魯教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第三章勾股定理3勾股定理的應(yīng)用舉例課件

第三章勾股定理3勾股定理的應(yīng)用舉例基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1確定幾何體上的最短路徑問題1.(2023山東青島即墨月考)某?！肮鈱W(xué)節(jié)”的紀(jì)念品是一個(gè)

底面為等邊三角形的三棱鏡(如圖).在三棱鏡的側(cè)面上,從頂

點(diǎn)A到頂點(diǎn)A'鑲有一圈金屬絲,已知此三棱鏡的高為9cm,底

面邊長(zhǎng)為4cm,則這圈金屬絲的長(zhǎng)度至少為

(

)A.8cm

B.10cm

C.12cm

D.15cmD解析將三棱鏡的側(cè)面沿AA'展開,如圖,

則AA'2=92+(3×4)2=225=152,所以AA'=15cm.故選D.2.(跨學(xué)科·體育與健康)(2023山東青島李滄期末)某滑雪場(chǎng)U

型池的示意圖如圖,該U型池可以看成是由一個(gè)長(zhǎng)方體去掉

一個(gè)“半圓柱”而成的,中間可供滑行部分的截面是半徑為

3的半圓,其邊緣AB=CD=16,點(diǎn)E在CD上,CE=4.一名滑雪愛好

者從A點(diǎn)滑到E點(diǎn)時(shí),他滑行的最短路程為

.(π取3)

15解析將可供滑行部分展開,如圖.

易知AD=3π=9,∵AB=CD=16,CE=4,∴DE=CD-CE=16-4=12.

在Rt△ADE中,AE2=AD2+DE2=92+122=225,∴AE=15.故他滑行

的最短路程為15.3.(2023山東青島市北月考)如圖所示的是一個(gè)長(zhǎng)方體透明玻璃魚缸,其中AB=80cm,高AD=60cm,水深ED=40cm,在魚缸內(nèi)水面上緊貼內(nèi)壁P處有一魚餌,P在水面線EF上,且EP=60cm.一只小蟲想從魚缸外的D點(diǎn)沿魚缸壁爬進(jìn)魚缸內(nèi)壁P處吃魚餌,小蟲爬行的最短路線長(zhǎng)為

.

100cm解析作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D',連接D'P交AB于點(diǎn)Q,連接

DQ(圖略),則小蟲沿著D→Q→P的路線爬行時(shí)路程最短.因

為AD=60cm,DE=40cm,所以AE=20cm,AD'=60cm,所以D'E

=80cm.在Rt△D'EP中,D'P2=D'E2+EP2=802+602=10000,所以D'P=100

cm,所以DQ+QP=D'Q+QP=D'P=100cm,所以最短路線長(zhǎng)為100cm.4.(2024山東泰安肥城期中)如圖,一個(gè)密封的圓柱形油罐底

面圓的周長(zhǎng)是10m,高為13m,上底面邊緣C處有食物,一只壁

虎在油罐外側(cè)面,食物相對(duì)方向距底面1m的A處,壁虎沿油

罐的外側(cè)面爬行到C處捕食,它爬行的最短路線長(zhǎng)為多少?

解析將圓柱形油罐的側(cè)面展開,如圖,

由題意可得AD=5m,CD=12m,則AC2=122+52=169,∴AC=13m.答:它爬行的最短路線長(zhǎng)為13m.知識(shí)點(diǎn)2利用直角三角形的判定條件解決實(shí)際問題5.在以下四組長(zhǎng)度的三根木條中,剛好能夠做成一個(gè)直角三

角形教具的是

(

)A.

,

,

B.5,12,13

C.0.4,0.5,0.6

D.1,2,3B解析

A.

≠

+

,不能構(gòu)成直角三角形;B.52+122=132,能構(gòu)成直角三角形;C.0.42+0.52≠0.62,不能構(gòu)成直角三角

形;D.1+2=3,不能構(gòu)成三角形.故選B.6.(情境題·國(guó)防教育)某公安系統(tǒng)堅(jiān)持“防疫情、反偷渡、打走私、守岸線”的工作思路,大力加強(qiáng)沿海岸線治安防控體系建設(shè),切實(shí)筑牢沿海岸線安全屏障,維護(hù)轄區(qū)安全穩(wěn)定.如圖,某港口P位于東西方向的海岸線上,甲、乙兩艘輪船同時(shí)離開港口P,各自沿固定方向航行,甲、乙兩艘輪船每小時(shí)分別航行12海里和16海里,1小時(shí)后兩船分別位于點(diǎn)A,B處,且相距20海里,如果甲船沿北偏西40°方向航行,則乙船沿

方向航行.北偏東50°解析由題意可知,AP=12海里,BP=16海里,AB=20海里,因?yàn)?22+162=202,所以AP2+BP2=AB2,所以△APB是直角三角形,∠APB=90°,由題意知∠APN=40°,所以∠BPN=90°-∠APN=50°.

故乙船沿北偏東50°方向航行.7.(新獨(dú)家原創(chuàng))如圖,實(shí)踐活動(dòng)課后,張麗將等腰直角三角形

模具放置在一透明的長(zhǎng)方體工具箱內(nèi),模具頂點(diǎn)A,B,C分別

落在工具箱內(nèi)壁上,測(cè)得AD=5dm,BE=9dm,則該模具的面積

為

.53dm2解析∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC=BC,∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∵∠ADC=90°,∴∠ACD+∠DAC=90°,∴∠DAC=∠BCE,在△ADC和△CEB中,

∴△ADC≌△CEB(AAS),∴DC=BE=9dm,∴在Rt△ADC中,AC2=AD2+DC2=52+92=106,∴該模具的面積為

AC·BC=

AC2=

×106=53(dm2).8.(新獨(dú)家原創(chuàng))數(shù)學(xué)社團(tuán)活動(dòng)課上,小組測(cè)試機(jī)器人的動(dòng)能.

如圖,∠AOB=90°,OA=9dm,OB=3dm,一個(gè)小球從點(diǎn)A處出

發(fā),沿著AO方向勻速滾向點(diǎn)O,機(jī)器人同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā),沿直線

勻速去攔截小球,恰好在C處截住了小球,如果小球與機(jī)器人

的速度相同,均為1cm/s,則機(jī)器人行走的時(shí)間為

s.

50解析設(shè)BC=xdm,由題意知,BC=AC=xdm,則OC=(9-x)dm,在Rt△BOC中,由勾股定理得OB2+OC2=BC2,即32+(9-x)2=x2,解得x=5,∴BC=5dm=50cm,50÷1=50s,∴機(jī)器人行走的時(shí)間為50s.9.(2024山東淄博高新實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)某校將宣傳牌(AB)放置

在教室的黑板上面(如圖所示).在某次數(shù)學(xué)活動(dòng)中小明搬來(lái)

一架梯子(AE=5米)使其頂端靠在宣傳牌的A處,底端落在地

板E處,然后移動(dòng)梯子使其頂端落在宣傳牌的B處,此時(shí)底端E

向外移動(dòng)了1米到達(dá)C處.已知AM⊥CM,點(diǎn)B,E分別在線段

AM,CM上,測(cè)得BM=3米.求宣傳牌的高度.

解析

由題意可得AE=BC=5米,BM=3米,EC=1米,在Rt△MBC中,MC2=BC2-BM2=52-32=16,所以MC=4米,所以EM=4-1=3(米),在Rt△AEM中,AM2=52-32=16,∴AM=4米,所以AB=AM-BM=4-3=1(米).答:宣傳牌的高度為1米.能力提升全練10.(新考法)(2024山東濟(jì)南槐蔭期末,8,★★☆)某數(shù)學(xué)興趣小

組開展了筆記本電腦的張角大小的實(shí)踐探究活動(dòng).如圖,當(dāng)張

角為∠BAF時(shí),頂部邊緣B處離桌面的高度BC為7cm,此時(shí)底

部邊緣A處與C處間的距離AC為24cm,小組成員調(diào)整張角的

大小繼續(xù)探究,最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角為∠DAF時(shí)(D是B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)),

頂部邊緣D處到桌面的距離DE為20cm,則底部邊緣A處與E

處之間的距離AE為

(

)A

A.15cm

B.18cm

C.21cm

D.24cm解析

依題意得AC=24cm,BC=7cm,在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=242+72=625,所以AB=25cm,所以AD=AB=25cm,因?yàn)镈E=20cm,所以在Rt△ADE中,AE2=AD2-DE2=252-202=225,所以AE=15cm.故選A.11.(2022山東煙臺(tái)龍口期中,11,★★☆)如圖,長(zhǎng)方體的長(zhǎng),寬,

高分別是6,3,5,現(xiàn)有一只螞蟻從A點(diǎn)爬行到B點(diǎn),設(shè)爬行的最

短路線長(zhǎng)為a,則a2的值是

(

)

A.130

B.106

C.100

D.86C解析

(1)把長(zhǎng)方體的前面和上面展開在同一平面,如圖1,連

接AB,則AB2=62+(5+3)2=100;(2)把長(zhǎng)方體的左面和上面展開在同一平面,如圖2,連接AB,

則AB2=32+(5+6)2=130;(3)把長(zhǎng)方體的前面和右面展開在同一平面,如圖3,連接AB,

則AB2=(6+3)2+52=106.因?yàn)?00<106<130,所以a2=100.故選C.

圖1圖2圖3方法歸納求空間幾何體表面的最短距離問題,通?？蓪?/p>

何體表面展開,把立體圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題,由于展

開方式不同,求得的距離也可能不一樣.12.(2023四川廣安中考,15,★☆☆)如圖,圓柱形玻璃杯的杯高為9cm,底面周長(zhǎng)為16cm,在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜,此時(shí),一只螞蟻正好在杯外壁上,它在離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)B處,則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為

cm.(杯壁厚度不計(jì))

10解析如圖,將玻璃杯側(cè)面展開(展開圖的一半),作B關(guān)于EF

的對(duì)稱點(diǎn)B',作B'D⊥AE,交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,連接AB',由題意得DE=

BB'=1cm,AE=9-4=5cm,∴AD=AE+DE=6cm,∵底面周長(zhǎng)為16cm,∴B'D=

×16=8cm,∵AB'2=AD2+B'D2=62+82=100,∴AB'=10cm,∴螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為AB'=10cm.故答案為10.13.(情境題·數(shù)學(xué)文化)(2024山東泰安泰山期中,25,★★☆)

《九章算術(shù)》是我國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作之一,書中在“勾

股”章中記載了一道“折竹抵地”問題:“今有竹高一丈,末

折抵地,去本三尺,問折者高幾何?”譯成數(shù)學(xué)問題:如圖所示,

在△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=1丈,BC=3尺,求AC的長(zhǎng).(說(shuō)

明:1丈=10尺)解析設(shè)AC=x尺,∵AC+AB=10尺,∴AB=(10-x)尺.∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴AC2+BC2=AB2,即x2+32=(10-x)2.解得x=4.55,即AC的長(zhǎng)為4.55尺.方法歸納本題考查的是勾股定理的應(yīng)用,在應(yīng)用勾股定理

解決實(shí)際問題時(shí),常用的方法是將勾股定理與方程相結(jié)合,解

題關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型,利用數(shù)形結(jié)

合思想畫出示意圖.素養(yǎng)探究全練14.(應(yīng)用意識(shí))某市進(jìn)行老城區(qū)道路改造,原來(lái)從小明家A到

商場(chǎng)F需要沿著A→B→C→D→E→F連續(xù)多次直角拐彎行

進(jìn),出行十分麻煩(數(shù)據(jù)如圖所示,單位:米),道路改造后從小

明家A可以直達(dá)商場(chǎng)F.求從小明家A到商場(chǎng)F的路程比原來(lái)

縮短了多少米.解析如圖所示,過點(diǎn)A作AH⊥EF于H,在Rt△AHF中,AH=40

+40=80(米),FH=70-20+10=60(米),由勾股定理得AF=100米,

故改造后從小明家A到商場(chǎng)F的路程為100米,改造前從小明家A到商場(chǎng)F的路程為10+40+20+40+70=180(米),180-100=80(米).

答:從小明家A到商場(chǎng)F的路程比原來(lái)縮短了80米.15.(模型觀念)如圖,臺(tái)風(fēng)中心從點(diǎn)B沿射線BC方向以15km/h

的速度向點(diǎn)D移動(dòng),已知A、B兩點(diǎn)之間的距離為130km,點(diǎn)A

到BC的距離AD=50km,那么臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間從點(diǎn)B移

動(dòng)到點(diǎn)D?如果在距臺(tái)風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)有遭遇臺(tái)

風(fēng)的危險(xiǎn),正在點(diǎn)D處休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的幾小

時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)?(臺(tái)風(fēng)