2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷14.3 等腰三角形(含答案)-

2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷14.3等腰三角形(含答案)-§14．3等腰三角形1.等腰三角形知識(shí)要點(diǎn)1．有兩條邊相等的三角形是等腰三角形．相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊．兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角．2．三角形按邊分類：三角形3．等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，其性質(zhì)是：性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．4．等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）．典型例題例：如圖，五邊形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)．求證：AF⊥CD.分析：要證明AF⊥CD，而點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，聯(lián)想到這是等腰三角形特有的性質(zhì)，于是連接AC、AD，證明AC=AD，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到結(jié)論．證明：連接AC、AD在△ABC和△AED中∴△ABC≌△AED（SAD）∴AC=AD（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）又∵△ACD中AF是CD邊的中線（已知）∴AF⊥CD（等腰三角形底邊上的高和底邊上的中線互相重合）練習(xí)題(第一課時(shí))一、選擇題1．等腰三角形的對(duì)稱軸是（）A．頂角的平分線B．底邊上的高C．底邊上的中線D．底邊上的高所在的直線2．等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為4cm和9cm，則該三角形的周長(zhǎng)是（）A．17cmB．22cmC．17cm或22cmD．18cm3．等腰三角形的頂角是80°，則一腰上的高與底邊的夾角是（）A．40°B．50°C．60°D．30°4．等腰三角形的一個(gè)外角是80°，則其底角是（）A．100°B．100°或40°C．40°D．80°5．如圖，C、E和B、D、F分別在∠GAH的兩邊上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，則∠GEF的度數(shù)是（）A．80°B．90°C．100°D．108°二、填空題6．等腰△ABC的底角是60°，則頂角是________度．7．等腰三角形“三線合一”是指___________．8．等腰三角形的頂角是n°，則兩個(gè)底角的角平分線所夾的鈍角是_________．9．如圖，△ABC中AB=AC，EB=BD=DC=CF，∠A=40°，則∠EDF的度數(shù)是_____．10．△ABC中，AB=AC．點(diǎn)D在BC邊上（1）∵AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；（2）∵AD是中線，∴∠________=∠________；________⊥________；（3）∵AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．三、解答題11．已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC、△ABD的周長(zhǎng)分別是20cm和16cm，求AD的長(zhǎng)．12．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求證：∠ABC=∠ADC.13．已知△ABC中AB=AC，點(diǎn)P是底邊的中點(diǎn)，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，求證：PD=PE.四、探究題14．如圖，CD是△ABC的中線，且CD=AB，你知道∠ACB的度數(shù)是多少嗎？由此你能得到一個(gè)什么結(jié)論？請(qǐng)敘述出來(lái)與你的同伴交流．答案:1．D2．B3．A4．C5．B6．607．等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合8．（90+n）°9．70°10．略11．6cm12．連接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB．∴∠ABC=∠ADC13．連接AP，證明AP平分∠BAC．14．∠ACB=90°．結(jié)論：若一個(gè)三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形練習(xí)題(第二課時(shí))一、選擇題1．如圖1，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，則CD等于（）A．3cmB．4cmC．1.5cmD．2cm（1）(2)(3)2．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，則圖中的等腰三角形有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)3．如圖2，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，那么下列結(jié)論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周長(zhǎng)等于AB與AC的和；④BF=CF．其中正確的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①4．如圖3，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，角平分線AE交CD于H，EF⊥AB于F，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．∠ACD=∠BB．CH=CE=EFC．CH=HDD．AC=AF二、填空題5．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，則AB：BC=_________．6．已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，要使AD∥BC，則△ABC的邊一定滿足________．7．△ABC中，∠C=∠B，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，AE=2cm，且DE∥BC，則AD=________．8．一燈塔P在小島A的北偏西25°，從小島A沿正北方向前進(jìn)30海里后到達(dá)小島，此時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏西50°方向，則P與小島B相距________．三、解答題9．如圖，已知AB=AC，E、D分別在AB、AC上，BD與CE交于點(diǎn)F，且∠ABD=∠ACE，求證：BF=CF．10．如圖，△ABC中BA=BC，點(diǎn)D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DF⊥AC于F交BC于E，求證：△DBE是等腰三角形．四、探究題11．如圖，AF是△ABC的角平分線，BD⊥AF交AF的延長(zhǎng)線于D，DE∥AC交AB于E，求證：AE=BE．答案:1．A2．C3．A4．C5．16．AB=AC7．2cm8．30海里9．連接BC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠ABD=∠ACE，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC10．證明∠D=∠BED11．證明∠EAD=∠EDA，∠EBD=∠EDB分別得到AE=DE，BE=DE2.等邊三角形知識(shí)要點(diǎn)1．三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形．2．等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°3．等邊三角形的判定方法：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．4．在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．典型例題例：如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，BD=CD，∠BDC=120°，E、F分別在AB、AC上，且∠EDF=60°，求△AEF的周長(zhǎng)．分析：由∠BDC=120°和∠EDF=60°得到∠BDE+∠CDF=60°，從而想到把這兩個(gè)角拼在一起構(gòu)造全等三角形，即延長(zhǎng)AC至點(diǎn)P，使CP=BE，證明△BDE≌CDP，然后證明△DEF≌△DPF，得到EF=PF，從而把△AEF的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為用△ABC的邊長(zhǎng)表示．解：延長(zhǎng)AC至點(diǎn)P，使CP=BE，連接PD．∵△ABC是等邊三角形∴∠ABC=∠ACB=60°∵BD=CD，∠BDC=120°∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠EBD=∠DCF=90°∴∠DCP=∠DBE=90°在△BDE和△CDP中∴△BDE≌△CDP（SAS）∴DE=DP，∠BDE=∠CDP∵∠BDC=120°，∠EDF=60°∴∠BDE+∠CDF=60°∴∠CDP+∠CDF=60°∴∠EDF=∠PDF=60°在△DEF≌△DPF中∴△DEF≌△DPF（SAS）∴EF=FP∴EF=FC+BE∴△AEF的周長(zhǎng)=AE+EF+AF=AB+AC=2練習(xí)題一、選擇題1．正△ABC的兩條角平分線BD和CE交于點(diǎn)I，則∠BIC等于（）A．60°B．90°C．120°D．150°2．下列三角形：①有兩個(gè)角等于60°；②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形；③三個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角）都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有（）A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④3．如圖，D、E、F分別是等邊△ABC各邊上的點(diǎn)，且AD=BE=CF，則△DEF的形狀是（）A．等邊三角形B．腰和底邊不相等的等腰三角形C．直角三角形D．不等邊三角形4．Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，則AB的長(zhǎng)度是（）A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm5．如圖，E是等邊△ABC中AC邊上的點(diǎn)，∠1=∠2，BE=CD，則對(duì)△ADE的形狀最準(zhǔn)備的判斷是（）A．等腰三角形B．等邊三角形C．不等邊三角形D．不能確定形狀二、填空題6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，則∠B=_______．7．已知AD是等邊△ABC的高，BE是AC邊的中線，AD與BE交于點(diǎn)F，則∠AFE=______．8．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有______條對(duì)稱軸，分別是_____________．9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)度是_______．三、解答題10．已知D、E分別是等邊△ABC中AB、AC上的點(diǎn)，且AE=BD，求BE與CD的夾角是多少度？11．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于點(diǎn)D，求證：BC=3AD.12．如圖，已知點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求證：△BCE≌△ACD；②求證：CF=CH；③判斷△CFH的形狀并說明理由．四、探究題13．如圖，點(diǎn)E是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且EA=EB，△ABC外一點(diǎn)D滿足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度數(shù)．（提示：連接CE）答案：1．C2．D3．A4．C5．B6．60°7．60°8．三；三邊的垂直平分線9．1cm10．60°或120°11．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∴在Rt△ADC中CD=2AD，∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD．又∵BC=AC，CE=CD，∴△BCE≌△ACD；②證明△BCF≌△ACH；③△CFH是等邊三角形．13．連接CE，先證明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°，再證明△BDE≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30°14.3等腰三角形檢測(cè)(時(shí)間：45分鐘滿分：100分)一、選擇題:(本題共8小題，每小題3分，共24分．下列各題都有代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)結(jié)論供選擇，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的)1．在△ABC中，AB＝AC，∠A=36度，BD平分∠ABC交AC于D，則圖中共有等腰三角形的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．42．下列說法中，正確的有()①等腰三角形的兩腰相等；②等腰三角形的兩底角相等；③等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高相等；④等腰三角形是軸對(duì)稱圖形．A．1個(gè)B．2個(gè)C.3個(gè)D．4個(gè)3．如果△ABC的∠A，∠B的外角平分線分別平行于BC，AC，則△ABC是()A．等邊三角形D．等腰三角形C.直角三角形D．等腰直角三角形4．如圖,把一張對(duì)邊平行的紙條如圖折疊，重合部分是()(第4題)(第6題)A.等邊三角形B．等腰三角形C.直角三角形D．無(wú)法確定5．已知∠AOB＝30°，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部．P'與P關(guān)于OB對(duì)稱，P"與P關(guān)于OA對(duì)稱，則O，P'P"三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形是()A.直角三角形B．鈍角三角形C.等腰三角形D．等邊三角形6．如圖2，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB于E，交AC于D，AD＝2BC，則∠A等于()A．15°B．25°C．30°D．35°7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(2，－2)，在y軸確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)有()A．2個(gè)D．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)8．如圖，在下列三角形中，若AB=AC，則能被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形的是()A．(1)(2)(3)B．(1)(2)(4)C.(2)(3)(4)D．(1)(3)(4)二、填空題：(本題共8小題，每小題3分，共24分．把最后結(jié)果填在題中橫線上)9．已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)是1cm和2cm，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為_______cm．10．三角形三內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶2∶3，最大邊的長(zhǎng)是8cm，則最小邊的長(zhǎng)是_______cm．11．如圖，∠A＝15°，AB＝BC=CD=DE＝EF，則∠GEF=_______．(第11題)(第13題)12．等腰三角形的底邊長(zhǎng)為6cm，一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為兩部分，這兩部分之差是3cm，那么這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是_______．13．如圖，已知在△ABC中，BC＝8，AB的中垂線交BC于D，AC的中垂線交BC于E，則△ADE的周長(zhǎng)等于_______．14．已知：如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC到E，使CE=CD，不添輔助線，請(qǐng)你寫出三個(gè)正確結(jié)論(1)______________；(2)______________；(3)______________.(第14題)(第15題)15。正三角形給人以“穩(wěn)如泰山”的美感，它具有獨(dú)特的對(duì)稱性，請(qǐng)你用不同的分割方法，把下圖中的兩個(gè)正三角形分別分割成四個(gè)等腰三角形．(標(biāo)出必要角度)16．如圖，上午8時(shí)，一條船從A處出發(fā)，以15海里／時(shí)的速度向正北航行，10時(shí)到達(dá)B處，從A、B望燈塔C，測(cè)得∠NAC＝42°，∠NBC=84°，則從B處到燈塔C的距離_______．三、解答題:(本題共5小題，17～20題，每小題10分，21題12分，共52分)17。如圖，DE是△ABC的邊AB的垂直平分線，分別交AB、BC于D，E，AE平分∠BAC，若∠B=30°，求∠C的度數(shù)．18．如圖，點(diǎn)D、E在△ADC的邊BC上，AD=AE，BD＝EC，求證：AB=AC．19．如圖，AB＝AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，(1)求證：AF垂直于CD．(2)在你連接BE后，還能得出什么新的結(jié)論?請(qǐng)寫出三個(gè)．(不要求證明)20．如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN＝30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP＝160米，假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100米以內(nèi)會(huì)受到噪聲的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受影響?請(qǐng)說明理由．21．已知：如圖，△ABC為正三角形，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)AD，以AD為邊作等邊三角形ADE，連結(jié)CE，用你學(xué)過的知識(shí)探索AC、CD、CE三條線段的長(zhǎng)度有何關(guān)系?試寫出探求過程．

答案：14.3等腰三角形階段性復(fù)習(xí)一、階段性內(nèi)容回顧1．有兩條邊相等的三角形叫做________，其中相等的邊叫做________，另一條邊叫做_________．2．等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)寫成_______，②等腰三角形的________，________和互相重合．3．等腰三角形是________圖形．4．如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么________，簡(jiǎn)稱_______．5．_________的三角形叫做等邊三角形．6．等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角______，并且這個(gè)角都等于_______．7．等邊三角形的識(shí)別方法：①______是等邊三角形；②有一個(gè)是60°的______是等邊三角形．8．在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的_______等于_______的一半．二、階段性鞏固訓(xùn)練1．如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，若∠ADC=130°，則∠BAC=________．(1)(2)2．如圖2，在△ABC中，∠B=70°，D，E，F(xiàn)分別在邊AC，BC，AB上，且CD=CE，AD=AF，則∠EDF=________．3．在等腰三角形ABC中:（1）∠B+∠A=140°，則這個(gè)等腰三角形的頂角是_______；（2）若兩邊長(zhǎng)分別是3cm和7cm，則此等腰三角形的周長(zhǎng)是_______cm．4．等腰三角形的三個(gè)外角中，銳角最多有（）．A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)5．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為α，β，γ，且滿足等式│α-β│-（α-γ）2=0，這個(gè)三角形是（）．A．只有兩邊相等的等腰三角形;B．等邊三角形;C．等腰直角三角形;D．直角三角形6．若等腰三角形的頂角為鈍角，則它的底角α的取值范圍是（）．A．0°<α<90°B．30°<α<90°C．0°<α<45°D．45°<α<90°7．等腰三角形的周長(zhǎng)為40cm，以一邊為邊作等腰三角形，這個(gè)等邊三角形周長(zhǎng)為45cm，那么這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（）．A．15cmB．10cmC．30cm，10cmD．15cm，10cm8．如圖，在△AOB中，點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)E，D在OB上，且CD∥AB，CE∥AD，AB=AD，試證明△CDE是等腰三角形．9．把一張對(duì)邊平行的紙條，如圖所示折疊，重合部分是什么形狀？說明理由．10．如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC，OD分別平分∠AOM和∠BOM，點(diǎn)M在CD上，且AB∥CD．試證明：CM=DM．11．如圖，上午8時(shí)，一條船從A處出發(fā)，以15海里/h的速度向正北航行，10h后到達(dá)B處．從B處望燈塔C測(cè)得∠NBC=84°，若該船沿著這個(gè)方向行駛，12時(shí)剛好到達(dá)燈塔C，則B點(diǎn)與燈塔C相距多遠(yuǎn)？12．如圖所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，那么△AEF是等腰三角形嗎？13．小紅和小兵一起做一道題：依據(jù)下面條件求等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．（1）一個(gè)角為另一個(gè)角的2倍；（2）兩角之差為30°．小兵做出了以下解答過程：（1）設(shè)等腰三角形的頂角為x°，則底角為2x，由題意得x+2x+2x=180°，解得x=36，所以2x=72，所以這個(gè)等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角為36°，72°，72°．小紅做出了以下解答過程：（2）設(shè)等腰三角形的頂角為x°，則底角為（x+30°），由題意得x+2（x+30）=180，解得x=40，所以x+30=70，所以這個(gè)等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)為40°，70°，70°．小紅看了解答以后說：“小兵你錯(cuò)了”．親愛的同學(xué)，你說他們的答案到底誰(shuí)錯(cuò)了？錯(cuò)在哪里呢？14．已知等腰三角形一腰上的中線把三角形的周長(zhǎng)分成15cm和16cm兩部分，求腰長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)．15．如圖所示，AD是△ABC中∠BAC的平分線，AD的垂直平分線EF交BC的延長(zhǎng)線于F，試說明∠BAF=∠ACF的理由．答案:階段性內(nèi)容回顧1．等腰三角形腰底邊2．（1）等邊對(duì)等角（2）頂角平分線底邊上的中線底邊上的高3．軸對(duì)稱4．這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等等角對(duì)等邊5．三條邊都相等6．都相等60°7．（1）三個(gè)角都相等的三角形（2）等腰三角形8．直角邊斜邊階段性鞏固訓(xùn)練1．20°2．55°3．40°或100°17點(diǎn)撥：等腰三角形要分情況討論．4．B點(diǎn)撥：三角形的內(nèi)角最多有1個(gè)鈍角．5．B點(diǎn)撥：由題意可知∴α=β且α=γ，∴α=β=γ．6．C7．B8．證明：∵CD∥AB，∴∠CDE=∠B．又∵CE∥AD，∴∠CED=∠ADB．又∵AB=AD，∴∠B=∠ADB，∴∠CDE=∠CED，∴△CDE是等腰三角形．9．解：重合部分是等腰三角形．由折疊可知，∠CBD=∠C′BD，又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠ADB=∠C′BD，∴△BED是等腰三角形．10．證明：∵OC平分∠ADM，OD平分∠BOM，∴∠AOC=∠COM，∠BOD=∠MOD．又∵AB∥CD，()∴∠AOC=∠OCM，∠BOD=∠ODM，∴∠COM=∠OCM，∠MOD=∠ODM，∴CM=OM，DM=OM，∴CM=DM．11．解：∵從A到B和從B到C，該船施行的時(shí)間相同，所以行程也相同，行程為2×15=30海里，即BC=BA．∴△ABC是等腰三角形，∴∠C=∠CAB．又∵∠NBC=84°，∠C+∠CAB=∠NBC，∴∠CAB=42°，即從A點(diǎn)觀看燈塔C的角度為北偏西42°．12．解：△AEF是等腰三角形．∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠DBF．又∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠AFE=90°-∠BAC，∠DEB=90°-∠DBF，∴∠AEF=∠DEB．又∵∠DEB=∠AEF，∴∠AEF=∠AEF，∴△AEF是等腰三角形．13．解：他們的答案都不對(duì)，小兵的答案只滿足條件（1），而小紅的答案只滿足條件（2）．應(yīng)設(shè)一角為x，則有一角為2x，第三角為x或2x，當(dāng)?shù)谌菫閤時(shí)，解得x=30°，2x=60°，三個(gè)內(nèi)角和等于120°，不滿足題意（舍去），而當(dāng)?shù)谌菫?x時(shí)，解得x=30°，2x=60°，三個(gè)內(nèi)角和為150°，也不滿足，所以此題沒有題．14．解：設(shè)腰長(zhǎng)為x，底邊長(zhǎng)為y，則經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．答：等腰三角形的腰長(zhǎng)為10或，底邊長(zhǎng)為11或．15．解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．14.3.1等腰三角形點(diǎn)擊要點(diǎn)等腰三角形的________相等，________相等；________、_______、________互相重合，判定一個(gè)三角形為等腰三角形的方法是證明這個(gè)三角形的_______相等，或是證明這個(gè)三角形的______相等，或是證明三角形的某個(gè)頂點(diǎn)在它對(duì)邊的______上．例題如圖所示，在△ABC中，∠B=∠C，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，AC上的點(diǎn)，且BD=CE，∠DEF=∠B，求證△DEF是等腰三角形．[分析]欲證△DEF是等腰三角形，需證有兩邊或兩角相等，由題設(shè)知∠B=∠C，BD=CE，可證明△BED≌△CFE，得DE=EF，從而問題得證．證明：因?yàn)椤螧+∠BDE+∠BED=180°，∠BED+∠DEF+∠FEC=180°，∠B=∠DEF，所以∠BDE=∠FEC．又因?yàn)椤螧=∠C，BD=CE，所以△BED≌△CFE（ASA），所以DE=EF，所以△DEF是等腰三角形．[老師點(diǎn)評(píng)]解答本節(jié)習(xí)題需注意以下幾個(gè)方面：（1）解答等腰三角形時(shí)要考慮全面，即用分類討論的思想方法．（2）在沒有判定出一個(gè)三角形是等腰三角形之前，不能用“底角”和“腰”等名詞．（3）根據(jù)等腰三角形的“三線合一”做輔助線往往能解決問題．（4）要靈活地將等腰三角形與學(xué)習(xí)的內(nèi)角和定理、三邊關(guān)系定理、三角形全等有機(jī)地結(jié)合到一起解決綜合性的題目．中考展望本節(jié)是中考命題的重點(diǎn)，題型有填空題、選擇題、計(jì)算和證明題，在今后的中考試題中，等腰三角形仍然是必考內(nèi)容，主要以基礎(chǔ)題和中檔題為主，有時(shí)與圓、直角坐標(biāo)系等結(jié)合，在壓軸題中出現(xiàn)．隨堂測(cè)評(píng)(時(shí)間：40分鐘滿分：100分)一、訓(xùn)練平臺(tái)（1～5小題每題4分，6～7小題每題10分，共40分）1．已知下列各組數(shù)據(jù)，可以構(gòu)成等腰三角形的是（）A．1，2，1B．2，2，1C．1，3，1D．2，2，52．等腰三角形的對(duì)稱軸共有（）A．1條B．2條C．1條或3條D．無(wú)數(shù)條3．等腰三角形的周長(zhǎng)為13cm，其中一邊長(zhǎng)為3cm，則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（）A．7cmB．3cmC．7cm或3cmD．5cm4．等腰三角形的頂角是70°，則底角等于________．5．等腰三角形的一個(gè)角是70°，則其他兩個(gè)角的度數(shù)是_______．6．如圖所示，在△ABC中，D是AC上一點(diǎn)，且AB=DB=DC，∠C=40°，求∠ABD的度數(shù)．7．如圖所示，在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的角平分線，BD=AD，問AD=BC嗎？為什么？二、提高訓(xùn)練（1～6小題每題4分，7小題10分，共34分）1．下列說法正確的是（）A．等腰三角形高線與角平分線、中線互相重合;B．底角相等的兩個(gè)等腰三角形全等;C．等腰三角形頂角的外角平分線與底邊平行;D．等腰三角形的兩底角都可以為鈍角2．下列四個(gè)圖形中是軸對(duì)稱圖形，且只有一條對(duì)稱軸的是（）A．等腰三角形B．線段C．等腰直角三角形D．直角三角形3．在等腰三角形中，AB的長(zhǎng)度是BC的2倍，三角形的周長(zhǎng)是40，則AB的長(zhǎng)為（）A．20B．16C．20或16D．以上都不對(duì)4．如圖所示，在△ABC中，AB=AC，且BE=CD，BD=CF，∠A=40°，則∠EDF為（）A．40°B．70°C．140°D．50°5．已知等腰三角形的一邊等于5，另一邊為6，則周長(zhǎng)為_____．6．等腰三角形的某個(gè)內(nèi)角的外角等于110°，則它的頂角為_______．7．如圖所示，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，求證∠BAC=2∠DBC．三、探索發(fā)現(xiàn)（共12分）如圖所示，在△ABC中，AB=AC，E是AB中點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)D，連接ED，并延長(zhǎng)至F，使DF=DE，連接FC，∠F與∠A有什么關(guān)系？并說明理由．四、拓展創(chuàng)新（共14分）如圖所示，把一張長(zhǎng)方形ABCD的紙片沿EF折疊，點(diǎn)D，C分別落在D′，C′的位置上，ED′與BC的交點(diǎn)為G，試判定△EGF的形狀，并說明理由．※走近中考（不計(jì)入總分）如圖所示，梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC