工程力學(xué) 第5版 課件 第7章 動力學(xué)普遍定理

第七章動力學(xué)普遍定理動力學(xué)基本方程及其動靜法是解決動力學(xué)問題的基本方法之一，但是在實際運用中，通過使用幾個動力學(xué)普遍定理，可以省卻前期的推導(dǎo)，在引入一些導(dǎo)出的物理量后，能更直觀且簡單地解決某些特定類型的問題。引入這些概念，也有助于更深入地理解物體機械運動的一些特性。第七章動力學(xué)普遍定理7.1動量定理7.2動量矩定理7.3

動能定理7.4功率與功率方程第七章動力學(xué)普遍定理7.1動量定理第七章動力學(xué)普遍定理7.1動量定理質(zhì)點動量定理質(zhì)點的質(zhì)量與其速度的乘積稱為質(zhì)點的動量.某瞬時質(zhì)量為m的質(zhì)點的動量p

:動量的單位:kg·m/s質(zhì)點的動量是矢量，方向與質(zhì)點速度的方向一致。動量的量綱:MLT-17.1動量定理質(zhì)點動量定理物體運動狀態(tài)的改變不僅與作用其上的力有關(guān)，還與力作用的時間有關(guān)。把力與其作用時間的乘積稱為沖量，反映力在一段時間內(nèi)對物體作用的累積效果。沖量是矢量，用I表示，方向與力一致。若力F

為常矢量,則:若力F

隨時間變化,則在微小時間段內(nèi):單位:N·s牛頓·秒7.1動量定理質(zhì)點動量定理一個質(zhì)量為m

的質(zhì)點受到力F

的作用，根據(jù)牛頓第二定律質(zhì)點的加速度：

上述公式表明作用在質(zhì)點上的力F

等于質(zhì)點動量的變化率

將上式從t1

至t2

積分，可得7.1動量定理質(zhì)點系動量定理在直角坐標系下進行投影，可得若作用在質(zhì)點上的力有多個，則需要考慮每個力的沖量，則有7.1動量定理質(zhì)點動量定理中國古代·東漢·王充《論衡·狀留篇》“是故湍瀨之流，沙石轉(zhuǎn)而大石不移。何者?大石重而沙石輕也”“是故車行于陸，船行于溝，其滿二重者行遲，空而輕者行疾。”7.1動量定理質(zhì)點系動量定理質(zhì)點系的動量定義為質(zhì)點系中各質(zhì)點的動量的矢量和。根據(jù)質(zhì)點系質(zhì)心的矢徑：兩邊對時間求導(dǎo)：以上可寫為：質(zhì)點系的動量等于質(zhì)點系的質(zhì)量乘以質(zhì)心的速度，瞬時量。7.1動量定理質(zhì)點系動量定理【問題】求圖示均質(zhì)桿的動量【解答】7.1動量定理質(zhì)點系動量定理在考慮多個質(zhì)點構(gòu)成的質(zhì)點系的問題時，可以將質(zhì)點系中每一個質(zhì)點加以單獨考慮，對單個質(zhì)點可寫出下式：將各個質(zhì)點的上式進行矢量累加得到：7.1動量定理質(zhì)點系動量定理由于質(zhì)點之間的相互作用力總是成對出現(xiàn)，等值、反向，同一直線向直角坐標系投影得到7.1動量定理質(zhì)點系動量定理如作用于質(zhì)點系的外力的矢量和等于0，則在運動過程中質(zhì)點系的動量保持不變；如作用在質(zhì)點系的外力矢量和在某一軸上投影恒為零，則在運動過程中質(zhì)點系的動量在該軸上的投影保持不變。

以上結(jié)論稱為質(zhì)點系動量守恒定律7.1動量定理質(zhì)點系動量守恒定律是自然界的普遍客觀規(guī)律之一，在工程技術(shù)上應(yīng)用十分廣泛，例如槍炮的“后座”、火箭和噴氣式飛機的反推作用等的都可以用動量守恒定律來加以解釋。7.1動量定理【例題】錘子重W=300N，自高度H=1.5m靜止自由下落擊打工件.當錘擊打工件時，工件發(fā)生變形，擊打變形的時間為t=0.01s.計算錘擊打工件的平均作用力的大小。7.1動量定理【求解】分析作用在錘上的力:F*

工件對錘的平均反力從

T0

至

T1從

T1

至

T27.1動量定理【例題】如圖所示，物塊A

的質(zhì)量等于m1物塊B的質(zhì)量等于m2.若物塊A

的加速度等于a并忽略輪的質(zhì)量，計算鉸O

處的反力。7.1動量定理【解答】根據(jù)運動關(guān)系:動量向坐標軸的投影:7.2動量矩定理第七章動力學(xué)普遍定理7.2動量矩定理均質(zhì)對稱圓盤繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動其動量：

質(zhì)點系的動量不能描述質(zhì)點系相對于質(zhì)心的運動狀態(tài)，動量定理也不能闡明這種運動的規(guī)律，而必須用其他理論來解決這個問題。7.2動量矩定理動量矩的概念質(zhì)點對軸的動量矩如圖所示，設(shè)有質(zhì)點M，其質(zhì)量為m，它在與軸z

垂直的平面N

內(nèi)的速度為v，動量為mv，稱質(zhì)點的動量mv與質(zhì)點至z

軸距離r

的乘積為質(zhì)點對固定軸z的動量矩，以Mz(mv)表示，即7.2動量矩定理動量矩的概念質(zhì)點對軸的動量矩質(zhì)點對軸的動量矩可以想象成把質(zhì)點的動量視為一個“力”，考慮這個“力”對軸之矩。對固定軸的動量矩是代數(shù)量。通常規(guī)定：從z軸的正向看去，使質(zhì)點繞z軸作逆時針轉(zhuǎn)動的動量矩為正，反之為負。（右手定則，類似于空間力對軸的矩的正負號規(guī)定）單位:kg·m2/s7.2動量矩定理動量矩的概念質(zhì)點系及剛體對軸的動量矩

質(zhì)點系中各質(zhì)點對固定軸z的動量矩的代數(shù)和稱為質(zhì)點系對固定軸z的動量矩。7.2動量矩定理動量矩的概念定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩:

定軸轉(zhuǎn)動剛體對其轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與轉(zhuǎn)動角速度的乘積。7.2動量矩定理質(zhì)點動量矩定理設(shè)在平面內(nèi)質(zhì)點M繞與平面N垂直的z軸作圓周運動，已知質(zhì)點的質(zhì)量為m，某瞬時的速度為v，加速度為a，其動量為mv。根據(jù)動力學(xué)基本方程F=ma，將此式向點M處的圓周的切線方向投影，得7.2動量矩定理質(zhì)點動量矩定理上式雖然是從一特例中推導(dǎo)出來的，但是具有普遍意義。它表明質(zhì)點對某一固定軸的動量矩對于時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點上的力對同一軸之矩。這就是質(zhì)點的動量矩定理的微分形式。7.2動量矩定理質(zhì)點動量矩定理*嚴格推導(dǎo)由于：并且根據(jù)動量定理:則可得：7.2動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理由n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，取其中任一質(zhì)點Mi，此質(zhì)點的動量為mivi，作用在該質(zhì)點上內(nèi)力的合力為Fi(i)，外力的合力為Fi(e)。由前述質(zhì)點動量矩定理有7.2動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系對某一固定軸的動量矩對于時間的導(dǎo)數(shù)，等于質(zhì)點系所有外力對同一軸之矩的代數(shù)和。這就是質(zhì)點系的動量矩定理。Lz為常量，質(zhì)點系動量矩守恒7.2動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理【例題】圖示提升裝置，滾筒直徑為d，它對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，作用于滾筒上的主動力偶矩為T，被提升重物的質(zhì)量為m，求重物上升的加速度。7.2動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理【求解】7.2動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理

離心調(diào)速器的水平桿AB長為2a，可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動，其兩端各用鉸鏈與長為l的桿AC及BD相連，桿端各連接質(zhì)量為m

的小球C和D。起初兩小球用細線相連，使桿AC與BD均為鉛垂，系統(tǒng)繞軸z的角速度為w0。如某瞬時此細線拉斷后，桿AC與BD各與鉛垂線成q角，如圖所示。不計各桿質(zhì)量，求此時系統(tǒng)的角速度?！纠}】7.2動量矩定理質(zhì)點系動量矩定理

系統(tǒng)所受外力有小球的重力及軸承的約束力，這些力對軸z之矩都等于零，故考慮用動量矩守恒求解。選整個系統(tǒng)為對象，受力分析則系統(tǒng)對軸z動量矩守恒Lz=常量開始時系統(tǒng)動量矩細線拉斷后的動量矩根據(jù)7.3動能定理第七章動力學(xué)普遍定理7.3動能定理7.3動能定理

能量轉(zhuǎn)換與功之間的關(guān)系是自然界中各種形式運動的普遍規(guī)律，在機械運動中則表現(xiàn)為動能定理。動能定理從能量的角度來分析質(zhì)點和質(zhì)點系的動力學(xué)問題。能量有各種形式，如電能、熱能、機械能等，各種能量可以相互轉(zhuǎn)化，例如：機床的電動機接上電源后開始轉(zhuǎn)動，電能轉(zhuǎn)化為機械能；機床在加工時，運動部件因摩擦發(fā)熱，機械能轉(zhuǎn)化為熱能；零件之間相互碰撞發(fā)出聲響，機械能轉(zhuǎn)化為聲能；各種能量相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系以及機械能量的增減都與功有關(guān)。在機械運動中，功是度量力在一段路程上對物體作用的累積效應(yīng)，力作功的結(jié)果使物體的機械能發(fā)生變化。7.3動能定理外力做功力的功是力在其作用點所經(jīng)過的一段路程中對物體的作用效果的度量。1.常力的功功是標量，其可以為正、負或零。功是過程量。單位：焦耳量綱：dimW=MLT-2L=ML2T-27.3動能定理外力做功2.變力的功在微段路程ds:力F在微小位移中作的功稱為元功,用dW表示7.3動能定理外力做功3.合力的功設(shè)質(zhì)點M受力系F1，F(xiàn)2，……，F(xiàn)n的作用，其合力質(zhì)點M在合力FR作用下沿有限曲線M1M2所作的功：7.3動能定理外力做功4.常見力的功-重力的功對于質(zhì)點系而言:h:質(zhì)點系質(zhì)心起止位置間的高度差7.3動能定理外力做功4.常見力的功-彈性力的功胡克定律：彈簧作用于質(zhì)點的彈性力F的大小與彈簧變形量d(伸長或壓縮)成正比F=kdk:彈簧的剛度系數(shù)，單位：N/m彈性力的功等于彈簧的起始變形量與終止變形量的平方差和剛度系數(shù)的乘積的一半看，而與質(zhì)點運動的路徑無關(guān)。7.3動能定理外力做功4.常見力的功-動摩擦力做功當質(zhì)點受動摩擦力作用從M1運動到M2的過程中，由于動摩擦力的方向總是與質(zhì)點運動的方向相反，根據(jù)摩擦定律，F(xiàn)f=mFN，在一般情況下，動摩擦力做負功。動摩擦力做功的大小與質(zhì)點的運動路徑有關(guān)，即若法向反力FN為常量s12為質(zhì)點從M1運動到M2所經(jīng)路程的曲線距離7.3動能定理外力做功4.常見力的功-作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力做的功(力偶做的功)若Mz(F)是一個常量假設(shè)力偶M

作用在剛體上:若M

是常量7.3動能定理外力做功4.常見力的功-內(nèi)力做功由于質(zhì)點系的內(nèi)部作用力總是成對出現(xiàn)，且等值反向共線，它們的合力為零，對任意一點的力矩之和也為零，所以力和力矩作用的外效應(yīng)是相互抵消的。需要注意的是，將物體視為變形體，或離散質(zhì)點系的質(zhì)點之間的距離發(fā)生變化時，質(zhì)點系的內(nèi)部相互作用力也將做功，所以質(zhì)點系內(nèi)力做功一般不為零。對于剛體而言，由于剛體內(nèi)部質(zhì)點之間的距離在外力作用下始終保持不變，所以剛體中內(nèi)力做功之和等于零。7.3動能定理外力做功4.常見力的功-約束力做功

在許多理想情況下，約束力的功(或功之和)等于零，這樣的約束稱為理想約束。在本書范圍內(nèi)，即在靜力學(xué)中已介紹過的不計摩擦的約束、不計自重的剛桿、不可伸長之繩索皆為理想約束。此外，作純滾動的輪子對作用在輪上位于輪、地接觸處的摩擦力來說，因該點為瞬心，其速度為零，瞬時無位移，故摩擦力做功為零。但對作用于輪上的滾阻力矩，因為輪有轉(zhuǎn)角，所以滾阻力矩做功一般不為零。7.3動能定理外力做功【例題】重9.8N的滑塊放在光滑的水平槽內(nèi)，一端與剛度系數(shù)k=50N/m的彈簧連接，另一端被繞過定滑輪C的繩子拉住?；瑝K在位置A時，彈簧具有拉力2.5N?；瑝K在20N的繩子拉力作用下由位置A運動到位置B，試計算作用于滑塊的所有力的功之和。已知AB=200mm，不計滑輪的大小與軸承摩擦。7.3動能定理外力做功取滑塊作為研究對象，在任一瞬時(至A點x距離)進行受力分析彈性力做功，先計算A、B處彈簧的變形量7.3動能定理外力做功拉力FT做功，先計算夾角余弦計算做功所有的力做功7.3動能定理動能1.質(zhì)點的動能定義

設(shè)質(zhì)點的質(zhì)量為m,某瞬時速度為v,則該質(zhì)點的動能等于它的質(zhì)量與速度二次方的乘積的一半，用Ek表示。

恒為正值，是一個與速度方向無關(guān)的正標量

單位：N·m(J)量綱：dimEk=ML2T-27.3動能定理動能2.質(zhì)點系的動能

質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點的動能的總和，稱為質(zhì)點系的動能。

有限個離散質(zhì)點構(gòu)成的質(zhì)點系可以算出每個質(zhì)點的動能，進行代數(shù)相加。

剛體是由無數(shù)個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，剛體在作不同運動時，其上各點的速度分布不同，因此剛體的動能應(yīng)按照剛體的運動形式來做計算。7.3動能定理動能

平動剛體的動能等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心速度平方乘積的一半?？蓪⑵絼觿傮w視為一個全部質(zhì)量集中在質(zhì)心的質(zhì)點來計算其動能。

平動剛體，其每一個瞬時剛體內(nèi)各質(zhì)點的速度都相同，以剛體質(zhì)心的速度vC作為代表，可得：3.平動剛體的動能7.3動能定理動能4.定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能

定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量和角速度平方乘積的一半。

設(shè)剛體在某瞬時繞固定軸z轉(zhuǎn)動的角速度為w，則與轉(zhuǎn)動軸相距ri、質(zhì)量為mi的質(zhì)點的速度vi=riw，因此可得：7.3動能定理動能5.平面運動剛體的動能

剛體作平面運動時，其任一瞬時的速度分布可以看成是繞其速度瞬心做瞬時轉(zhuǎn)動，因此，其瞬時的動能可按定軸轉(zhuǎn)動的形式來計算：平面運動剛體的動能等于剛體隨質(zhì)心平動動能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能之和。7.3動能定理動能【例題】

桿AB

以逆時針的角速度w

=2.5rad/s作定軸轉(zhuǎn)動，計算四連桿機構(gòu)在圖示位置時系統(tǒng)的動能。單位長度的質(zhì)量為:2kg/m，各桿均為均質(zhì)桿。7.3動能定理動能【例題】1.計算相關(guān)速度:桿BC

的質(zhì)心G

的速度7.3動能定理動能2.計算動能7.3動能定理動能【例題】

求質(zhì)量為m，半徑為r的均質(zhì)圓輪在光滑平面上作純滾動時的動能，設(shè)某瞬時圓輪質(zhì)心的速度為v.7.3動能定理動能方法1方法27.3動能定理動能定理

質(zhì)點的動能定理質(zhì)點的動能定理建立起了質(zhì)點的動能和作用力之間的關(guān)系得到

上式稱為質(zhì)點動能定理的微分形式，即質(zhì)點動能的增量等于作用在質(zhì)點上力的元功。7.3動能定理動能定理

質(zhì)點的動能定理積分

質(zhì)點動能定理的積分形式：在質(zhì)點運動的某個過程中，質(zhì)點動能的改變量等于作用于質(zhì)點的力作的功。

若力做正功，質(zhì)點動能增加，接收能量；若力做負功，質(zhì)點動能減少，輸出能量。7.3動能定理動能定理

質(zhì)點的動能定理【例題】為測定車輛運動阻力系數(shù)K(K為運動阻力F的大小與正壓力之比)，將車輛從斜面A處無初速度釋放下滑。車輛滑到水平面后繼續(xù)運行到C處停止。如已知斜面長度為l，高度為h，斜面(在水平面上)的投影長度為s'，水平面上車輛的運行距離為s，如圖所示。求車輛運動時的阻力系數(shù)K值。7.3動能定理動能定理

質(zhì)點的動能定理【求解】7.3動能定理動能定理

質(zhì)點的動能定理【例題】

質(zhì)量為m的物體，自高處自由落下，落到下面有彈簧支撐的板上，如圖所示。設(shè)板和彈簧的質(zhì)量都可以忽略不計，彈簧剛度系數(shù)為k，求彈簧的最大壓縮量。7.3動能定理動能定理

質(zhì)點的動能定理【解答】外力只有重力和彈性力做功根據(jù)動能定理7.3動能定理動能定理人們開始走動或起跑時，什么力使人的質(zhì)心加速運動？什么力使人的動能增加？產(chǎn)生加速度的力一定做功嗎？1、地面對人穿的鞋的摩擦力使其質(zhì)心加速運動2、動能增加是體內(nèi)肌肉內(nèi)力做功的結(jié)果，如同汽車動能的增加，是汽車內(nèi)發(fā)動機氣缸燃料的燃燒，使汽車獲得前進的動能3、產(chǎn)生加速度的力不一定做功，例如本例中的摩擦力（作用點并無位移），另外單擺中繩子的拉力等7.3動能定理動能定理

質(zhì)點系的動能定理對于質(zhì)點系中的任意一個質(zhì)點Mi由此對于整個質(zhì)點系經(jīng)過積分運算質(zhì)點系動能的微分，等于作用于質(zhì)點系全部力所作的元功之和質(zhì)點系在某一段運動過程中，動能的改變量等于作用于質(zhì)點系的全部力在這段過程中所作功之和。7.3動能定理動能定理

質(zhì)點系的動能定理空心圓輪A:m1,R1實心圓柱B:m2,R2當在空心圓輪上施加一個主動力矩M

且斜面的傾角為

a,圓柱B作純滾動.求當圓柱質(zhì)心C運動了s距離后其速度的大小，系統(tǒng)初始狀態(tài)為靜止.【例題】7.3動能定理動能定理

質(zhì)點系的動能定理【求解】分析受力及運動分析外力做功圓柱B只滾不滑,因此摩擦力F做功等于0。（理想約束）7.3動能定理動能定理

質(zhì)點系的動能定理分析系統(tǒng)的動能:7.3動能定理動能定理

質(zhì)點系的動能定理

應(yīng)用動能定理7.3動能定理動能定理

質(zhì)點系的動能定理

進一步問，如何求質(zhì)心C的加速度？7.3動能定理動能定理

質(zhì)點系的動能定理【例題】曲柄連桿機構(gòu)如圖所示。已知曲柄OA=r，連桿AB=4r，C為連桿之質(zhì)心，在曲柄上作用一個不變轉(zhuǎn)矩M。曲柄和連桿皆為均質(zhì)桿，質(zhì)量分別為m1和m2。曲柄開始時靜止且在水平向右的位置。不計滑塊的質(zhì)量和各處的摩擦，求曲柄轉(zhuǎn)過一周時的角速度。7.3動能定理動能定理

質(zhì)點系的動能定理【解答】7.4功率與功率方程第七章動力學(xué)普遍定理7.4功率與功率方程單位時間內(nèi)力所做的功，稱為功率，以P表示。功率是衡量機械性能的一個重要指標。其數(shù)學(xué)表達式為：功率等于切向力和力作用點速度的乘積。功率的單位是W(瓦特)1W=1J/s7.4功率與功率方程實例1機床加工零件時，切削力越大，切削速度越高，則要求機床的功率越大。每臺機床、每部機器能夠輸出的最大功率是一定的，因此用機床加工時，如果切削力較大，那么必須選擇較小的切削速度，