)。的最大值為3.

故答案為：3

【點睛】思路點睛：利用函數(shù)的迭代及集合的基本關(guān)系結(jié)合三角函數(shù)的有界性計算即可.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知非零等差數(shù)列｛4｝滿足：al0=a9-2ag,aA+o6o7=0.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵記｛a,,｝的前n項和為Sn,求S”的最小值.

【答案】(1)%=2〃—17

(2)-64

【解析】

【分析】(1)設(shè)出等差數(shù)列｛4｝的公差后，借助所給等式即可計算出公差與首項，即可得解；

(2)求出S,后由二次函數(shù)性質(zhì)即可得

【小問1詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

由%。=a9—2a&可得%+9d=%+8d—2(%+7d),即2%=-15d,

由％+a6a7=0可得%+(4+5d)(q+6d)=0,即a；+1la^d+3Od2+%=0,

22

即有-llxyt/+3Qd-^-d=Q,化簡得d(d—2)=0,

故d=0或d=2,則。i=0或%=—15,

由數(shù)列｛a“｝為非零數(shù)列，故d=2,%=-15,

故%=-15+2(〃-1)=2"-17；

【小問2詳解】

S/T5+；-17)〃=/—16〃=(”8)2—6%

故當(dāng)〃=8時，Sn有最小值58=-64.

16.己知函數(shù)/(X)=/+2卜+4.

(1)討論/(x)的奇偶性；

(2)若/(x)在(-M)上具有單調(diào)性，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

(2)(-oo,-l]U[l,+<?)

【解析】

【分析】(1)結(jié)合函數(shù)奇偶性定義，計算是否存在實數(shù)。，使得對任意的xeR,/(x)+/(-x)=0或

/(x)-/(r)=O恒成立；

(2)由函數(shù)單調(diào)性定義結(jié)合絕對值性質(zhì)，分a21、a<-1及-1<。<1判斷即可得.

【小問1詳解】

/(x)定義域為R,/(-x)=x2+2|-x+a|,

則/(x)+/(-x)=x2+2|X+<7|+X2+2|-x+a|=2x2+2(|x+<7|+|-x+tz|),

則當(dāng)xW0時，/(%)+/(-%)=2x2+2Qx+4+|-x+a|)〉0恒成立，

故/(x)不可能為奇函數(shù)，

/(x)-f(-x)=x~+2|x+tz|__21_x+tz|=2(|x+a|-1-x+4),

若以+4—卜x+a|=0恒成立，則有(x+a)"=(-x+a)",即a=0,

此時/(x)為偶函數(shù)，

綜上所述，當(dāng)a=0時，/(x)為偶函數(shù)，當(dāng)a70時，/(x)為非奇非偶函數(shù)；

【小問2詳解】

令一1<玉<々<1，則%1+%2+2〉0,占+工2-2<0,

當(dāng)a21時,則/（再）-=>+2（再+。）-W-2（%+。）

=X；_X；+2（X]―%）=_》2）（2++》2）<0，

此時/（X）在（-1,1）上單調(diào)遞增，符合要求；

當(dāng)。<一1時,則/（再）-/（》2）=%；-2（%1+a）-考+2（%+a）

=x；—x,—2（石—X2）=（X]-%2）（+%—2）〉0,

此時/（X）在（-1,1）上單調(diào)遞減，符合要求；

「/、?x2+2x+2a.-a<x<\

當(dāng)一1<Q<1時，則/（%）=%9+2,+4={,

x—2x—2a,—l<x<—a

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，/⑺在上單調(diào)遞增，在（-4,1）上單調(diào)遞減,

故此時不符合要求；

綜上所述，ae（-oo,-l]u[l,+oo）.

71八2sin4—2cosB+cosA

17.在△ZBC中，已知4+5>—，tanB=—；------------------；——

32sin5-2cos4+sin4

（1）證明：sinC=1+—cosC；

2

（2）若45=2,求△48C面積的最大值.

【答案】（1）證明見解析

（2）1

【解析】

【分析】（1）借助三角恒等變換公式與三角形內(nèi)角即可得證；

JT

（2）由（1）中所得結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系與N+8〉一可得C,再借助面積公式結(jié)合余弦定理與基

3

本不等式即可得解.

【小問1詳解】

,八2sin^4-2cosB+cosAsin5

由tan8=----------------------------=-------,

2sin8-2cosZ+sinZcos5

則有2sinAcosB-2cos2B+cosAcosB=2sin25-2sin5cos^4+sin^4sinB，

即2sin/cos8+2sin5cosZ+cosNcos5-sinNsin8=2sin25+2cos2B

即2sin(4+B)+cos(4+B)=2,即2sinC—cosC=2,

故sinC=1+—cosC；

2

【小問2詳解】

由sinC=1+—cosC,則sin2C=1+—cos2C+cosC=1-cos2C,

24

化簡得cosc]cosC+3]=0,即cosC=0或cosC=-y,

jr9TT9TT1jr

由N+8〉一，則。＜—，貝ijcosC〉cos—=——，故cosC=0,即。=—,

33322

則由余弦定理AB2=+8c2一2zc.8C.cosC可得4=AC?+8C?,

則4=2。2+8。222ZC-8C，即ZC-8CV2,

當(dāng)且僅當(dāng)/C=5C=行時，等號成立，

故S=--AC-BCsmC=AC'BC＜1,

△az5c22—

即△4BC面積的最大值為1.

18.已知函數(shù)/(x)=(x+a)lnx-x(czGR).

(1)當(dāng)a=l時，求曲線y=/(x)在點(1,/。))處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個極值點，求a的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，確定函數(shù)/(x)零點的個數(shù).

【答案】(1)x-y-2=0

(2)0＜。＜一

e

(3)一個

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，對/(X)求導(dǎo)即可得解；

(2)利用二次求導(dǎo)，分類討論aWO,與0＜。＜,三種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系即可得解;

ee

(3)利用(2)中結(jié)論，分析得了(x)的極大值的正負情況，結(jié)合零點存在定理即可得解.

【小問1詳解】

因為/(%)=(x+")lnx—x,x>0,所以/'(x)=lnx+2,

當(dāng)a=l時，/(x)=(x+l)lnx-x,//(x)=lnx+—,

JC

所以/(l)=(l+l)xlnl—1=—1,/,(l)=tal+pl,

則曲線V=/(x)在點(1,/。))處的切線方程為>+l=lx(x—l),即x—y—2=0.

【小問2詳解】

a

函數(shù)/(X)有兩個極值點，則/'(X)=InX+—=0有兩個不等正根，

x

人/、ia，/、1ax-a

令g(x)=lnx+—,g(x)=-----=——,

XXXX

當(dāng)aVO時,g'(x)20,g(x)單調(diào)遞增,即/'(X)單調(diào)遞增,

則/(x)至多只有一個極值點，不滿足題意；

當(dāng)?！?時，令g'(x)<0,得0<x<a；令g'(x)>0,得x>。；

則g(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(。,+功上單調(diào)遞增，g(x)min=g(a)=ln<7+l,

當(dāng)。2工，即lna+120時，g(x)>0,即/'(x)20,

e

則/(X)在(0,+“)上單調(diào)遞增，無極值點，不滿足題意；

當(dāng)0<〃<，時，g(a)=lna+l<0,

e

]1—x

令機(x)=lnx-x+1,貝！=——1=----,

XX

令機’(x)>0,得0<x<l；令加'(x)<0,得X>1；

所以加(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+⑹上單調(diào)遞減,

所以加(x)2機(l)=lnl—1+1=0,所以InxWx—l,

則lnxWx-l<x,故即

aac、"

aa

則geQ=---\-ae=ae-2

\JaIaJ

令/z(x)=e"—%〉e,則h\x)=ex-2x,

令〃(x)=e“—2x,x〉e,則"(x)=e'—2〉0,則〃(%)在(e,+8)上單調(diào)遞增,

所以〃(x)>〃(e)=e'-2e>0,所以〃(x)單調(diào)遞增,

從而/z(x)〉/z(e)=ee—e?〉0,即血>幻,

所以ge">0,從而存在西e(0,a),使得g(xJ=0,

I)

(1_11

又ge。=—+ae?！?,e。〉。，

\)a

所以存在%￡(見+°°)，使得g(%2)=。，

此時/(X)有兩個極值點，滿足題意綜上，所以0<。<」.

e

【小問3詳解】

在(2)的條件下，設(shè)/(X)的兩個極值點為王,》2，且0<再<。<X2,

則由(2)知，當(dāng)0cx<再或x>%2時,g(x)〉0，即/'(x)〉0；

當(dāng)X[<X<X2時，g(x)<0,即/'(x)>0；

所以/(X)在(0,芭),(Z，+°°)上單調(diào)遞增，在(為%)上單調(diào)遞減，

a

又In石H—=0,即a=_%]In1],

%

所以/(再)=(西+④山/一玉=(玉_X]lnxJlnX]_Xi=f((lnxj2_lnX]+l)<0,

1L111

則/(/)</(西)<0，又/e。=ea+a——ca1-1

?I)aaJ

令t(x)=(x-l)ex,x〉e,

由(2)知InxVx-l,所以lneXWe"—l，即e"2x+l，

所以(x-l)e'+l>(x-l)(x+l)+l=x2>0,

則—l]eZ+l〉0,所以

)I)

所以/(x)在(0,9)上沒有零點，在(％，+s)上有一個零點,

即/(x)僅有一個零點.

【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法:

(1)直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖

象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與X軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形

結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；

(3)參變量分離法：由/(x)=0分離變量得出a=g(x),將問題等價轉(zhuǎn)化為直線歹=a與函數(shù)

y=g(x)的圖象的交