2024年人教版初中數(shù)學(xué)七年級下冊 -實數(shù)的概念-1教案

教案教學(xué)基本信息課題實數(shù)的概念學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：初中年級初一教材書名：數(shù)學(xué)七年級下冊出版社：人民教育出版社出版日期：教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)本節(jié)課涉及到的知識要素是無理數(shù)概念、實數(shù)概念、有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)、有理數(shù)概念等，主要是在數(shù)的開方基礎(chǔ)上引進(jìn)無理數(shù)概念，類比有理數(shù)分類得到實數(shù)分類，在課程中主要培養(yǎng)學(xué)生歸納概括能力.本節(jié)課教學(xué)將數(shù)從有理數(shù)范圍擴(kuò)充到實數(shù)范圍，實數(shù)內(nèi)容的教學(xué)十分重要，它為后續(xù)的二次根式、一元二次方程以及三角函數(shù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，包括在高中的函數(shù)、不等式中都經(jīng)常使用。由于我教的兩個班學(xué)生對有理數(shù)的掌握程度較好，所以我采用與有理數(shù)對比的方式引入無理數(shù)教學(xué)，揭示出有理數(shù)與無理數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別，有助于學(xué)生加深對實數(shù)的認(rèn)識?；诖耍竟?jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，并會判斷一個數(shù)是否是無理數(shù).無理數(shù)是從現(xiàn)實世界中抽象出來的一種數(shù)，學(xué)生對無理數(shù)幾乎沒有任何感性認(rèn)識，尤其是對無理數(shù)的存在還有質(zhì)疑，基于此分析，本節(jié)課教學(xué)難點(diǎn)是對無理數(shù)的認(rèn)識.本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)：1.了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，學(xué)生會辨析一個實數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)；2.理解實數(shù)的分類原則，初步形成對實數(shù)的整體認(rèn)識；3.學(xué)生親身經(jīng)歷無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程，體會無理數(shù)引入的必要性,引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，提出猜想，建構(gòu)新的知識體系.教學(xué)過程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動設(shè)置意圖引入復(fù)習(xí)引入：從講起在前幾課中我們學(xué)習(xí)了平方根、立方根的概念，并對“有多大？”進(jìn)行了探究。教師提出問題1：現(xiàn)在我們來思考一個問題是不是我們之前學(xué)過的有理數(shù)呢？我們知道是無限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，它們之間有什么區(qū)別與聯(lián)系呢?從學(xué)生剛熟悉的數(shù)入手，激發(fā)思考。若學(xué)生不知如何回答，教師可以提示學(xué)生先回憶有理數(shù)分類新課探究活動請把下列分?jǐn)?shù)寫成小數(shù)形式，你有什么發(fā)現(xiàn)？，，，，，要求：學(xué)生可以獨(dú)立在筆記本上進(jìn)行計算，然后歸納自己的發(fā)現(xiàn).若學(xué)生不能正確尋找結(jié)論，教師可以增加追問：我們將計算結(jié)果的小數(shù)形式全列出來對比一下，看能否從這些數(shù)的小數(shù)形式特點(diǎn)加以說明？，，，，，我們發(fā)現(xiàn)：這些分?jǐn)?shù)都可以寫成有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)的形式.教師再追加一個結(jié)論：其實整數(shù)也可以看成小數(shù)點(diǎn)后是0的小數(shù)，比如3看成3.0，-5看成-5.0.歸納小結(jié)：任何一個有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)的形式；反之，任何一個有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù).教師總結(jié)：的小數(shù)點(diǎn)后面有無數(shù)位，它是無限不循環(huán)的小數(shù)，既不屬于整數(shù)也不屬于分?jǐn)?shù)，所以它不是有理數(shù)，教師提出問題2：那到底是什么數(shù)呢?還是回到有理數(shù)無理數(shù)的小數(shù)形式，像這樣的數(shù)還有無限多個，前面我們學(xué)習(xí)的很多數(shù)的平方根、立方根都是無限不循環(huán)小數(shù)，比如：，，，還有圓周率，我們把具有這種特點(diǎn)的數(shù)都叫做無理數(shù).（三）對無理數(shù)的認(rèn)識1、引出概念：無理數(shù)定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).解讀無理數(shù)概念揭示的特點(diǎn)：首先是小數(shù)；其次是無限小數(shù)；最后是不循環(huán)的無限小數(shù).教師分層次解釋無理數(shù)的特點(diǎn)，對學(xué)生理解很有好處.而、、、都是無理數(shù)，這樣的無理數(shù)還有很多個.2、典型例題例1：判斷下列這組數(shù)中，哪些是無理數(shù)？，，，，辨析：中的分子是無限不循環(huán)小數(shù)，除以3后結(jié)果還是無限不循環(huán)小數(shù)，所以也是無理數(shù)；同理也是無理數(shù)；與很相近，但它還是個有限小數(shù)，小數(shù)點(diǎn)后有7位數(shù)，所以是有理數(shù)；是循環(huán)節(jié)為1和9，是無限循環(huán)小數(shù)，是有理數(shù)；是問立方運(yùn)算后的3的數(shù)，即3的立方根，這是一個無限不循環(huán)小數(shù)，所以是無理數(shù).總之，判斷是否是無理數(shù)一定要扣住定義去辨析.拓廣探索例2：已知數(shù)，它的特點(diǎn)是從左向右看，相鄰的兩個1之間依次多一個0，這個數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)，為什么？辨析：還是扣住定義，這是個無限不循環(huán)小數(shù)，應(yīng)該是無理數(shù).再追問一下，你能編出類似的數(shù)嗎？例3：辨析概念，并說明理由.無理數(shù)都是無限小數(shù)；無限小數(shù)都是無理數(shù)；帶根號的數(shù)都是無理數(shù).分析：①無理數(shù)都是無限小數(shù)。這句話的題設(shè)是“無理數(shù)”，結(jié)論是“無限小數(shù)”，根據(jù)定義，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，無限小數(shù)包括無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)，無理數(shù)范圍小，無限小數(shù)范圍大，無理數(shù)是包含在無限小數(shù)范圍內(nèi)的，所以無理數(shù)是無限小數(shù)這句話是正確的。②無限小數(shù)是無理數(shù)。通過對比發(fā)現(xiàn)，這句話與第一句話交換了題設(shè)和結(jié)論的位置，無限小數(shù)的范圍是比無理數(shù)的范圍更大些的，比如無限小數(shù)里有一類“無限循環(huán)小數(shù)”是屬于有理數(shù)范圍的，而不是無理數(shù)，所以無限小數(shù)都是無理數(shù)這句話是錯誤的；③帶根號的數(shù)都是無理數(shù)。大家想想“帶根號的數(shù)”是什么數(shù)，我們可以先舉一些的具體數(shù)，比如之類的，是無理數(shù)，而是求4的算術(shù)平方根，可以化簡為有理數(shù)2，是求9的算術(shù)平方根，可以化簡為有理數(shù)3，所以“帶根號的數(shù)”既包含有理數(shù)，也包含無理數(shù)，所以帶根號的數(shù)都是無理數(shù)這句話是錯誤的。實際上還有一種快速判斷的方法，只要舉出一個反例，比如，因為這個數(shù)滿足“是個帶根號”的數(shù)的題設(shè)，但不符合是“無理數(shù)”的結(jié)論，就可以說明這個命題不正確了。在今后的練習(xí)中大家可以嘗試使用不同的方法進(jìn)行判斷.（四）對實數(shù)的認(rèn)識1、實數(shù)的概念講解：在我們認(rèn)識的數(shù)里，有理數(shù)可以寫成有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)，新學(xué)的無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，但它們都是對現(xiàn)實世界中客觀存在的量的反映。所以我們將無理數(shù)與有理數(shù)歸為一類，統(tǒng)稱實數(shù)?，F(xiàn)在我們之前的有理數(shù)的體系被大大的擴(kuò)充了，在“實數(shù)”范圍內(nèi)繼續(xù)研究及解決問題就是我們這一章的學(xué)習(xí)重點(diǎn).我們繼續(xù)思考，實數(shù)可以怎么分類呢？我們類比有理數(shù)的分類，“有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)”將實數(shù)分分類.實數(shù)的分類有理數(shù)里分為正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)，同樣無理數(shù)里也分為正無理數(shù)、負(fù)無理數(shù)，注意0不可以歸為無理數(shù)中.教師提問題3：因為非零有理數(shù)和無理數(shù)都有正負(fù)之分，那么你能類比有理數(shù)的分類方法，按大小關(guān)系對實數(shù)重新分類嗎？講解：注意分類的原則是“大小關(guān)系”，要按這個標(biāo)準(zhǔn)不重不漏的進(jìn)行。實數(shù)的分類可以有不同的方法.預(yù)計：學(xué)生討論交流，得到如下分類：3、典型例題例：判斷正誤，并說明理由.是無理數(shù)0既不是有理數(shù)也不是無理數(shù).辨析：（1）因為是分?jǐn)?shù)，它=0.142857142857循環(huán)，是無限循環(huán)的小數(shù)，屬于有理數(shù)，所以這句話錯誤.第二句話，實數(shù)按有理數(shù)、無理數(shù)的形式分類時，0既不是正有理數(shù)也不是負(fù)有理數(shù)，但0是屬于有理數(shù)的，所以這句話是錯的?？偨Y(jié)：判斷一個數(shù)到底屬于哪一類數(shù)系，要深入理解實數(shù)的分類體系.例:在0.23,,,,0.2020020002…（相鄰的兩個2之間依次多一個0）這五個數(shù)中，既是正實數(shù)也是無理數(shù)的數(shù)有（）A.1個B.2個C.3個D.4個解析：符合題意得為0.2020020002…，選A例題:把下列各數(shù)分別填到相應(yīng)的集合中：.有理數(shù)集合無理數(shù)集合例題有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，操作如下圖所示，則當(dāng)輸入的x為81時，輸出的y是().A.B.C.3D.9分析：仔細(xì)閱讀操作圖，我們先來理解這個操作過程，輸入一個x(x>0),求它的算術(shù)平方根，如果這個算術(shù)平方根是無理數(shù)，則輸出結(jié)果，如果是有理數(shù)，則返回，再次求這個有理數(shù)的算術(shù)平方根；如果是無理數(shù)則輸出結(jié)果，如果還是有理數(shù)，則再次返回，一直到算術(shù)平方根是無理數(shù)，輸出為止，也就是說y一定是個無理數(shù)，這題最后應(yīng)選B.4、認(rèn)識實數(shù)價值回顧一下我們對數(shù)的認(rèn)識過程，引入負(fù)數(shù)后我們將數(shù)系擴(kuò)充到有理數(shù)范圍，引入無理數(shù)后我們將數(shù)系擴(kuò)充到實數(shù)范圍.數(shù)的范圍不斷擴(kuò)大體現(xiàn)了人類認(rèn)識的不斷進(jìn)步，實數(shù)的概念就是數(shù)學(xué)發(fā)展史的一個重要里程碑.講解無理數(shù)歷史：公元前6世紀(jì)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的年輕數(shù)學(xué)家希帕索斯發(fā)現(xiàn)不是有理數(shù)，并由此引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，大家課下可以去閱讀一下教材中58的資料，更詳細(xì)了解有關(guān)無理數(shù)的歷史知識.事實上無理數(shù)只是一個命名，并非“無理”，它和有理數(shù)一樣，都是現(xiàn)實世界中客觀存在的量的反映.讓學(xué)生從探究活動開始，體會有限小數(shù)(循環(huán)節(jié)為0)和無限循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.為教師引出無理數(shù)概念做準(zhǔn)備.分層記憶概念，可降低難點(diǎn)，達(dá)到突出重點(diǎn)的目的.結(jié)合數(shù)學(xué)史上關(guān)于無理數(shù)的故事，激發(fā)學(xué)生的興趣.通過自己編無理數(shù)的環(huán)節(jié)，加深學(xué)生對概念的理解。學(xué)生抓住特點(diǎn)，還可以編出這樣的無理數(shù).總之概念是判斷命題真假的重要依據(jù).加深學(xué)生對無理數(shù)實數(shù)的認(rèn)識，初步形成對實數(shù)的整體認(rèn)識。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第一次微機(jī)，是數(shù)學(xué)發(fā)展史的重要里程碑，引入無理數(shù)，經(jīng)歷了一個漫長而艱苦的過程，這個過程現(xiàn)了人類為追求真理而不懈努力的精神.例題鞏固練習(xí)練習(xí)1.下列各數(shù)中的無理數(shù)是（）.A.B.3.14C.D.分析：這題主要依據(jù)是實數(shù)的概念及分類。第一個數(shù)是，它可以化簡為5，從而判斷是個有理數(shù)；3.14很明顯是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)；但是遇到分?jǐn)?shù)比如，要知道分?jǐn)?shù)還是有理數(shù)分類中的一類，可以馬上判斷是有理數(shù)，雖然還可以寫出它的小數(shù)形式，發(fā)現(xiàn)它是無限循環(huán)小數(shù)，但顯然時間會花費(fèi)較多，所以還是依據(jù)分類判斷會快點(diǎn)；最后一個是+1，是個無限不循環(huán)小數(shù)，而+1的結(jié)果應(yīng)該還是一個無限不循環(huán)小數(shù)。最終這道題的答案是選“D”.2.判斷正誤，并說明理由.①實數(shù)包括正實數(shù)、0、負(fù)實數(shù)；②無理數(shù)包括正無理數(shù)、0、負(fù)無理數(shù)；③不帶根號的數(shù)都是有理數(shù).分析：①實數(shù)按大小分類，0是其中一類，可以判斷這句話是正確的；②根據(jù)實數(shù)的分類，0屬于有理數(shù)，所以這句話是錯誤的③反例：像0.1010010001（每隔兩個1多一個0）…這個數(shù)是不帶根號，它不是有理數(shù)，所以這句話是錯誤的.3.下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？－3.14，，1.732，，，，，18，，0.3131131113…（兩個3之間依次多一個1）.講解：這題主要是對概念要充分的理解，從數(shù)的小數(shù)形式入手更好，但是遇到分?jǐn)?shù)比如，要知道分?jǐn)?shù)還是有理數(shù)分類中的一類，可以馬上判斷是有理數(shù).其余的我們一一來分析。最終這里有三個無理數(shù)：，其余的都是有理數(shù)。(練習(xí)3的備用題)把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)：.①無理數(shù)集合：{…}；②負(fù)實數(shù)集合：{…}.解答:①無理數(shù)集合：{…}；②負(fù)實數(shù)集合：…}.在挑正負(fù)實數(shù)時注意0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，觀察符號將這些數(shù)正確分類放入相應(yīng)的集合中（點(diǎn)一下）負(fù)實數(shù)集合：{}.；正實數(shù)集合：在下列每個圈里，至少填入三個適當(dāng)?shù)臄?shù).有理數(shù)集合無理數(shù)集合解釋：如果是自己選三個適當(dāng)?shù)臄?shù)，那要注意選用簡潔的、熟悉的數(shù)字填入對應(yīng)的集合中。有一個數(shù)值轉(zhuǎn)換器，操作如下圖所示，則當(dāng)輸入的x為64時，輸出的數(shù)值是__________.仔細(xì)閱讀操作圖，我們先來理解這個操作過程，輸入一個x,求它的立方根，如果立方根是無理數(shù)，則輸出結(jié)果，如果是有理數(shù)，則返回，再次求這個有理數(shù)的立方根；如果是無理數(shù)則輸出結(jié)果，如果還是有理數(shù)，則再次返回，一直到立方根是無理數(shù)，輸出為止.答案是：6.在實數(shù)0,1,2,3,4,5,6,7,8,9的平方根及立方根中,哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？注意:數(shù)比較多，先列表整理，再觀察求值，然后判斷類型.讓學(xué)生能結(jié)合概念解決簡單的問題，會辨析概念.