2024年人教版初中數(shù)學(xué)七年級下冊 -三元一次方程組概念及解法-1教案

教案教學(xué)基本信息課題8.4-1三元一次方程組概念及解法學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：初中年級初一教材書名：義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七年級下冊出版社：人民教育出版社出版日期：教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點、難點教學(xué)目標(biāo)：1、了解三元一次方程組的概念，會用消元法解簡單的三元一次方程組。2、理解用消元法解三元一次方程組時體現(xiàn)的“三元”化“二元”、“二元”化“一元”的化歸思想。重點：應(yīng)用消元法解三元一次方程組難點：選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄏ?，解方程組教學(xué)過程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動設(shè)置意圖引入前面我們學(xué)習(xí)了二元一次方程組及其解法——消元法.我們知道有些有兩個未知數(shù)的問題，可以列出二元一次方程組來解決.實際上，有不少問題含有更多未知數(shù).我們看下面的問題近期，我們初一1班進(jìn)行了《云端相聚》的線上班會。會上，小晨同學(xué)分享了自己的一日居家學(xué)習(xí)生活的時間安排表，如下項目時間（小時）自主學(xué)習(xí)體育鍛煉家務(wù)勞動…她說表格中自主學(xué)習(xí)、體育鍛煉和家務(wù)勞動的總時間為5小時，其中家務(wù)勞動比體育鍛煉多安排1小時，2倍的自主學(xué)習(xí)時間與體育鍛煉的時間的和恰好等于家務(wù)勞動時間加上三項的總時間，同學(xué)們根據(jù)這些信息你能知道表中各項時間的安排了嗎？有的同學(xué)說現(xiàn)在有3個未知的量，那么就可以設(shè)表中她當(dāng)天自主學(xué)習(xí)、體育鍛煉和家務(wù)勞動的時間分別為x小時，y小時，z小時，這就構(gòu)成了方程組實際生活中涉及多個未知數(shù)的問題是普遍存在的，因而求解多元方程組問題是我們繼續(xù)討論的課題，下面我們再來看一個問題引例從學(xué)生生活入手，引出三元一次方程和三元一次方程組。新課問題2：甲地到乙地全程是3.3千米，一段上坡、一段平路、一段下坡.如果保持上坡每小時走3千米,平路每小時走4千米，下坡每小時走5千米，那么從甲地到乙地需51分鐘,從乙地到甲地需53.4分鐘，從甲地到乙地時,上坡、平路、下坡的路程各是多少？設(shè)從甲地到乙地時,上坡、平路、下坡的路程分別設(shè)為xkm，ykm，zkm由條件甲地到乙地全程是3.3千米，可以得到方程甲地到乙地總時間為小時，進(jìn)而列出方程由從乙地到甲地需53.4min，可以得到方程這個問題的解必須同時滿足上述三個方程，因此我們把上述三個方程合在一起寫。用大括號連接，表示xyz三個未知數(shù)同時滿足三個方程，這就構(gòu)成了方程組把方程組中含有三個未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有3個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組。那么怎樣解三元一次方程組呢？我們就以第一個方程組為例，大家先自己試一試有困難的同學(xué)可以思考，前面我們是如何解二元一次方程組的？利用這樣的解題思路和方法，我們是否會求解三元一次方程組呢？那么三元一次方程組與二元一次方程組的不同之處是什么？顯然未知數(shù)多了一個，方程多了一個，更復(fù)雜了。解方程組就必須消元，那么怎么對三元一次方程組進(jìn)行消元，消元后得到什么？我們來看看一些同學(xué)的做法解法一：有的同學(xué)觀察方程組的3個方程，發(fā)現(xiàn)方程①③均含有3個未知數(shù)，而方程②比較簡單只含有2個未知數(shù)，仿照前面學(xué)過的代入法，他將方程②變形得z=1+y，記為方程④，用只含y的代數(shù)式表示z，消去未知數(shù)z，將④代入方程①中，得x+y+1+y=5進(jìn)而得到x+2y=4把它記為方程⑤再將④代入方程③得，2x+y=1+y+5,解的x=3記為方程⑥方程⑤、⑥組成方程組解這個方程組得此時三元一次方程組解完了嗎？對了，還有消去的未知數(shù)z未解呢把代入方程②得，所以這個三元一次方程組的解為解法二：有的同學(xué)換了一個角度思考，他說方程②比較簡單只含有2個未知數(shù)z，y，那么將方程①③中的未知數(shù)x消去，就可以得到關(guān)于z，y的二元一次方程組也可以解決問題。同學(xué)們自己試一試。觀察方程③中x的系數(shù)為2，方程①中x的系數(shù)為1，將方程①乘以2得2x+2y+2z=10,記為方程④，④減③得y+3z=5,記為方程⑤，此時方程②和⑤就組成了關(guān)于z，y的二元一次方程組解這個方程組得把代入方程①得所以這個三元一次方程組的解為解法三：方程①、②中y的系數(shù)互為相反數(shù)，由①+②消去未知數(shù)y得，x+2z=6，同樣方程②③中y的系數(shù)也互為相反數(shù)由②+③消去未知數(shù)y得，x=3，方程④、⑤組成關(guān)于x，z的二元一次方程組，解這個方程組得將z=1.5代入②得，y=0.5所以也可以求出這個三元一次方程組的解從上面三元一次方程組的解法可以看出，解三元一次方程組的基本思路是通過“代入”或者“加減”進(jìn)行消元，把“三元”化為“二元”，使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，這與解二元一次方程組的思路是一樣的。類比二元一次方程：類比方程組的形式和解法，按照“實際問題——建立模型“的模式展開，給出三元一次方程組的概念。類比二元一次方程組的解法——代入消元法和加減消元法，學(xué)生嘗試用這兩種方法解三元一次方程組。讓學(xué)生自主進(jìn)行探究、討論，自己觀察、分析，然后通過類比得出三元一次方程組的解法思路。通過一題多解，學(xué)生靈活運(yùn)用代入法或加減法消元，有助于我們迅速求解方程組的解。例題解三元一次方程組（1）解：將③代入①得，y+5z=20將③代入②得，y+12z=41方程④、⑤組成方程組，解之得，y=5，z=3將z=3代入③比較簡單，得x=14此時就得到了這個三元一次方程組的解了x=14,y=5,z=3。我們可將三個未知數(shù)的值代入方程組檢驗一下，看看是否正確解法二：②－①得，2x-z=25方程③、④組成方程組x=4z+2,2x-z=25解這個方程組的x=14，z=3將x=14代入②得，y=5此時也得到了這個三元一次方程組的解。（2）解：將方程②×3得，記為方程④，由④+③消去未知數(shù)y得，記為方程⑤，方程①⑤組成關(guān)于x，z的二元一次方程組，解這個方程組得，得把代入方程②得所以@@因此這個三元一次方程組的解為練習(xí)安排學(xué)生自主板演，進(jìn)行多種解法的展示過程?？偨Y(jié)當(dāng)三元一次方程組中某個方程缺少一個未知數(shù)時，由另兩個方程消去與前述方程中所缺未知數(shù)相同的未知數(shù)，從而組成二元一次方程組求解，較為簡單。小結(jié)一下，本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了三元一次方程組及其解法。相信同學(xué)們在“三