四川省南充市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期一診考試數(shù)學(xué)試卷 含解析

南充市高2025屆高考適應(yīng)性考試（一診）數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第Ⅰ卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，是實(shí)數(shù)集，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得集合，進(jìn)而得到，進(jìn)而根據(jù)交集的定義計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榛颍?，又，所?故選：B.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及幾何意義求解即可.【詳解】由，得，所以在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A.3.甲同學(xué)近10次數(shù)學(xué)考試成績情況如下：103，106，113，119，123，118，134，118，125，121，則甲同學(xué)數(shù)學(xué)考試成績的第75百分位數(shù)是（）A.118 B.121 C.122 D.123【答案】D【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算．【詳解】已知數(shù)據(jù)按從小到大排列為：，，因此第75百分位數(shù)是第8個數(shù)123.故選：D．4.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)滿足，則拋物線方程為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由拋物線的焦半徑公式可得，即可求得，從而求解.【詳解】由題意，得，即，所以拋物線方程為.故選：D.5.“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先求出兩直線垂直的充要條件，進(jìn)而根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】若直線與直線垂直，則，解得，所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選：A.6.已知一個圓錐的體積為，其側(cè)面積是底面積的2倍，則其表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖和圓錐體積公式以及側(cè)面積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)底面半徑為，高為，母線為，如圖所示：則圓錐的體積，所以，即，又，即，所以，則，解得，所以圓錐的表面積為.故選：B．7.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，若方程在上恰有兩個實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用輔助角公式及函數(shù)的對稱性求出，即可得到函數(shù)解析式，再求出函數(shù)在上的單調(diào)性，求出端點(diǎn)函數(shù)值與最大值，依題意與在上恰有兩個交點(diǎn)，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋ㄆ渲校?，又函?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且，所以，解得，所以，當(dāng)時，則，令，解得，且，令，解得，且，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，，因?yàn)榉匠淘谏锨∮袃蓚€實(shí)數(shù)根，即與在上恰有兩個交點(diǎn)，所以，即的取值范圍是.故選：C8.定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且滿足，，當(dāng)時，都有，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱可得到，進(jìn)而求得，，反復(fù)利用，適當(dāng)賦值，再結(jié)合條件當(dāng)時，都有即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，令，則，又，所以，由，令，則，令，則，令，則，令，則，令，則，同理，令，由，則，即，由，令，則，令，則，令，則，令，則，因?yàn)楫?dāng)時，都有，而，則，，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是利用，結(jié)合賦值法，采用兩邊夾逼的方法，求出結(jié)果.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，在邊長為2的正方體中，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，過點(diǎn)、E、B作正方體的截面α，則下列結(jié)論中正確的是（）A.三棱錐的體積為B.與所成角的余弦值為C.D.二面角的余弦值為【答案】ACD【解析】【分析】對于A，根據(jù)等體積法直接計(jì)算即可；對于BCD，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解判斷即可.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，，，則，，則，所以與所成角的余弦值為，故B錯誤；對于C，由B知，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，可得，所以，即，又平面，所以平面，即，故C正確；對于D，在正方體中，平面，所以平面的一個法向量為,所以，所以二面角的余弦值為，故D正確.故選：ACD.10.設(shè)函數(shù)，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.存在，使得B.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有且僅有一條公共的切線C.函數(shù)圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的最小值為D.函數(shù)的極小值點(diǎn)為【答案】BD【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，得到恒成立，從而判斷A；分析可得函數(shù)與互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對稱，結(jié)合圖象即可判斷B；表示出函數(shù)圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離，進(jìn)而結(jié)合基本不等式求解判斷C；令，進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，從而判斷D.【詳解】對于A，設(shè)，則，令h′x>0，即；令h′所以函數(shù)hx在0,1上單調(diào)遞增，在1,+所以，即恒成立，故A錯誤；對于B，函數(shù)，則，即，所以函數(shù)與互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線對稱，且直線為函數(shù)與唯一的公切線，故B正確；對于C，函數(shù)圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以函數(shù)圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的最小值為，故C錯誤；對于D，令，則，令，即；令，即，所以函數(shù)Fx在0,1上單調(diào)遞減，在1,+所以當(dāng)時函數(shù)Fx取得極小值，故D正確.故選：BD.11.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，若P是右支上一點(diǎn)（與B不重合）如圖，過點(diǎn)P的直線與雙曲線C的左支交于點(diǎn)Q，與其兩條漸近線分別交于S，T兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.P到兩條漸近線的距離之積為B.當(dāng)直線l運(yùn)動時，始終有C.在中，D.內(nèi)切圓半徑取值范圍為【答案】ABC【解析】【分析】選項(xiàng)A,設(shè)出點(diǎn)，然后計(jì)算出漸近線，分別計(jì)算距離求解即可；選項(xiàng)B，設(shè)直線，然后分別聯(lián)立雙曲線和漸近線方程計(jì)算交點(diǎn)，計(jì)算即可；選項(xiàng)C，利用點(diǎn)坐標(biāo)表示出，然后利用三角形內(nèi)角的角度關(guān)系得到，，由選項(xiàng)可知，只需得到分母的值就可以得到正確答案；選項(xiàng)D,高中我們求三角形內(nèi)切圓半徑的方法為，然后化簡求解即可.【詳解】由題可知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故兩個漸近線方程分別為與，設(shè)點(diǎn)，由題可知所以點(diǎn)到兩個漸近線的距離分別為故由題可知，故，故選項(xiàng)A正確；設(shè)點(diǎn)顯然直線的斜率存在,設(shè)直線聯(lián)立方程，，得所以直線分別與漸近線與聯(lián)立得得所以有即由題可知，所以，故選項(xiàng)B正確；不妨設(shè)，由題可知，所以有由題可知，故所以整理得，故選項(xiàng)C正確；由三角形內(nèi)切圓的半徑求法可知其內(nèi)切圓半徑易知得因?yàn)榈?所以，因?yàn)?，所以，所以，，故選項(xiàng)D錯誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，在解析幾何中當(dāng)我們需要運(yùn)用距離公式的時候，特別是很多距離相加，式子中會存在較多的根號，我們經(jīng)常利用三角換元然后化簡求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，且，則______.【答案】##【解析】【分析】先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又，所以，?故答案為：.13.某一隨機(jī)變量X的分布列如下表，且，則______.X0123P0.1m0.2n【答案】8【解析】【分析】根據(jù)題意可得，即可求得的值，進(jìn)而結(jié)合期望公式可求得，進(jìn)而得到.【詳解】由題意，得，解得，所以，所以.故答案為：8.14.已知平面四邊形中，，，，，則該平面四邊形面積的最大值為_____________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)余弦定理可得，進(jìn)而表示出四邊形面積，進(jìn)而得到，進(jìn)而求解.【詳解】連接，由余弦定理得，，即，即，又四邊形的面積，則，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以平面四邊形面積的最大值為.故答案為：.第Ⅱ卷四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A的大??；（2）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)兩角和的正弦公式化簡題干條件可得，進(jìn)而得到，進(jìn)而求解；（2）根據(jù)三角形的面積公式及余弦定理求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，在中，，?小問2詳解】由（1）知，，所以，即，所以，又，即，所以的周長為.16.已知動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和P到定直線的距離的比是常數(shù)，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，若曲線C上兩點(diǎn)M，N均在x軸上方，且，，求直線FM的斜率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)距離公式列出方程即可求解；（2）設(shè)，可得直線的方程，呢絨聯(lián)立方程組，結(jié)合對稱性與弦長公式列出方程即可求解.【小問1詳解】由題意，，整理化簡得，，所以曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由題意，直線的斜率都存在，設(shè)，則直線的方程為，分別延長，交曲線于點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立，即，則，根據(jù)對稱性，可得，則，即，解得，所以直線FM的斜率為.17.如圖，在三棱錐中，平面，，，點(diǎn)M，N分別是線段SB，AC上的動點(diǎn)，且滿足.（1）證明：平面；（2）當(dāng)線段MN的長度最小時，求直線SC與平面AMN所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)平面可得，再根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，表示出，進(jìn)而確定線段MN的長度最小時的值，再根據(jù)空間向量求解即可.【小問1詳解】因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，，平面所以平?【小問2詳解】以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，因?yàn)?，，所以，，所以，所以?dāng)時，最小，此時，，則，，設(shè)平面AMN的一個法向量為，則，即，取，則，又，設(shè)直線SC與平面AMN所成角為，則，即直線SC與平面AMN所成角的正弦值為.18.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出的極值；（2）討論方程的解的個數(shù)；（3）求證：【答案】（1）取得極小值，無極大值（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）直接利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求得極值；（2）結(jié)合函數(shù)的圖象求解即可；（3）轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，，進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)數(shù)證明即可.【小問1詳解】由，，則，由于恒成立，因此令，即，令，即或，所以函數(shù)在和0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，無極大值【小問2詳解】由（1）知，函數(shù)在和0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，且，畫出函數(shù)的大致圖象：由圖可知，當(dāng)時，函數(shù)y=fx與有2個交點(diǎn)，方程有2個解；當(dāng)或時，函數(shù)y=fx與有1個交點(diǎn)，方程有1個解；當(dāng)時，函數(shù)y=fx與有0個交點(diǎn)，方程有0個解.【小問3詳解】證明：由，，即，即，設(shè)，，所以，令，當(dāng)時，，所以函數(shù)hx在0,+∞上單調(diào)遞增，則所以令，即；令，即，所以函數(shù)在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，所以，所以.19.今年立秋以后，川渝地區(qū)持續(xù)性高溫登上熱搜，引發(fā)關(guān)注討論.根據(jù)專家推測，主要是由于大陸高壓和西太平洋副熱帶高壓呈現(xiàn)非常強(qiáng)大，在高壓的控制下，川渝地區(qū)上空晴朗少云，在太陽輻射增溫和氣流下沉增溫的共同作用下，兩個地區(qū)的氣溫出現(xiàn)了直接攀升的狀態(tài).川東北某城市一室內(nèi)游泳館，為給顧客更好的體驗(yàn)，推出了A和B兩個套餐服務(wù)，顧客可自由選擇A和B兩個套餐之一；該游泳館在App平臺上推出了優(yōu)惠券活動，下表是App平臺統(tǒng)計(jì)某周內(nèi)周一至周六銷售優(yōu)惠券情況.星期t123456銷售量y（張）21822423023223690經(jīng)計(jì)算可得：，，.（1）因?yàn)閮?yōu)惠券銷售火爆，App平臺在周六時系統(tǒng)出現(xiàn)異常，導(dǎo)致當(dāng)天顧客購買優(yōu)惠券數(shù)量大幅減少，現(xiàn)剔除周六數(shù)據(jù)，求y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）若購買優(yōu)惠券的顧客選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為，并且A套餐包含兩張優(yōu)惠券，B套餐包含一張優(yōu)惠券，記App平臺累計(jì)銷售優(yōu)惠券為n張的概率為，求；（3）請依據(jù)下列定義，解決下列問題：定義：如果對于任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時，（a是一個確定的實(shí)數(shù)），則稱數(shù)列收斂于a.運(yùn)用：記（2）中所得概率的值構(gòu)成數(shù)列.求的最值，并證明數(shù)列收斂.參考公式：，.【答案】（1）（2）（3）最大值為，最小值為，證明見解析【解析】【分析】（1）計(jì)算出新數(shù)據(jù)的相關(guān)數(shù)值，代入公式求出的值，進(jìn)而得到y(tǒng)關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）由題意可知，，其中，，構(gòu)造等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（3）分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解；利用數(shù)列收斂的定義，準(zhǔn)確推理、運(yùn)算，即可得證．【小問1詳解】由題意，，，則，，所以y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.【小問2詳解】由題意，可知，，當(dāng)時，，即，又，所以當(dāng)時，數(shù)列為各項(xiàng)都為1的常數(shù)列，即，所以，，又，所以數(shù)列為首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，所以，即.【小問3詳解】由（2）知，，當(dāng)