北京市朝陽區(qū)2025屆高三上學(xué)期期中檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市朝陽區(qū)2025屆高三上學(xué)期期中檢測數(shù)學(xué)試卷第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.設(shè)集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為集合，集合，所以.故選：A2.若函數(shù)在處取得最小值，則（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，∴最小值點，即.故選；C.3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，不具備奇偶性，故A錯誤；對于B，函數(shù)的定義域為，由于為偶函數(shù)，故B錯誤；對于C，函數(shù)，由正切函數(shù)的性質(zhì)可知為奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D，函數(shù)的定義域為，由，故函數(shù)為奇函數(shù)，因為，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，故D正確.故選：D.4.如圖，在中，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵，，∴，，∴，故AB選項錯誤；∴，故C選項正確，D選項錯誤.故選：C.5.已知單位向量，滿足，設(shè)向量，則向量與向量夾角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，所以，故選：C.6.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有如下的問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”.由此推算，在這5天中，織布超過1尺的天數(shù)共有（）A.1天 B.2天 C.3天 D.4天【答案】B【解析】設(shè)這女子每天分別織布尺，則數(shù)列是等比數(shù)列，公比．則，解得．?dāng)?shù)列的通項公式為，，當(dāng)時，則，當(dāng)時，則，故超過1尺的天數(shù)共有2天.故選：B．7.已知均為第二象限角，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由題意，若，因為均為第二象限角，所以，所以，即，所以，且均為第二象限角，所以，所以，即充分性成立.若，因為均為第二象限角，所以，即，所以，即，因為均為第二象限角，所以，所以，故必要性成立,所以“”是“”的充要條件.故選：C.8.已知函數(shù)若直線與函數(shù)的圖象有且只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時，函數(shù)，則，令，解得，故直線與相切，即.當(dāng)時，函數(shù)，則，令，解得，故直線與相切，即.如圖所示，當(dāng)或時，直線與分段函數(shù)有且僅有一個公共點.故實數(shù)的取值范圍為或.故選：B.9.在三棱錐中，棱，，兩兩垂直，點在底面內(nèi)，已知點到，，所在直線的距離分別為1，2，2，則線段的長為（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】如圖，棱，，兩兩垂直，可以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，由題意可得：，∴，∴，故選：A10.數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立了集合論，集合論的產(chǎn)生豐富了現(xiàn)代計數(shù)方法.記為集合的元素個數(shù)，為集合的子集個數(shù)，若集合滿足：①，；②，則的最大值是（）A.99 B. C. D.96【答案】B【解析】設(shè)，則，即，所以,若,則，即左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，不成立，若，則，即左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，不成立，所以,即，因為，且滿足，所以包含了的個元素外，還包含個屬于而不屬于的元素，當(dāng)時，則,如，符合題意.當(dāng)時，則,如，符合題意.所以的最大值為，故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.復(fù)數(shù)__________．【答案】【解析】，故答案為12.在中，已知，則__________；________.【答案】【解析】因為，，又，故；.故答案為：；.13.已知數(shù)列的前n項和為（A，B為常數(shù)），寫出一個有序數(shù)對________，使得數(shù)列是遞增數(shù)列.【答案】（答案不唯一）【解析】數(shù)列的前n項和為,當(dāng)時，，所以，即，當(dāng)時，符合上式，綜上，，若數(shù)列遞增數(shù)列，則，即，故符合的有序數(shù)對可以為.故答案為：（答案不唯一）.14.某種滅活疫苗的有效保存時間（單位：）與儲藏的溫度（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（為常數(shù)，其中）.已知該疫苗在0℃時的有效保存時間是1440h，在5℃時的有效保存時間是360h，則該疫苗在10℃時的有效保存時間是________h.【答案】90【解析】由題意，，解得，當(dāng)時，，故該疫苗在時的有效保存時間是小時.故答案為：.15.對于無窮數(shù)列，若存在常數(shù)，使得對任意的，都有不等式成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì).給出下列四個結(jié)論：①存在公差不為的等差數(shù)列具有性質(zhì)；②以為首項，為公比的等比數(shù)列具有性質(zhì)；③若由數(shù)列的前項和構(gòu)成的數(shù)列具有性質(zhì)，則數(shù)列也具有性質(zhì)；④若數(shù)列和均具有性質(zhì)，則數(shù)列也具有性質(zhì).其中所有正確結(jié)論序號是________.【答案】②③④【解析】對于①，假設(shè)存在公差為的等差數(shù)列an具有性質(zhì)，則存在常數(shù)，使得對任意，都有不等式成立.則對任意的，都有，但這對大于的正整數(shù)顯然不成立，矛盾，故①錯誤；對于②，設(shè)an是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，.所以正實數(shù)滿足對任意的，都有.故②正確；對于③，若由數(shù)列an的前項和構(gòu)成的數(shù)列具有性質(zhì)，則存在常數(shù)，使得對任意的，都有不等式成立.從而正實數(shù)滿足對任意的，都有.故③正確；對于④，若數(shù)列an和bn均具有性質(zhì)，存在常數(shù)，使得對任意的，都有不等式成立；也存在常數(shù)，使得對任意的，都有不等式成立.從而正實數(shù)滿足對任意的，都有.故④正確.故答案為：②③④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在中，.（1）求的值；（2）若，，求b及的面積.解：（1）因為，有正弦定理得，所以，由，得，又因為，所以，所以，由正弦定理可得；（2）因為，，所以由余弦定理得，又由（1）可知，，所以，整理得，即，所以，所以，所以面積為.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，.（1）求證：平面PAD；（2）求平面與平面PCD的夾角的余弦值；（3）記平面與平面PCD的交線為l.試判斷直線AB與l的位置關(guān)系，并說明理由.解：（1）因為平面ABCD，平面ABCD，所以，又因為，，所以，又因為平面PAD，所以平面PAD.（2）由（1）可知，，，，如圖所示，以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則，，，，則，，設(shè)平面PAB的一個法向量為，由得所以，令，則，又因為平面PCD，所以是平面PCD的一個法向量.設(shè)平面PAB與平面PCD的夾角為θ，則.（3）直線.理由如下：因為，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，又因為平面PAB，平面平面，所以.18.已知函數(shù).（1）若，求的最小值；（2）若存在極小值，求的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，取得最小值.（2）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.①當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以無極值.②當(dāng)時，令，得.當(dāng)變化時，與的變化情況如下表：x-0+↘極小值↗由上表知，當(dāng)時，取得極小值綜上，的取值范圍為.19.設(shè)函數(shù).（1）若，，求的值；（2）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，且是函數(shù)的圖象的對稱軸，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求ω，φ的值.條件①：當(dāng)時，取到最小值；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.解：（1）由，，得.則；（2），，.選擇條件①：因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，且是函數(shù)的圖象的對稱軸，又當(dāng)時，取到最小值，所以，故.因為，所以.所以，.又因為，所以，得.又因為，所以.選擇條件③：因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，且是函數(shù)的圖象的對稱軸，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故.因為，所以.所以，.又因為，所以，得.又因為，所以.選擇條件②不能求出參數(shù)值，故不能選條件②.20.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）討論在區(qū)間上的零點個數(shù)；（3）若，其中，求證：.解：（1）由，得且，所以，所以曲線在處的切線方程為：，即.（2）①當(dāng)時，，，所以.所以在區(qū)間上無零點；②當(dāng)時，，，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，所以在區(qū)間上僅有一個零點，綜上，在區(qū)間上的零點個數(shù)為1.（3）設(shè)，即，所以，設(shè)，，因為時，，，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.故，所以.因為，所以，又，所以.21.若有窮正整數(shù)數(shù)列A：，，，…，滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列A為T數(shù)列：①；②對任意的，都存在正整數(shù)，使得.（1）判斷數(shù)列A：1，1，1，3，3，5和數(shù)列B：1，1，2，2，4，4，4，12是否為T數(shù)列，說明理由；（2）已知數(shù)列A：，，，…，是T數(shù)列.（i）證明：對任意的，與不能同時成立；（ii）若n為奇數(shù)，求的最大值.解：（1）數(shù)列A不是T數(shù)列，理由如下：對于數(shù)列A，因為，，且對任意的正整數(shù)，有，所以數(shù)列A不滿足性質(zhì)②，所以數(shù)列A不是T數(shù)列；數(shù)列B是T數(shù)列，理由如下：對于數(shù)列B，因為，，，