湖北省武漢市東湖高新區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷

湖北省武漢市東湖高新區(qū)2023-2024學(xué)年九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三總分評(píng)分一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列環(huán)保標(biāo)志，既是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B．C． D．2．事件①：任意畫(huà)一個(gè)多邊形，其外角和為360°；事件②：經(jīng)過(guò)一個(gè)有交通信號(hào)燈的十字路口，遇到紅燈；則下列說(shuō)法正確的是（）A．事件①和②都是隨機(jī)事件B．事件①是隨機(jī)事件，事件②是必然事件C．事件①和②都是必然事件D．事件①是必然事件，事件②是隨機(jī)事件3．若一元二次方程x2-3x+a=0的一個(gè)根為x=2，則A．2 B．-2 C．4 D．-44．在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)(4，3)為圓心，A．與x軸相切 B．與x軸相離 C．與y軸相切 D．與y軸相交5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家楊輝的《田畝比數(shù)乘除減法》中記載：“直田積八百六十四步，只云闊不及長(zhǎng)一十二步，問(wèn)闊及長(zhǎng)各幾步？”翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題是：一塊矩形田地的面積為864平方步，它的寬比長(zhǎng)少12步.如果設(shè)寬為x步，則可列出方程（）A．x(x-6)=864 B．x(x-12)=864 C．x(x+6)=864 D．x(x+12)=8646．已知△ABC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，A，B，C，P四點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則點(diǎn)P叫做△ABC的（）A．垂心(三邊高線的交點(diǎn)) B．重心(三邊中線的交點(diǎn))C．外心(三邊垂直平分線的交點(diǎn)) D．內(nèi)心(三內(nèi)角平分線的交點(diǎn))7．已知二次函數(shù)y=x2-2x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1，y1)和Q(m，y2)．若y1<y2，則m的取值范圍是（）A．-1<m<3 B．1<m<3 C．m<-1或m>3 D．m<-18．有一個(gè)從不透明的袋子中摸球的游戲，這些球除顏色外都相同，小紅根據(jù)游戲規(guī)則，作出了如圖所示的樹(shù)狀圖，則此次摸球的游戲規(guī)則是（）A．隨機(jī)摸出一個(gè)球后放回，再隨機(jī)摸出1個(gè)球B．隨機(jī)摸出一個(gè)球后不放回，再隨機(jī)摸出1個(gè)球C．隨機(jī)摸出一個(gè)球后放回，再隨機(jī)摸出3個(gè)球D．隨機(jī)摸出一個(gè)球后不放回，再隨機(jī)摸出3個(gè)球9．如圖，點(diǎn)P在⊙O的直徑AB上，作正方形PCDE和正方形PFGH，其中點(diǎn)D，G在直徑所在直線上，點(diǎn)C，E，F(xiàn)，H都在⊙O上，若兩個(gè)正方形的面積之和為16，OP=2，則DGA．62 B．214 C．7 10．已知拋物線y=x2+ax+b與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，將此拋物線向右平移2個(gè)單位，再向下平移3A．4 B．5 C．8 D．4二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(-3，4)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是12．若x1=m，x2=n是一元二次方程x13．如圖是可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的三個(gè)轉(zhuǎn)盤，請(qǐng)根據(jù)下列情形回答問(wèn)題(不考慮指針落在分界線上)．（1）轉(zhuǎn)盤1被分成了2個(gè)扇形，圓心角為120°的扇形涂成紅色，其余部分涂成白色，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤1，當(dāng)轉(zhuǎn)盤1停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針落在紅色區(qū)域的概率是．（2）轉(zhuǎn)盤2、轉(zhuǎn)盤3都已被分成了3個(gè)相同的扇形，并且分別涂成紅色、白色、黃色，同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤2和轉(zhuǎn)盤3，當(dāng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，則指針落在區(qū)域的顏色都是紅色的概率為．14．如圖，以點(diǎn)O為中心的量角器與直角三角板ABC按如圖方式擺放，量角器的0刻度線與直角三角板的斜邊AB重合，點(diǎn)D為斜邊AB上一點(diǎn)，作射線CD交半圓弧AB于點(diǎn)E，如果點(diǎn)E在量角器上對(duì)應(yīng)的讀數(shù)為50°，那么∠BDE的大小為．15．如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象與x軸的正半軸相交于A(x1，0)，B兩點(diǎn)(0<x1<1)，與y軸交于點(diǎn)C.①abc>0；②4a+b=0；③若ax2+bx+c<x+c，則0<x<-c；④關(guān)于x的方程a16．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，請(qǐng)將等腰Rt△ABC以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)60°得到△A1B1C1，延長(zhǎng)B1C1與直線AB三、解答題：本題共8小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17．已知二次函數(shù)y=x（1）用配方法將二次函數(shù)的一般式化成y=a(（2）分別寫出此二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸．18．若關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+m?1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求19．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)140°得到△ADE，B，C，D三點(diǎn)恰好在同一直線上．（1）判斷△ACE的形狀；（2）連接CE，若CE⊥BD，求∠BAC的度數(shù)．20．一只不透明袋中裝有1個(gè)白球和若干個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，某課外學(xué)習(xí)小組做摸球試驗(yàn)：將球攪勻后從袋中摸出1個(gè)球，記下顏色后放回、攬勻，不斷重復(fù)這個(gè)過(guò)程，獲得數(shù)據(jù)如下：摸球的次數(shù)200300400100016002000摸到白球的頻數(shù)7293130334532667摸到白球的頻率000000（1）該小組發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率在一個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，這個(gè)常數(shù)是(精確到0.001)（2）現(xiàn)從該袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，不放回，再摸出一個(gè)球，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求恰好摸到1個(gè)白球和1個(gè)紅球的概率．21．如圖，以AD為直徑的半圓O經(jīng)過(guò)Rt△ABC斜邊AB的兩個(gè)端點(diǎn)，半圓O與直角邊AC交于點(diǎn)E，且B，E兩點(diǎn)是半圓弧的三等分點(diǎn)．（1）在圖1中，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺，按要求完成下列作圖(作圖過(guò)程用虛線，作圖結(jié)果用實(shí)線)．①畫(huà)一條和BC平行的弦；②畫(huà)BE的中點(diǎn)M．（2）如圖2，已知⊙O的半徑為4，求圖中兩個(gè)陰影部分面積的和．22．中山公園的人工湖里安裝一個(gè)噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安裝一個(gè)噴水頭，噴出的水柱形狀可看作是拋物線的一部分，若記水柱上某一點(diǎn)的位置與水管的水平距離為x米，與湖面的垂直高度為y米，表中記錄了x與y的五組數(shù)據(jù)：x(米01234y(米01110（1）根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，在圖1建立的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出表示y與x函數(shù)關(guān)系的圖象；（2）求y與x的函數(shù)表達(dá)式；（3）公園準(zhǔn)備調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使游船能從拋物線形水柱下方通過(guò)，如圖2所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船以拋物線的對(duì)稱軸為中軸線從水柱下方通過(guò)時(shí)，頂棚上任意一點(diǎn)到水柱的豎直距離均不小于0.5米，已知游船頂棚寬度2米，頂棚到湖面的高度為1.8米，請(qǐng)計(jì)算分析水管露出湖面的高度23．如圖（1）【問(wèn)題背景】如圖1，已知△ABC和△ADE都是等邊三角形，求證：BD=CE：（2）【嘗試應(yīng)用】如圖2，在△ABC中，∠BAC=60°，在AC上截取AF=AB，連接BF，D為BC上一點(diǎn)，將線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BE，連接AE并延長(zhǎng)交線段BF于點(diǎn)M，且BM=CF，求證：點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)：（3）【拓展探究】如圖3，在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D為邊AC上的一點(diǎn)，當(dāng)AD>AB時(shí)，連接BD，將線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BE，連接AE，DE，若AD=4，請(qǐng)直接寫出△ABE面積的最大值為．24．如圖（1）已知拋物線C1：y=ax2+bx經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2）如圖1，若拋物線C1與x軸交于另一點(diǎn)E，過(guò)O，E兩點(diǎn)作開(kāi)口向下的拋物線C2，設(shè)其頂點(diǎn)為Q(點(diǎn)Q在點(diǎn)P的下方)，線段PQ的垂直平分線與拋物線C1相交于M，N兩點(diǎn)，若四邊形PMQN的面積為（3）如圖2，將拋物線C1向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線C3，且與y軸正半軸，x軸正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，連接AB，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，在直線PH上有一點(diǎn)C，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)D，使得以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的D點(diǎn)的坐標(biāo)：

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，則此項(xiàng)不符合題意；B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，則此項(xiàng)不符合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，則此項(xiàng)不符合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，則此項(xiàng)符合題意；故答案為：D.【分析】在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。

在平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形；根據(jù)定義并結(jié)合圖形即可判斷求解.2．【答案】D【解析】【解答】解：事件①：任意畫(huà)一個(gè)多邊形，其外角和為360°，這是必然事件；事件②：經(jīng)過(guò)一個(gè)有交通信號(hào)燈的十字路口，可能遇見(jiàn)紅燈、綠燈或黃燈，所以遇到紅燈，這是隨機(jī)事件；故答案為：D.【分析】在一定條件下，可能發(fā)生，也可能不會(huì)發(fā)生的事件就是隨機(jī)事件；在一定條件下，一定不會(huì)發(fā)生的事件就是不可能事件；在一定條件下，一定會(huì)發(fā)生的事件就是必然事件；從而根據(jù)多邊形外角和均為360°可判斷①；經(jīng)過(guò)一個(gè)有交通信號(hào)燈的十字路口，可能遇到紅燈、黃燈、綠燈，據(jù)此判斷②.3．【答案】A【解析】【解答】解：將x=2代入方程可得：

4-6+a=0

解得：a=2故答案為：A【分析】將x=2代入方程得到關(guān)于a的方程，解方程即可求出答案.4．【答案】C【解析】【解答】解：∵以點(diǎn)(4，3)為圓心，4為半徑的圓

∴圓心到x軸的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為4

故答案為：C【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可求出答案.5．【答案】D【解析】【解答】解：設(shè)寬為x步，則長(zhǎng)為（12+x）步由題意可得：x(x+12)=864

故答案為：D【分析】設(shè)寬為x步，則長(zhǎng)為（12+x）步，根據(jù)矩形面積建立方程即可求出答案.6．【答案】B【解析】【解答】解：如圖

∵AF，BG是△ABC的中線

∴點(diǎn)P是三角形的重心故答案為：B【分析】根據(jù)重心的定義判斷即可求出答案.7．【答案】C【解析】【解答】解：∵二次函數(shù)y=x2-2x+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1，y1)和Q(m，y2)，

∴y1=3+c，y2=m2-2m+c，

∵y1<y2，

∴3+c＜m2-2m+c，即m2-2m-3＜0，

解得m＜-1或m＞3.

故答案為：C.

【分析】將兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=x2-2x+c表示出y1與y2，進(jìn)而根據(jù)y1<y2列出不等式，求解即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：由圖可得：第一次摸球時(shí)，袋中有紅，黃，藍(lán)三個(gè)球

第二次摸球時(shí)，袋中有紅，黃，藍(lán)三個(gè)球

∴第二次摸球時(shí)，袋中球個(gè)數(shù)不變

∴隨機(jī)摸出一個(gè)球后放回，再隨機(jī)摸出1個(gè)球

故答案為：A【分析】根據(jù)兩次摸球時(shí)，袋中球個(gè)數(shù)不變可得隨機(jī)摸出一個(gè)球后放回，再隨機(jī)摸出1個(gè)球，即可求出答案.9．【答案】B【解析】【解答】解：作OK⊥PC于K，設(shè)正方形PFGH的邊長(zhǎng)是x

∵四邊形PCDE是正方形

∴∠CPD=45°

∵∠OKP=90°

∴△KOP是等腰直角三角形

∴PK=22OP=1

∴CK=FK=x+1

∴PC=CK+PK=x+2

∵兩個(gè)正方形的面積之和為16

∴x2+x+22=16

解得：x=7-1或x=-7-1(舍去)【分析】作OK⊥PC于K，設(shè)正方形PFGH的邊長(zhǎng)是x，根據(jù)正方形性質(zhì)可得∠CPD=45°，再根據(jù)等腰直角三角形判定定理可得△KOP是等腰直角三角形，則PK=22OP=1，再根據(jù)邊之間的關(guān)系可得CK=1，PC=2，再根據(jù)正方形面積建立方程，解方程可得PC=10．【答案】A【解析】【解答】解：設(shè)拋物線y=x2+ax+b與x軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1,0,x2,0,x1-x2=2

即x1，x2為方程x2+ax+b=0的兩根

∴x1+x2=-a,x1·x2=b

∵x1-x2=2

∴x1-x22=4

∴x1+x22-4x1故答案為：A【分析】設(shè)拋物線y=x2+ax+b與x軸兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1,0,x2,0,x1-11．【答案】(3，-4)【解析】【解答】解：由題意可得：

點(diǎn)(-3，4)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(3，-4)

故答案為：(3，-4)12．【答案】-7【解析】【解答】解：∵x1=m，x2=n是一元二次方程x2-2x-5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根故答案為：-7【分析】根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得m+n=2，mn=-5，化簡(jiǎn)代數(shù)式，再整體代入即可求出答案。13．【答案】（1）1（2）19【解析】【解答】解：（1）由題意可得：

轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤1，當(dāng)轉(zhuǎn)盤1停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，指針落在紅色區(qū)域的概率是120360=13

故答案為：13

（2）由題意可得：

同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤故答案為：1【分析】（1）根據(jù)簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算即可求出答案.

（2）根據(jù)簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算即可求出答案.14．【答案】110°???????【解析】【解答】解：連接OE，則∠AOE=50°

∵∠ACB=90°

∴點(diǎn)C在圓上

∴∠ACE=12∠AOE=25°

∵∠CAB=45°

∴∠ADC＝180°-25°-45°＝110°

故答案為：110°【分析】連接OE，則∠AOE=50°，根據(jù)圓周角性質(zhì)可得點(diǎn)C在圓上，則∠ACE=115．【答案】①②④???????【解析】【解答】解：∵函數(shù)圖象開(kāi)口朝下，則a<0

與y軸交于負(fù)半軸，則c<0，對(duì)稱軸為x=2

∴-b2a=2

∴b=-4a>0

∴abc>0，4a+b==0，①②正確

∵OA=OC，C(0，c)

∴OA=OC=-c

∴A(-c，0)

∵直線y=x+c與x軸的交點(diǎn)為（-c，0）

∴直線y=x+c過(guò)A，C點(diǎn)

觀察圖象，若ax2+bx+c<x+c，則x<0或x>-c，③錯(cuò)誤

將A（-c，0）代入y=ax2+bx+c得：0=ac2+bc+c

兩邊同時(shí)除以ac得：c-b故答案為：①②④【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象，性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求出答案.16．【答案】4-23或【解析】【解答】解：∵AC=BC，∠ACB=90°

∴∠CAB=∠B=45°

將等腰Rt△ABC繞以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A1B1C1，線段B1C1的延長(zhǎng)線交線段AB于點(diǎn)D

∴AC1=AC=2，∠CAC1=60°，∠AC1B1=∠ACB=90°

∴∠DAC1=∠CAC1-∠CAB=15°

在AC1取一點(diǎn)E，連接DE，使得AE=DE，則∠EDA=∠BAC1=15°

∴∠DEC1=∠EDA+∠BAC1=30°

∵∠DC1E=∠AC1B1=90°

∴AE=DE=2C1D

∴C1E=DE2-C1D2=2C1D2-C1D2=3C1D

∴2C1D+3C1D=AC1=2

∴C1D=4-23

將等腰Rt△ABC繞以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A1B1C1，線段B1C1的延長(zhǎng)線交線段AB于點(diǎn)D

∴AC1=AC=2，∠CAC1=60°，∠AC1B1=∠AC1D=∠ACB=90°

∴∠BAC1=∠CAC17．【答案】（1）解：將二次函數(shù)y=x2（2）解：∵y=(x+2)2-7∴此二次函數(shù)的的圖象開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2，-7)，對(duì)稱軸為直線x=-2【解析】【分析】（1）根據(jù)配方法將解析式化成頂點(diǎn)式即可求出答案.

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案。18．【答案】解：∵一元二次方程x2∴Δ=42-4(m-1)=0∴x∴x=-4解得x【解析】【分析】根據(jù)二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則判別式?=b19．【答案】（1）解：∵△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)140°得到△ADE，∴AC=AE，∠CAE=140°，∴△ACE是以頂角為140°的等腰三角形（2）解：∵△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)140°得到△ADE，∴∠BAD=∠CAE=140°，AB=AD，AC=AE，∴∠ABC=∠ADB=1同理可得∠ACE=∠AEC=20°，∵CE⊥BD，∴∠ECB=90°，∴∠ACB=∠ECB-∠ACE=90°-20°=70°，在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-20°-70°=90°，即∠BAC的度數(shù)為90°【解析】【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得AC=AE，∠CAE=140°，再根據(jù)等腰三角形判定定理即可求出答案.

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得∠BAD=∠CAE=140°，AB=AD，AC=AE，再根據(jù)等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC=∠ADB=20°，同理可得∠ACE=∠AEC=20°，再根據(jù)角之間的關(guān)系可得∠ACB=70°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出答案.20．【答案】（1）0.334；2（2）解：列表為：白紅紅白紅白紅白紅白紅紅紅紅白紅紅紅共有6種等可能的結(jié)果，其中恰好摸到1個(gè)白球和1個(gè)紅球的有4種，所以恰好摸到1個(gè)白球和1個(gè)紅球的概率為4【解析】【解答】解：（1）隨著摸球次數(shù)的越來(lái)越多，頻率越來(lái)越接近0.334

∴這個(gè)常數(shù)是0.334

設(shè)紅球有x個(gè)，由題意可得：

11+x=0.334，解得：x≈2

故答案為：0.334，2

【分析】（1）隨著摸球次數(shù)的越來(lái)越多，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.334，即可得常數(shù)為0.334，設(shè)紅球有x個(gè)，再根據(jù)概率公式即可得紅球個(gè)數(shù).

（2）列出表格，求出所有等可能的結(jié)果，再求出恰好摸到1個(gè)白球和21．【答案】（1）解：①如圖1中，線段DE即為所求；②如圖1中，點(diǎn)M即為所求；（2）解：連接BE，OB，OE．∵B，E是三等分點(diǎn)，∴∠BOE=60°，∵OB=OE，∴△OBE是等邊三角形，∴BE=OB=OE=4，同理△AOE是等邊三角形，∴AE=OE=BE=4，∵∠BAE=1∴∠EBA=∠EAB=30°，∵∠BEC=∠EBA+∠EAB=60°，∠C=90°，∴EC=12BE=2∴【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)作圖即可得DE，根據(jù)線段中點(diǎn)性質(zhì)作圖即可求出答案.

（2）連接BE，OB，OE，根據(jù)圓周角定理可得∠BOE=60°，再根據(jù)等邊三角形判定定理可得△OBE是等邊三角形，則BE=OB=OE=4，同理△AOE是等邊三角形，則AE=OE=BE=4，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半可得∠EBA=∠EAB=30°，再解含30°角的直角三角形性質(zhì)即可求出答案.22．【答案】（1）解：以噴泉與湖面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，噴泉所在的直線為縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖1所示：（2）解：由圖1可得函數(shù)頂點(diǎn)為(2，1.5∴可設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-2)將(0，0.5)代入解得a=-1∴拋物線的解析式為：y=-（3）解：設(shè)調(diào)節(jié)后的水管噴出的拋物線的解析式為：y=-1由題意可知，當(dāng)橫坐標(biāo)為時(shí)2+22=3∴-1解得n≥1.05，∴水管高度至少向上調(diào)節(jié)1.05米，∴1.05+0.5=1.55(米)，∴公園應(yīng)將水管露出湖面的高度(噴水頭忽略不計(jì))至少調(diào)節(jié)到約1.55米才能符合要求【解析】【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征建立直角坐標(biāo)系即可求出答案.

（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-2)2+1.5，根據(jù)待定系數(shù)法將點(diǎn)(0，0.5)代入解析式即可求出答案.

（3）設(shè)調(diào)節(jié)后的水管噴出的拋物線的解析式為：y=-23．【答案】（1）證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE（2）證明：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BN//AC交FD延長(zhǎng)線與N，∵∠BAC=60°，AF=AB，∴△ABF是等邊三角形，∴BA=BF，∠AFB=60°，∵BN//AC，∴∠FBN=∠AFB=60°，∠CFD=∠N，∠C=∠DBN，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠DBE=60°，BE=BD，∴∠ABE=∠DBF，∠MBE=∠NAD，∴△ABE≌△DBF(SAS)，∴∠AEB=∠FDB，∴∠BEM=∠BDN，∴△BEM≌△BDN(ASA)，∴BM=BN，∵BM=CF，∴BN=CF，∴△BDN≌△CDF(ASA)，∴BD=CD，∴點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)；（3）3【解析】【解答】解：（3）在線段AD截取一點(diǎn)F使得AF=AB，連接BF，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EA交EA延長(zhǎng)線于點(diǎn)H

∵∠BAC=60°，AF=AB

∴△ABF是等邊三角形

∴AB=BF，∠ABF=∠AFB=60°

∴∠BFD=120°

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：BD=BE，∠EBD=60°

∴∠ABE=∠DBF

∴△ABE≌△DBF

∴AE=DF，∠BAE=∠BFD=120°

∴∠BAH=60°

∴∠ABH=30°

∴BH=32AB

∵AD=AF+DF=4

∴5AE=DF=AD-AF=4-AF=4-AB

設(shè)AB=2x，則BH=3x，AE=4-2x

∴S△ABE=12AE·BH=-3x-12+3

∴當(dāng)x=1時(shí)，S△ABE有最大值3

故答案為：3

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，則∠BAD=∠CAE，再根據(jù)全等三角形判定定理可得△BAD≌△CAE(SAS)，則BD=CE，即可求出答案.

（2）過(guò)點(diǎn)B作BN//AC交FD延長(zhǎng)線與N，根據(jù)等邊三角形判定定理可得△ABF是等邊三角形，則BA=BF，∠AFB=60°，再根據(jù)直線平行性質(zhì)可得∠FBN=∠AFB=60°，∠CFD=∠N，∠C=∠DBN，由