中考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：勾股定理的逆定理（三大類(lèi)型）（題型專(zhuān)練）（解析版）

專(zhuān)題02勾股定理的逆定理（三大類(lèi)型）

版型叔的

【題型1直角三角形的判斷】

【題型2勾股數(shù)的應(yīng)用】

【題型3勾股定理的逆定理的應(yīng)用】

題型專(zhuān)稱(chēng)

【題型1直角三角形的判斷】

1.（2023春?樂(lè)平市期末）在△ZBC中，ZA=30°,ZB=60°,則△ZBC是

（）

A.銳角三角B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

【答案】B

【解答】解：在△NBC中，ZA=30°,ZB=60°,

AZC=180°-30°-60°=90°,

??.△48C是直角三角形，

故選：B.

2.2021秋?惠城區(qū)期末）具備下列條件的AZ5c中，不是直角三角形的是（）

A.ZA+ZB=ZCB./A-/B=/C

C.乙4：/B：ZC=1：2：3D.ZA=ZB=3ZC

【答案】D

【解答】解/選項(xiàng)，NA+/B=NC,即2NC=180°,ZC=90°,為直角

三角形，不符合題意；

5選項(xiàng)，NA-NB=NC,即2NN=180°,N/=90°,為直角三角形，不

符合題意；

C選項(xiàng)，NN：/B：ZC=1：2：3,即N/+NB=NC,同Z選項(xiàng)，不符合題

，

后+-、；

。選項(xiàng)，/A=/B=3/C,即7NC=180°,三個(gè)角沒(méi)有90°角，故不是直

角三角形，符合題意.

故選：D.

3.（2023春?茶陵縣期末）下列各組數(shù)分別為一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)，其中能構(gòu)

成直角三角形的一組是（）

A.2,3,4B.6,8,10C.5,12,14D.1,1,2

【答案】B

【解答】解：A.V22+3M42,

...以2,3,4為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.V62+82=102,

??.以6,8,10為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；

C.：52+122#142,

；.5,12,14為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.V12+1M22,

以1,1,2為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

4.（2023春?東明縣期中）由下列條件不能判定△Z5C為直角三角形的是（）

A.<2=6,b=7,c=8B.a=5,b=12,c=13

C.（c+b）（c-ZJ）=a2D.ZA+ZB=ZC

【答案】A

【解答】解：4：62+72W82,則△MC不能判斷為直角三角形；故選項(xiàng)符合

題意；

B,V52+122=132,則△ZBC能判斷為直角三角形；故選項(xiàng)不符合題意；

C、（c+b）Qc-b）=a2,

：.c2-b2=a2,則△NBC能判斷為直角三角形；故選項(xiàng)不符合題意；

D、'：ZC=ZA+ZB,ZA+ZB+ZC=180°,

，2NC=180°,

ZC=90°,則△48C能判斷為直角三角形；故選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

5.（2023春?沈陽(yáng)月考）已知，△4BC中NZ,ZB,NC的對(duì)邊分別是a,b,

C,下列條件不能判斷△ZBC是直角三角形的是（）

A.a2-b2=c2B.ZA+ZB=ZC

C.a=l,c="V^D.a=8,b=40？c=41

【答案】D

【解答】解：A,'：a2-b2=c2,.*.a2=52+c2,△ZBC是直角三角形,故此選

項(xiàng)不符合題意；

B.,：ZA+ZB=ZC,.\ZC=90o,△ZBC是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合

題意；

C、,.?々2+62=1+2=3=。2,.?.42+62=/,△NBC是直角三角形，故此選項(xiàng)不符

合題意；

D,V82+40M412,：.a2+b2^c2,△4BC不是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意

故選：D.

6.（2023春?綏中縣期末）已知三組數(shù)據(jù)：①2,3,4；②3,4,5；③5,

12,13,分別以每組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)作為三角形的三邊長(zhǎng)，能構(gòu)成直角三角

形的有（）

A.①②③B.①②C.②③D.①③

【答案】C

【解答】解：①：22+32=13/42,

以這三個(gè)數(shù)為長(zhǎng)度的線(xiàn)段不能構(gòu)成直角三角形；

②；32+42=52,

???以這三個(gè)數(shù)為長(zhǎng)度的線(xiàn)段能構(gòu)成直角三角形；

③：52+122=132,

...以這三個(gè)數(shù)為長(zhǎng)度的線(xiàn)段能構(gòu)成直角三角形；

故選：C.

7.（2023春?潮陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）下列條件中，不能判定△ZBC為直角三角形的

是（）

A.ZA+ZB=9Q°B.a2+b2=c2

C.a：b：c=3：4：5D.NZ：ZB：Zc=3：4：5

【答案】D

【解答】解：A,ZA+ZB=90°,能判定△ZBC為直角三角形，故此選項(xiàng)不

合題意；

B、。2+/=*,能判定△ZBC為直角三角形，故此選項(xiàng)不合題意；

C、32+42=52,因此a：b：c=3：4：5能判定△NBC為直角三角形，故此選

項(xiàng)不合題意；

D、/A：ZB：NC=3：4：5,NC=180°X旦=75°,不是直角三角形,

12

故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

8.(2022秋?陳倉(cāng)區(qū)期末)如圖，在△NBC中，AB=4,BC=疾,點(diǎn)。在N5

上，且8。=1,CD=2.

(1)求證：CDLAB；

(2)求ZC的長(zhǎng).

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】(1)證明：?.?在△5CD中，BD=1,CD=2,BC=^,

...802+03=12+22=(遙)2=Bd

...△BCD是直角三角形，且NCQ8=90°,

：.CD±AB；

(2)解：'：CD±AB,

：.ZADC=90°,

'：AB^4,DB=l,

.\AD=3,

在中，'：CD=2,

：'AC=7AD2K：D2=V32+22=^13，

.?.NC的長(zhǎng)為J石.

9.(2023春?長(zhǎng)汀縣月考)如圖，在△/5C中，邊上的垂直平分線(xiàn)。E與

AB、/C分別交于點(diǎn)E和。，且?；?QAD+CD)(AD-CD).

(1)求證：ZC=90°；

(2)若ZC=4,BC=3,求CO的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)Z.

8

【解答】(1)證明：連接8。，

■:AB邊上的垂直平分線(xiàn)為DE,

:.AD=BD,

,:CBj(AD+CD)QAD-CD),

：.CB2=AD2-CD2,

：.CB2=BD2-CD2,

：.CB2+CD2=BD2,

：.ZC=90°；

(2)解：設(shè)CD=x,則NZ)=8O=4-x,

在Rt^5CZ>中，BD2-CD2=BO,

(4-x)2-x2=32,

解得：x=工，

8

：.CD的長(zhǎng)為工.

8

A

c'------------4B

10.(2023春?撫寧區(qū)期末)如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.

(1)求四邊形48CQ的周長(zhǎng)；

(2)求證：ZBCD=9Q°.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】(1)解：由題意可知48=3&，5C=V34>CZ)=V34，AD

5版,

：.四邊形45co的周長(zhǎng)為8V2+2V34.

(2)證明：連接8D

BC=A/34'CD—J34BD=68，

.,.80+5=802,

...△BCD是直角三角形，

即NBCD=90°.

11.(2023春?浦北縣期末)如圖，已知△NBC中，AB=AC,BC=5,D為AB

上一點(diǎn)，CD=4,BD=3.

(1)求證：ZBDC=90°；

(2)求ZC的長(zhǎng).

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】(1)證明：?.?5C=5,CD=4,BD=3,

.?.42+32=52,

ZBDC=9Q°；

(2)解：在Rtaaoc中，ZADC=18Q°-90°=90°,

依題意有NG=(AB-3)2+CD2,即NO=UC-3)2+42,

解得ZC=空.

6

故ZC的長(zhǎng)為空.

6

12.(2023春?青海月考)如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.

(1)判斷的形狀，并說(shuō)明理由；

【解答】解：(1)△NBC是直角三角形.理由：

因?yàn)?。=12+82=65,80=42+62=52,^52=32+22=13.

所以AB^BC2=13+52=65,

所以20=452+8。.

所以△ABC是直角三角形.

22=22=

(2)BC=yJ^+3V10>AC=yJ2+Q2V10,

.,.△/8C的面積=工*技*2阮=10.

2

13.(2023春?米東區(qū)期末)如圖，在△ZBC中，CQLZ8于點(diǎn)。，BC=15,

CD=12,AD=16.

(1)求AD的長(zhǎng)；

(2)判斷△NBC的形狀，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)9；

(2)△48C是直角三角形，理由見(jiàn)解答.

【解答】解：(1)在RtASC?中，VZBDC=90°,8=12,BC=15,

：.BD2=BC2-CD2=152-122=81,

：.BD=9；

(2)△4BC是直角三角形，理由如下：

在RtZUCD中，VZADC=90°,CD=12,AD=16,

.\AC2=CD2+AD2=122+162=400,

：.AC^20.

"."AD=16,BD=9,

：.AB2=(AD+BD)2=252=625,

,.ZC=20,BC=15,

：.AC^+BC2=400+225=625,

:.AO+B—AB?,

所以△48C是直角三角形.

【題型2勾股數(shù)的應(yīng)用】

14.（2023春?湘潭縣期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（)

A.8,24,25B.8,15,17C.10,20,26D.14,36,39

【答案】B

【解答】解：A.V82+242=640^252,

.?.8,24,25不是勾股數(shù)，故Z錯(cuò)誤，不符合題意；

B.：82+152=289=172,

；.8,15,17是勾股數(shù)，故8正確，符合題意；

C.V102+202=500^262,

.?.10,20,26不是勾股數(shù)，故C錯(cuò)誤，不符合題意；

D.,.T42+362=14922392,

.?.14,36,39不是勾股數(shù)，故。錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：B.

15.（2023春?新鄭市校級(jí)期末）下列各組數(shù)據(jù)為勾股數(shù)的是（）

A.4,5,6B.1,近,V3C.2,愿，5D.7,24,25

【答案】D

【解答】解：A,52+42/62,故不是勾股數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意；

B、V2-正都不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意；

C、正不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意；

D、72+242=252,能構(gòu)成直角三角形，都是整數(shù)，是勾股數(shù)，故選項(xiàng)符合題

后、.

故選：D.

16.（2023春?曾都區(qū)期末）在我國(guó)古代，人們將直角三角形中短的直角邊叫做

勾，長(zhǎng)的直角邊叫做股，斜邊叫做弦.古希臘哲學(xué)家柏拉圖研究了勾為偶數(shù),

弦與股相差為2的一類(lèi)勾股數(shù)，如：6,8,10；8,15,17…，若此類(lèi)勾股數(shù)

的勾為2nl（m^3,m為正整數(shù)），則其弦（結(jié)果用含m的式子表示）是（）

A.4m2-1B.4m2+lC.m2-1D.m2+l

【答案】D

【解答】解：???掰為正整數(shù)，

；.2m為偶數(shù),設(shè)其股是a,則弦為a+2,

根據(jù)勾股定理得，（2m）2+/=（。+2）2,

解得a=m2-1,

:?弦是。+2=7〃2-1+2=7/+],

故選：D.

17.（2023?杭州模擬）在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識(shí)時(shí)，愛(ài)動(dòng)腦的小小同學(xué)發(fā)現(xiàn)了

一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中.據(jù)此規(guī)律，當(dāng)。=45

時(shí)，b的值是（）

a357911???

b412244060???

c513254161???

A.1011B.1012C.1013D.1014

【答案】B

【解答】解：由表格中的數(shù)據(jù)得：?W=c2,c=b+l,

：.a2+b2=(A+l)2,

當(dāng)a=45時(shí),452+==(6+1)2,

.??6=1012.

故選：B.

18.（2023春?呈貢區(qū)期末）如果正整數(shù)a、b、c滿(mǎn)足等式。2+抉=02,那么正整

數(shù)4、氏C叫做勾股數(shù).某同學(xué)將自探究勾股數(shù)的過(guò)程列成下表，觀(guān)察表中

每列數(shù)的規(guī)律，可知x+y的值為（）

ab

345

8610

15817

241026

x14y

A.67B.34C.98D.73

【答案】c

【解答】解：由題可得：a—(〃+1)2-Ifb—2(〃+1),c—(〃+1)2+1,

???當(dāng)2(H+1)=14時(shí),n=6,

.e.x=48,y=50,

.?.x+y=98,

故選：C.

19.(2023春?長(zhǎng)沙期末)觀(guān)察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：請(qǐng)你寫(xiě)出有以上

規(guī)律的第⑤組勾股數(shù)：11,60,61.

①3,4,5；②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：V(1)3=2X1+1,4=2X1X(1+1),5=2X1X(1+1)+1,

②5=2X2+1,12=2X2X(2+1),13=2X2X(2+1)+1,

③7=2X3+1,24=2X3X(3+1),25=2X3X(3+1)+1,…，

...第〃組勾股數(shù)為：

a=2〃+l,b=2T?(〃+1),c=2〃(〃+l)+1,

???第⑤組勾股數(shù)為4=2X5+1=11,Z?=2X5X(5+1)=60,c=2X5X

(5+1)+1=61,即11,60,61.

故答案為：11,60,61.

20.(2023春?虞城縣期末)若6,a,8是一組勾股數(shù)，則a的值為10.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：當(dāng)。最大時(shí)，a=V^2=10-

22

當(dāng)8最大時(shí)，a=^8-Q=2>/7,不是正整數(shù)，

所以。的值為10.

故答案為：10.

21.(2022秋?皇姑區(qū)校級(jí)月考)觀(guān)察下列幾組勾股數(shù)，并填空：①6,8,10,

②8,15,17,③10,24,26,④12,35,37,則第⑤組勾股數(shù)為14,

48,50.

【答案】14,48,50.

【解答】解：根據(jù)題目給出的前幾組數(shù)的規(guī)律可得：這組數(shù)中的第一個(gè)數(shù)是2

(〃+2),第二個(gè)是：(?+1)(〃+3),第三個(gè)數(shù)是：(〃+2)2+1,

故可得第⑤組勾股數(shù)是14,48,50.

故答案為：14,48,50

【題型3勾股定理的逆定理的應(yīng)用】

22.（2023春?永定區(qū)期中）如圖所示的一段樓梯，高5c是3米，斜邊48長(zhǎng)

是5米，現(xiàn)打算在樓梯上鋪地毯，至少需要地毯的長(zhǎng)度為（）

A.5米B.6米C.7米D.8米

【答案】C

【解答】解：?.,△48C是直角三角形，BC=3m,AB=5m

?'?^C=VAB2-BC2=4（m），

...如果在樓梯上鋪地毯，那么至少需要地毯為ZC+5C=7米，

故選：C.

23.（2023春?瓦房店市期中）如圖，一只小鳥(niǎo)從樹(shù)尖C點(diǎn)徑直飛向塔尖Z

處.已知樹(shù)高6米，塔高12米，樹(shù)與塔的水平距離為8米，則小鳥(niǎo)飛行的最

短距離為（）

A.8米B.10米C.11米D.12米

【答案】B

【解答】解：由題意可知，CD=6米，/5=12米，8。=8米,

如圖，過(guò)點(diǎn)C作CEL48于點(diǎn)E,連接/C,

A

DB

則3E=CZ）=6米，CE=BC=8米，

；.AE=AB-BE=12-6=6（米），

在中，由勾股定理得：（米），

RtaNCE^C=1/AE24<:E2=^/62+82=10

即小鳥(niǎo)飛行的最短距離為10米，

故選：B.

24.（2023春?西和縣期中）第27屆LG杯世界棋王賽決賽將于2023年2月舉

行，這也是2023年第一個(gè)世界圍棋大賽決賽.如圖是一個(gè)圍棋棋盤(pán)的局部,

若棋盤(pán)是由邊長(zhǎng)均為1的小正方形組成的，則黑、白兩棋子的距離為（）

【答案】D

【解答】解：黑、白兩棋子的距離=疹不=5.

故選：D.

25.（2023?哪西縣一模）已知釣魚(yú)桿ZC的長(zhǎng)為10米，露在水上的魚(yú)線(xiàn)8c長(zhǎng)

為6根，某釣魚(yú)者想看看魚(yú)鉤上的情況，把魚(yú)竿ZC轉(zhuǎn)動(dòng)到ZC的位置，此時(shí)

露在水面上的魚(yú)線(xiàn)8C長(zhǎng)度為8米，則A8的長(zhǎng)為（）

I

O

A.4米B.3米C.2米D.1米

【答案】C

【解答】解：在RtZ\ZBC中，AC=10m,BC=6m,

：.AB=VAC2-BC2=V102-62=8，

在RtZ\48'C中，AC'=10m,B'C=8m,

".AB'=,AC'2廿C'2=6（m）,

:.BB'=AB-AB'=8-6=2（m）；

故選：C.

26.（2023春?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖所示的圓柱形杯子的內(nèi)直徑為6c機(jī)，內(nèi)部

高度為9cm,小穎把一根直吸管放入杯中，要使吸管不斜滑到杯里，則吸管

的長(zhǎng)度（整厘米數(shù)）最短是（）

A.9cmB.10cmC.11cmD.12cm

【答案】c

【解答】解：吸管長(zhǎng)度為」62+92=近萬(wàn)＜11，

所以吸管的最短整數(shù)是11cm,

故選：C.

27.（2023春?通榆縣期中）如圖，《九章算術(shù)》中記載今有立木，系索其末,

委地三尺，引素卻行，去本八尺而索盡，問(wèn)素長(zhǎng)幾何？譯文：今有一豎直著

的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上端順木柱下垂后堆在地面

的部分有三尺（繩子比木柱長(zhǎng)3尺），牽著繩索退行，在距木柱底部8尺

（5C=8）處時(shí)而繩索用盡，求木柱的長(zhǎng).

【答案】木柱的長(zhǎng)為垣尺.

6

【解答】解：設(shè)木柱的長(zhǎng)為x尺，則繩索長(zhǎng)為（x+3）尺，

根據(jù)題意得：x2+82=（x+8）2,

解得

6

木柱的長(zhǎng)為垣尺.

6

28.（2023春?廣元月考）已知一架5機(jī)長(zhǎng)的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時(shí)梯

足距墻腳3根，若梯子的頂端下滑1根，則梯足將滑動(dòng)多遠(yuǎn)？

【解答】解：在直角三角形△ZB。中，根據(jù)勾股定理可得，0A=V?T=4ir，

如果梯子的頂度端下滑1米，

則OA'=4-l=3m.

在直角三角形HB'。中，根據(jù)勾股定理得到：OB，=4m,

則梯子滑動(dòng)的距離就是-05=4-3=1加.

29.（2023春?陜州區(qū)期中）《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有開(kāi)門(mén)去鬧

（丘〃）一尺，不合二寸，問(wèn)門(mén)廣幾何.”大意是說(shuō)：今推開(kāi)雙門(mén)，門(mén)框距離

門(mén)檻1尺，雙門(mén)間的縫隙為2寸，那么門(mén)的寬度（兩扇門(mén)的和）為多少尺？

【答案】10.1尺.

【解答】解：由題意得：。。=2寸=0.2尺，AD=AO=BO=BC,

點(diǎn)。到N8的距離為1尺，

設(shè)單扇門(mén)的寬度是X尺，

根據(jù)勾股定理，得(X-0.1)2+12=9,

解得x=5.05,

則2x=10.1,

，門(mén)的寬度(兩扇門(mén)的和)為10」尺.

30.(2023春?瀘縣校級(jí)期中)如圖，有一塊土地形狀如圖所示，/B=90°,

48=6米，BC=2j7米，。。=15米，幺。=17米，

(1)求線(xiàn)段NC的大小；

【答案】(1)8米；

(2)(6A/7+60)平方米.

【解答】解：(1)VZ5=90°,48=6米，BC=2板米，

'-AC=7AB2+BC2=Ve2+(2V7)2=8(米)，

即線(xiàn)段ZC的長(zhǎng)為8米；

(2)?.?/C=8米，0)=15米，/。=17米，82+152=172,

：.AC2+CD2=AD2,

...△/CD是直角三角形，且N/CO=90°,

S四邊形ABD==1AB-BC+1AC-CD=1X6X2夜+工*8X15=

2222

(677+60)平方米，

即這塊土地的面積為(6V7+60)平方米.

31.(2023春?慶云縣期中)如圖，有一艘貨船和一艘客船同時(shí)從港口Z出發(fā),

客船每小時(shí)比貨船多走5海里，客船與貨船速度的比為4：3,貨船沿南偏東

80°方向航行，2小時(shí)后貨船到達(dá)5處，客船到達(dá)。處，若此時(shí)兩船相距50

海里，求客船航行的方向.

【答案】客船航行的方向?yàn)楸逼珫|10°.

【解答】解：客船的速度為4x海里/小時(shí)，則貨船的速度為3x海里/小時(shí),

由題意得4x-3x=5,

解得x=5,

???客船的速度為20海里/小時(shí)，則貨船的速度為15海里/小時(shí)，

???貨船沿南偏東80°方向航行，2小時(shí)后貨船到達(dá)8處，客船到達(dá)C處,

.,.ZC=20X2=40海里，48=15X2=30海里，/BAE=80°,

又,.?BC=50海里，

J.AC+AB^BC2,

：.ZBAC=90°,

：.ZCAF=180°-90°-80°=10°,

???客船航行的方向?yàn)楸逼珫|10°.

32.（2023春?邢臺(tái)期中）如圖，經(jīng)過(guò)幺村和8村（將Z,8村看成直線(xiàn)/上的

點(diǎn)）的筆直公路1旁有一塊山地正在開(kāi)發(fā)，現(xiàn)需要在C處進(jìn)行爆破.已知C

處與2村的距離為900米，C處與8村的距離為1200米，且ZC,5c.

（1）求48兩村之間的距離；

（2）為了安全起見(jiàn)，爆破點(diǎn)。周?chē)霃?50米范圍內(nèi)不得進(jìn)入，在進(jìn)行爆破

時(shí)，公路Z8段是否有危險(xiǎn)而需要封鎖？如果需要，請(qǐng)計(jì)算需要封鎖的路段長(zhǎng)

度；如果不需要，請(qǐng)說(shuō)明理由.

AB

【答案】（1）Z,8兩村之間的距離為1500米；

（2）段公路需要封鎖，需要封鎖的路段長(zhǎng)度為420米.

【解答】解：（1）在RtaZBC中，NC=900米，8C=1200米，

?*-AB=VAC2+BC2=79002+12002=1500（米）?

答：A,8兩村之間的距離為1500米；

（2）公路有危險(xiǎn)而需要封鎖.

理由如下：如圖，過(guò)C作CDL45于。.以點(diǎn)C為圓心，750米為半徑畫(huà)弧,

交AB于點(diǎn)E,F,連接CE,CF,

'：Sac=lAB'CD=LBC'AC,

’22

,

：.CD=ACBC=900X1200

AB-1500

=720（米）.

由于720米＜750米，故有危險(xiǎn)，

因此Z5段公路需要封鎖.

:.EC=FC=750米，

ED=I/7502-7202

=210（米），

故斯=420米，

則需要封鎖的路段長(zhǎng)度為420米.

33.（2023春?惠城區(qū)校級(jí)期中）如圖，鐵路上Z,8兩點(diǎn)相距25而，C,D為

兩村莊，于點(diǎn)Z,于點(diǎn)8,已知D4=15癡，CB=10km,現(xiàn)

在要在鐵路Z5上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E,使得C,。兩村到E站的距離相

等，則E站應(yīng)建在離幺站多少后"處?

D

AE

【答案】E站應(yīng)建在離/站10M處.

【解答】解：???使得C,。兩村到E站的距離相等，

：.DE=CE.

'：DA±AB^-A,CBL4B于B,

：.ZA=ZB=90°,

:.A0+4D2MDE2,BE2+BC2=EC2,

：.A^+AD2=B^+BC2,設(shè)ZE=x,貝U-ZE=(25-x).

DA=15km,CB=10km,

：.x2+152=(25-x)2+1%

解得：x=10,

.".AE=10km.

答：E站應(yīng)建在離/站10左根處.

34.(2023春?海淀區(qū)校級(jí)期中)如圖，某住宅小區(qū)在施工后留下了一塊空地,

已知2。=4米，CD=3米，28=13米，8C=12米，ZADC=90°,小區(qū)為

美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪.若草坪每平方米30元，則用該草坪鋪滿(mǎn)這塊

空地需花費(fèi)多少元？

【答案】720元.

【解答】解：連接ZC,在RtZ\NCO中,

,：AC2=CD2+AD2=32+42=25,

：.AC=5,

,：AC2+BC2=52+122=169,AB2=132=169,

：.AC2+BC2=AB2,

：.ZACB=90°,

該區(qū)域面積=S"B-S"D=』X12X5-工X3X4=24（平方米），

22

鋪滿(mǎn)這塊空地共需花費(fèi)=24X30=720元.

35.（2023?潘橋區(qū)校級(jí)模擬）如圖，海中有一小島P,它的周?chē)?2海里內(nèi)有暗

礁，漁船跟蹤魚(yú)群由西向東航行，在〃處測(cè)得小島尸在北偏東60°方向上,

航行16海里到N處，這時(shí)測(cè)得小島尸在北偏東30°方向上.如果漁船不改

變航線(xiàn)繼續(xù)向東航行，是否有觸礁危險(xiǎn)，并說(shuō)明理由.

【答案】漁船不改變航線(xiàn)繼續(xù)向東航行，不會(huì)有觸礁危險(xiǎn)，理由見(jiàn)解析.

【解答】解：漁船不改變航線(xiàn)繼續(xù)向東航行，不會(huì)有觸礁危險(xiǎn)，理由如下:

過(guò)點(diǎn)尸作尸交跖V的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)4

由題意得：ZPMA=90°-60°=30°,ZPNA=90°-30°=60°,

:./APN=90°-/PNA=30°,

設(shè)NN=x海里，則PN=2x海里,

".AP=>/PN2-AN2=V（2X）2-X2=VSX（海里），AM=MN+AN=（16+x）

海里，

VZPMA=30°,

：.PM=2AP=243x（海里），

在Rt^MAP中，PM2=AP2+AM2,

即（2百x）2=（V3x）2+（x+16）2,

解得：xi=8,x2=-4（不合題意，舍去）；

:.AP=MX=8M（海里），

：（8百）2=192,122=144,

??.8聲〉12,

漁船不改變航線(xiàn)繼續(xù)向東航行，不會(huì)有觸礁危險(xiǎn).

36.（2023春?南寧月考）如圖，一根直立的旗桿高8機(jī)，因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)C

處折斷，頂部B著地且離旗桿底部A的距離為4m.

（1）求旗桿距地面多高處折斷CAC）；

（2）工人在修復(fù)的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點(diǎn)C的下方1切的點(diǎn)。處，有一條明

顯裂痕，將旗桿修復(fù)后，若下次大風(fēng)將旗桿從點(diǎn)。處吹斷，則距離旗桿底部

周?chē)啻蠓秶鷥?nèi)有被砸傷的風(fēng)險(xiǎn)？

【答案】（1）旗桿距地面3機(jī)處折斷；

（2）距離旗桿底部周?chē)?、歷處的范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險(xiǎn).

【解答】（1）解：由題意，知ZC+5C=8%

因?yàn)镹Z=90°,

設(shè)NC長(zhǎng)為ATM,則長(zhǎng)（8-x）m,

則42+x2=(8-x)2,

解得x=3.

故旗桿距地面3根處折斷;

(2)如圖.

因?yàn)辄c(diǎn)。距地面幺。=3-1=2(m),

所以57)=8-2=6(m),

所以AB，=VByD2-AD2=762-22=4&(m)，

所以距離旗桿底部周?chē)?、歷機(jī)的范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險(xiǎn).

37.(2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末)如圖，水池中離岸邊。點(diǎn)4米的。處，直立

長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分的長(zhǎng)是2米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端8恰

好落到。點(diǎn)，則水池的深度NC為多少米.

【答案】3米.

【解答】解：設(shè)水池的深度為x米，由題意得：

x2+42=(x+2)2,

解得：x=3.

答：水池的深度為3米.

38.(2022秋?棲霞市期末)新冠疫情期間，為了提高人民群眾防疫意識(shí)，很多

地方的宣講車(chē)開(kāi)起來(lái)了，大喇叭響起來(lái)了，宣傳橫幅掛起來(lái)了，電子屏亮起

來(lái)了，電視、廣播、微信、短信齊上陣，防疫標(biāo)語(yǔ)、宣傳金句頻出，這傳遞

著打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的堅(jiān)定決心.如圖，在一條筆直公路"N的一側(cè)點(diǎn)Z

處有一村莊，村莊幺到公路"N的距離48為800米，若宣講車(chē)周?chē)?000米

以?xún)?nèi)能聽(tīng)到廣播宣傳，宣講車(chē)在公路"N上沿跖V方向行駛.

（1）請(qǐng)問(wèn)村莊Z能否聽(tīng)到宣傳？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）如果能聽(tīng)到，已知宣講車(chē)的速度是300米/分鐘，那么村莊Z總共能聽(tīng)到

多長(zhǎng)時(shí)間的宣傳？

A,

MBN

【答案】（1）村莊能聽(tīng)到宣傳；

（2）村莊總共能聽(tīng)到4分鐘的宣傳.

【解答】解：（1）村莊能聽(tīng)到宣傳，

理由：?.?村莊/到公路〃乂的距離為800米＜1000米，

???村莊能聽(tīng)到宣傳；

（2）如圖：假設(shè)當(dāng)宣講車(chē)行駛到尸點(diǎn)開(kāi)始影響村莊，行駛。點(diǎn)結(jié)束對(duì)村莊的

影響，

則幺尸=/Q=1000米，28=800米，

/.BP=BQ~A/AP2-AB2=600（米），

，PQ=]200米，

???影響村莊的時(shí)間為：12004-300=