河南省許昌市2023-2024學年高二上學期期末教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省許昌市2023-2024學年高二上學期期末教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.經(jīng)過兩點的直線的方向向量，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】由題意與直線的方向向量共線，所以，解得.故選：C.2.若方程表示雙曲線，則的取值范圍是（）A.或 B.C.或 D.【答案】D【解析】若方程表示的曲線是焦點在軸上的雙曲線，則，解得；若方程表示的曲線是焦點在軸上的雙曲線，則，無解.綜上所述，.故選：D.3.直線l過點，且與圓相切，則直線l的方程為（）A. B.C. D.或【答案】D【解析】設斜率為，圓心到直線的距離為，當不存在時，直線方程為，此時與圓不相切，故排除，即直線斜率一定存在，設直線方程為，化簡得，由題意得，可得，解得或，即切線方程為或，顯然D正確.故選：D4.在棱長為1的正方體中，點B到的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系：由題意，所以，在上的投影長度為，所以點B到的距離為.故選：C.5.下列說法正確的是（）A.若直線的傾斜角為，則它的斜率為B.直線過定點C.圓上有且僅有個點到直線的距離等于D.與圓相切，且在軸軸上的截距相等的直線只有一條【答案】C【解析】對于A選項，當為直角時，直線的斜率不存在，A錯；對于B選項，對于直線的方程，由可得，故直線過定點，B錯；對于C選項，設與直線平行且到直線的距離為的直線的方程為，則，解得或，所以，與直線平行且到直線的距離為的直線的方程為或，所以，圓上到直線的距離等于的點在直線和上，圓的圓心為原點，半徑為，顯然直線過圓心，圓心到直線的距離為，即直線與圓相切，所以，圓上有且僅有個點到直線的距離等于，C對；對于D選項，圓的圓心為，半徑為，當所求直線過原點時，設直線的方程為，可得，則，此時，所求直線的方程為，當所求直線不過原點時，設所求直線的方程為，則，解得或，此時，所求直線的方程為或，綜上所述，與圓相切，且在軸軸上的截距相等的直線有三條，D錯.故選：C.6.已知數(shù)列的前n項和，則的值是（）A.8094 B.8095 C.8096 D.8097【答案】A【解析】易知，，故，當時符合題意，故成立,顯然.故選：A7.數(shù)學美的表現(xiàn)形式多種多樣，我們稱離心率（其中）的橢圓為黃金橢圓，現(xiàn)有一個黃金橢圓方程為，若以原點為圓心，短軸長為直徑作為黃金橢圓上除頂點外任意一點,過作的兩條切線，切點分別為，直線與軸分別交于兩點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意有OAPB四點共圓，設點P坐標為，則該圓的方程為：，將兩圓方程：與相減，得切點所在直線方程，解得，因，所以故選：A8已知函數(shù)，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，則，則，所以，，所以，，故.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設等差數(shù)列的公差為d，前n項和．若，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列B.C.D.中最大的是【答案】CD【解析】由題意得，，化簡得，，即，，故，由得，，代入得，，解得，故C正確，則，故數(shù)列是遞減數(shù)列，故A錯誤，而，故B錯誤，易知數(shù)列前6項為正，從開始，數(shù)列所有項為負，故中最大的值是，故D正確.故選：CD10.已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，離心率為，若M，N為C上關(guān)于原點對稱的兩點，則（）A.C的標準方程為B.C.D.四邊形的周長隨的變化而變化【答案】ABC【解析】由題意得，上頂點為，離心率為，故，，，故C的標準方程為，顯然A正確，連接，由對稱性得，結(jié)合橢圓的定義得，故，當且僅當時取等，故B正確，設，，而，故，故，，故，故C正確，易知四邊形的周長為，為定值，故D錯誤.故選：ABC11.已知函數(shù)，則（）A.有兩個極值點B.有兩個零點C.直線是的切線D.點是的對稱中心【答案】BD【解析】對于A，令，解得，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以有兩個極值點，故A錯誤；對于B，令，得或，所以有兩個零點，故B正確；對于C，因為，所以直線不可能是的切線，故C錯誤；對于D，因為，所以點是的對稱中心，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知、、，則向量在上的投影向量的模是___________．【答案】【解析】由已知可得，，所以，向量在上的投影向量的模為.故答案為：.13.已知數(shù)列滿足，，若為數(shù)列前項和，則___________.【答案】【解析】因為，令，則，解得，且，可得，當為奇數(shù)，則；當偶數(shù)，則；所以，即.故答案為：.14.若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間上，不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是___________．【答案】【解析】由題意單調(diào)遞增，且，所以若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間上，不是單調(diào)函數(shù)，則，解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，公比.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）設等差數(shù)列得公差為d，聯(lián)立，即，解得，或，又，所以，故，（2）令，則，兩邊乘以得，，錯位相減整理得，，所以.16.已知圓的方程為．（1）直線過點，且與圓交于、兩點，若，求直線的方程；（2）點為圓上任意一點，求的最大值和最小值．解：（1）圓圓心為坐標原點，半徑為，設圓心到直線的距離為，則.①當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時圓心到直線的距離為，合乎題意；②當直線的斜率存在時，可設直線的方程為，即，由題意可得，解得，此時直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.（2）取點，則，如下圖所示，設直線交圓于點、，由圖可知，當點與點重合時，取最小值，且，當點與點重合時，取最大值，且.因此，的最大值為，最小值為.17.在棱長為1的正方體中，分別是，的中點.（1）求證：；（2）求；（3）求的長.解：（1）以D為坐標原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，，因為，所以，即.（2）由（1）得，，，，所以.（3）由（1）知，故.18.已知雙曲線的右焦點為，且經(jīng)過點．（1）求雙曲線C的方程；（2）若以為斜率的直線L與雙曲線C相交于兩個不同的點M，N，線段的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍．解：（1）因為的右焦點為，且經(jīng)過點，所以，解得．故雙曲線C的標準方程為．（2）設直線l的方程為．點的坐標滿足方程組，所以得，整理得．此方程有兩個不等實根，于是，且．整理得.①由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段MN的中點坐標滿足．從而線段MN的垂直平分線方程為．此直線與x軸，y軸的交點坐標分別為．由題設可得．整理得．將上式代入①式得，整理得．解得或．所以k的取值范圍是．19.已知函數(shù)，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）、（1）若函數(shù)的圖象與軸相切，求的值；（2）設，、，都有，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）因為，則，若，則函數(shù)，不合乎題意，所以，，設切點坐標為